第3章 锐角三角函数（复习课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了锐角三角函数的概念、特殊角值、解直角三角形及实际应用，通过知识图谱将正弦余弦正切定义、特殊角计算、解直角三角形依据与类型等核心内容串联，构建完整的知识网络与逻辑脉络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型全解-针对训练”的分层复习模式，如解双直角三角形时通过设未知数列方程培养数学思维，实际应用题中构造直角三角形模型发展应用意识。这种设计兼顾基础与提升，帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情提高复习效率。

第3章 锐角三角函数 复习课件 青岛版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 能准确识记锐角正弦、余弦、正切的概念，熟记特殊角度的三角函数值。正确理解解直角三角形的概念。 02 工具掌握 掌握锐角三角函数的概念，能灵活变形，求线段的长度。会用计算器计算任意锐角的三角函数值或由函数值求角度。 深化理解 利用锐角函数求线段长或者角度时必须在直角三角形中，不在的要添加适当的辅助线构造直角三角形。 思想与应用 在学习过程中体会数形结合，转化的数学思想，并能运用锐角三角函数的相关概念解决简单的实际问题。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.正确理解锐角三角函数的概念和灵活选择解直角三角形的方法。 2.理解锐角三角比所揭示的直角三角形的边角关系。用解直角三角形的知识解应用题时，运用转化思想，构造含有未知元素的直角三角形。 1. 锐角三角函数的概念：正弦、余弦、正切。 2.熟记特殊角度30，45，60的三角函数值的推导和结果。 3.解直角三角形的基本类型和方法。 4 知识图谱 锐角三角函数 解直角三角形 概念 计算 特殊角度 任意角度 正弦 余弦 正切 由角度求函数值 由三角函数值求角度 定义. 简单应用 依据 基本类型 5 考点串讲 ——1：锐角三角函数概念 1.∠A的正弦: B A C ∠A的对边a ∠A的邻边b 斜边c 锐角A的对边与斜边的比叫作∠A 的正弦， sinA = 在Rt△ABC中,∠C=90°, 锐角A 的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦, 2.∠A的余弦: 锐角A 的对边与邻边的比叫作∠A 的正切, 3.∠A的正切: tanA = = cosA== 6 考点串讲 ——1：锐角三角函数概念 对锐角三角函数概念的理解 1.对于每一个确定的锐角α，它的正弦、余弦、正切都有唯一确定的值与之对应;反之，对于每一个确定的正弦、余弦、正切值，都有唯一确定的锐角与之对应。 2.任意锐角的正弦值、余弦值和正切值都是正实数。由于在直角三角形中，直角边小于斜边，所以当α是锐角时， 0<sinα<1,0< cosα<1, tanα>0. 7 考点串讲 ——2：特殊关系 1.同角的三角函数关系: B A C ∠A的对边a ∠A的邻边b 斜边c sin2A +cos2A=1 tanA = 2.等角的三角函数关系: ∵∠A=∠B ∴sinA=sinB, cosA=cosB, tanA =tanB. 8 考点串讲 ——2：特殊关系 3.互余角的三角函数关系: ∵∠A+∠B=90° B A C ∠A的对边a ∠A的邻边b 斜边c sinA = cosA = ∴sinA=cosB=cos(90°-A), cosB = sinB = cosA =sinB =sin(90°-A). 任意一个锐角的正（余）弦的值， 等于它的余角的余（正）弦的值. 9 考点串讲 ——3：特殊角的三角函数值 你还记得30°，45°，60°角的三角函数值吗? sin30° = cos30°= tan30°=. sin45°= cos45°= tan45°= 1. sin60°= cos60°= tan60°= . 反过来，利用30°，45°，60°角的三角函数值求角的度数。 10 考点串讲 ——3：特殊角的三角函数值 记忆30°,45°,60°角三角函数值的方法总结 1表格记忆法: 对于30,45°,60°角的正弦值、余弦值和正切值，可结合表格及定义记忆。 2数形结合法: 可结合图中的数据和各三角函数的定义加以计算，从而记住结果。 B A C 1 1 B A C 1 2 11 考点串讲 ——4：用计算器求锐角的三角函数值 1.用计算器求锐角三角函数值： 按键顺序是: sin cos （或 或 ) tan α = 2.已知锐角的三角函数值，用计算器求锐角度数： 按键顺序是: 2nd F sin cos （或 或 ) tan 三角函数值 = 12 考点串讲 ——4：用计算器求锐角的三角函数值 3.用计算器探索三角函数值的变换规律： 当角度在0°~ 90°之间变化时， 正弦值随着角度的增大而增大，0<sina<1； 余弦值随着角度的增大而减小，0<cosa<1； 正切值随着角度的增大而增大，tana>0. 13 考点串讲 ——5：解直角三角形 1.解直角三角形的定义： 由直角三角形中的已知元素求出未知元素的过程, 叫作解直角三角形。 2.解直角三角形的依据： ①两个锐角的关系：∠A+∠B=90° ②三边之间的关系:a2+b2=c2 ③角与边之间的关系: sinA=cosB= cosA=sinB= tanA = tanB = B A C a b c 14 考点串讲 ——5：解直角三角形 3.解直角三角形的常见类型： ①已知两直角边解直角三角形； ②已知一直角边和斜边解直角三角形； ③已知一锐角（或它的三角函数值）或和一直角边解直角三角形；④已知一锐角（或它的三角函数值）和斜边解直角三角形。 15 考点串讲 ——6：解非直角三角形 将非直角三角形问题转化为直角三角形问题,常运用补形法或分割法实现转化，具体可以归纳为以下几种情况: (1)三角形(或梯形)作高法:当三角形(或梯形)的内角(或外角)中有特殊角(30°,45°,60°角)时，一般过非特殊角的顶点作三角形的高或过梯形较短底的端点作梯形的高，构造出含特殊角的直角三角形(如图所示)。 16 考点串讲 ——6：解非直角三角形 (2)延长四边形不相邻的两边使之相交法:有一对角均为直角，或相邻的两角互余的四边形中有特殊角时，可延长不相邻的两边使之相交，构造含特殊角的直角三角形(如图所示)。 B A C D E B A C D B A C D E F 17 考点串讲 ——6：解非直角三角形 (3)连接对角线可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形(如图所示)。 B A D C A D C B O 18 考点串讲 ——7：解直角三角形与实际问题 1.仰角、俯角问题： 仰角：从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角； 俯角：从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角． 在实际问题中，常利用平行线的性质，将仰角或俯角放在直角三角形中或转化到直角三角形中。 仰角、俯角常见类型： 19 考点串讲 ——7：解直角三角形与实际问题 2.方向角问题： 方向角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的锐角叫作方向角。 在实际问题中，常利用南北线与东西线，将方向角放在直角三角形中或转化到直角三角形中。 方向角常见类型： D 20 考点串讲 ——7：解直角三角形与实际问题 3.坡度、坡角问题： 坡角：斜坡的坡面所在的射线与水平线所夹的锐角称为坡角。 坡度：把斜坡起止点A,B的铅直高度差h与它们的水平距离l的比叫 作坡度(或坡比), 通常用字母i表示,即i==tanα, 坡度、坡角常见类型： 常写成i=1∶m的形式。 21 考点串讲 ——7：解直角三角形与实际问题 4.解决实际问题的思路： 实际问题 直角三角形 求解有关的边与角 解决问题 22 题型全解 题型01 求锐角三角函数值 【解析】本题主要考查锐角三角函数的概念，而∠BDE所在的直角三角形中的边长都未知，所以要利用等量代换法求，依据等角的三角函数值相等。 例1、如图所示，∠ACB=90°, DE⊥AB,垂足为E,AB=10,BC=6, 求∠BDE的三个三角函数值。 B A C D E 23 题型全解 题型01 求锐角三角函数值 B A C D E ∵DE⊥AB, ∴∠BED=90°, ∴∠B+∠BDE=90°. ∴∠B+∠A=90°. ∴∠BDE=∠A. 解：在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10,BC=6。 AC= = =8。 24 题型全解 题型01 求锐角三角函数值 B A C D E ∴sin∠BDE=sinA= = = cos∠BDE=cosA= = = tan∠BDE=tanA= = = 25 题型全解 题型01 求锐角三角函数值 求锐角三角函数值方法总结 方法 1：直接求法 当锐角在直角三角形中是，直接应用定义求出；当锐角所在的三角形不是直接三角形时，要作出合适的辅助线构造直角三角形，在套用定义即可。 方法 2：间接求法 等量代换法求三角函数值当一个锐角的三角函数不易直接求出时，常找到与它相等的角，通过等量代换求出等角的三角函数。 题型全解 题型02 网格中求锐角三角函数 【解析】在网格中求锐角的三角函数值时，关键看它在不在格点直角三角形中.过点P作PC∥AB,则∠QPC=∠QMB，连接CQ.因为PC,CQ都是正方形的对角线，所以∠PCQ=90°，这样∠QMB转化到格点直角三角形△PCQ中.根据勾股定理求得PC,CQ的长，则tan∠QMB=tan∠QPC==2. 例2、如图是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB， PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是( ) A. B.1 C. D.2 C D 27 题型全解 题型02 网格中求锐角三角函数 求网格图中的锐角三角函数值方法总结 充分运用数形结合思想，观 值 察所求的锐角在网格中的位置特征，寻找其所在的直角三角形或通过添加辅助线，构造锐角所在的直角三角形。 1.若直角顶点恰好在格点上，则可先运用勾股 定理求出三角形的边长,再利用锐角三角函数的概念求解. 2.若直角顶点不在格 锐角三角函数点上，则可先利用等面积法、勾股定理等求出相关边的长度，然后利用锐角三角函数的概念求解。 题型全解 题型03 30°,45°,60°角三角函数的应用 【解析】本题主要考查特殊角的三角函数，先由函数值求角度，再利用角度求函数值，代入算式计算出结果。 例3、已知a是锐角,且sin(α+15)=. 计算-4cosα-(π-3.14)0+tanα+()-1的值. 29 题型全解 题型03 30°,45°,60°角三角函数的应用 解：∵sin(α+15)=.∴α+15=60°∴α=45° -4cosα-(π-3.14)0+tanα+()-1 =2-4cos45°-1+tan45°+3 =2-4×-1+1+3=3 30 题型全解 题型03 30°,45°,60°角三角函数的应用 方法总结 方法 1：准确记忆 由已知特殊角的三角函数值求角的度数时，要确保对应锐角三角函数值的准确性。易因混淆30°和60°的三角函数值而导致错误。 方法 2：准确代入 把对应的特殊角的三角函数值代入式子中，再按实数的运算顺序及法则进行计算。注意:若无特别说明，用特殊角的三角函数值进行计算时，一般不取近似值。 题型全解 题型04 解双直角三角形 【解析】分析:因为△BDC是等腰直角三角形，所以BC=BD、而在Rt△ABC中，AB=DB+BD, ∠A=30°，所以可以利用tanA构造一个关于BC的方程，然后解方程即可求出BC的长. 例4、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°,D是边AB上一点，∠BDC=45°,AD=4。求BC的长(结果保留根号)。 B A C D 32 题型全解 题型04 解双直角三角形 解:设BC=x，在Rt△BCD中,∠ABC=90°,∠BDC=45°, B A C D ∴BD=BC=x. 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,AB=4+x, ∴tan A= =,即= , 解得x=2+2. ∴BC的长为2+2。 33 题型全解 题型04 解双直角三角形 解双直角三角形的方法技巧总结 在双直角三角形中，可以用未知数表示公共的直角边，然后利用三角函数分别表示出两直角三角形的另一条直角边，再根据它们之间的关系列方程求解。 题型全解 题型05 解非直角三角形 例5、如图,在△ABC 中,AB=15,AC=13,sin∠ABC=45。 (1)求sinC 的值; (2)作AC边上的高BD,求BD的长。 B A C D 【解析】本题考查了解直角三角形的知识，（1）需先作垂线构造直角三角形，再利用锐角三角函数求解。（2)求高线可以用锐角三角函数求解或面积法。 题型全解 题型05 解非直角三角形 解：（1）过点A作AE⊥BC于点E,则∠AEB=∠AEC=90°. B A C E 在△ABE中，AB=15,sin∠ABC=， ∵sin∠ABC=, ∴AE=ABsin∠ABC=15×=12。 在△ACE中，AC=13, ∴sinC ==. ∴sinC 的值是 . 题型全解 题型05 解非直角三角形 解：（2）过点B作BD⊥AC于点D, B A C E ∴BD=BCsinC=14×=。 ∵sinC ==. D 在△ABE中，BE= = =9. 在△ACE中，CE= = =5. ∴BC=9+5=14. ∴BD的长是 。 题型全解 题型05 解非直角三角形 解非直角三角形方法技巧总结 求非直角三角形的边或角时，可以通过作辅助线的方法构造直角三角形，然后转化成解决直角三角形问题。在作辅助线构造直角三角形时，一般不要破坏特殊角(30°,45°,60°角及其邻补角)或已知角的完整性，即尽量不要过这些特殊角的顶点作垂线，常从非特殊角的顶点作垂线。 题型全解 题型06 解直角三角形中的仰角、俯角问题 【解析】在解决有关仰角、俯角的问题时，先根据题意弄清楚各角和各边之间的关系，选择合适的锐角三角函数，用已知的线段和锐角三角函数表示出相关线段的长，再利用线段关系列式计算。本题也用的解双直角三角形的技巧。 例6、如图所示，在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=4m， 坡角∠DCE=30°,小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,在同一直E线上。 (1)求斜坡CD的高度DE; (2)求大楼AB的高度(结果保留根号)。 39 题型全解 题型06 解直角三角形中的仰角、俯角问题 解:(1)在△CDE中，CD=4m，∠DCE=30°, ∵sin∠DCE=, ∴DE=CDsin∠DCE=4sin30°=4×=2。 （2）过点D作DF⊥AB于点F, 则∠BFD=90°. F 在△CDE中，CE= = =2 40 题型全解 题型06 解直角三角形中的仰角、俯角问题 在△BDF中，∠BDF=45°, ∵tan∠ACB=tan60°=, ∴AB=ACtan60° F ∴DF=BF, 设DF=BF=x ∴AB=BF+AF=x+2,AC=x-2 在△ABC中，∠ACB=60°, ∴x+2=(x-2)× 41 题型全解 题型06 解直角三角形中的仰角、俯角问题 F 解得x=4+4. ∴AB的长是（4+6）m 。 ∴AB=4+4+2=4+6 42 题型全解 题型06 解直角三角形中的仰角、俯角问题 方法总结 在解决有关仰角、俯角的问题时，先根据题意弄清楚各角和各边之间的关系，选择合适的锐角三角函数，用已知的线段和锐角三角函数表示出相关线段的长，再利用线段关系列式计算。 在双直角三角形中，可以用未知数表示公共的线段，然后利用三角函数分别表示出两直角三角形的另一条直角边，再根据它们之间的关系列方程求解。 题型全解 题型07 解直角三角形中的坡度、坡角问题 例7、如图所示，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道。已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB=0.75m，斜坡AC的坡比为1:2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED=2.55m。为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度（结果精确到1°）。 44 题型全解 题型07 解直角三角形中的坡度、坡角问题 【解析】根据题意可知，无障碍通道最远能修到E点，求出坡角∠AEB的度数，只要修的无障碍通道的破角大于∠AEB的度数即可。DF=1/5AB= 0.15m，然后根据斜坡AC的坡比为1:2，可求出BC，CD的长，从而求出EB的长，最后在RtAEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答。 F 45 题型全解 题型07 解直角三角形中的坡度、坡角问题 F 解:如图所示，由题意得DF=AB=0.15(m)。 ∵AC的坡比为1:2,∴ =,=, ∴BC=2AB=1.5m,CD=2DF=0.3m。 ∵ED= 2.55 m, ∴EB=ED+BC-CD=2.55+1.5-0.3=3.75(m)。 在△ABC中，tan∠AEB===, 查表可得∠AEB≈11.310°≈11°， ∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于11°。 46 题型全解 题型08 解直角三角形在航海问题中的应用 例8、烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务。为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动。如图所示，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息: 位置信息：码头A在灯塔B北偏西14°方向，14:30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处，15:00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处。天气预警：受暖湿气流影响，今天17:30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气。请注意防范。 47 题型全解 题型08 解直角三角形在航海问题中的应用 请根据以上信息，解答下列问题: (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离; (2)若不改变航行速度,请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A(参考数据:sin37°≈0.60,cos 37°≈0.80, tan 37°≈0.75, sin 14°≈0.24, cos 14°≈0.97, tan 14°≈0.25). 48 题型全解 题型08 解直角三角形在航海问题中的应用 【解析】（1)过点B作BE⊥AC于E,则BE的长即为渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离。设BE=x,用含x的代数式表示出EC和ED，通过EC=ED+DC构造方程求解。 (2)通过解直角三角形求出 AC的长，进而求出渔船从C到A用的时间，确定出到达A时的时刻，比较可得。 E 49 题型全解 题型08 解直角三角形在航海问题中的应用 E 解:(1)如图所示，过点B作BE⊥AC于点E,则∠AEB=∠BEC=90°. 设BE=x海里， 依题意，∠EBC=53°,∠EBD=45°,CD=10×=5(海里), ∴∠C=90°-∠EBC=37°,ED=x(海里),∴EC=ED+DC=(x+5)海里。 在Rt△BCE中,EC= = ≈=x, ∴x=x+5,解得x=15。 ∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里。 50 题型全解 题型08 解直角三角形在航海问题中的应用 E （2)在Rt△ABE中,∠ABE=14°,BE=15海里， ∴AE=BE·tan 14°≈15×0.25=3.75(海里), ∴AC=AE+DE+DC=3.75+15+5=23.75(海里), 23.75÷10=2.375小时=142.5分钟， 从14:30，经过142.5分钟是16:52:30， 在17:30之前能到达。 ∴不改变航行速度,渔船能在浓雾到 来前到达码头A。 51 题型全解 题型08 解直角三角形在航海问题中的应用 方法总结 把实际问题转化为数学问题，把方向角转化为三角形中的角。找到要求解的直角三角形，当没有直角三角形时，适当添加辅助线构造直角三角形。 有些问题中有两个(或两个以上)直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时，可考虑在两个(或两个以上)直角三角形中找出含有相同的未知元素的关系式，运用方程知识求解。 针对训练 1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D。 (1)如果sin∠ACD=,那么= ; (2)如果AC=4,BC=3,那么sinA= ,cosA= , tanA= ; (3)如果cosA=,AB=10,那么BC= ,cosB= 。 解析：本题注意考查锐角三角函数定义。利用定义或等角关系求所给角的三角函数值或边。 B A C D 6 针对训练 2.下列说法中，正确的是( ) A.在△ABC中,∠C=90°,若tanA=,则a=3,b=4 B.若三角形的三边长之比为1::2，则该三角形是直角三角形 C.对于锐角a 必有sina<cosa D.在Rt△ABC中,∠C=90°,则sin2A+cos2B=1 解析：∵tanA=,∴a:b=3:4，但长度不一定是3，4.∴A不正确； B 针对训练 ∵三边长之比为1::2，设三边为x,x,2x ∴x2+(x)2=(2x)2,∴此三角形是直角三角形。B是正确。 当a=60°时，sin60°=，cos60°=.sina＞cosa。C不正确。 当∠A=30°，∠B=60°时，sin2A+cos2B=（）2+（）2 =+=≠1。所以D不正确。 针对训练 3.在锐角△ABC中，若|sin2A-|+(tanB-)2=0, 则tanC的值为（ ） A. B. C. D. 解析：利用非负数的性质得sin2A-=0，(tanB-)2=0。 ∴sinA=,tanB-=0∴∠A=60°，∠B=60°,∠C=60°.tanC= D 针对训练 4.(2026·济南莱芜区期中)如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为( ). A. B. C. D. C D 解析:如图，取格点D，连接BD。 由条件可知BD=,CD=2，BC=。BD2+CD2=BC2=10,∴△BDC是直角三角形， ∴tan∠ ACB ===,故选C. 针对训练 5.(2026·山东菏泽东明期末)如图所示，在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,∠A=α，易知tanα=，小明同学想求tan2α的值，他在AC上取点D,使得BD=AD, 则tan2α= . 解析：本题可以通过构造等腰三角形，结合勾股定理、 三角形外角性质和锐角正切的定义，直接在直角三角 形中求解二倍角的正切值。 ∵BD=AD,∴∠ABD=∠A,∴∠BDC=2∠A=2α. 设CD=x,则BD=AD=8-x.x2+42=(8-x)2,解得x=3. 针对训练 6.(2025·广州中考)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD=,AB=26,则点B到AD的距离为 . 10 解析:要解决这个问题，我们可以通过三角函数和直角三角形的性质来求解点B到AD的距离。∵cos∠CAD= , ∴sin∠CAD=。∴sin∠BAD=. ∴BE=ABsin∠BAD=26×=10. E 针对训练 7.在Rt△ABC 中,∠C=90°。 (1)若c=,a=,求∠A 的度数及b的值; (2)若c=8,∠A=60°,求a,b的值。 解析：（1）在直角三角形中,已知任意两条边, 就可以求出它的任意一个锐角的三角函数值,进而可以求出这个锐角的度数。 （2）已知一边和一锐角，选择合适三角函数值都能求出边长。 针对训练 解:(1)∵∠C=90°,c=,a=, ∴b===. ∵ sinA == = ∴∠A=45°。 (2)∵∠C=90°,c=8,∠A=60°, ∴∠B=30°。 ∴b=c=×8=4 ∴a===12. 针对训练 8.(山东潍坊中考)如图所示，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向。一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富。若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道 的最短长度是多少千米?(结果保留根号) 解析：要解决这个问题，我们需要利用点到直线的垂线段最短的性质，将输油管道的最短长度转化为点D到海岸线l的垂线段长度。通过直角三角形与方程联立，垂线段长度。 E 针对训练 解：过点D作DE⊥AB于点E,则∠BED=90°。由题意得，∠BAC=60°,∠BAD=15°,∠BCF=30°,AB=24 ∴∠ACB=90°,∠DAC=45°,∠ABC=30°, E F E E 在Rt△ABC 中,AB=24,∠ABC=30°. ∴AC=CD= AB=12.BC=12 ∴BD=BC-CD=12-12 ∴DE= BD=(12-12)=6-6 ∴输油管道的最短长度是(6-6)千米. 单元总结/易错复盘 ·数学思想 本章内容是体现数形结合、方程、转化思想的理想素材。在前面各章中学习直角三角形，多是着眼于“形”，而本章中利用锐角三角比解直角三角形，主要是从“数”的角度去研究。在解直角三角形时，有时需要通过设未知数列方程求解。 ·核心概念 理解锐角的正弦，余弦，正切及锐角三角函数的概念。准确记忆30°，45°，60°角的三角函数值。由特殊角的三角函数值求出对应的锐角。 ·建模思想 解直角三角形的实际应用题作为考查应用能力的题目一直是中考的热点。这类题目一般可以通过建立梯形、三角形等模型，把实际问题中的条件转化为直角三角形中的元素。从实际问题中抽象出方程模型(方程思想)，通过解方程求出答案。 64 青岛版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $