4.5.1 等腰三角形的性质（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的性质，涵盖定义、等边对等角、三线合一及轴对称性，通过“剪一剪”“折一折”等动手操作和视频演示，引导学生观察重合线段与角，构建从直观感知到抽象性质的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与推理能力，以剪裁、折叠活动培养数学眼光，通过性质证明题（如三线合一证明）发展逻辑推理思维，分层习题（含中考题）强化模型意识。详细解析与易错提示助学生掌握解题技巧，教师可利用系统训练提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第4章 三角形 4.5.1 等腰三角形的性质 2026年8月8日 4.5.1 等腰三角形的性质 同步练习题（八年级数学·湘教版） 本套习题适配湘教版八年级上册4.5.1等腰三角形的性质核心知识点，围绕等腰三角形的定义、边角性质、三线合一、轴对称性质展开，涵盖概念辨析、角度计算、边长求值、性质证明、易错题型训练，题型由浅入深，贴合课本重难点、课堂训练及单元检测要求，帮助学生熟练掌握等腰三角形核心性质与解题技巧。 一、核心知识梳理 1. 等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫腰，另一条边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。 2. 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两底角相等。即在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。 3. 性质2（三线合一，必考核心）：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。这是等腰三角形最特殊、最常用的几何性质，可直接用于解题推理。 4. 性质3（轴对称性）：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线。 5. 基础结论：等腰三角形两底角相等，内角和为180°，已知一个角可求另外两个角；解题需分类讨论已知角是顶角还是底角，规避漏解。 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形的两个底角（） A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 不相等 2. 已知等腰三角形的一个顶角为80°，则它的底角为（） A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 3. 下列关于等腰三角形“三线合一”的说法正确的是（） A. 任意三条线重合 B. 顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合 C. 三个角平分线重合 D. 三条高线重合 4. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（） A. 底边 B. 腰 C. 顶角平分线所在直线 D. 三角形的任意一条高 5. 已知等腰三角形的一个角为100°，则其余两个角的度数为（） A. 40°、40° B. 50°、50° C. 100°、-20° D. 80°、0° 三、填空题（每题4分，共20分） 6. 等腰三角形的核心性质：等边对________。 7. 等腰三角形________、________、________三线合一。 8. 在△ABC中，AB=AC，∠B=65°，则∠A=________°。 9. 等腰三角形的两个底角一定是________角（填“锐”“直”或“钝”）。 10. 若等腰三角形底边上的高平分底边，同时平分________，这是三线合一的直接应用。 四、解答题（共60分） 11. 基础计算题（每题10分，共30分） （1）已知等腰△ABC中，AB=AC，顶角∠A=40°，求底角∠B、∠C的度数。 （2）已知等腰△ABC中，一个底角为70°，求顶角的度数。 （3）已知等腰三角形的一个内角为50°，求另外两个内角的度数。 12. 性质证明题（15分） 已知：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线。求证：AD⊥BC，AD平分∠BAC。 13. 综合应用题（15分） 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若BC=10，求BD的长度，并说明理由。 参考答案及详细解析 一、选择题 1. C 解析：等腰三角形核心性质，等边对等角，两底角相等。 2. B 解析：底角=(180°−80°)÷2=50°。 3. B 解析：三线合一特指等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 4. C 解析：对称轴是直线，为顶角平分线（底边上中线、底边上的高）所在直线，线段不能作为对称轴。 5. A 解析：100°为钝角，只能是顶角，底角=(180°−100°)÷2=40°，其余两角为40°、40°。 二、填空题 6. 等角 7. 顶角平分线；底边上的中线；底边上的高 8. 50 解析：∠A=180°−65°×2=50° 9. 锐 解析：若底角为直角或钝角，两角和≥180°，违背三角形内角和定理。 10. 顶角 三、解答题 11. （1）解：∵AB=AC，∴∠B=∠C。∠B=∠C=(180°−40°)÷2=70°。 （2）解：等腰三角形两底角相等，顶角=180°−70°×2=40°。 （3）解：分两种情况：①若50°为顶角，底角=(180°−50°)÷2=65°，另外两角为65°、65°；②若50°为底角，顶角=180°−50°×2=80°，另外两角为50°、80°。 12. 证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD。在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）。∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC。又∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC。故AD平分∠BAC且AD⊥BC（三线合一得证）。 13. 解：BD=5。理由：∵AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一性质，AD既是高也是底边上的中线，∴BD=DC=$$\frac{1}{2}$$BC=5。 核心知识点总结：本节重点掌握两大核心性质：①等边对等角，用于角度计算；②三线合一，是等腰三角形最核心的解题依据，可直接实现垂直、平分线段、平分角度的转化。解题关键：遇到等腰三角形角度计算，优先分类讨论已知角是顶角还是底角，杜绝漏解，同时牢记底角必为锐角的隐含条件。 等腰三角形 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪下蓝色部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形有什么特点？ 等腰三角形的性质 1 A B C AB = AC 等腰三角形 点击视频开始播放 → 视频：等腰三角形的剪裁 折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 找一找：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 猜一猜：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. 知识点1 等边对等角 1.在中，， ，则 _____. 返回 举一反三 8 2.［2024湖南中考］若等腰三角形的一个底角的度数为 ，则它的顶 角的度数为_____ . 100 返回 举一反三 9 （第3题） 3.［2024济南中考］如图，已知， 是 等腰直角三角形， ，顶点， 分别 在，上，当 时，____ . 65 返回 举一反三 10 思考：在等腰△ABC 中，已知 AB = AC，AD 是∠ABC 的中线，则∠B =∠C 吗?∠BAD =∠CAD 吗? AD 是△ABC 的高线吗？ 解：如图，由于 AD 是等腰△ABC 的底边 BC 上的中线，则 BD = CD. 在△ABD 和△ACD 中， A B C D 因此∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°. 即 AD 是△ABC 的顶角∠BAC 的平分线， 是底边 BC 上的高线. 所以△ABD≌△ACD (边边边). AB = AC， BD = CD， AD = AD， 由此得到等腰三角形的性质定理： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”). 知识要点 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 不重合！ 三线合一 为什么不一样? “三线合一”的操作 点击按钮开始播放 → 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 为 AB 的中点，点 E 在 AC 上，且 BE = BC = AE. (1) 求证：ED丄AB； (2) 求△ABC 各角的度数. 解：(1) 因为 BE = AE，D 为 AB 的中点， 所以 ED 是等腰△EAB 的边 AB 上的中线， 从而ED丄AB (三线合一) A B C D E 1 2 典例精析 (2) 因为 AB = AC，BE = BC = AE， 所以∠ABC =∠C，∠C =∠1，∠A =∠2(等边对等角). 于是∠1 =∠A +∠2 = 2∠A， 从而∠ABC =∠C =∠1 = 2∠A. 又∠A +∠ABC +∠C = 180°， 于是∠A + 2∠A + 2∠A = 180°， 从而∠A = 36°， 因此∠A，∠ABC，∠C 的度数分别为36°，72°，72°. A B C D E 1 2 (2) 求△ABC 各角的度数. （第4题） 4.如图，在中， ， ，，则 的度数为 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 17 5.如图，直线，相交于点，若，则 等于( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 18 6.［教材P练习T变式］［2025南京期中］如图，在中，点 在边上，.若 ，求 的度数. 解：因为， ，所以 .因为 ，所以.因为是 的外角，所以 ，所以 . 返回 举一反三 19 A B C D 例2 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数. 分析：(1) 找出图中所有的相等角； (2) 找出图中有几个等腰三角形； ∠A =∠ABD， ∠C =∠BDC =∠ABC. △ABC， △ABD， △BCD. A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x (3) 观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C 呢？ ∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A = 2∠ABD， ∠ABC =∠BDC = 2∠A， ∠C =∠BDC = 2∠A. (4) 设∠A = x°，请把 △ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来. ∵∠A +∠ABC +∠C = 180°， ∴ x + 2x + 2x = 180°. 解：∵AB = AC，BD = BC =AD， ∴∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD. 设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， 从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x. 于是在 △ABC 中，有 ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°， 解得 x = 36°. ∴∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系列方程求解. 归纳 A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 知识点2 三线合一 （第7题） 7. 如图，衣架可以近似看成一个 等腰三角形，其中， 于点 ，若 ，则 的长为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 23 （第8题） 8.如图，在中，，是 边上的中 线， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 24 例3 等腰三角形的一个内角是 50°，求这个三角形的底角的度数. 解：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当 50° 的角是顶角时，由于两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°. 方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角为锐角时，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 思考：建筑工人在盖房子时，将一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板的底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗? 9.如图，在中，， 是角平分线，则 下列结论不一定正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 27 10.如图，，分别是 的中线和角平分线，若 ， ，求 的度数. 解：因为，是 的中线，所以 ， 所以 . 因为是 的角平分线， 所以 ，所以 . 返回 举一反三 28 11. 若等腰三角形的一个内角为 ，则它的底角为( ) C A. B. C. 或 D. 或 返回 举一反三 29 （第12题） 12.如图，已知等腰三角形，， 是边 上的一点.下列条件不能说明是 的角平分 线的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 30 （第13题） 13.［2025怀化期末］如图，在第一个三角形 中， ， ，在 边上任取一点，延长到 ，使 ，得到第二个三角形 ，再在边上任取一点 ，延 C A. B. C. D. 长到，使，得到第3个三角形， ，以 此类推，则第个等腰三角形中，以 为顶点的内角的度数为( ) 返回 举一反三 31 14.如图，在中，，是 上一点，延 长至点，连接,使得，延长 至 点，使得，连接 . （1）求证： ； 证明：因为，所以 ，即 . 在与中， 所以 （边角边）. 举一反三 32 （2）若，，，则 的长为____. 25 返回 举一反三 33 15. 已知 ， ，为直线上一点， 为直线上一点， ，设 ， . （1）如图①，若点在线段上，点在线段上， ， ，则____ ，____ . 20 10 举一反三 34 （2）如图②，若点在线段上，点在线段上，则 ， 之间有 什么关系式？说明理由. 解： .理由：因为,所以 . 因为，所以 . 又因为 , 所以 ,所以 . 举一反三 35 （3）是否存在不同于（2）中的 ， 之间的关系式？若存在，请直 接写出这个关系式（写出一种即可）；若不存在，请说明理由. 解：存在不同于（2）中的 ， 之间的关系式，关系式为 或 . 返回 举一反三 36 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质. 推论 等边三角形三个内角相等，且均等于 60° 课堂小结 谢谢观看 THANKS $