5.2.2勾股定理的应用 同步提升练习2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 知识点：勾股定理的应用；资料类型：同步练；场景：新授课。以“基础-易错-提升”三级分层设计，通过真实情境问题链实现从单一应用到综合建模的知识巩固，培养几何直观、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |刷基础|勾股定理直接应用（距离、最短路径）|结合生活情境（拉船、树高、台阶），题型含选择、填空、解答，强化空间观念| |刷易错|直角三角形边的分类讨论|针对“忽略斜边/直角边”易错点设计辨析题，提升推理严谨性| |刷提升|跨情境综合应用（圆柱缠绕、长方体、监控布设）|复杂问题建模（如彩带最短路径、鱼缸蚂蚁爬行），发展创新意识与应用能力|

5.2.2勾股定理的应用 刷基础 知识点 利用勾股定理解决实际问题 1如图，在离水面点A 8m的岸上点 C 处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17 m，此人以1m /s的速度收绳，7s后船移动到点 D 的位置，则船向岸边移动了(假设绳子是直的) ( ) A.9m B.8m C.7m D.6m 2如图，有两棵树，一棵高8 米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行( ) A.7米 B.8米 C.9米 D.10米 3如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 . 4 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几?”小明同学根据原文题意，画出示意图如图所示.已知秋千静止时，踏板离地1尺(AC=1尺)，将它推送2步(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，此人身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直.若小明同学根据题意计算出秋千的绳索长为14.5尺(OA=OB=14.5尺),则文中“二步”是 尺. 5如图，一艘轮船在A 处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B 处时与灯塔C之间的距离(即BC的长)为 . 6如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm、3d m、2d m,A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm. 7如图，一架25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为7米. (1)这个梯子的顶端距地面有多高? (2)如果梯子的顶端沿墙垂直下滑4米至E，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 米吗? (3)如果梯子与地面的夹角小于30°，梯子就会滑倒，那么在第(2)问中，梯子会滑倒吗?请说明理由. 刷易错 易错点忽略实际情况导致错解 8工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段钢条恰好与两根长分别为60 cm，100 cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为 ( ) A.80 cm B. C.80cm或20 cm D.60cm 刷提升 1如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A 点绕到正上方的 B 点，已知圆柱底面周长是 3m ，高为16m，则所需彩带最短是( ) A.8m B.5m C.20m D.10m 2 如图，门上钉子P处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌ABCD,测得AB=10cm,AD=24cm.如图(1),当挂牌水平悬挂(即BC与地面平行)时，测得挂绳AP=DP=20cm.将挂绳长度缩短4 cm后重新挂到P处，此时不小心把挂牌弄斜了，如图(2)，发现AC与地面平行，且点P，D，C三点在同一直线上，则点 B 的高度下降了 ( ) A. B. C. D. 3为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器，监控器的最大旋转角度为90°.如图(1)所示，监控布设线l距离河流南岸300m，村落位于河流南侧，邻接河流的长度为5000 m，任意两个监控器布设点之间的距离相等.小张设计了如图(2)所示的方案，AB 为监控器 监测范围，BC 为监控器M₂监测范围， 此时 375m，若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设 个监控器. 4小明不小心将三角尺掉到了两墙之间，如图所示，AC=BC=25，则砌墙砖块的厚度a的大小是 . 5如图所示的长方体透明玻璃鱼缸,假设其长 AD = 80 cm,高 AB =60cm,水深AE=40 cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF 上，且EG=60 cm.一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线长为 cm. 6如图是一个滑梯示意图，若将滑道BD 水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为3米,BC为1米. (1)求滑道BD的长; (2)若把滑道BD改成滑道BF,使∠BFA=60°,试求出 DF 的长.(精确到0.1米，参考数据： 课时2 勾股定理的应用 刷基础 1. A【解析】由题意得,在] 中， 所以 .因为此人以1m /s的速度收绳，7s后船移动到点 D 的位置，所以(CD=17-1×7=10(m).在 中，由勾股定理 得 所以BD=AB-AD=15-6=9(m),，即船向岸边移动了9 m,故选 A. 2. D【解析】两棵树的高度差为88-2=6(米),两树相距8米，根据勾股定理可得小鸟至少要飞行 \米).故选 D. 【解析】如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为 4.10 【解析】由题意易得CE=BD=5,CD=BE.因为 OA=OB=14.5,AC=1,所以 OC=OA+AC=14.5+1=15.5,所以OE=OC-CE=15.5-5=10.5. 在 Rt△OBE 中, 所以 CD=BE=10,即文中“二步”是10尺.故答案为10. 海里 【解析】过A 作AD⊥BC 于D,如图.在 Rt△ABD 中,∠ABD=30°,AB=20海里，所以 海里,BD = 海里. 因为∠ABC =30°,∠BAC= 90°+15°= 105°,所以∠C = 180°-105°-30°=45°,所以△ACD 是等腰直角三角形,所以 CD=AD=10 海里,所以 BC=BD+ 海里. 6.25 【解析】如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20 dm，宽为(3+2)×3=15(dm),则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点的最短路程是此长方形的对角线长.设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点的最短路程为 x dm.由勾股定理得 解得.x=25(负值已舍去).故答案为25. 7.【解】(1)根据题意得AB=25米，BC=7米，所以 (米). 答：这个梯子的顶端距地面24 米. (2)因为.AE=4米，所以CE=20米. 因为ED=AB=25米， 所以 (米),所以BD=CD-BC=8米，所以梯子的底部在水平方向滑动了8米，而不是4 米. (3)梯子不会滑倒.理由如下： 设 在 中，E'D=25米，所以 米.因为CE>E'C,所以梯子与地面的夹角大于； 所以梯子不会滑倒. 刷易错 8. A【解析】设截取的钢条长度为l cm.将截取的钢条作为直角边，则 解得l=80;将截 取 的 钢 条 作 为 斜 边,则l= 不合题意，故舍去.综上，截取的钢条长为80 cm. 刷提升 1. C【解析】如图，线段AB的长即为所需彩带最短的长度.由图可知.AC=3×4=12(m),BC=16m,所以由勾 股 定理 得.AB= 故选C. 2. B 【解析】如图(1),过点P 作PE⊥AD,垂足为点 E. 因为 AP = DP,所以 12 cm.在 Rt△APE 中,由勾股定理得 PE = 所以点 P 与点 B 之间的竖直距离为16+10=26(cm).如图(2),过点P 作PM⊥AC 于 M,作 BN⊥AC 于 N. 由题意知,挂绳缩短后AP+PD=36 cm.因为长方形挂牌ABCD，点 P，D，C三点在同一直线上，所以∠ADP=∠ADC=90°.在 Rt△ACD 中,由勾股定理得 设 PD=x cm,则.AP=(36-x) cm.在 Rt△APD 中,由勾股定理得 即 解得x=10,所以PC=PD+CD=20cm. 即 解得 即 解得 所以点 P 与点 B 之间的竖直距离为 所以点 B 的高度下降了 故选 B. 3.8 【解析】过点 作 于点 N.根据题意，得 所以 设AB=xm,则AN=(x-225)m.因为 所以 所以x=x=625，故该水利部门至少需要布设 8(个)监控器，故答案为8. 4.5【解析】由题意得. 所以 ∠ACD+∠BCE =90°,所以∠ACD+∠DAC =90°,所以∠BCE=∠DAC. 在△ADC 和△CEB中 所以△ADC≌△CEB(角角边)，所以DC=BE.因为一块墙砖的厚度为a,所以AD=4a,BE=3a,所以DC=BE=3a.在Rt△ADC 中, 即 所以a=5.故答案为5. 5.100 【解析】如图,作点 A 关于 BC 的对称点A',,连接A'G 交 BC 于点 Q,则蚂蚁沿着 A→Q→G 的路线爬行时路程最短.在 Rt△A'EG中,A'E=60+(60-40)= 80(cm),EG=60 cm, AQ+QG=A'Q+QG=A'G,，所以 所以A'G=100cm,所以最短路线长为100 cm. 故答案为 100. 6.【解】(1)由题意,得∠BAD=90°,AB=CE=3米,AE=BC=1米. 设BD=x米,则DE=x米,所以AD=DE-AE=(x-1)米.在Rt△ABD中,由勾股定理,得 解得x=5. 答：滑道 BD 的长为5米. (2)因为∠BAF=90°,∠BFA=60°,所以 所以BF=2AF. 设AF=a米，则BF=2a米，所以.AB= (米),所以 解得 所以 米. 由(1)可知,AD=4米，所以.DF=AD-AF=4- (米). 答:DF 的长约为2.3 米. 学科网（北京）股份有限公司 $