2.3 函数的奇偶性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性核心考点，涵盖定义、判断方法、性质技巧及常见模型等知识模块，按“知识点梳理-题型突破”逻辑架构，通过知识回顾夯实基础、方法技巧提炼规律、真题典例分层训练，帮助学生构建完整知识体系，突破奇偶性判断、参数求解等难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如“奇函数中值模型”专题总结f(x)+f(-x)=常数等规律，引导学生用逻辑推理简化求值问题。设计基础巩固到综合应用的分层练习，配合2023年全国乙卷等真题解析，助力学生高效掌握解题方法，为教师精准把控复习进度、提升学生应考能力提供有力支持。

2.3　函数的奇偶性 目录 知识点1、函数的奇偶性 2 知识点2、函数奇偶性的判断 2 知识点3、奇偶性技巧 2 知识点4、常见奇偶性函数模型 3 题型一：函数的奇偶性的判断与证明 5 题型二：已知函数的奇偶性求参数 7 题型三：已知函数的奇偶性求表达式、求值 9 题型四：奇函数的中值模型 10 题型五：利用单调性与奇偶性比较大小 11 题型六：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 12 01 知识回顾 知识点1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 知识点2、函数奇偶性的判断 知识点3、奇偶性技巧 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.（奇同偶异） a.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． b.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. （6）复合函数的奇偶性原则：同奇则奇，一偶则偶. （7）对于运算函数有如下结论：同性加减得同性，异性乘除为奇，同性乘除为偶 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 知识点4、常见奇偶性函数模型 奇函数： （1）、、 （2）函数 函数或函数． 函数或函数 （3）函数或函数 函数 （4）函数 函数或函数． 偶函数： （1）、 （2）函数． （3）函数或函数 （4）函数． （5）函数类型的一切函数． （6）常数函数 02 必做典例 题型一：函数的奇偶性的判断与证明 【方法技巧】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 1. 下列函数中是偶函数的是(　　) A.f(x)=x+1 B.f(x)= C.f(x)=()2 D.f(x)=sin x 答案　B 解析　对于A，f(x)=x+1的定义域为R，且f(-x)=-x+1，所以f(-x)≠f(x)，f(-x)≠-f(x)，故f(x)=x+1为非奇非偶函数； 对于B，f(x)=的定义域为{x|x≠0}，且f(-x)===f(x)，故f(x)=为偶函数； 对于C，f(x)=()2的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，故f(x)=()2为非奇非偶函数； 对于D，f(x)=sin x的定义域为全体实数，且f(-x)=sin(-x)=-sin x≠f(x)，故f(x)=sin x不为偶函数. 2. 判断下列函数的奇偶性： ①f(x)=+； ②f(x)=ex+e-x； ③f(x)= ④f(x)=log2(x+). 解　①由得x2=3，解得x=±，即函数f(x)的定义域为{-，}， 从而f(x)=+=0.因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数. ②显然函数f(x)的定义域为R，f(-x)=e-x+ex=f(x)，∴函数f(x)为偶函数. ③显然函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称. ∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；当x>0时，-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)，∴函数f(x)为奇函数. ④∵x2+1>x2，∴+x>0恒成立，即f(x)的定义域为R， f(-x)=log2[-x+]=log2(-x)=log2(+x)-1=-log2(+x)=-f(x)， 故f(x)为奇函数. 3. (多选)已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有 (　　) A.函数f(-|x|)是奇函数 B.若恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)为奇函数 C.若恒有f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)为偶函数 D.若恒有2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)，且f(0)≠1，则y=f(x)为奇函数 答案　BCD 解析　对于A，令g(x)=f(-|x|)，则g(x)的定义域为R， 又g(-x)=f(-|-x|)=f(-|x|)=g(x)，所以g(x)为偶函数，故A错误； 对于B，令x=y=0，有f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0， 令y=-x，有f(0)=f(x)+f(-x)， 即f(-x)+f(x)=0，所以f(x)为奇函数，B正确； 对于C，令y=-1，有f(-x)=f(x)+f(-1)， 令x=y=1，有f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0， 令x=y=-1，所以f(1)=f(-1)+f(-1)⇒f(-1)=0， 所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，C正确； 对于D，在2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得2[f(0)]2=2f(0)， 因为f(0)≠1，所以f(0)=0，令y=-x，得2f(0)f(2x)=f(x)+f(-x)，即0=f(x)+f(-x)，所以f(x)是奇函数，故D正确. 4. 函数，，那么（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】BC 【解析】因为，所以为偶函数， 因为， 即，所以为奇函数， 所以为非奇非偶函数，A错误； ，所以为奇函数，B正确； ，所以是奇函数，C正确； 令，，为偶函数，D错误. 故选：BC． 题型二：已知函数的奇偶性求参数 【方法技巧】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 5. (2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数，则a等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　D 解析　方法一　因为f(x)=为偶函数， 则f(x)-f(-x)=-==0， 又因为x≠0，可得ex-e(a-1)x=0， 即ex=e(a-1)x，则x=(a-1)x，即1=a-1，解得a=2. 方法二　因为f(x)为偶函数，所以f(-1)=f(1)， 所以=，即=， 所以a-1=1，所以a=2.经检验，符合题意. 6. 若函数f(x)=(x2+ax)lg为奇函数，则a的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案　B 解析　令>0，解得-2<x<2，可知函数f(x)的定义域为(-2，2)， 若函数f(x)为奇函数，则f(1)+f(-1)=0， 可得(1+a)lg 3+(1-a)lg=2a·lg 3=0，即a=0，则f(x)=x2lg， 可得f(x)+f(-x)=x2lg+(-x)2lg=x2=0， 即f(x)=-f(-x)，可知函数f(x)为奇函数， 所以a=0. 7. 已知函数是奇函数，则 ，若则 . 【答案】 【解析】由，得， 则，所以函数的定义域为， 所以，解得， 所以， 此时， 所以为奇函数， ， 所以. 故答案为：1；. 8. 已知函数的图象关于轴对称，则 ． 【答案】1 【解析】因为， 且，即， 有， 所以． 故答案为：1. 题型三：已知函数的奇偶性求表达式、求值 【方法技巧】 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式. 9. (2025·湖南省名校联盟开学考)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3.求函数f(x)的解析式；(6分) 解　因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3， 当x=0时，f(0)=0； 当x<0时，-x>0， 所以f(x)=-f(-x)=-3-x+3， 综上，f(x)= 10. 已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则的值是 . 【答案】 【解析】因为①，所以 由函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，则 所以② 则①-②可得：，所以 则． 故答案为：． 11. （2025·广东湛江·二模）已知奇函数则 ． 【答案】 【解析】当时，，， 则．故答案为：. 题型四：奇函数的中值模型 【方法技巧】 已知奇函数，，则 （1） （2） 12. 已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，则f(2)=　　　　.  答案　-26 解析　方法一　令g(x)=x5+ax3+bx， 易知g(x)是R上的奇函数，从而g(-2)=-g(2)，又f(x)=g(x)-8， ∴f(-2)=g(-2)-8=10，∴g(-2)=18，∴g(2)=-g(-2)=-18， ∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. 方法二　由已知条件，得 ①+②得f(2)+f(-2)=-16. 又f(-2)=10，∴f(2)=-26. 13. 如果奇函数f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上 (　 ) A.单调递增且最小值为-5 B.单调递减且最小值为-5 C.单调递增且最大值为-5 D.单调递减且最大值为-5 答案　C 解析 因为f(x)是奇函数,所以f(x)在区间[-7,-3]上的单调性与f(x)在[3,7]上的单调性相同,故f(x)在[-7,-3]上单调递增.f(x)在[3,7]上的最小值为5,即f(3)=5,所以f(x)在区间[-7,-3]上的最大值为f(-3)=-f(3)=-5.故选C. 14. (2025·白银模拟)已知函数f(x)=x3-sin x+2在[-2，2]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m等于(　　) A.8 B.0 C.4 D.2 答案　C 解析　设g(x)=x3-sin x，易知定义域为R，又g(-x)=(-x)3-sin(-x)=-x3+sin x=-g(x)，故函数g(x)为奇函数， 所以当x∈[-2，2]时，g(x)max+g(x)min=0， 又f(x)=g(x)+2，所以M+m=f(x)max+f(x)min=[g(x)max+2]+[g(x)min+2]=4. 15. 已知函数，且，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 构建函数，定义域为， 则，即是奇函数， 于是，所以， 可得， 又，因此． 故答案为： 题型五：利用单调性与奇偶性比较大小 16. 设偶函数f(x)的定义域为R，在区间[0，4]上单调递减，则(　　) A.f(π)<f(-3)<f(-2) B.f(π)<f(-2)<f(-3) C.f(-2)<f(-3)<f(π) D.f(-3)<f(-2)<f(π) 答案　A 解析　因为f(x)为偶函数，则f(-2)=f(2)，f(-3)=f(3)， 又因为f(x)在区间[0，4]上单调递减， 0<2<3<π<4，则f(2)>f(3)>f(π)， 即f(π)<f(-3)<f(-2). 17. [2026·重庆一中月考] 设函数f(x)=log2|x|,若a=f,b=f(log52),c=f(e0.2),则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.b<a<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<b<c 【答案】A [解析] 由题意知f(x)为偶函数,所以a=f=f(-log32)=f(log32),当x>0时,f(x)=log2x在(0,+∞)上单调递增,因为0<log52<log32<1,e0.2>e0=1,所以0<log52<log32<e0.2,所以f(log52)<f(log32)<f(e0.2),所以b<a<c,故选A. 题型六：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 【方法技巧】 求解函数不等式时，由条件去掉“”，从而转化为自变量的大小关系，记得考虑函数的定义域． 18. (2025·湖北联考)定义在R上的奇函数f(x)满足∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有<0，f(3)=0，则满足不等式xf(x)>0的实数x的取值范围为(　　) A.(-∞，-3)∪(3，+∞) B.(-3，0)∪(3，+∞) C.(-∞，-3)∪(0，3) D.(-3，0)∪(0，3) 答案　D 解析　因为∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有<0， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，又f(3)=0，所以f(-3)=-f(3)=0， 所以当x<-3或0<x<3时，f(x)>0，当-3<x<0或x>3时，f(x)<0， 不等式xf(x)>0，即或 解得0<x<3或-3<x<0， 所以满足不等式xf(x)>0的实数x的取值范围为(-3，0)∪(0，3). 19. (2026·贵阳模拟)已知函数f(x)=的定义域为[-4，4]，且满足f(m2)+f(m-2)>0，则实数m的取值范围是　　　　　　.  答案　(1，2] 解析　因为f(-x)===-f(x)，所以f(x)为奇函数， 又因为f(x)==1-， 所以f(x)为[-4，4]上的增函数. 因为f(m2)+f(m-2)>0，f(x)为奇函数， 所以f(m2)>-f(m-2)=f(2-m)， 又f(x)为[-4，4]上的增函数， 所以 解得1<m≤2， 所以实数m的取值范围为(1，2]. 20. （2025·天津河北·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意得函数为偶函数，且当时函数单调递减，当时函数单调递增． 原不等式可化为， ∴， 两边平方整理得， 解得或． ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3　函数的奇偶性 目录 知识点1、函数的奇偶性 2 知识点2、函数奇偶性的判断 2 知识点3、奇偶性技巧 2 知识点4、常见奇偶性函数模型 3 题型一：函数的奇偶性的判断与证明 5 题型二：已知函数的奇偶性求参数 6 题型三：已知函数的奇偶性求表达式、求值 7 题型四：奇函数的中值模型 7 题型五：利用单调性与奇偶性比较大小 8 题型六：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 9 01 知识回顾 知识点1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 知识点2、函数奇偶性的判断 知识点3、奇偶性技巧 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.（奇同偶异） a.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． b.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. （6）复合函数的奇偶性原则：同奇则奇，一偶则偶. （7）对于运算函数有如下结论：同性加减得同性，异性乘除为奇，同性乘除为偶 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 知识点4、常见奇偶性函数模型 奇函数： （1）、、 （2）函数 函数或函数． 函数或函数 （3）函数或函数 函数 （4）函数 函数或函数． 偶函数： （1）、 （2）函数． （3）函数或函数 （4）函数． （5）函数类型的一切函数． （6）常数函数 02 必做典例 题型一：函数的奇偶性的判断与证明 【方法技巧】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 1. 下列函数中是偶函数的是(　　) A.f(x)=x+1 B.f(x)= C.f(x)=()2 D.f(x)=sin x 2. 判断下列函数的奇偶性： ①f(x)=+； ②f(x)=ex+e-x； ③f(x)= ④f(x)=log2(x+). 3. (多选)已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有 (　　) A.函数f(-|x|)是奇函数 B.若恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)为奇函数 C.若恒有f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)为偶函数 D.若恒有2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)，且f(0)≠1，则y=f(x)为奇函数 4. 函数，，那么（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 题型二：已知函数的奇偶性求参数 【方法技巧】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 5. (2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数，则a等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 6. 若函数f(x)=(x2+ax)lg为奇函数，则a的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 7. 已知函数是奇函数，则 ，若则 . 8. 已知函数的图象关于轴对称，则 ． 题型三：已知函数的奇偶性求表达式、求值 【方法技巧】 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式. 9. (2025·湖南省名校联盟开学考)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3.求函数f(x)的解析式；(6分) 10. 已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则的值是 . 11. （2025·广东湛江·二模）已知奇函数则 ． 题型四：奇函数的中值模型 【方法技巧】 已知奇函数，，则 （1） （2） 12. 已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，则f(2)=　　　　.  13. 如果奇函数f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上 (　 ) A.单调递增且最小值为-5 B.单调递减且最小值为-5 C.单调递增且最大值为-5 D.单调递减且最大值为-5 14. (2025·白银模拟)已知函数f(x)=x3-sin x+2在[-2，2]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m等于(　　) A.8 B.0 C.4 D.2 15. 已知函数，且，则 ． 题型五：利用单调性与奇偶性比较大小 16. 设偶函数f(x)的定义域为R，在区间[0，4]上单调递减，则(　　) A.f(π)<f(-3)<f(-2) B.f(π)<f(-2)<f(-3) C.f(-2)<f(-3)<f(π) D.f(-3)<f(-2)<f(π) 17. [2026·重庆一中月考] 设函数f(x)=log2|x|,若a=f,b=f(log52),c=f(e0.2),则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.b<a<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<b<c 题型六：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 【方法技巧】 求解函数不等式时，由条件去掉“”，从而转化为自变量的大小关系，记得考虑函数的定义域． 18. (2025·湖北联考)定义在R上的奇函数f(x)满足∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有<0，f(3)=0，则满足不等式xf(x)>0的实数x的取值范围为(　　) A.(-∞，-3)∪(3，+∞) B.(-3，0)∪(3，+∞) C.(-∞，-3)∪(0，3) D.(-3，0)∪(0，3) 19. (2026·贵阳模拟)已知函数f(x)=的定义域为[-4，4]，且满足f(m2)+f(m-2)>0，则实数m的取值范围是　　　　　　.  20. （2025·天津河北·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $