04-增分微课3 利用切线解决最值范围问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“利用切线解决最值范围问题”专题，覆盖两曲线距离最值、零点求参两大核心考点，对接高考评价体系中导数应用的考查要求，分析切线问题在高考中的高频考查方向，归纳切线距离、参数范围等典型题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题案例+方法提炼+素养培养”，如以2025陕西西安二模为例，通过导数求切线斜率转化距离问题，培养数学思维与几何直观。作业手册分层设计，教师备用习题补充高考变式，帮助学生掌握转化化归技巧，提升得分率，为教师提供高效复习教学方案。

增分微课3 利用切线解决最值范围 问题 1 类型一 类型二 教师备用习题 作业手册 答案核查【听】 答案核查【作】 2 【知识链接】利用切线解决最值问题常见的有两种：一是求两 曲线（一般是一条直线和一条曲线）上的两点之间距离的最值；二 是已知函数的零点求参数的范围.这两类问题都可以转化为直线与曲 线相切，求出切点，利用数形结合的知识分析解决. 3 例1（1）[2025·陕西西安二模] 已知是 的图象 上任意一点，则点到直线 的最小距离为_ ___. 类型一 两曲线上点的距离 4 [解析] 由 得 ,， 当 时，，当时，， 则在 上单调递减，在 上单调递增， 且. 作出和 的图象如图所示. 则的图象上任意一点到直线 的最 小距离，即为斜率为3的切线的切点到直线 的距离. 5 设与直线 平行的直线与曲线 相切于点， 因为 ,，所以， 即 ，解得或（舍去）， 又 ，所以切点为， 所以切点到直线 的距离为， 即点到直线 的最小距离为 . （2）若,,为任意实数,且 ,则 的最小值为( ) A. B.9 C. D. [解析] 由可得点在以 为圆心， 1为半径的圆上， 表示点与点 间的距离的平方， 即表示圆 上的动点到函数的图象上 动点距离的平方． √ 7 设为 的图象上的一点，且的图象在 点处的切线与点 和点的连线垂直， 由得，则 ，可得. 由在 上单调递增，且， 可得，所以切点为 ， 圆心与切点间的距离， 由此可得 的最小值为 ． [总结反思] 导数中与切线有关的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想 可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数 法来求距离的最值． 具体方法是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到直线的距离 问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点. 9 变式题 设点在曲线上，点在曲线 上，则 的最小值为____. [解析] 因为曲线是由曲线 向右平移1个单位长 度得到的，曲线是由曲线 向右平移1个单位长度得到 的，所以的最小值可以看成曲线上的点与曲线 上 的点间的距离的最小值. 10 因为与 互为反函数，其图象关于直线对称， 所以所求的最小值为曲线上的点 到直线的最小距离 的2倍. 设与直线平行的直线与曲线 相切于点， 因为，所以由，得 ，所以切点为， 所以点到直线的最小距离 ， 所以的最小值为 . 例2（1）已知函数 若函数有两个零点，则实数 等于( ) A. B. C.2 D. [解析] 依题意可知，与 的图象有两个公 共点，画出的图象与 的图象如图所示. 由图可知，的图象与 的图象相切， 设切点为，因为 ，所以切线的斜率为 ，所以，解得 ，则 . √ 类型二 零点（交点）求参 12 （2）[2026·重庆一中月考] 已知函数 若恒成立，其中，则 的取值范围是 _________. 13 [解析] 易知函数的图象如图所示， 因为 ，所以函数的图象由函数 的图象左移个单位长度得到， 当曲线 , 与直线相切时， 令 ，即 ， 则，解得 ， 故当恒成立时， 由图可知，.故 的取值范围是 . 14 [总结反思] 函数的零点问题可以转化为两函数图象（一般是一条直线和一支曲 线）的交点问题，从而直线与曲线相切往往是问题的关键，可以设 切点，借助导数的几何意义来突破. 15 变式题 已知函数，函数 ，若两函 数的图象恰有两个不同的交点，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由题知， 当函数的图象与 的图象相切时，设切点为 ， 则切线方程为， 将点的坐标代入，可得 ，则. 当函数的图象过点时，可得 . 要使函数与的图象恰有两个不同的交点，只需 . √ 16 【备选理由】例1是以向量为载体，求直线上的点和曲线上点之间距 离的最值问题； 例1 ［配例1使用］[2025·河北石家庄一模]在平面直角坐标系 中，，，向量 ，且 ，若为抛物线上一点，则 的最 小值为( ) A. B. C. D. √ 教 师 备 用 习 题 17 [解析] 设，因为，且 ， 所以 ， 则消去得，即 . 因为抛物线，即，所以， 令 ，得，此时. 点到直线 的距离为， 即为 的最小值.故选A. 教 师 备 用 习 题 18 例2 ［配例2使用］[2025·湖北武汉三模]已知函数， 直线是曲线的切线，如果切线 与曲线有且只有一 个公共点，那么这样的直线 有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 √ 【备选理由】 例2是三次函数图象的一条切线与三次函数的图象有 一个交点问题. 教 师 备 用 习 题 19 [解析] 由题可得. 设切点坐标为，则切线 的斜率为， 又，所以切线 的方程为 ，即 . 将切线的方程和 联立得， 整理得 ，因式分解得， 解得或， 因为切线 与曲线有且只有一个公共点，所以， 解得 ，此时切线方程为 ， 并且为唯一一条满足条件的直线.故选B. 教 师 备 用 习 题 20 作业手册 21 1.函数的图象上的一点到直线 的最短距离为( ) A. B. C. D. √ [解析] 设与直线平行且与的图象相切的直线为， 与曲线的切点坐标为. 因为 ，所以，解得，则切点坐标为 ， 故所求最短距离 .故选C. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 2.已知函数与 的图象有且只有一个公共点，则 实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 易知的图象过定点 ，且点 在的图象上. ， ， 的图象在处的切线斜率 ， 作出的图象如图. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 结合图象可得，当 时，与 的 图象有且只有一个公共点，则符合题意； 当时， 与的图象有两个 公共点，则 不符合题意； 当时，与 的图象有且只有一个公共点， 则符合题意； 当 时，与的图象有两个公共点， 则 不符合题意. 综上所述，实数 的取值范围为 .故选C. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.设点在曲线上，点在曲线上，则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数与 互为反函数，其图象关于直线 对称，所以可先求点到直线的最近距离. 设曲线 上斜率为1的切线为， 因为，由，可得 ，所以切点的坐标为， 即，所以 ，所以的最小值为 .故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 4.已知点为函数的图象上任意一点，点 为圆 上任意一点，则线段 长度的最小值为( ) A. B.1 C. D. √ [解析] 由圆的对称性可得，只需考虑圆心到函数 的 图象上任意一点的距离的最小值． 设 的图象上任意一点为，的图象在点处 的切线为， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 因为 ，所以切线的斜率为， 当时，圆心到点 的距离最小， 此时，则. 设 ，则，在上单调递增， 又 ，所以，所以， 所以圆心到 的图象上任意一点的距离的最小值为， 所以线段长度的最小值为 .故选A. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 5.已知函数的最小值为 ， 则正实数 的值为( ) A.3 B. C. D.3或 √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 [解析] 表示点与点 间的 距离的平方， 点在曲线上，点在直线 上. 设与直线平行的直线与曲线相切于点 ， ，. 点与点 间的距离的平方的最小值等于点 到直线 的距离的平方，则，. 由①②得， 或，. 当时，曲线与直线 不相交，符合题意； 当时，曲线与直线 相交，不符合题意. 综上， .故选A. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 6.若函数与 的图象有两个不同交点，则 实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 [解析] 因为函数与 的图象有两个不同交 点，所以关于的方程有两个不同的解， 所以关于 的方程有两个不同的解， 所以函数 与函数的图象有两个不同的交点. 设 ，则， 当时，，则函数在 上单调递减， 当时，，则函数在 上单调递增， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 又，，当时， , 所以函数 的图象如图（横、纵坐标轴的单位长度不同）. 因为，所以函数的图象在 点 处的切线方程为. 观察图象可得，当时，与 的图象有且只有一个交点； 当时，与 的图象有且只有一个交点； 当或时， 与的图象有两个交点. 综上可得， 的取值范围是 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.已知函数，其中.若 只有一个零 点，则 的最小值为( ) A. B.5 C. D.2 √ [解析] 令，得或 ， 因为只有一个零点，所以 ， 如图，在坐标系中，作出函数 的图象， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 33 可以看成点到点的距离的平方. 取点 ，对函数，求导得， 则函数的图象在 处的切线的斜率为， 则切线方程为， 又直线的斜率 ，，，则直线与线段 垂直， 由图可知，函数的图象在直线 的下方， 可知的最小值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 34 8.（多选题）已知函数， 的图象与直线 分别交于点， ，则( ) A. B.对任意，曲线在点处的切线总与曲线 在 点 处的切线相交 C. 的最小值为1 D.存在，使得曲线在点处的切线也是曲线 的切线 √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 [解析] 设，的横坐标分别为，，则 ， 因为，所以，故A正确； 当时，, ,因为,,所以 , ,所以曲线在点处的切线与 曲线在点 处的切线斜率相等，两切线不相交，故B错误； ,设, 则 ,易知在上单调递增，且, 所以当 时，,单调递减，当时， , 单调 递增，所以,故C正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 曲线 在点处的切线方程为 , 若此切线同时也是曲线的切线，可设切点坐标为 , 则 消去，得, 设 ,则,, , 因为 的图象是连续的，所以 至少有两个零点， 所以有解， 所以 的值是存在的且大于零，故D正确. 故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.已知点在函数的图象上，若到直线 的距离为 的点有且仅有两个，则实数 的取值范围是_______. [解析] 由，可得 ， 设斜率为1的直线与的图象相切于点 ，则， 即，解得 ，则切点为. 当点到直线 的距离为时，可得， 解得或 . 由可得，当时，， 单调递减， 当 时，， 单调递增， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 又当 时，且， 当 时，，当 时， ， 所以的图象如图所示. 当 时，函数的图象与直线 不相交，从而 函数 的图象上有且仅有一个点到直线的距离为； 当 时，函数的图象与直线 相交，从而函数 的图象上有且仅有三个点到直线的距离为 . 综上，要使到直线的距离为的点 有且仅有两个， 则，即实数的取值范围为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [解析] 设， ， 依题意知，只需求曲线与曲线 的公切线斜率. ， ， 设切点分别为， ， 则切线方程为 ， 即 ， ， 10.若关于的不等式组恒成立，则实数 的取 值范围是______. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 即，所以 ①， ， 由①得 ，代入②得， 则或 ，故公切线的斜率为1或. 作出曲线 与曲线如图， 由图可知 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型一 例1（1）<m></m> （2）C 变式题 <m></m> 类型二 例2（1）A （2）<m></m> 变式题 A 答 案 核 查 42 1.C 2.C 3.D 4.A 5.A 6.C 7.B 8.ACD 9.<m></m> 10.<m></m> 答 案 核 查 43 $