第三十章直线与圆的位置关系暑假预习练2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦直线与圆位置关系，通过基础概念辨析、中档性质应用、拔高综合探究三层设计，实现从单一知识点到实际问题解决的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|核心概念（位置关系判定、切线性质）|直接考查d与r关系（如单选2、3）| |中档|性质应用（切线长定理、内切圆计算）|结合几何图形推理（如单选8、11）| |拔高|综合探究（正多边形与圆、实际问题建模）|融入生活情境与规律探究（如解答18、24）|

第三十章直线与圆的位置关系 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若∠P＝α，则∠EDF的度数为（    ） A．90°﹣α B．α C．2α D．90°﹣α 2．若半径为的与直线没有公共点，则圆心到直线的距离可以是（） A． B． C． D． 3．如图，若的半径为2，点O到某条直线的距离为，则这条直线可能是    （        ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知正八边形的边长为4，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，得，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．相似 8．如图，，分别与相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在弧上，，则的周长是（   ）． A．12 B．18 C．24 D．16 9．在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作，则下列说法错误的是（   ） A．与轴相切 B．与轴相离 C．点在内 D．点在外 10．如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 11．如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 12．边长为4的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（　　） A． B．2 C．2 D．4 二、填空题 13．如图，，，是的切线，切点分别为C，E，D点，若，，则的长为________． 14．已知点和直线，求点P到直线的距离d，可用公式计算．已知的圆心Q的坐标为，半径r为2，则与直线的位置关系是_______ ． 15．如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连接，且是的切线．若，则的长为______． 16．已知⊙的直径为6，点在直线上，且，那么直线与⊙的位置关系是__________． 17．用两个边长为1的正六边形拼接成如图①的图形，其周长为10；用三个边长为1的正六边形可以拼接成如图②或图③的图形，其周长分别为12和14.若要拼接成周长为18的图形，所需这样的正六边形至少为x个，至多为y个，则x＋y________．    三、解答题 18．如图，点A是一个半径为的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，先要在B、C两村庄之间修一条长为的笔直公路将两村连通，现测得，问此公路是否会穿过该森林公园？并通过计算进行说明．（参考数据：）    19．如图，在四边形中，，且．该四边形存在内切圆吗？如果存在，请计算内切圆的半径． 20．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 21．仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： (1)如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由； (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 22．如图，是⊙O的直径，，E是的中点，连接并延长到点F，使．连接交⊙O于点D，连接，． (1)求证：直线是⊙O的切线； (2)若，求的长． 23．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，点E在CD的延长上，且∠EAD＝∠ABD． (1)求证：AE是⊙O的切线； (2)若BD//AE，AB=6，⊙O的半径为5，求AE的长． 24．【发现问题】 蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．    【提出问题】 在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系? 【分析问题】 同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据 第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4 … 拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37 … 然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．      为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式． 【解决问题】 (1)直接写出y与x的关系式； (2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数； (3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具?（） 《第三十章直线与圆的位置关系》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B C C C D D C 题号 11 12 答案 A C 1．D 【分析】根据切线性质，证得≌，通过等量代换得出，再根据等腰三角形的性质，由∠P＝α，求得即可． 【详解】解： ∵PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点， ∴PA=PB， ∴，即 在与中， ∵ ∴≌（SAS）， ∴， 在中， , ∵， ∴， ∵， ∴， ∵∠P＝α，PA=PB， ∴ ∴在中，，即， ∵， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，通过全等证明，等量代换求得是解题关键． 2．A 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆无公共点时，两者相离，圆心到直线的距离大于半径是解题的关键． 根据直线与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：∵与直线l无公共点， ∴直线l与相离， ∴圆心O到直线l的距离半径， 选项中只有，即选项A符合题意． 故选：A． 3．A 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一个圆的圆心到直线的距离为d，圆的半径为，则当时，直线与圆的位置关系为相离；当时，直线与圆的位置关系为相切，当时，直线与圆的位置关系为相交，据此求解即可． 【详解】解：∵的半径为2，点O到某条直线的距离为，且， ∴这条直线与相离， ∴这条直线可能是， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出圆心到的距离为2.4，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点，的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ，，， ， 的面积， ，即圆心到的距离， 以为圆心的与边有交点，则的取值范围是：． 故选B． 5．C 【分析】过点E作，垂足为M，求出，再利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：如图，过点E作，垂足为M， 正八边形的每一个内角, 由题意可得四边形是矩形，与均为等腰直角三角形， ，，， ， 即所求弧的半径为， 的长为． 6．C 【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得、分别平分、，则，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴、分别平分、， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 7．C 【分析】根据直线与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：∵地平线在太阳的外面，与太阳没有交点， ∴所呈现的直线与圆的位置关系式相离， 故选C． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 8．D 【分析】本题主要考查了切线长定理的应用．由切线长定理知，，，，然后根据的周长公式即可求出其结果． 【详解】解：∵分别与相切于点， ∴，，， ∴的周长 ． 故选：D． 9．D 【分析】此题主要考查了勾股定理，直线与圆和点与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点，根据点的坐标得到圆心到轴的距离是2，到轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案，熟练掌握运用直线与圆和点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作， ∴到轴的距离是2，到轴的距离是3， ∴与轴相切，与轴相离，故选项正确，不符合题意； ∵， 则点在内，故选项正确，不符合题意； ∵， ∴点在内，故选项错误，符合题意； 故选：D． 10．C 【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由正五边形的性质可得的度数，根据圆周角定理可得的度数，由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 11．A 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键．由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，AC相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 故选：A． 12．C 【分析】连接OB，CO，在RtBOC中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接OB，OC， 则OC=OB，∠BOC==90°， 在RtBOC中，， ∵BC=4， ∴OC=OB=． ∴⊙O的半径是， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题． 13．9 【分析】本题考查了切线长定理，解题关键是熟记切线长定理． 根据切线长定理得到，，然后求出，进而得到． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：9． 14．相离 【分析】本题考查了算术平方根的应用，直线和圆的位置关系．根据公式计算即可．利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离，再与圆的半径比较大小，判断位置关系． 【详解】解：圆心到直线的距离， 故圆与直线相离． 故答案为：相离． 15． 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．连接，根据切线的性质得出，由勾股定理可得，根据三角形的面积公式得到，根据垂径定理即可得出结论． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．相交或相切 【分析】根据圆的半径和点到圆心的距离之间的大小关系判断直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵⊙的直径为6， ∴⊙的半径为3， ∵， ∴直线与⊙相切或相交． 故答案是：相交或相切． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的判断． 17．11 【分析】本题考查对几何图形的认知能力，并根据已知题意抽象出周长与图形排布的关系．关键在于判断出所需正六边形最多和最少时出现的图形情况，继而求出所需值． 【详解】如下图，要拼接成周长为18的图形，需要4个或5个或6个或7个边长为1的正六边形，    故，， 所以． 故答案为：11． 18．大于圆A的半径，所以不会穿过森林公园，见解析 【分析】过A作于D，根据三角函数求出的长，与圆的半径作比较．若半径，则公路不会穿过森林公园，若半径，则公路会穿过森林公园． 【详解】解：过点作与，   ， ， ， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 答：大于圆的半径，所以不会穿过森林公园． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系解决实际问题．当圆心到直线的距离大于半径时直线与圆相离，当圆心与直线的距离等于半径时直线与圆相切，当圆心与直线的距离小于半径时直线与圆相交．掌握以上知识是解题的关键． 19．存在内切圆，内切圆的半径为 【分析】连接，作的平分线交于点 ，作于 ，如图求得 ，则 , ,所以 平方 和 ，加上 平方 ，根据角平分线性质得到点到四边形的各边的距离相等，则可判断四边形存在内切圆，内切圆的圆心点，半径为,接着证明为等腰直角三角形得到,设，则，，然后证明 ,利用相似比可计算出． 【详解】存在． 连接，作的平分线，交于点O，作 于 ,如图所示， 在 和 中， , , , 平方 和 ， 平方 , 点到四边形的各边的距离相等， 四边形存在内切圆，内切圆的圆心点，半径为 , , , 为等腰直角三角形， , 设，则，， 平行, , 即 ， ． 即四边形的内切圆的半径为． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心；与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．也考查了角平分线的性质和相似三角形的判定与性质． 20．见解析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 21．(1) ∵是直径， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 四边形即为所求． 【分析】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，垂径定理，圆周角定理，矩形与正方形的判定； （1）根据直径所对的圆周角是直角得出，即可得证； （2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与互相垂直，即可得到的内接 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接，并延长交于点，连接，交于点，连接并延长交于，，连接，，，，则四边形即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴，即点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，，经过的中点， ∴是的直径， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键． （1）连接，由已知可得，根据证明，根据全等三角形的对应角相等可得，继而可证明直线是⊙O的切线； （2）由（1）的全等可知，利用勾股定理求出的长，然后由，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 是⊙O的直径，， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 为⊙O的半径， 直线是⊙O的切线； （2）解：，由（1）得：， ， ， ，即， ． 23．(1)见解析 (2) 【分析】(1)由AC为⊙O的直径得到∠ADC=90°，进而∠DCA+∠DAC=90°，由同弧所对的圆周角相等得到∠ABD=∠ACD，结合已知条件∠EAD＝∠ABD，得到∠EAD=∠ACD，进而∠EAD+∠ACD=∠EAC=90°即可证明； (2)由BD//AE得到∠DFC=90°，进而由垂径定理得到AD=AB=6，由勾股定理求出CD=8，最后通过△CAE∽△CDA，对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：由同弧所对的圆周角相等可知：∠ABD=∠ACD， ∵∠EAD＝∠ABD， ∴∠EAD=∠ACD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠EAD+∠DAC=90°， ∴∠EAC=90°， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：设DB与直线AC交于点F，如下图所示： ∵BD//AE， ∴∠DFC=∠EAC=90°，且AC为直径， 由垂进定理可知，， ∴AD=AB=6， ∴Rt△ACD中，由勾股定理可知， 由(1)可知，∠EAD=∠ACD，且∠EAC=∠ADC=90°， ∴△CAE∽△CDA， ∴，代入数据：， 解得：． 【点睛】本题考查了切线的判定及性质、圆周角定理及其推论、垂径定理、相似三角形的判定及性质等，熟练掌握圆中各定理及判定方法是解决本类题的关键． 24．(1) (2)8个 (3)469个 【分析】本题主要考查求二次函数式，二次函数的应用以及正多边形和圆： （1）运用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可； （3）设正六边形其它顶点分别为，连接，，求出，，设第一层有x个正六边形模具，求出拼接图案的最大宽度为，最大高度为，分拼接图案的高与长方形桌子的长平行和拼接图案的高与长方形桌子的宽平行两种情况求出x的值，代入函数关系式求出y的值即可求解 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将点代入关系式，得： 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由（2）知，， 将代入，得， 解得，，（不合题意，舍去） 所以，他拼接成的图案中第一层有8个六边形模具； （3）解：如图，设正六边形其它顶点分别为，连接，，    由正六边形及其外接圆的性质得，为的直径，，线段的长即为边，间的距离， ∴， ∴ ∵的长为， ∵的周长为， ∴的直径，即， ∴， 设第一层有x个正六边形模具， ∴第x层的正六边形模具个数最多，有个，拼接成的图案共有层，其中有x层的高度按的直径计算，层的高度按正六边形的边长计算， 所以，拼接图案的最大宽度为，最大高度为， ①当拼接图案的高与长方形桌子的长平行时，有， 解得，， ∵x为整数， ∴x最大取12； ②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时，有， 解得，， ∵x为整数， ∴x最大取13； 将代入，得，； 将代入得，， ∵， ∴最多可以放下469个正六边形模具 学科网（北京）股份有限公司 $