5.5多边形的内角和与外角和（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦多边形内角和与外角和，分层梯度清晰，从基础概念到综合应用，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|内角和公式、正多边形内角|选择填空为主，直接应用公式，巩固运算能力| |能力提升|截角问题、多/少算角|解答题结合分类讨论，培养逻辑推理与空间观念| |综合应用|平面镶嵌、实际路径、复杂图形|情境题与跨知识点综合，发展模型意识与创新意识|

5.5多边形的内角和与外角和 题型一   多边形的内角和 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】/30度 7． 【答案】， 【分析】考查了平行线的性质，多边形内角和定理，一元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出方程成为解题的关键． 图①先求出该多边形的内角和，然后据此列一元一次方程求解即可；图②先根据平行线的性质求得，再根据多边形内角和定理列一元一次方程求解即可． 【详解】解：图①中，由题意得：， ． 图②中，， ， ． 8． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了由四边形的内角和为，熟练掌握是解决此题的关键． （1）、（2）由四边形的内角和为列方程计算即可． 【详解】（1）解：由四边形的内角和为可得， ， 解得． （2）解：由四边形的内角和为可得， ， 解得． 题型二   正多边形的内角问题 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】 4．【答案】 5．【答案】 6． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出、的度数是解题的关键． 根据正多边形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求出的度数，同理可求出的度数，再根据即可求出结论． 【详解】解：六边形为正六边形， ，， ． 四边形为正方形， ，， ， ， ． 7． 【答案】 【分析】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质与平行线的性质，掌握正五边形的内角计算方法，及利用等腰三角形、平行线转化角的关系是解题的关键． 先利用正五边形的性质求出内角及等腰三角形的角，再结合平行线的性质得到相等的角，最后通过角的差计算出的度数． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ， ， ． ． 题型三   多（少）算一个角问题 1．【答案】14 2． 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【详解】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 3． 【答案】， 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．根据多边形内角和定理：（且为整数），可得：多边形的内角和一定是的倍数，而多边形的内角一定大于，并且小于，用除以，根据商和余数的情况，求出加的这个内角的度数，进而可求出这个多边形的边数． 【详解】解：， 少加的这个内角的度数是：． ∴这个多边形的边数是：． 答：这个内角的度数为，多边形的边数为14． 4． 【答案】1 【分析】本题考查了多边形的内角和公式和对角线公式熟记公式是解题的关键根据多边形的内角和公式．多边形的内角一定大于0度，小于度，据此求得m的值，继而根据对角线公式求出n的值，代入计算可得． 【详解】解∶设边形少加的度数为度．则 ， 即． ，， ， ． 边形的对角线条数为． ． 5． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【分析】本题考查了多边形的内角与外角; （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 6． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键． (1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解； (2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解． 【详解】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件， 得． 因为n为自然数，，且， 故取， 得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． （2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为， 则由条件，得． 因为n为自然数，，且， 故取，得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． 题型四   多边形截角后的内角和 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】 5．【答案】180 6． 【答案】原多边形为十四边形 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握n边形的内角和为是解题的关键． 设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为，根据“内角和为”列出方程，求解即可． 【详解】解：设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为，根据题意，得 ， 解得， 答：原多边形为十四边形． 7． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 8． 【答案】13或14或15 【分析】根据多边形的内角和公式可得：，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可．本题主要考查了多边形的内角和公式（且是整数），注意要分情况进行讨论，避免漏解． 【详解】解：设新多边形的边数为， 则， 解得：， 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， 若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为13， 若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为14， 则多边形的边数是13或14或15． 题型五   多边形的外角问题 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】 7． 【答案】五边形 【分析】本题考查了根据多边形外角和求多边形边数，设这个多边形是边形，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求出正多边形的边数，即可解题． 【详解】解：设这个多边形是边形． 根据题意，得 解得． 所以，这个多边形是五边形． 8． 【答案】十边形 【分析】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形内角和公式，多边形外角和为． 在各个内角都相等的多边形中，各外角也相等．首先设多边形的边数为，根据多边形内角和公式和多边形外角和为，分别求出一个内角和一个外角，根据“一个内角是一个外角的倍”，列方程解方程即可得边数． 【详解】解：由题意可知，这个多边形各内角都相等，各外角也相等． 设这个多边形的边数为n，则， 解得． 经检验，是原分式方程的解． 故这个多边形是十边形． 9． 【答案】10． 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系：多边形的外角和等于360度，多边形的每个外角和与它相邻的内角和等于180度，列出方程是解答本题的关键. 设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，根据内角与其相邻的外角的和是180度列出方程，求出x的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为. 【详解】解：设这个多边形的每个外角为， 则． 解得． ． 答：这个多边形的边数为10． 题型一   复杂图形的内角和 1．【答案】C 2．【答案】/360度 3．【答案】 4． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 题型二   多边形外角和的实际应用 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】240° 4．【答案】 5．【答案】 6． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 7． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形外角和公式和平行线的性质，准确计算是解题的关键． 根据多边形的外角和等于，即可得到的度数，进而得出的度数，再根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图， 由多边形的外角和等于可知，， 又， ， ， 又， ． 题型三   多边形内角和与外角和综合 1．【答案】5 2．【答案】6 3．【答案】 4． 【答案】这个多边形的边数是7，总对角线条数是14 【分析】本题考查了多边形的内角和公式、外角和定理及对角线条数公式，掌握多边形内角和公式、外角和为、对角线条数公式​是解题的关键． 先利用多边形外角和为的定理，结合内角和公式，根据内角和是外角和的倍少列方程求边数；再用多边形对角线条数公式计算总对角线条数． 【详解】解：设这个多边形的边数为． 由题意，得， 解得，即这个多边形的边数为． 总对角线条数为． 5． 【答案】（1）6；（2）该多边形的边数为9；（3）4 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理，熟知多边形内角和公式是解题的关键． （1）设这个多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形的外角和为建立方程求解即可； （2）设这个多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形的外角和为建立方程求解即可； （3）这个n边形的内角和为，外角和为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， 故答案为：6． （2）设这个多边形的边数为n， 根据题意得： 解得． ∴该多边形的边数为9． （3）这个n边形的内角和为，外角和为， ∴， 解得， 故答案为：4． 6． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形的内角问题． （1）设内角度数为，根据题意列出方程求解即可； （2）先求外角，再求边数，最后利用内角和公式计算． 【详解】（1）解：设这个正多边形的一个内角的度数为， ∵内角与相邻外角之和为， ∴相邻外角为， 根据题意，， 解得：， ∴这个正多边形一个内角的度数为； （2）解：每个外角为， ∵正多边形的外角和为， ∴边数， 内角和为， ∴这个正多边形的内角和为． 题型四   平面镶嵌问题 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】2或4/4或2 4．【答案】/120度 5．【答案】③ 6．【答案】 7．【答案】 6 /24度 题型一   内角和与外角和在几何图形中的运用 1．【答案】 2． 【答案】（1）①见解析；②；（2）3；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，多边形的内角和定理，难度大，解题的关键在于面积的转化． （1）①延长至点，使得，而O为中点，则点E与点C重合，连接即可；②先证明，再证明，即可得到； （2）取得中点记为点N，连接，则由上可得，由于，因此当点H与点N重合时，最大，且为3； （3）解：过点A作于点F，连接，取中点，过点E作于点Q，可得为等腰直角三角形，，，则，证明，则，，导角证明，而，由于，当最大时，最小，由上知：，则，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，即为所作： ②∵为斜边的中点， ∴， 由作图可得，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：取得中点记为点N，连接， ∵， ∴由上可得， ∵， ∴当点H与点N重合时，最大，且为3； （3）解：过点A作于点F，连接，取中点，过点E作于点Q， ∵， ∴为等腰直角三角形，，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，五边形内角和为 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当最大时，最小， 由上知：， ∴， ∴． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5多边形的内角和与外角和 题型一   多边形的内角和 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分，部分多边形的三角剖分方法如下图，如：四边形三角剖分得到两个三角形，它的内角和为，用你发现的规律求七边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）从一个边形的同一顶点出发，分别连接和它不相邻的各顶点．若把这个边形分成8个三角形，则这个多边形的内角和为 ． 5．（25-26八年级下·全国·周测）四边形中，，则 ． 6．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，四边形，，，和分别是和的角平分线，那么 ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）求下列图形中的值（图②中）． 8．（25-26八年级下·全国·周测）求图形中x的值． (1) (2) 题型二   正多边形的内角问题 1．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·天津南开·期末）如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如果一个正边形的每个内角是，则 ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个四边形的四个内角都相等，那么这四个内角的度数都是 ． 5．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），该正五角星的每个顶角（如）的度数是 ． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，以正六边形的一边为边向外作正方形，连接，．求的度数． 7．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，已知正五边形，，交的延长线于点．求的度数． 题型三   多（少）算一个角问题 1．（24-25八年级上·四川德阳·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于 ． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 4．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 题型四   多边形截角后的内角和 1．（2023七年级·山东·竞赛）一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（    ） A． B． C． D．以上都有可能 2．（2024八年级上·广东中山·竞赛）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 3．（24-25七年级下·河南周口·月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．7或8 B．8或9 C．7或9 D．7或8或9 4．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形， ． 5．（2025·山东济南·二模）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加 度． 6．（25-26八年级上·全国·月考）如图所示，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形．求原多边形的边数． 7．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明将一个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为，求原多边形的边数． 题型五   多边形的外角问题 1．（25-26八年级上·广东潮州·期末）一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26八年级下·全国·周测）四边形的四个外角中最多有钝角（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个正多边形的内角和等于，则这个正多边形的每一个外角等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，小杨从点A出发，沿直线前进后左转，再沿直线前进后左转，……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为 ． 7．（25-26八年级上·上海·假期作业）如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形是几边形？ 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）在各个内角都相等的多边形中，一个内角是一个外角的4倍，则这个多边形是几边形？ 9．（24-25八年级上·四川泸州·期中）正多边形的每个内角比它相邻的外角的3倍还多，求这个多边形的边数． 题型一   复杂图形的内角和 1．（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，的度数为 ． 3．（2021八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 4．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 题型二   多边形外角和的实际应用 1．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 2．（2024·广东·模拟预测）八年级一班的同学体育课上玩游戏，让小李同学从A出发前进15米后左转，再前进15米后左转，按照这样方法一直走下去，当他回到A时，共走了（   ） A．150米 B．120米 C．100米 D．80米 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，则 ． 4．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为 °． 5．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进3m到点处后又向右转，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了 6．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是由射线，，，，组成的平面图形，若，，求的度数． 题型三   多边形内角和与外角和综合 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是 ． 2．（25-26九年级上·重庆·期末）若一凸多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则它的边数是 ． 3．（22-23八年级下·河南郑州·月考）一个多边形，它的每一个外角都等于相邻内角的五分之一，此多边形的边数是 ． 4．（25-26八年级下·全国·周测）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数． 5．（25-26八年级上·上海·假期作业）（1）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． （2）一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，这个多边形的边数是多少？ （3）如果一个边形的内角和等于它的外角和，则 ． 6．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）已知某正多边形的一个内角比与它相邻外角的4倍还多． (1)求这个正多边形一个内角的度数； (2)求这个正多边形的内角和． 题型四   平面镶嵌问题 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是（  ）边形． A．四 B．五 C．六 D．八 2．（24-25七年级下·全国·期中）在①用正五边形可以进行平面镶嵌；②用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌；③用正四边形和正八边形可以进行平面镶嵌．这三个命题中正确命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个个正三角形的内角与若干个个正六边形的内角的和等于，则 ． 4．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，学校里一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其中，则的度数为 ． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）某城市进行旧城区人行道的路面翻新，准备对地面密铺彩色地砖，有人提出了4种地砖的形状供设计选用：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中不能进行密铺的地砖的形状是 ． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于 ． 7．（25-26八年级上·河北沧州·期中）数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究． （1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则 ． （2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则 ． 题型一   内角和与外角和在几何图形中的运用 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）在中，，，点在射线上运动，连接，过点在的左侧作，连接，使得 ，连接，过点作于点，直线交射线于点，若，，则 ． 2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）实践探索 （1）如图1，中，，为斜边的中点． ①画出，使其与关于点成中心对称，其中与是一组对应点； ②线段与之间的数量关系为____________． 问题发现 （2）如图2，中，，于．已知，求线段长度的最大值． 问题解决 （3）如图3，中，，，．射线在上方，且．平面内有两点和，点在内（包括两条边）运动，且满足，，求封闭图形面积的最小值． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5多边形的内角和与外角和 题型一   多边形的内角和 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，对于定理的理解是解决本题的关键． 多边形的内角和公式为，其中为边数且，因此内角和必须是的整数倍。 【详解】解：∵ 多边形的内角和为， ∴ 内角和必为的倍数。 A、，为整数，不符合题意； B、，为整数，不符合题意； C、，为整数，不符合题意； D、，不为整数，符合题意． 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握好多边形内角和的计算方法是解题关键 利用九边形内角和公式求出剩余六个内角的和，再根据凸多边形每个内角小于的性质，分析哪个选项作为内角会导致剩余五个内角的和不小于． 【详解】解：九边形内角和为， ∵有三个内角之和为， ∴剩下六个角之和为， 设其中一个角为，则剩下五个角之和为， ∵凸多边形每个内角都小于， ∴， 解得，，只有选项A不满足． 故选：A． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分，部分多边形的三角剖分方法如下图，如：四边形三角剖分得到两个三角形，它的内角和为，用你发现的规律求七边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义：多边形的三角剖分，多边形内角和的探究，熟练掌握新定义是解题的关键．根据七边形三角剖分得到五个三角形，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，七边形三角剖分得到五个三角形， 它的内角和为． 故选：B． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）从一个边形的同一顶点出发，分别连接和它不相邻的各顶点．若把这个边形分成8个三角形，则这个多边形的内角和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形的对角线，多边形的内角和，解题的关键是掌握一个边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，形成的三角形个数为． 一个边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，形成的三角形个数为，再根据内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形边数为，则分成三角形个数为． 由题意，， 解得． 内角和为． 故答案为：． 5．（25-26八年级下·全国·周测）四边形中，，则 ． 【答案】 【分析】根据四边形内角和定理，四边形的内角和为，结合角度比例设未知数列方程求解． 本题主要考查了四边形内角和为，熟练掌握并运用是解题的关键． 【详解】解：设，，，， 则， 解得， 故． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，四边形，，，和分别是和的角平分线，那么 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形外角的定义和性质、角平分线等知识，解题的关键是计算出的度数．连接并延长，首先根据多边形内角和公式计算出的度数，再根据补角的定义计算出，再根据角平分线定义计算出，再根据三角形内角与外角的关系计算出的度数． 【详解】解：连接并延长，如下图， ∵在四边形中，， 又，， ∴， ∴， ∵和分别是和的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）求下列图形中的值（图②中）． 【答案】， 【分析】考查了平行线的性质，多边形内角和定理，一元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出方程成为解题的关键． 图①先求出该多边形的内角和，然后据此列一元一次方程求解即可；图②先根据平行线的性质求得，再根据多边形内角和定理列一元一次方程求解即可． 【详解】解：图①中，由题意得：， ． 图②中，， ， ． 8．（25-26八年级下·全国·周测）求图形中x的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了由四边形的内角和为，熟练掌握是解决此题的关键． （1）、（2）由四边形的内角和为列方程计算即可． 【详解】（1）解：由四边形的内角和为可得， ， 解得． （2）解：由四边形的内角和为可得， ， 解得． 题型二   正多边形的内角问题 1．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的外角，三角形的内角和定理，根据正多边形的外角和为360度求出的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵为正五边形的外角， ∴， ∴； 故选：C． 2．（25-26九年级上·天津南开·期末）如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和，对顶角的性质，由正多边形的性质及多边形的内角和公式可得，，即得，再根据对顶角的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如果一个正边形的每个内角是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握正多边形每个内角的计算公式是解题的关键． 根据多边形的内角和公式表示出每个内角的度数，然后列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 两边同时乘以，得， 解得． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个四边形的四个内角都相等，那么这四个内角的度数都是 ． 【答案】 【分析】先根据多边形内角和公式求出四边形的内角和，再结合四个内角相等的条件，计算每个内角的度数． 【详解】解：根据多边形内角和公式（为边数），四边形的边数， 因此内角和为：． ∵四边形的四个内角都相等， ∴每个内角的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解题关键是利用内角和公式求出四边形的内角和，再结合“内角相等”的条件计算单个内角的度数． 5．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），该正五角星的每个顶角（如）的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，根据正多边形的每个内角都相等，每条边都相等求出每个内角的度数，再根据等边对等角分别求出、的度数，即可得解,熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴，， ∴，， ∴， 即该正五角星的每个顶角的度数是， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，以正六边形的一边为边向外作正方形，连接，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出、的度数是解题的关键． 根据正多边形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求出的度数，同理可求出的度数，再根据即可求出结论． 【详解】解：六边形为正六边形， ，， ． 四边形为正方形， ，， ， ， ． 7．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，已知正五边形，，交的延长线于点．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质与平行线的性质，掌握正五边形的内角计算方法，及利用等腰三角形、平行线转化角的关系是解题的关键． 先利用正五边形的性质求出内角及等腰三角形的角，再结合平行线的性质得到相等的角，最后通过角的差计算出的度数． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ， ， ． ． 题型三   多（少）算一个角问题 1．（24-25八年级上·四川德阳·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了多边形内角和、解一元一次方程等知识点，牢记“多边形的内角和一定是的整数倍”是解题的关键． 设少输入的内角为，则；由结合可得：，再将代入，解关于n的方程即可． 【详解】解：设少输入的内角为， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴， ∴， 解得：． 故答案为14． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【详解】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 【答案】， 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．根据多边形内角和定理：（且为整数），可得：多边形的内角和一定是的倍数，而多边形的内角一定大于，并且小于，用除以，根据商和余数的情况，求出加的这个内角的度数，进而可求出这个多边形的边数． 【详解】解：， 少加的这个内角的度数是：． ∴这个多边形的边数是：． 答：这个内角的度数为，多边形的边数为14． 4．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了多边形的内角和公式和对角线公式熟记公式是解题的关键根据多边形的内角和公式．多边形的内角一定大于0度，小于度，据此求得m的值，继而根据对角线公式求出n的值，代入计算可得． 【详解】解∶设边形少加的度数为度．则 ， 即． ，， ， ． 边形的对角线条数为． ． 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【分析】本题考查了多边形的内角与外角; （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键． (1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解； (2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解． 【详解】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件， 得． 因为n为自然数，，且， 故取， 得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． （2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为， 则由条件，得． 因为n为自然数，，且， 故取，得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． 题型四   多边形截角后的内角和 1．（2023七年级·山东·竞赛）一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查多边形的内角和．先根据新多边形内角和求出其边数，再分情况讨论原多边形截去一个角后边数的变化，从而确定原多边形可能的边数． 【详解】解：第一种情况： 当按照顶点的连线剪，此时得到的多边形的边数比原来的边数少， ， 解得：； 第二种情况： 当只过一个顶点剪，此时得到的多边形的边数和原来的边数相等， 解得：， 第三种情况： 当不经过顶点剪时，此时得到的多边形的边数比原来的边数多， 解得：， ∴原来多边形的边数为或者或者． 故选：D． 2．（2024八年级上·广东中山·竞赛）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 【答案】D 【分析】根据多边形截角的不同情况（截线不过顶点、过一个顶点、过两个顶点），分析原多边形边数的可能情况．本题主要考查了多边形截角后边数的变化情况，熟练掌握多边形截角的三种不同情况是解题的关键． 【详解】解：一个多边形截去一个角，有三种情况： 截线不过任何顶点，此时边数增加，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过一个顶点，此时边数不变，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过两个顶点，此时边数减少，若截后是十四边形，则原多边形边数为． ∴ 原来的多边形的边数可能为或或． 故选：D． 3．（24-25七年级下·河南周口·月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．7或8 B．8或9 C．7或9 D．7或8或9 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，熟练掌握一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1、可能减少1或不变是解题的关键．求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形． 则， 解得：， ∵一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1， ∴原多边形的边数可能为7或8或9， 故选：D． 4．（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形， ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．如图所示，根据正方形的性质可得，再根据多边形的内角和公式可得：，即，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， 根据正方形的性质，可得， 根据题意，可得五边形的内角和为：，即， ． 故答案为：． 5．（2025·山东济南·二模）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加 度． 【答案】180 【分析】本题考查了多边形内角和．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 根据n边形的内角和公式求解作差即可． 【详解】解：五边形的内角和为 将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6， 则， ∴内角和增加 故答案为：180． 6．（25-26八年级上·全国·月考）如图所示，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形．求原多边形的边数． 【答案】原多边形为十四边形 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握n边形的内角和为是解题的关键． 设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为，根据“内角和为”列出方程，求解即可． 【详解】解：设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为，根据题意，得 ， 解得， 答：原多边形为十四边形． 7．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明将一个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【答案】13或14或15 【分析】根据多边形的内角和公式可得：，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可．本题主要考查了多边形的内角和公式（且是整数），注意要分情况进行讨论，避免漏解． 【详解】解：设新多边形的边数为， 则， 解得：， 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， 若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为13， 若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为14， 则多边形的边数是13或14或15． 题型五   多边形的外角问题 1．（25-26八年级上·广东潮州·期末）一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形，根据多边形的外角和等于即可求得答案． 【详解】解：边数． 故选：A 2．（25-26八年级下·全国·周测）四边形的四个外角中最多有钝角（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和外角的关系，利用内角和定理是解题关键． 四边形的外角与内角互补，外角为钝角当且仅当内角为锐角，因此，问题转化为求四边形内角中最多有多少个锐角． 【详解】解：∵四边形的内角和为，且每个锐角小于， ∴若四个内角均为锐角，则内角和，矛盾， ∴最多有三个内角为锐角． ∵每个锐角内角对应一个钝角外角， ∴最多有三个钝角外角． 故选：B． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个正多边形的内角和等于，则这个正多边形的每一个外角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意多边形的外角和是定值，且为．应用方程思想求边数是解题的关键． 利用多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求每个外角即可. 【详解】解：设正多边形的边数为. 由题意得： = , 解得： . 又∵ 多边形的外角和为, ∴ 该正多边形的每个外角为： . 故选：C． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据任意多边形外角和为，结合四个外角的比例关系，设未知数求出各外角的度数，进而确定最大外角的度数． 【详解】解：设四个外角的度数分别为、、、． ∵任意四边形的外角和为， ∴． 解得， 即：． 最大的外角为． 逐一分析选项： A、，与计算结果一致，符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果不符，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的外角和性质，解题关键是利用多边形外角和为，结合比例关系列方程求解各外角的度数． 5．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，小杨从点A出发，沿直线前进后左转，再沿直线前进后左转，……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形外角的性质，掌握此性质是关键． 根据多边形外角和为可得所走的多边形是正八边形，则可求得其周长，从而得所走的路程． 【详解】解：依题意，每次沿直线前进后向左转，再回到出发点时走了一个正多边形， ∵， ∴正好走了一个正八边形，其周长为． ∴一共走的路程是． 故选：B． 6．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的外角，掌握正多边形的每个外角都相等，且外角和为是解题的关键．将外角和除以角的个数9，即可解答． 【详解】解：， 即一个外角的度数为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海·假期作业）如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形是几边形？ 【答案】五边形 【分析】本题考查了根据多边形外角和求多边形边数，设这个多边形是边形，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求出正多边形的边数，即可解题． 【详解】解：设这个多边形是边形． 根据题意，得 解得． 所以，这个多边形是五边形． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）在各个内角都相等的多边形中，一个内角是一个外角的4倍，则这个多边形是几边形？ 【答案】十边形 【分析】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形内角和公式，多边形外角和为． 在各个内角都相等的多边形中，各外角也相等．首先设多边形的边数为，根据多边形内角和公式和多边形外角和为，分别求出一个内角和一个外角，根据“一个内角是一个外角的倍”，列方程解方程即可得边数． 【详解】解：由题意可知，这个多边形各内角都相等，各外角也相等． 设这个多边形的边数为n，则， 解得． 经检验，是原分式方程的解． 故这个多边形是十边形． 9．（24-25八年级上·四川泸州·期中）正多边形的每个内角比它相邻的外角的3倍还多，求这个多边形的边数． 【答案】10． 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系：多边形的外角和等于360度，多边形的每个外角和与它相邻的内角和等于180度，列出方程是解答本题的关键. 设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，根据内角与其相邻的外角的和是180度列出方程，求出x的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为. 【详解】解：设这个多边形的每个外角为， 则． 解得． ． 答：这个多边形的边数为10． 题型一   复杂图形的内角和 1．（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，的度数为 ． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2021八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 4．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 题型二   多边形外角和的实际应用 1．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设与四边形的外角和的度数分别为α，β，则比较α与β的大小，结果正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键． 多边形的外角和为，与四边形的外角和均为，即可作答． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴与四边形的外角和与均为， ∴， 故选：A． 2．（2024·广东·模拟预测）八年级一班的同学体育课上玩游戏，让小李同学从A出发前进15米后左转，再前进15米后左转，按照这样方法一直走下去，当他回到A时，共走了（   ） A．150米 B．120米 C．100米 D．80米 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的外角和． 根据正多边形的外角和为即可解答． 【详解】解：由多边形的外角和为可知，， ∴小李同学的路径围成一个边长为15米的正八边形， 故小李共走了(米)， 故选：B． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，则 ． 【答案】240° 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握任意多边形的外角和都是． 根据邻补角的概念，多边形的外角和是进行解答即可． 【详解】解：如图： ∵四边形的外角和是， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查的是多边形的外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知，， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进3m到点处后又向右转，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了 【答案】 【分析】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解决问题的前提．根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出多边形的周长即可． 【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个每条边都相等的多边形， 由于多边形的外角和是，且每一个外角为， ， 所以它是一个十八边形，且每条边都相等， 因此所走的路程为， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是由射线，，，，组成的平面图形，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形外角和公式和平行线的性质，准确计算是解题的关键． 根据多边形的外角和等于，即可得到的度数，进而得出的度数，再根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图， 由多边形的外角和等于可知，， 又， ， ， 又， ． 题型三   多边形内角和与外角和综合 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是 ． 【答案】5 【分析】多边形的外角和恒为，因此内角和为，再根据内角和公式求边数即可． 本题考查了多边形的内角和，外角和，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：多边形的外角和恒为，因此内角和为， 设边数为n，则， 即， 解得． 故答案为：5． 2．（25-26九年级上·重庆·期末）若一凸多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则它的边数是 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握n边形的内角和为，外角和为是解决问题的关键．设多边形的边数为n，利用内角和公式和外角和定理列方程求解． 【详解】解：设多边形的边数为n，则内角和为，外角和为， 根据题意，得， 即， 解得． 故答案为：6． 3．（22-23八年级下·河南郑州·月考）一个多边形，它的每一个外角都等于相邻内角的五分之一，此多边形的边数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角与内角的关系．设外角为，则相邻内角为，根据外角与相邻内角互补的关系列方程求解外角大小，再根据多边形的外角和定理计算边数． 【详解】解：设外角为，则相邻内角为． 由外角与相邻内角互补，得， 即， 解得． 多边形的外角和恒为， 故边数为． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·全国·周测）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数． 【答案】这个多边形的边数是7，总对角线条数是14 【分析】本题考查了多边形的内角和公式、外角和定理及对角线条数公式，掌握多边形内角和公式、外角和为、对角线条数公式​是解题的关键． 先利用多边形外角和为的定理，结合内角和公式，根据内角和是外角和的倍少列方程求边数；再用多边形对角线条数公式计算总对角线条数． 【详解】解：设这个多边形的边数为． 由题意，得， 解得，即这个多边形的边数为． 总对角线条数为． 5．（25-26八年级上·上海·假期作业）（1）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． （2）一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，这个多边形的边数是多少？ （3）如果一个边形的内角和等于它的外角和，则 ． 【答案】（1）6；（2）该多边形的边数为9；（3）4 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理，熟知多边形内角和公式是解题的关键． （1）设这个多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形的外角和为建立方程求解即可； （2）设这个多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形的外角和为建立方程求解即可； （3）这个n边形的内角和为，外角和为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， 故答案为：6． （2）设这个多边形的边数为n， 根据题意得： 解得． ∴该多边形的边数为9． （3）这个n边形的内角和为，外角和为， ∴， 解得， 故答案为：4． 6．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）已知某正多边形的一个内角比与它相邻外角的4倍还多． (1)求这个正多边形一个内角的度数； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形的内角问题． （1）设内角度数为，根据题意列出方程求解即可； （2）先求外角，再求边数，最后利用内角和公式计算． 【详解】（1）解：设这个正多边形的一个内角的度数为， ∵内角与相邻外角之和为， ∴相邻外角为， 根据题意，， 解得：， ∴这个正多边形一个内角的度数为； （2）解：每个外角为， ∵正多边形的外角和为， ∴边数， 内角和为， ∴这个正多边形的内角和为． 题型四   平面镶嵌问题 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是（  ）边形． A．四 B．五 C．六 D．八 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的判断，掌握正多边形的内角和是解决本题的关键． 先判断出图形由三个完全相同的正多边形拼成的镶嵌，再根据正多边形的内角和进行求解即可． 【详解】解：是三个完全相同的正多边形拼成的镶嵌， 每个内角度数， 那么边数为：． 故这种多边形是正六边形． 故选C． 2．（24-25七年级下·全国·期中）在①用正五边形可以进行平面镶嵌；②用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌；③用正四边形和正八边形可以进行平面镶嵌．这三个命题中正确命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），熟练掌握正多边形的内角和及每个内角的求法是解题的关键； 分别求出各正多边形的每个内角，再结合镶嵌的条件逐项求解即可． 【详解】解：①正五边形每个内角是，不能整除，不能够进行平面镶嵌，故①不符合题意； ②正三角形的每个内角是，正六边形每个内角是，因为，所以用2个正三角形和2个正六边形可以进行平面镶嵌，故②符合题意； ③正四边形每个内角都是，正八边形每个内角都是，因为，所以用1个正四边形和2个正八边形可以进行平面镶嵌，故③符合题意； 所以正确命题的个数是2个， 故选：． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个个正三角形的内角与若干个个正六边形的内角的和等于，则 ． 【答案】2或4/4或2 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，二元一次方程的正整数解，正确计算是解题的关键，先求出正三角形、正六边形的每个内角的度数，再根据题意列出，再求正整数解即可． 【详解】解：正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， 根据题意得，即（、n为正整数）， 解得，， 的值是2或4， 故答案为：2或． 4．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，学校里一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其中，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和定理即可得出，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形内角和为：， 根据图中密铺可得， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）某城市进行旧城区人行道的路面翻新，准备对地面密铺彩色地砖，有人提出了4种地砖的形状供设计选用：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中不能进行密铺的地砖的形状是 ． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合内角度数能整除的条件． 分别求出各个正多边形每个内角的度数，结合密铺的条件即可作出判断． 【详解】解：①正三角形的每个内角都是，能整除，6个能组成镶嵌； ②正方形的每个内角都是，能整除，4个能组成镶嵌； ③正五边形每个内角都是，不能整除，不能镶嵌； ④正六边形的每个内角都是，能整除，3个能组成镶嵌； ∴不能进行密铺的地砖的形状是③． 故答案为：③． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查平面图形的镶嵌和密铺，根据两个图形能够密铺，得到每个公共顶点处各角的和为360度，如图，易得， ，进而得到，再根据公共顶点处各角的和为360度，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：如图， 由题意和图（2）可知：， 可得 ∴ 故答案为：． 7．（25-26八年级上·河北沧州·期中）数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究． （1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则 ． （2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则 ． 【答案】 6 /24度 【分析】本题考查了平面镶嵌，正多边形的性质，正多边形内角、外角，利用正多边形的外角求内角是解题的关键． （1）利用正六边形内角及周角性质，确定中间正多边形的内角，进而求出； （2）先计算各正多边形内角，再通过角度差表示，最后代入计算． 【详解】解：（1）正六边形的每个外角为，每个内角为， 个正六边形围成一圈时，中间正多边形的一个内角为， 中间的正多边形的边数为， ； 故答案为：； （2）正三角形的内角为， 正方形的内角为， 正五边形的内角为， 正六边形的内角为， ， ． 故答案为： 题型一   内角和与外角和在几何图形中的运用 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）在中，，，点在射线上运动，连接，过点在的左侧作，连接，使得 ，连接，过点作于点，直线交射线于点，若，，则 ． 【答案】 【分析】如图，延长至，使，连接，作交于，过作交于，证明，，三点共线，，可得，，证明，，可得，进一步可得答案，当在射线上时，如图，同法解答即可. 【详解】解：如图，延长至，使，连接，，作交于，过作交于， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为, ∴， ∴三点共线， 同理可得：，而， ∴， ∴，， ∵， 同理可得：， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴的面积为， ∴的面积为， 当在射线上时，如图， 同理可得：，与的面积为， ∴的面积为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，四边形的内角和定理的应用，平行线的性质，等腰三角形的性质，难度很大，作出合适的辅助线确定需要的全等三角形是解本题的关键. 2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）实践探索 （1）如图1，中，，为斜边的中点． ①画出，使其与关于点成中心对称，其中与是一组对应点； ②线段与之间的数量关系为____________． 问题发现 （2）如图2，中，，于．已知，求线段长度的最大值． 问题解决 （3）如图3，中，，，．射线在上方，且．平面内有两点和，点在内（包括两条边）运动，且满足，，求封闭图形面积的最小值． 【答案】（1）①见解析；②；（2）3；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，多边形的内角和定理，难度大，解题的关键在于面积的转化． （1）①延长至点，使得，而O为中点，则点E与点C重合，连接即可；②先证明，再证明，即可得到； （2）取得中点记为点N，连接，则由上可得，由于，因此当点H与点N重合时，最大，且为3； （3）解：过点A作于点F，连接，取中点，过点E作于点Q，可得为等腰直角三角形，，，则，证明，则，，导角证明，而，由于，当最大时，最小，由上知：，则，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，即为所作： ②∵为斜边的中点， ∴， 由作图可得，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：取得中点记为点N，连接， ∵， ∴由上可得， ∵， ∴当点H与点N重合时，最大，且为3； （3）解：过点A作于点F，连接，取中点，过点E作于点Q， ∵， ∴为等腰直角三角形，，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，五边形内角和为 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当最大时，最小， 由上知：， ∴， ∴． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $