第3单元 04 增分微课3 利用切线解决最值范围问题（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数应用中“切线与最值”核心考点，涵盖两曲线上点的距离最值、零点求参数范围两类问题，按“知识链接—类型解析—例题精讲—变式巩固—总结反思”逻辑架构组织，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼转化化归与数形结合策略，真题训练（如2025陕西西安二模、2026重庆一中月考）强化实战应用，助力学生系统突破难点。 讲义以切线为纽带创新整合考点，通过例1将曲线点到直线距离转化为切点问题，培养学生用数学眼光观察距离本质，用数学思维推理导数几何意义；例2零点问题转化为曲线交点，结合数形结合发展模型意识。设置基础例题与变式题分层练习，配合即时方法总结，确保学生高效掌握解题关键，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供精准指导。

增分微课3　利用切线解决最值范围问题 例1　(1)　(2)C　[解析] (1)由f(x)=2x2-ln x得f'(x)=4x-=,x>0,当0<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,则f(x)在上单调递减,在上单调递增,且f(x)min=f=+ln 2.作出f(x)=2x2-ln x和y=3x-6的图象如图所示.则f(x)=2x2-ln x的图象上任意一点M到直线y=3x-6的最小距离,即为斜率为3的切线的切点到直线y=3x-6的距离.设与直线y=3x-6平行的直线y=3x+m与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),因为f'(x)=4x-,x>0,所以4x0-=3,即4-3x0-1=0,解得x0=1或-(舍去),又f(1)=2,所以切点为(1,2),所以切点到直线y=3x-6的距离为=,即点M到直线y=3x-6的最小距离为. (2)由(a+1)2+(b-2)2=1可得点(a,b)在以(-1,2)为圆心,1为半径的圆上,(x-a)2+(ln x-b)2表示点(a,b)与点(x,ln x)间的距离的平方,即表示圆(x+1)2+(y-2)2=1上的动点到函数y=ln x的图象上动点距离的平方.设(m,ln m)为y=ln x的图象上的一点,且y=ln x的图象在点(m,ln m)处的切线与点(m,ln m)和点(-1,2)的连线垂直,由y=ln x得y'=,则·=-1,可得ln m+m2+m=2.由f(x)=ln x+x2+x在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=2,可得m=1,所以切点为(1,0),圆心与切点间的距离d==2,由此可得(x-a)2+(ln x-b)2的最小值为(2-1)2=9-4. 变式题　　[解析] 因为曲线y=ln(x-1)是由曲线y=ln x向右平移1个单位长度得到的,曲线y=ex-1是由曲线y=ex向右平移1个单位长度得到的,所以|PQ|的最小值可以看成曲线y=ln x上的点与曲线y=ex上的点间的距离的最小值.因为y=ex与y=ln x互为反函数,其图象关于直线y=x对称,所以所求的最小值为曲线y=ex上的点A到直线y=x的最小距离的2倍.设与直线y=x平行的直线与曲线y=ex相切于点M(x0,),因为y'=ex,所以由=1,得x0=0,所以切点为M(0,1),所以点A到直线y=x的最小距离d==,所以|PQ|的最小值为. 例2　(1)A　(2) [解析] (1)依题意可知,y=f(x)与y=kx的图象有两个公共点,画出y=f(x)的图象与y=kx的图象如图所示.由图可知,y=kx的图象与y=e-x(x≤0)的图象相切,设切点为(t,e-t),因为(e-x)'=-e-x,所以切线的斜率为-e-t,所以-e-t=,解得t=-1,则k=-e-(-1)=-e. (2)易知函数f(x)的图象如图所示,因为m<0,所以函数f(x-m)的图象由函数f(x)的图象左移-m个单位长度得到,当曲线y=(x-m-2)2,x>m+2与直线y=x+2相切时,令(x-m-2)2=x+2,即x2-(2m+5)x+m2+4m+2=0,则Δ=(2m+5)2-4(m2+4m+2)=0,解得m=-,故当f(x-m)≥f(x)(m<0)恒成立时,由图可知,m≤-.故m的取值范围是. 变式题　A　[解析] 由题知f'(x)=ex(x<1),当函数g(x)的图象与f(x)的图象相切时,设切点为(x0,)(x0<1),则切线方程为y-=(x-x0),将点(-2,0)的坐标代入,可得x0=-1,则k=e-1=.当函数g(x)的图象过点(1,e)时,可得k=.要使函数f(x)与g(x)的图象恰有两个不同的交点,只需<k<. 学科网（北京）股份有限公司 $ 　　【知识链接】利用切线解决最值问题常见的有两种:一是求两曲线(一般是一条直线和一条曲线)上的两点之间距离的最值;二是已知函数的零点求参数的范围.这两类问题都可以转化为直线与曲线相切,求出切点,利用数形结合的知识分析解决. 　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　两曲线上点的距离 例1 (1)[2025·陕西西安二模] 已知M是f(x)=2x2-ln x的图象上任意一点,则点M到直线y=3x-6的最小距离为　　　　.  (2)若x,a,b为任意实数,且(a+1)2+(b-2)2=1,则(x-a)2+(ln x-b)2的最小值为(　 ) A.2 B.9 C.9-4 D.2-1 总结反思 导数中与切线有关的“距离”问题,利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题,再利用导数法来求距离的最值. 具体方法是转化化归,将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题,而这个“点”一般就是利用导数求得的切点. 变式题 设点P在曲线y=ln(x-1)上,点Q在曲线y=ex-1上,则|PQ|的最小值为　　　　.  类型二　零点(交点)求参 例2 (1)已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-kx有两个零点,则实数k等于 (　 ) A.-e B.-1 C.2 D.2e (2)[2026·重庆一中月考] 已知函数f(x)=若f(x-m)≥f(x)恒成立,其中m<0,则m的取值范围是　　　　.  总结反思 函数的零点问题可以转化为两函数图象(一般是一条直线和一支曲线)的交点问题,从而直线与曲线相切往往是问题的关键,可以设切点,借助导数的几何意义来突破. 变式题 已知函数f(x)=ex(x<1),函数g(x)=k(x+2),若两函数的图象恰有两个不同的交点,则实数k的取值范围是 (　 ) A. B. C. D.(-∞,e] 学科网（北京）股份有限公司 $