5.2勾股定理及其逆定理（第3课时勾股定理的逆定理）（教学课件）数学新教材湘教版八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，系统呈现其定义、构造全等三角形的证明过程及直角三角形判定、勾股数应用等内容。导入通过“命题与逆命题”关联勾股定理，引导学生从“直角三角形边的数量关系”逆向思考“边的数量关系判定直角三角形”，搭建逻辑递进的学习支架。 其亮点在于融合数学思维与应用意识，证明环节通过构造Rt△A'B'C'并证全等，培养学生推理能力。典例与应用涵盖基础判断（如6,8,10）、综合计算（四边形ABCD面积）及勾股数公式探究，强化几何直观与创新意识。学生能提升逻辑推理与实际应用能力，教师可直接利用分层例题提升教学效率。

湘教版2024·八年级上册 5.2勾股定理及其逆定理 第3课时 勾股定理的逆定理 第5章 直角三角形 导入新课 勾股定理: 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c². 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 c a b 我们知道每个命题都有逆命题。勾股定理的逆命题是怎样的？ 如果三角形的三条边a，b，c满足 a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形. 学 习 目 标 1 2 3 掌握直角三角形的勾股定理的逆定理.（重点） 能够运用勾股定理的逆定理解决问题（难点） 勾股数的记忆与应用 我们已经知道勾股定理:“如果直角三角形的两条直角边分别为a， b，斜边为c，那么a²+b²=c².”它的逆命题是真命题吗? 新知探究 说一说 如果三角形的三条边a，b，c满足 a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形. 逆命题： 真命题 你能证明它吗? 思考：证明一个三角形是直角三角形的方法有哪些？ 利用一个角是直角或两个角互余来 判断一个三角形是直角三角形 如图，在△ABC中，已知AB=c，BC=a，AC=b，且a²+b²=c²，那么△ABC是直角三角形吗? 新知探究 探 究 只需证△ABC≌△A′B′C′ 　 只需证∠C 是直角 要证△ABC 是直角三角形 构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′ A B C a b c A' B' C' a b 证明：作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°,B'C'=a,A'C'=b. 在Rt△A'B'C'中，根据勾股定理得， A'B'²=a²+b². 因为a² +b²=c²， 所以A'B'=c²，即A'B'=c. 在△ABC和△A'B'C中， BC=B'C'=a, AC=A'C'=b， AB=A'B'=c, 所以△ABC≌△A'B'C'(边边边). 因此∠C=∠C'=90°. 所以△ABC是直角三角形. 新知探究 A B C a b c A' B' C' a b 新知探究 总结归纳 A B C a b c 符号语言 在△ABC中 勾股定理的逆定理 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c². 勾股定理与逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 结论 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“a2+b2=c2”，即由“形”到“数”。 勾股定理逆定理以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”。 联系 两者都是三角形的三边的平方关系 新知探究 典例分析 例4 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形. (1)a=6,b=8，c=10; (2)a=12，b=15，c=20. 分析： 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方 解(1)因为6²+8²=100，10²=100， 所以6²+8²=10². 因此，这个三角形是直角三角形. 数的关系 形的关系 由数导形 判定形状 满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数. 3，4，5 6，8，10 5，12，13 典例分析 (2)因为12²+15²=369，20²=400， 所以12²+15²≠20². 即 因此，这个三角形不是直角三角形. 例4 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形. (1)a=6,b=8，c=10; (2)a=12，b=15，c=20. 数的关系 形的关系 判定形状 典例分析 例5 如图5.2-12，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8, AC=17，求DC的长. A B C D 解：在△ABD中,AB=10,BD=6,AD=8 在Rt△ADC中,DC2=AC2-AD2 数 判 形 新知应用 基础巩固题 D 2．若△ABC中，BC＝13，AC＝5，AB＝12，则下列判断正确的是(　　)    A．∠A＝90°      B．∠B＝90°    C．∠C＝90°      D．△ABC是锐角三角形 A 判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方 新知应用 基础巩固题 3.下列各组数中，不是勾股数的是(　　)    A．13，12，5      B．9，40，41    C．12，16，20      D．5，7，9 D 4．若△ABC的两边长为8和15，则能使△ ABC为直 角三角形的第三边的平方是（　　） A．161；　　 B．289；　　 C．17；　　 D．161或289． D 判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方 新知应用 基础巩固题 5.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 ( )　　　　 　　　　　 　　　　　 A.∠A+∠B=∠C B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 C.a2=c2-b2 D.a∶b∶c=3∶4∶6 D 判断一个三角形是不是直角三角形，1.从边的角度：只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方 2.从角的角度：看有没有一个角是直角或两个角互余。 新知应用 基础巩固题 6.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形. (1)a=1,b=，c=; (2)a=8，b=15，c=17; (3) a=10，b=24，c=25; (4) a=9，b=40，c=41. 是. 不是. 是. 是. 判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方 新知应用 基础巩固题 7. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，E是BC上一点，且EC=BC.求证:△AEF是直角三角形. A B C D E F 解：依题意得：AB=AD=4,DF=CF=2,CE=1,BE=3 数的关系 形的关系 判定形状 新知应用 能力提升题 解：连接AC. ∵ AB=3,BC=4,∠B=90°. ∴ . 在△ACD中，∵AC=5，CD=12,AD=13. ∴ AC2 + CD2=AD2， ∴ △ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， ∴ 四边形ABCD面积为. 8.大禹治水后测得一四边形田地相关数据如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°， 求该四边形ABCD的面积. 新知应用 能力提升题 9．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数， a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 当m=2时，则a=4,b=3,c=5 当m=3时，则a=6,b=8,c=10 当m=5时，则a=10,b=24,c=26 当m=6时，则a=12,b=35,c=37 当m=7时，则a=14,b=48,c=50 课堂小结 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数. A B C a b c 感谢聆听! $