专题03 几何图形中的旋转综合问题（4大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

**基本信息** 聚焦几何图形旋转综合问题，按旋转对象分题型系统训练，通过典型例题构建从基础到综合的解题逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段绕点旋转|3题|以线段旋转为载体，考查全等构造与角度证明|从基本图形旋转切入，建立旋转性质与全等三角形的关联| |直角三角形旋转|3题|结合直角与旋转角，探究线段关系与图形形状|深化特殊角（90°）旋转的性质应用，强化空间观念| |等腰直角三角形旋转|3题|围绕等腰直角特性，涉及旋转后位置关系与最值|整合等腰、直角双重性质，提升复杂图形分析能力| |等边三角形旋转|3题|利用60°旋转角，探究线段数量关系与动态变化|突出等边三角形旋转的特殊性，培养动态几何思维|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03几何图形中的旋转综合问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、线段绕某点旋转综合问题 ..1 题型二、直角三角形绕点旋转综合问题， .7 题型三、等腰直角三角形绕点旋转综合问题 .11 题型四、等边三角形绕点旋转综合问题… …18 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、线段绕某点旋转综合问题 1.(2026八年级下·全国专题练习)如图，在等边△ABD中，E为△ABD内一点，连接AE,BE,DE, 将线段BE绕点B顺时针旋转至线段BC的位置，连接CE,CD,已知∠CBD=∠ABE. (I)判断△BEC的形状，并说明理由； (2)若BE L DE,∠AEB=150°，求证：CE=V3AE. 2.(2425九年级下北京东城开学考试)如图1，等腰直角三角形ABC中，AB=AC,D为BC边上一点， 满足BD<CD，,连接AD,以点A为中心，将射线AD顺时针旋转90°，与过点B的垂线BM交于点E. M M B D B D 图1 备用图 (1)依题意补全图1： (2)求证：AD=AE: (③)若点B关于直线AD的对称点为F,连接CF, 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①则直线AE与直线CF所成夹角为 °，并证明. ②若BE+CF=V2AB成立，直接写出∠BAD的度数为 3.(25-26九年级下山东济宁开学考试)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,将线段CA绕点C旋 转(0°<a<90)得到线段CD,连接AD、BD. C B 图1 图2 图3 (I)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转0，则∠ADB的度数为-； (2)将线段CA绕点C顺时针旋转α， ①如图2，求∠ADB的度数： ②如图3，若∠BCD的平分线CE交BD于点F,交DA的延长线于点E,连接BE.用等式表示线段AD、 CE、BE之间的数量关系，并证明， 题型二、直角三角形绕点旋转综合问题 4.(25-26九年级上湖南湘西·月考)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为△ABC内一点， ∠ADC=90°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AEB,连接ED并延长交BC于F点，过B作 BG⊥BE交EF的延长线于G. (I)请直接写出△ADE的形状为_； (2)探究线段DE,DF,DC之间的数量关系，并说明理由. 5.(25-26八年级上·上海静安·期中)已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，将△ABC绕点B 按顺时针方向旋转. 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 (I)当C转到AB边上点C位置时，A转到A',(如图1所示)直线CC'和AA相交于点D,试判断线段AD 和线段AD之间的数量关系，并证明你的结论： (2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明 理由 6.(25-26九年级上河南许昌·期末)综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=6, CB=8.将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,旋转角小于∠CAB,点B的对应点为点D,点C的对应 点为点E,DE交AB于点O,延长DE交BC于点P. 数学思考：(1)试判断 B 图1 图2 图3 PC PE 的数量关系，并说明理由. 深入探究：(2)在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题. ①“勤学小组”提出问题：如图2，当∠CAE=45°时，求线段BP的长， ②“善思小组”提出问题：如图3，当∠CAE=∠B时，直接写出线段OE的长. 题型三、等腰直角三角形绕点旋转综合问题 7.(25-26九年级上湖北黄冈期中)如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90° 图1 图2 图3 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)【猜想】如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是 位置关系是 (2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD,BE,(1)中的结论还成立吗？说明理由： (3)【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=6,CE=2V2,当A,E,D三点在同一直线 上时，直接写出BE的长， 8.(25-26九年级上福建南平期中)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3,在平面内，把△ABC绕 点A旋转得到△ADE,EF垂直直线BC,垂足为F,BD的延长线交EF于点G B 图① 图② (1)如图O,若∠BAD=60°，求证：△DEG是等腰三角形； (2)如图②，若点D在AC上，求证：点D是BG的中点： (③)连接BE,写出BE的最大值和最小值，并在图上画出对应的图形. 9.(25-26九年级上广东韶关月考)综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上王老师让同学们以“共项点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动. 【实践操作】王老师让同学们先画出两个等边△ABC和△ADE,将△ADE绕点A旋转到某一位置，要求同 学们观察图形，提出问题并加以解决. (1)如图①，“慎思组”的同学们连接BE、CD,则BE与CD有何数量关系？请你探究后直接写出结论： (2)如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接BD,他们认为，如果CD⊥AE,且 AE=3,CD=4,就可以求出BD的长，请写出求解过程， 【类比探究】如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形△ABC和△ADE,其中 ∠BAC=∠DAE=9O°，AB=AC,AD=AE;且点C恰好落在DE上，那么CD、CE和BC之间一定存在 某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系. 4/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ① ② ③ 题型四、等边三角形绕点旋转综合问题 10.(25-26八年级上·吉林长春月考)如图①，△ABC是等边三角形，DE∥BC,分别交AB,AC于点 D.E. D E D B B 图① 图② (I)求证：△ADE是等边三角形， (2)如图②，将图①中的△ADE绕着点A逆时针旋转适当的角度，使点B在ED的延长线上，连接CE,求 ∠BEC的度数及线段AE,BE,CE之间的数量关系，并说明理由， 11.(24-25八年级下江西抚州期中)如图，己知：△ABC是等边三角形，DB⊥BC,BE⊥AB,且 AE=CD B 图1 图2 (I)在图1中，△BDE是等边三角形吗？试说明理由； (2)把图1中的△BDE绕B点逆时针旋转120°得图2，求证：DB⊥AC 12.(24-25八年级上浙江杭州期中)(1)如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，△ABC和△ADE 都是等边三角形，连结BE、CD交于点O,且分别交AC、AE于点F、G.求证：△BAESACAD; (2)若将图1中的△EAD绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，△ABC和△ADE都 是等边三角形，∠BOC的度数变化吗？若不变，请求出∠BOC的度数；若变化，请说明理由： 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=4,BC=7,以AC为边向外作等边△ACD,直接写出BD 的长 D A G B A 图1 图2 图3 B 综合攻坚·能力跃升 一、 单选题 1.(25-26九年级下·广东惠州开学考试)如图，将△ABC绕点A旋转得到△AB'C',使边B'C恰好经过 点C,若∠ACB=75°，则∠BAB'的度数为(） B B A.10° B.20° C.30° D.40° 2.(25-26八年级上山东济南期末)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=90°，点D,E为 BC上两点，∠DAE=45,F为△ABC外一点，且AF=AE,∠EAF=90°，有下列结论： B E A ①CE=BF: ②BD2+CE2=DE2: 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③S△MCB=)AD:EF； 2 ④BE2+CE2=2AE: ⑤△FBE周长的最小值为1+2√2」 则以上结论正确的个数是() A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题 3.(25-26八年级上山东淄博期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=15°，将△ABC绕点C 按逆时针方向旋转a(O°<a<90)得到aDEC,设CD交AB于点F,连接AD,当旋转角a的度数为 时，△ADF是等腰三角形. D 4.(25-26九年级上：海南省直辖县级单位期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中 点，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，点C落在CD的延长线上的E处，点B落在F处，若AC=4W2, BC=2N17。则AB的长为 CE的长为 B D 三、解答题 5.(25-26九年级上湖北武汉·月考)如图，△ABC是等边三角形，将△ABM旋转一定角度后得到 △CBN,连接MN,CM (1)旋转中心是_，旋转方向是（填顺时针或逆时针），旋转角度为_（取最小旋转角度）： 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若∠AMB=150°，求∠MNC的度数： 6.(25-26九年级上·湖北武汉期末)如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC,∠ABC=90°，点D在AC上， 将△ABD绕点B顺时针方向旋转90°，得到△CBE. B E (1)求∠DCE的度数： (2)若AD=1,CD=3,求BD的长. 7.(25-26九年级上广东广州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,将△ABC绕点A沿顺时针旋转得到 △ADE,连接BD,CE,BD与CE交于点F. B C (①)若AB=2,∠BAC=45°，AC∥BD,求BD的长： (2)求证：△BCF≌△EDF」 &.(25-26九年级上广东惠州期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=l,AC=2,将Rt△ABC绕点B顺 时针旋转a(O°<a<I80),得到Rt△EBD,连接CD、AE,射线CD交AE于点F. G B 图1 图1-1 图2 (1)如图1，当a=90°时： ①∠BAE的度数是 ②求证：点F为AE的中点； 小明经过思考给出下面证明过程： 8111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明： 如图1-l,过点A作AG∥DE交CD的延长线于点G,则∠G=∠EDF, 由旋转的性质可得∠CBD=∠BDE=90°，CA=DE,BC=BD, .∠CBD=∠BDE .BC∥DE, .BC∥AG, .∠CAG=180°-∠ACB=90°， .BC=BD,∠CBD=90, :∠BCD=180-CBD=45, .∠ACG=90°-∠BCD=45°， .∠ACG=∠G=45, ..AG=AC, … 请将小明剩余的证明过程补充完整。 (2)当α≠90°时，(1)中②的结论还成立吗？若成立，请仅就图2的情形进行证明：若不成立，请说明理 由. 9.(25-26九年级上·江西上饶期末)【课本再现】(1)如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点 B、C、E在一条直线上，连接BD和AE相交于点P,线段BD与AE的数量关系是_；请你用旋转的性质说 明上述关系成立的理由， D D C C B 图1 图2 图3 【深入探究】(2)如图2，将△CDE绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与(1)中相同. ①线段BD与AE的数量关系是_： ②∠DPE的度数为_· 【拓展应用】(3)如图3，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=6,BD=10,求边CD的长度. 10.(24-25九年级上吉林松原·期末)综合与实践 9111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 某兴趣小组成员选取了两个完全相同的含30°角的三角尺如图①摆放，其中∠ACB=∠A'CB'=90°， ∠B=∠B=30°，AC=AC=2.保持△ABC不动，将△A'B'C绕着直角顶点C顺时针旋转一个角度 a(0°<a≤120) B(B B 4(4) 图① 图② 图③ (I)如图②，边AB'与边BC交于点D, ①当a=30°时，判断此时△A'CD的形状并证明： ②当0°<u<90°时，若△B'CD是等腰三角形，则a= (2)如图③，当△A'B'C继续旋转至点B、、B在同一条直线上时，连接AB,直接写出AB的长， 11.(25-26九年级上·湖北襄阳期末)综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题， 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,D,E分别为AC,BC的中点，将△CDE以点C为 旋转中心，顺时针方向旋转(0<a<360)后得到△CMN(点D,E的对应点分别为点M,N),连接 AM,BN. 【初步感知】 (1)如图2，当B,N,M三点恰好在同一条直线上，且点N在线段BM上时，∠CAM的度数为 (用含的式子表示) (2)如图3，在旋转过程中，试判断线段AM和BN之间的数量关系和位置关系，并说明理由. 【延伸探究】 (3)如图4，当a满足135<aW<225时，连接AN,BM,若设△ACN与△BCM的面积之和为S,则S是否 存在最大值？若存在，请求出S的最大值；若不存在，请说明理由， B B B 图1 图2 图3 图4 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26九年级上河南新乡期末)探究式学习是新课程标准倡导的重要学习方式.某校数学活动小组 在一次活动中，对一个数学问题作如下探究. M B 图1 图2 图3 【初识问题】 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,P是边上的一动点（点P不与点B,C重合）， ∠PAD=9O°，∠APD=∠B,连接CD,则BP与CD的数量关系是_，∠ACD的度数是_ 【探究问题】 (2)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,M是BC的中点，P是边BC上的一动点（点P不与点B, C,M重合)，若将线段AP绕点P顺时针旋转90°，点A的对应点为E,连接CE,AE ①如图2，若点P在线段BM上，过点P作PF⊥BC,交CA的延长线于点F,求∠ACE的度数. ②如图3，若点P在线段CM上，请直接写出线段AC,CE,CP之间的数量关系， 11/11 专题03 几何图形中的旋转综合问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、线段绕某点旋转综合问题 1 题型二、直角三角形绕点旋转综合问题 7 题型三、等腰直角三角形绕点旋转综合问题 11 题型四、等边三角形绕点旋转综合问题 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、线段绕某点旋转综合问题 1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在等边中，为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转至线段的位置，连接，，已知． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求证：． 【答案】(1)是等边三角形．理由见解析 (2) 【分析】（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出是等边三角形； （2）证明，得到，，得，求出，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 是等边三角形， ． ， ， 即． 根据旋转的性质可得， 是等边三角形． （2）证明：由（1）可知和都是等边三角形， ，，． 在和中， ， ，， ． 又， ， ． 在中，， ， ． 2．（24-25九年级下·北京东城·开学考试）如图1，等腰直角三角形中，，D为边上一点，满足，连接，以点A为中心，将射线顺时针旋转90°，与过点B的垂线交于点E．    (1)依题意补全图1； (2)求证：； (3)若点B关于直线的对称点为F，连接． ① 则直线与直线所成夹角为________°，并证明． ② 若成立，直接写出的度数为_________°． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①45；②30 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，，推得，根据旋转的性质可得，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （3）①过点B作关于直线的对称点为F，连接,连接并延长与的延长线交于点，根据线段的垂直平分线的性质可得，令，等量代换可得，根据等边对等角的性质可得，即可求得； ②连接，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，由（1），可得，推得，根据线段的垂直平分线的性质可得，推得，设，推得，，且，即可求得，即可得到． 【详解】（1）根据题意补全图形，如图：    （2）∵是等腰直角三角形 ∴，， 即 ∵射线绕点A顺时针旋转90°得到 ∴ 即 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ （3）①过点B作关于直线的对称点为F，连接,连接并延长与的延长线交于点，如图：    ∵点B关于直线的对称点为F ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 即直线与直线所成夹角为 ②连接，如图：    ∵是等腰直角三角形 ∴ 即 由（1）可得 ∴ ∴ 又∵点B关于直线的对称点为F ∴ ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∵，则 ∴ ∴ ∴ 故 解得 ∴ 3．（25-26九年级下·山东济宁·开学考试）在中，，，将线段绕点C旋转得到线段，连接、． (1)如图1，将线段绕点C逆时针旋转，则的度数为 ； (2)将线段绕点C顺时针旋转， ①如图2，求的度数； ②如图3，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连接．用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①；②．证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，再由等腰直角三角形的性质得解； （2）①由旋转易得：，，则，根据，即可得解； ②过点作，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质得垂直平分，由①知，，可得，根据得，，可得，证明，根据线段的和差即可得解． 【详解】（1）解：在中，，，将线段绕点C旋转， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； 故答案为：； （2）①由旋转易得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②． 证明：如图所示，过点C作，交的延长线于点G， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴，， 由①知，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型二、直角三角形绕点旋转综合问题 4．（25-26九年级上·湖南湘西·月考）在中，，，D为内一点，，将绕点A顺时针旋转得到，连接并延长交于F点，过B作交的延长线于G． (1)请直接写出的形状为 ； (2)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得出对应边和对应角的关系，进而判断三角形的形状； （2）先根据等腰直角三角形的性质求出相关角度，再利用全等三角形的判定证明三角形全等，得到线段相等关系，最后结合勾股定理得出线段之间的数量关系． 【详解】（1）解：的形状为等腰直角三角形； 理由：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形． （2）解：， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴． 5．（25-26八年级上·上海静安·期中）已知： 中，，，将绕点B按顺时针方向旋转．    (1)当转到边上点位置时，转到，（如图1所示）直线和相交于点，试判断线段和线段之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将Rt继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)仍然成立，理由见详解 【分析】（1）易证和都是等边三角形，从而可以求出，，进而可以证到； （2）过点作，交的延长线于点，由“”可证，可得； 【详解】（1）．理由如下：如图1， ， ，， ， 和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ； （2）仍然成立：， 如图2：过点作，交的延长线于点，则，，    由旋转可得，，， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ； 6．（25-26九年级上·河南许昌·期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P．         数学思考：（1）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究：（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“勤学小组”提出问题：如图2，当时，求线段的长． ②“善思小组”提出问题：如图3，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1），见解析；（2）①；② 【分析】（1）连接，证明即可． （2）①延长交于点，求出，，设，则，求出解答即可； ②利用旋转的性质证明和等腰三角形的判定得出，设，则，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：， 理由：如图1，连接，由旋转的性质知，，， ， ， ． （2）①解：如图2，延长交于点， ，， ， ，． 由（1）知，， 设，则， ， ， ； ② 解：如图3，由旋转的性质知，，，，，， ∵， ∴， ， ， 设，则， 在中，， ∴， ∴，即． 题型三、等腰直角三角形绕点旋转综合问题 7．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】(1)， (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 8．（25-26九年级上·福建南平·期中）在中，，，在平面内，把绕点旋转得到，垂直直线，垂足为，的延长线交于点． (1)如图①，若，求证：是等腰三角形； (2)如图②，若点在上，求证：点是的中点； (3)连接，写出的最大值和最小值，并在图上画出对应的图形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)有最大值：，有最小值：，图形见解析 【分析】（1）证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，得到，然后证明，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质得到，即可得证； （2）根据等腰三角形的性质和旋转的性质得到，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）根据勾股定理和旋转的性质得到，则点在以点为圆心，为半径的圆上，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵绕点旋转得到，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵，， ∴， 又∵绕点旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵绕点旋转得到， ∴，，， ∴，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是的中点； （3）解：∵，， ∴， ∵绕点旋转得到， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图，当、、三点共线且点在点上方时，此时点，点都与点重合， 有最大值：； 如图，当、、三点共线且点在点下方时，此时点，点都与点重合， 有最小值：． 9．（25-26九年级上·广东韶关·月考）综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，则与有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，，就可以求出的长，请写出求解过程． 【类比探究】如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），过程见解析；（3） 【分析】此题考查旋转模型以及勾股定理，解题关键是找准边与角的关系证明全等，然后利用勾股定理求解． （1）通过判定证明全等即可； （2）由（1）可知边长与角度的关系，然后利用勾股定理求解即可； （3）与（1）相同，证明全等后，利用勾股定理证明三边关系即可． 【详解】（1）解：与均为等边三角形， ， 又，， ， 在与中 ， ， ； （2）解：由（1）可知 ，， 在等边中，由可得 则， 在中，，， 由勾股定理可得：； （3）解：连接， ， ， 在与中 ， ， ，， ， ， ． 题型四、等边三角形绕点旋转综合问题 10．（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图①，是等边三角形，，分别交于点D，E． (1)求证：是等边三角形， (2)如图②，将图①中的绕着点A逆时针旋转适当的角度，使点B在的延长线上，连接，求的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形及全等三角形的判定与性质是解决问题的关键。 （1）根据为等边三角形，则，由得到 ，然后根据等边三角形的判定方法得到是等边三角形。 （2）由证明,得出，利用角度转化求出，线段间的等量代换求出的数量关系。 【详解】（1）解：证明：是等边三角形， ． ∵， ， ， 是等边三角形． （2）．理由如下： 由题意，得， ， 即， ， ， ， ． ． 11．（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，已知：是等边三角形，，且． (1)在图1中，是等边三角形吗？试说明理由； (2)把图1中的绕B点逆时针旋转得图2，求证：． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，掌握等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，进而可得，再证，推出，即可证明是等边三角形； （2）先计算出旋转前，再根据旋转得出旋转后，延长交于H，根据三角形内角和定理得出，即可证明． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 是等边三角形； （2）证明：由（1）知，旋转前， 旋转后， 如图，延长交于H， ， 是等边三角形， ， ， ． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，和都是等边三角形，连结、交于点O，且分别交、于点F、G．求证：； （2）若将图1中的绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，和都是等边三角形，的度数变化吗？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； （3）如图3，在中，，，，以为边向外作等边，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）的度数不变，；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （3）以为边在的外部作等边三角形，得到，，由（2）知，，根据全等三角形的性质得到，过E作交的延长线于F，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：的度数不变， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：以为边在的外部作等边三角形， ∴，， 由（2）知，， ∴， 过E作交的延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）如图，将绕点旋转得到，使边恰好经过点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可知，从而得到对应边、对应角相等．利用得出为等腰三角形，结合，求出等腰三角形的顶角．由旋转角相等，，从而得到答案． 【详解】解：∵将绕点旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，点，为上两点，为外一点，且，，有下列结论： ①； ② ③； ④ ⑤周长的最小值为． 则以上结论正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】①证即可；②连接，证即可；③根据，可得，由，得，得到，即可求证；④根据，，即可求证；⑤由，当点E在中点时，， ，最小，，最小，即可求证． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴．故①正确． ②如图：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 由①知，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故②正确． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 故③不正确． ④在中，， ∵， ∴， 又∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴． 故④正确． ⑤∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 当点E在中点时，， 此时，，最小，，最小， ∴周长的最小值为． ∴⑤不正确． ∴正确的有①②④． 故选：C． 二、填空题 3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，设交于点，连接，当旋转角α的度数为 ____________ 时，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】先根据旋转的性质得到，再求出，进而求出，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：由旋转得：， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当， ∴， ∴， 此方程无解，故不存在； 当， ∴， ∴， ∴， 当， ∴， ∴， ∴， ∴当旋转角α的度数为或时，是等腰三角形． 4．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，中，，点是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转，点落在的延长线上的处，点落在处，若，。则的长为___________，的长为___________． 【答案】 【分析】通过勾股定理可直接计算出；作，垂足为，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出，使用等面积法求出，再使用勾股定理求出，根据等腰三角形三线合一的性质求出． 【详解】解：如图，作，垂足为， 在中，， ∵点是斜边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴，解得， 在中，， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 三、解答题 5．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图， 是等边三角形，将 旋转一定角度后得到 连接． (1)旋转中心是 ，旋转方向是 （填顺时针或逆时针），旋转角度为 （取最小旋转角度）； (2)若求 的度数； 【答案】(1)B点；顺时针； (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定， 对于（1），根据旋转的定义可得答案； 对于（2），先根据旋转的性质得，即可说明是等边三角形，进而得出，再结合已知条件根据得出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． 将绕点B顺时针旋转得到． 所以旋转中心是B点，旋转方向是顺时针，旋转角为； 故答案为：B点，顺时针，； （2）解：由旋转的性质可知：， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，等腰中，，，点D在上，将绕点B顺时针方向旋转，得到． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，勾股定理． （1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得 的度数； （2）根据旋转的性质可知，，，，根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理即可得的长． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可知， ∴； （2）解：由旋转的性质可知：，，， ∵，， ∴ ∵，， ∴． 7．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，连接，，与交于点F． (1)若，，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角，勾股定理等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据得到，结合旋转得出，由勾股定理，可求得的长； （2）连接．根据旋转的性质先证明则，进而证明，得出，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴， 由勾股定理，得； （2）证明：连接． ∵将绕点A沿顺时针旋转得到， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． 8．（25-26九年级上·广东惠州·期末）在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，射线交于点． (1)如图1，当时： ①的度数是__________________； ②求证：点为的中点； 小明经过思考给出下面证明过程： 证明： 如图 1-1，过点作交的延长线于点，则， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， …… 请将小明剩余的证明过程补充完整。 (2)当时，（1）中②的结论还成立吗？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①45°；②见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】此题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）①由旋转的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出； ②过点作交的延长线于，则，证明，由全等三角形的性质得出； （2）过点作交 的延长线于，则，证明，证明，由全等三角形的性质得出； 【详解】（1）解：①解：∵将绕点顺时针旋转，得到，， ∴，, ∴, 故答案为：； ②解：∴， ∵， ∴ ∴， 即点为的中点； （2）解：成立， 证明：过点作交的延长线于，则， 由旋转的性质可得，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 即为的中点． 9．（25-26九年级上·江西上饶·期末）【课本再现】（1）如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点，线段与的数量关系是 ；请你用旋转的性质说明上述关系成立的理由． 【深入探究】（2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是 ； ②的度数为 ． 【拓展应用】（3）如图3，是等边三角形，，，，求边的长度． 【答案】（1）；理由见解析（2）①；②；（3）8 【分析】（1）利用等边三角形的性质，可得绕点逆时针旋转得到，即可得到； （2）由（1）可知，则，，再根据等边三角形的性质和角之间的等量代换，易得，从而可求； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，易得是等边三角形，由旋转的性质知，从而可得，再根据勾股定理，计算即可． 【详解】解：（1），理由如下： 和都是等边三角形， ，，，， ，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ； （2）①；② 理由：由（1）可知绕点逆时针旋转得到， 则， ，； 等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：①；②； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接， ，，， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质知， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 10．（24-25九年级上·吉林松原·期末）综合与实践 某兴趣小组成员选取了两个完全相同的含角的三角尺如图①摆放，其中，，．保持不动，将绕着直角顶点C顺时针旋转一个角度． (1)如图②，边与边交于点D． ①当时，判断此时的形状并证明； ②当时，若是等腰三角形，则_____________； (2)如图③，当继续旋转至点、、B在同一条直线上时，连接，直接写出的长． 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②或 (2) 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质； （1）①当时，，即可判定是等边三角形； ②分类讨论：当时，；当时，； （2）延长交于，利用含角直角三角形的性质可得，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：（1）①当时，是等边三角形，理由如下： ∵，即， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． ②∵， ∴若是等腰三角形，则只有或， 当时，， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴． 故答案为：或． （2）解：延长交于， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题． 如图1，在中，，，，分别为，的中点，将以点为旋转中心，顺时针方向旋转后得到（点，的对应点分别为点，），连接，． 【初步感知】 （1）如图2，当，，三点恰好在同一条直线上，且点在线段上时，的度数为__________．（用含的式子表示） （2）如图3，在旋转过程中，试判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【延伸探究】 （3）如图4，当满足时，连接，，若设与的面积之和为，则是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），，理由见解析 （3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、旋转的性质、三角形内角和定理以及最值问题的求解． （1）根据线段中点的定义可得，再由旋转的性质可得，，，，由等边对等角可得，证明，则由三角形外角和定理可得； （2）延长交于点，交于点，由（1）知，则，，则可推导，由此得到线段和之间的数量关系和位置关系； （3）连接，，二者交于点，由（1）得，，证明，则，推导，，当有最大值，有最大值，与的面积之和有最大值，当、、三点共线时，有最大值，由与的面积之和的最大值为即可解答． 【详解】（1）解：，，，分别为，的中点， ，， ， 由旋转的性质可得，，，，， ， ， ， 又， ， ； （2）解：，，理由如下， 如图，延长交于点，交于点， 由（1）知， ，， 又， ， ， 综上所述，，； （3）解：如图，连接，，二者交于点， 由（1）知，， ， ， ， 又，， ， ，， 设，则，， ， ， ， 即， ， ， 当有最大值，有最大值，与的面积之和有最大值， ， 当、、三点共线时，有最大值，最大值为， 的最大值为， 与的面积之和有最大值，此时． 12．（25-26九年级上·河南新乡·期末）探究式学习是新课程标准倡导的重要学习方式．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【初识问题】 （1）如图1，在中，，，P是边上的一动点（点P不与点B，C重合），，，连接，则与的数量关系是 ，的度数是 ． 【探究问题】 （2）在中，，，M是的中点，P是边上的一动点（点P不与点B，C，M重合）．若将线段绕点P顺时针旋转，点A的对应点为E，连接，． ①如图2，若点P在线段上，过点P作，交的延长线于点F，求的度数． ②如图3，若点P在线段上，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1），；（2）①；② 【分析】（1）根据等角对等边，得到，进而推出为等腰直角三角形，证明，即可得出结果； （2）①旋转得到，，证明为等腰直角三角形，得到，，证明，得到，根据角的和差关系进行求解即可；②过点作，交于点，证明为等腰直角三角形，得到，证明，推出，根据线段的和差关系即可得出结论． 【详解】解：（1），， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，； 故答案为：，； （2）①线段绕点顺时针旋转， ，， ，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 又，， ， ， ； ②过点作，交于点，如图， ， 为等腰直角三角形， ， ，，， ， ， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $