5.2.2勾股定理的实际应用（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的实际应用，通过梯子滑动、树折、航海测距等生活实例导入，引导学生将实际场景抽象为直角三角形，结合六大必考模型和解题步骤满分模板，搭建从知识理解到应用的学习支架。 其亮点在于以模型化和步骤化教学为核心，通过实际问题转化培养数学眼光，逻辑推理列方程发展数学思维，规范步骤书写提升数学语言表达。如梯子滑动问题中，学生经历画图、设未知数、列方程的完整过程，系统小结强化模型应用，助力学生掌握解题框架，教师可直接用于课堂教学提升效率。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第5章 直角三角形 5.2.2勾股定理的实际应用 2026年8月8日 5.2.2 勾股定理的实际应用 同步练习题（八年级数学·湘教版） 本套习题适配湘教版八年级上册5.2.2课时内容，专门针对勾股定理生活实际应用出题，覆盖航海测距、梯子滑动、台风树折、折叠问题、测距高度、行走路径等考试经典模型，全部为必考应用题，步骤规范、解析详细，适合攻克几何实际应用题难点。 一、核心知识梳理（应用题万能思路） 1. 解题核心思想 所有勾股定理实际应用题，本质都是：把生活场景抽象成直角三角形，找出直角、两条已知边、未知边，代入公式求解。 2. 必备公式 Rt△中，$$a^2+b^2=c^2$$（c为斜边，最长边） 变形：$$a=\sqrt{c^2-b^2},\ b=\sqrt{c^2-a^2}$$ 3. 六大必考模型（熟记可直接解题） ① 树折模型：折断部分为斜边、剩余树干为直角边、地面距离为另一直角边； ② 梯子模型：梯子长为斜边、墙高和地面距离为两直角边； ③航海模型：南北、东西方向垂直，构成直角三角形求直线距离； ④ 测距模型：垂直障碍物，构造直角三角形求最短路径； ⑤ 折叠模型：折叠前后边长相等，利用等量代换列勾股方程； ⑥ 行走路径模型：绕路行走转化为直角边，求直线近路长度。 4. 应用题解题步骤（满分模板） ① 画图：根据题意抽象直角三角形；② 标已知边长；③ 设未知数；④ 列勾股方程；⑤ 求解、取舍负值；⑥ 作答。 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 一架梯子斜靠在墙上，梯子长5m，底端距墙3m，则墙面上的梯子高度为（） A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m 2. 一棵树折断后，树顶落地距树根6m，折断部分长10m，则树干剩余高度为（） A. 4m B. 6m C. 8m D. 10m 3. 小明向东走80m，再向北走60m，此时小明距出发点直线距离为（） A. 100m B. 120m C. 140m D. 20m 4. 直角三角形实际测距中，若两直角边为9、12，则斜边距离为（） A. 15 B. 16 C. 17 D. 21 5. 下列实际问题不能用勾股定理直接求解的是（） A. 梯子靠墙高度 B. 任意三角形花坛周长 C. 航海直线距离 D. 折断树高 三、填空题（每题4分，共20分） 6. 勾股定理解决实际问题的关键是把实际图形转化为________三角形。 7. 梯子靠墙问题中，________为斜边。 8. 某人向南走12m，向西走5m，离起点直线距离为________m。 9. 直角三角形实际计算中，边长结果必须舍去________数。 10. 树折问题中，地面距离、剩余树干、折断部分构成________三角形。 四、解答题（共60分，考试满分步骤） 11. 经典梯子模型（20分） 一架长13m的梯子斜靠在竖直墙上，梯子底端离墙5m。（1）求梯子顶端距地面高度；（2）若梯子底端向墙靠近2m，顶端上升多少米？ 12. 树木折断模型（20分） 一棵垂直地面的大树，在离地9m处折断，树顶落在地面，距离树根12m，求大树原来的总高度。 13. 航海测距模型（20分） 一艘小船从码头出发，先向正东航行24km，再向正北航行7km，求此时小船与码头的直线距离。 参考答案及详细解析 一、选择题 1. C 解析：$$\sqrt{5^2-3^2}=4$$。 2. C 解析：$$\sqrt{10^2-6^2}=8$$。 3. A 解析：$$\sqrt{80^2+60^2}=100$$。 4. A 解析：9、12、15为经典勾股数。 5. B 解析：勾股定理仅适用于直角三角形，任意三角形无法直接求解。 二、填空题 6. 直角 7. 梯子长度 8. 13 9. 负 10. 直角 三、解答题 11. 解：（1）设梯子顶端高为h，由勾股定理： $$h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12(\text{m})$$ （2）底端靠近2m后，底端距墙：$$5-2=3(\text{m})$$ 此时顶端高：$$\sqrt{13^2-3^2}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}(\text{m})$$ 上升高度：$$4\sqrt{10}-12$$（m） 答：顶端原高12m，顶端上升$$(4\sqrt{10}-12)$$m。 12. 解：折断部分为斜边，长度： $$\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15(\text{m})$$ 树总高：$$9+15=24(\text{m})$$ 答：大树原高24米。 13. 解：正东、正北互相垂直，由勾股定理： $$\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{625}=25(\text{km})$$ 答：小船与码头直线距离为25km。 核心知识点总结：本节所有考题统一思路：建模直角三角形→找斜边直角边→代勾股公式求解。重点掌握梯子滑动、树折、航海三大必考模型，应用题必须写清步骤、画图分析、舍去负根，是期中期末解答题高频考点。 思考：如图是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图.假设梯子长 4 m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为 1.5 m. 他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了 0.5 m，那么，梯子顶端是否也上移 0.5m？ 勾股定理的简单实际应用 1 (已知 ) 抽象成数学问题 解决实际问题 实际问题：梯子顶端往上移动的距离. A' C' C A B 墙面 地面 梯子 几何问题： 利用_________， 求_________的长. 勾股定理 AB，A'B 解：在 Rt△ABC 中，AC = 4 m，BC = 1.5 m， 由勾股定理得，A'B = 因此 A'A = A'B－AB≈3.87－3.71 = 0.16 (m). 即梯子顶端 A 点大约向上移动了 0.16 m，而不是向上移动 0.5 m. A' C' C A B 于是，AB = = 3.71(m). 在Rt△A'BC' 中，A'C = 4 m，BC' = 1 m， 知识点1 勾股定理与数轴 1.如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆 心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点 表示的 数是________. （第1题） 返回 举一反三 5 例1 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 米处断裂，树的顶部落在离树根底部 8 米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 米 6米 8 米 6米 A C B 解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图. 在 Rt△ABC 中， AC = 6 米，BC = 8 米， 由勾股定理得 ∴这棵树在折断之前的高度是10+6 = 16（米）. 例2 (古代数学问题) “今有池方一丈，葭(jia) 生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是：有一个池塘，其水面是边长为 10 尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺，如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面， 问水深与芦苇长各为多少？ 武英殿聚珍版《九章算术》 分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图所示. 设 AB 为芦苇，BC 为芦苇出水部分，长 1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部 B 点恰好碰到岸边 B'. A B B' 1 尺 5尺 C 解：如图，设水深 x 尺，则 AC = x 尺， 因为池塘的水面是边长为10尺的正方形， 在Rt△ACB' 中，根据勾股定理得， 52 + x2 = (x+1)2， 故芦苇长为 13 尺. 解得 x = 12. 答：水池的水深 12 尺. AB = AB' = (x + 1) 尺. 所以 B'C = 5 尺. 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 决解 要点归纳 知识点2 勾股定理的应用 （第2题） 2.如图，为了测量湖的两岸点和点 之间的距离， 一个观测者在点设桩，使 ，并测得 长，长，则点和点 之间的距离 为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 11 （第3题） 3.［2025长沙期中］如图，有一块长方形花圃， 有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出 了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了 花草.他们少走的路长为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 12 C B A 问题 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择 A B 路线，而不选择 A C B 路线，难道小狗也懂数学？ AC+CB ＞AB（两点之间线段最短） 思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？ 利用勾股定理求最短距离 2 A B 蚂蚁 A→B 的路线 问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬向 B 处，蚂蚁怎么走最近？ B A 根据两点之间线段最短易知上面路线最近. 若已知圆柱体高为 12 cm，底面半径为 3 cm，π 取 3. B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B A' A' 解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股定理得 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 归纳 例3 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)? A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短距离. AA' = 2×3×2 = 12， A'B' = 5，根据勾股定理得 即梯子最短需 13 米. （第4题） 4.［2025怀化期中］如图，小明和小华同时从 处分别向北 偏东 和南偏东 方向出发，他们的速度分别是 和，则后他们之间的距离为____ . 50 返回 举一反三 17 （第5题） 5.［教材习题变式］如图，一棵高为 的 树被台风刮断.若树在离地面 处折断，树顶端 刚好落在地面上，则折断后树顶端离树底部___ . 4 返回 举一反三 18 （第6题） 6.［2025株洲期末］如图，某自动感应门的正上方 处装着 一个感应器，离地距离 ，当人进入感应范围内 时，感应门就会自动打开.一个身高的学生 正对门， 缓慢走到离门的地方时，感应门自动打开，则 ____ . 1.5 返回 举一反三 19 （第7题） 7.如图，小明想知道学校旗杆的高度，他使一端系在旗杆 顶端的绳子自然垂落到旗杆底端，并在刚到旗杆底端处 的绳子上打了一个结，然后将绳子沿水平地面拉到离旗 杆底端 处，刚好拉直，发现此时绳子底端距离打结处 有，则旗杆的高度为___ . 8 返回 举一反三 20 8.某条例规定：小汽车在城市道路上行驶时的 速度不得超过 .如图，一辆小汽车在一 条城市道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶 到路边的车速检测仪的正前方的 处， 过了后到达处，测得小汽车与车速检测仪间的距离 为 ，请问这辆小汽车是否超速了？并说明理由. 举一反三 21 解：这辆小汽车没有超速.理由： 在中，， ，根据勾股定理，得 . 所以小汽车的速度是 . 因为 ，所以这辆小汽车没有超速. 返回 举一反三 22 （第9题） 9.如图，将一根的筷子置于底面直径为 ，高为 的圆柱形水杯中.设筷子露在杯子外面的长度为 ， 则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 23 10.如图，高速公路上有，两点相距，， 为两村庄，已知 于点，于点，且， .现要在 上建一个服务站，使得，两村庄到服务站的距离相等，则 的长是______. （第10题） 返回 举一反三 24 11.［2025衡阳期末］如图，在一张长，宽 的长方形纸片 上，放置一个正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽 ，它的底面是边长为的等边三角形，一只蚂蚁从点 处爬行到 点处的最短路程是____ . 17 （第11题） 返回 举一反三 25 12.如图，已知，则数轴上点 所表示的数是________. （第12题） 返回 举一反三 26 13.如图是一台手机支架的示意图，， 可分 别绕点，转动，测得 ， ，若， ，垂足为点 ，，则点到的距离为_____ . 返回 举一反三 27 14.［2025永州月考］如图，一架梯子 斜靠在墙 上，梯子底端离墙根的距离 ，梯子 的顶端到地面的距离 . （1）这个梯子的长为____ ； 25 （2）如果梯子的顶端下滑到点，梯子的底端向右滑动到 点， 试求 的长. 解：，在 中，根据勾股定理得 ，所以 ，所以 . 返回 举一反三 28 勾股定理 的应用 用勾股定理解决实际问题 用勾股定理解决点的距离及路径最短问题 课堂小结 谢谢观看 THANKS $