考点01 图形的平移与旋转（专项训练）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

**基本信息** 以平移、旋转、中心对称为核心，通过“概念要素-性质总结-题型应用”逻辑链，整合方程思想、全等模型等方法，覆盖选择、填空、解答全题型，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |考点梳理|3大考点（含要素/性质表）|要素归纳（平移方向/距离等）|从变换要素到性质推导，构建概念体系| |性质应用|4类基础题型（含期中真题）|性质应用（等量代换/勾股定理+方程思想）|性质与几何计算结合，强化推理意识| |综合探究|4类提升题型（含坐标变换/作图/全等模型）|坐标变换口诀（右加左减等）+作图步骤+旋转全等模型|从基础应用到坐标与几何综合，形成完整认知链|

考点01 图形的平移与旋转 考点一：平移变换与平移图形的性质 要素 (1)平移方向；(2)平移距离 性质 (1)平移前后，对应线段平行(或共线)且相等，对应角相等； (2)对应点所连线段平行(或共线)且相等(等于平移距离)； (3)平移不改变图形的形状和大小，即平移前后的图形全等 考点二：旋转变换与旋转图形的性质 旋转的要素 (1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角度.  旋转中心的确定：找出两组对应点，分别连接每组对应点并作连线的垂直平分线，交点即为旋转中心 旋转的性质 (1)旋转前后两图形全等；  如AB＝A’B’，AC＝A’C’， BC＝B’C’； ∠ABC＝∠A’B’C’，∠ACB＝∠A’C’B’；  (2)对应点到旋转中心的距离相等；  如OA＝OA’，OB＝OB’；  (3)对应点与旋转中心的连线所成的角等于 旋转角，如：∠AOA'＝∠BOB'＝∠COC'＝α；  (4)旋转不改变图形的形状、大小，只改变位置 如图，将△ABC绕点O顺时针旋转 α得到△A'B'C' 考点三：中心对称图形与成中心对称 图形 中心对称图形   中心对称   性质 (1)图形绕对称中心旋转180°，旋转前后的图形完全重合； (2)经过对称中心的任意一条直线平分该图形的面积 (1)成中心对称的两个图形是全等图形； (2)对应点的连线交于对称中心，且被对称中心平分；  (3)对应线段平行(或共线)且相等 总结 (1)常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等； (2)常见的既是轴对称图形又是中心对称图形的有：菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等 题型一：根据变换方式确定图形 注意：图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变位置，而不改变图形的形状和大小.。 1．（24-25八年级下·山东济南·期中）下列图形中是中心对称图形的是（　  　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西大同·月考）下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B．C． D． 题型二：平移图形的性质 注意：（1）正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． ①应用方程思想+全等三角形+角度等量代换求角度； ②应用全等三角形的性质+勾股定理+方程思想解直角三角形。 1．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，将四边形沿着对角线所在的直线平移，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，平移后得到，已知，则 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，将向左平移得到，连接，如果的周长是，四边形的周长是，那么平移的距离是________． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，，将直角沿着射线方向平移，得，若，则阴影部分的周长为 （      ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，，把向下平移至后，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．32 B．48 C．24 D．16 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，将含角的直角三角板沿着射线方向平移，得到三角形，连接，在平移过程中，若与之间存在两倍的数量关系，则______． 题型三：旋转图形的性质 ·角度问题：全等三角形的性质+角度等量代换 ·边长问题：全等三角形的性质+勾股定理+方程思想+线段的等量代换 7．（24-25八年级下·全国·期中）如图所示，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使，则度数为（    ） A．70° B．40° C．50° D．80° 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接，则的长为________． 题型四：中心对称图形的性质 1．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，与成中心对称，点A是它们的对称中心，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F． (1)E是线段的___________，点A与点F关于点___________成中心对称； (2)若，求证：是等腰三角形． 题型五：确定对称中心和旋转中心 ·确定对称中心： ①找两组对应点；②连接两组对应点的交点即对称中心 ·确定旋转中心： ①找两组对应点并连线；②作两线段的垂直平分线；③两条垂直平分线的交点即旋转中心。 1．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，将绕点旋转得到，则点的坐标是______． 题型六：根据变换方式求坐标 ·点的平移 点的平移→坐标的变化规律：①点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))； ②点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 口诀：右加左减、上加下减 注意：点的坐标的变化也可引起的点相应的平移变换． ·点的旋转 ①绕原点旋转180°：对应点关于原点对称； ②绕一点旋转90°：构造一线三直角全等模型解决问题； ③45°、30°、60°的旋转：辅助线构造直角三角形解决问题（一般题型都是向坐标轴作垂线段）。 ·图形的平移与旋转：本质是图形上的点的平移与旋转（利用参数表示变换方式） 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，的顶点都在方格线的交点上，如果将先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，那么点B的对应点的坐标是_________． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，求、的值． 4．（2025·湖北·一模）如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转90°至，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为______． 6．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转，得到，则点的坐标是_______． 7．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型七：根据变换方式作图 ·旋转作图 ①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. ②分析所作图形，找出构成图形的关键点. ③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. ④按原图形连结方式顺次连结各对应点. ·中心对称图形作图 ①确定对称中心； ②作已知图形的关键点与对称中心的连线，并且延长至2倍，得到关键点（顶点）的对称点. ③顺次连结对称点即得所作图形. 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图所示，在的正方形网格中，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答． (1)在6个图案中，具有中心对称性的图案是____________（填写序号）． (2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有中心对称性． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． (1)在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； (2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； 4．（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，在中，点D是边的中点，已知，．    (1)画出关于点D的中心对称图形； (2)根据图形说明线段长的取值范围． 5．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，已知四边形．将四边形平移，使得顶点A平移到了点，在平面内画出四边形．（不写画法，标明字母） 6．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，B的坐标为，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到． (1)若直线经过点C，求平移的距离； (2)继续向右平移，当点A平移到了原点O，画出此时平移后的，连接，，直接写出和平行且相等的线段． 7．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，是由经过平移得到的，点，，的对应点分别为，，，且这六个点都在格点上，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标，并说明是由经过怎样的平移得到的； (2)若点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为，求和的值； (3)连接，则______． 8．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)画出关于原点对称的； (3)观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） (4)点P在y轴上且为等腰三角形，这样的P点有 个． 题型八：旋转条件下的全等模型 注意：坐标系中动点问题的破题思路 ①方程思想：设动点坐标（例：y轴上的点可设）；②借助坐标轴构造全等（一线三直角全等模型）；③根据全等性质表示相关点的坐标；④勾股定理求动点坐标. ·利用旋转构造全等三角形： 1．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．          【操作感知】 （1）如图1，已知点O，A，B在的网格格点上（小正方形的顶点），若M为格点，请在图1的网格中直接画出所有以，为勾股边且对角线相等的勾股四边形； 【探究论证】 （2）如图2，，且，连接，，，，当时，求证：，即四边形是勾股四边形； 【迁移探究】 （3）如图3，和是等边三角形（），连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知在中，，，于D． (1)如图1，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接交于点G．求证：； (2)如图2，点E是线段上一点．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G． ①求证：；②若，，求的长． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 6．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知在中，，，于D． (1)如图1，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接交于点G．求证：； (2)如图2，点E是线段上一点．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G． ①求证：；②若，，求的长． 题型八：图形变换与规律探究 1．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处．点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，，则点的横坐标为____． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期中）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2025秒时，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转20次后，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·山东德州·期中）如图，在长方形中，，第一次平移将长方形沿方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第二次平移将长方形沿方向向右平移4个单位长度，得到长方形，……，第n次平移将长方形沿方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长为45，则________． 6．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点，……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（    ） A．22025 B． C． D． 为， 故选：C． 7．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）【阅读理解】 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式． 例：点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． (1)求直线的解析式； (2)点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了次． ①当时，若点恰好落在直线上，求的值； ②若无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，已知点，点，若点、点位于直线的两侧，求的取值范围； 8．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式． 例：点从原点出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． (1)设直线经过上例中的点M，N，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点从原点出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了次． ①用含的式子分别表示x，y； ②请说明：无论怎样变化，点都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； 1．（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．一个机器人（看成点）从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；机器人照此规律跳下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点与坐标原点重合，点在轴正半轴上．将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，记为第一次旋转．再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，以此规律旋转．则点的坐标为___________，第2025次旋转后钝角顶点坐标为___________． 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，点D为外一点，连接，，，，，，则____________． 4．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在边长为1的的小正方形网格中，图形①经过若干次的图形变化得到图形②．（平移、旋转或轴对称） (1)请你写出一种由图形①到图形②的变化过程：____________． (2)求图形①中五边形的面积． 5．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在期中复习中，小杰对数学课本第62页习题的第5题进行了再探究． 【原题再现】 如图1，直线，垂足为，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？ 小杰发现点可看作是由点绕着点旋转后得到，即点与点关于点成中心对称．为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘，为此他邀请爱思考的小华一起继续探究． 【初步探究】 （1）如图2，他们先把一个沿直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置．他们发现可以看作是由通过一次________得到（填“平移”、“轴对称”或“旋转”）；若，则两条对称轴所形成的夹角（锐角）度数为________°． 【深入探究】 （2）如图3，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点；他们通过研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次即可得到． ①旋转中心为点________； ②经过探究，他们发现两条对称轴之间的夹角与旋转角之间存在等量关系，请写出它们之间的等量关系，并说明理由． 6．（24-25八年级下·广东深圳·期中）在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在网格中画出以为旋转中心，顺时针旋转的； (2)①在网格中画出关于原点成中心对称的； ②已知点为中其中一边上任一点，若点在①中的边上的对应点为，则点的坐标是______（用字母、表示）． ③在轴上找一点，使最小，最小值为______，并在图中标出点． 7．（24-25八年级下·北京·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题． 探究的几何意义 如图①，设点M的坐标为，过M作轴于点P，作轴于点Q，则，则．因此的几何意义可以理解为点与点之间的距离． 探究的几何意义． 如图②，在直角坐标系中，设点的坐标为，，将线段先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段，此时点A的坐标为，点B的坐标为，因为，所以，因此的几何意义可以理解为点与点之间的距离． 回答以下问题： (1)的几何意义可以理解为点与点的距离和点与点F________（填写坐标）的距离之和． (2)的最小值为________（直接写出结果）． (3)已知， 求证：．并求使等号成立的条件． 8．（24-25八年级下·广东深圳·期中）旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”． 【问题解决】如图1，P是等边内一点，且，，，若将绕点A逆时针旋转后，得到． (1)则点P与之间的距离为 ， （直接写出答案）． (2)在（1）的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作，交延长线于H，请你根据他的思路，计算 （直接写出答案）． (3)【类比探究】如图3，点P是正方形内一点，，求的度数？请写出完整过程； （直接写出答案）． (4)【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接，，记与交于点D，可知，由，可知为等边三角形，有．故，因此，当共线时，如图5，有最小值为．请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形内一点，Q为边上一点，连接、、，则的最小值为 （直接写出答案）． 9．（24-25八年级下·山西太原·期末）综合与探究 问题情境：一次数学兴趣小组活动中，同学们准备了一大一小两张直角三角形纸片（即），按照图1所示的方式摆放．其中，点D、E分别为的中点．老师要求各小组结合所学的图形变化的知识展开数学探究． 操作探究1：（1）如图2，“勤学”小组将沿射线上平移得到，分别连接，发现四边形是平行四边形，请证明这一结论． 操作探究2：（2）“善思”小组将由初始位置（图1）绕点A按顺时针方向旋转得到． ①如图3，当点Q落在边上时，延长交于点M，判断的形状并说明理由． ②当旋转到时，连接，若，请直接写出线段的长． 10．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点A．与y轴交于点B，过点A作轴于点C． (1)直接写出定点A的坐标为______； (2)如图1，点，连接，当时，连接，若，且在左侧存在点使得，求点B和点E的坐标； (3)如图2，当时，直线交x轴于点F，平移直线交x轴正半轴于点G，交y轴负半轴于点H，连接，交y轴正半轴于点M．当时，求证：为定值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 图形的平移与旋转 考点一：平移变换与平移图形的性质 要素 (1)平移方向；(2)平移距离  性质 (1)平移前后，对应线段平行(或共线)且相等，对应角相等； (2)对应点所连线段平行(或共线)且相等(等于平移距离)； (3)平移不改变图形的形状和大小，即平移前后的图形全等 考点二：旋转变换与旋转图形的性质 旋转的要素 (1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角度.  旋转中心的确定：找出两组对应点，分别连接每组对应点并作连线的垂直平分线，交点即为旋转中心 旋转的性质 (1)旋转前后两图形全等；  如AB＝A’B’，AC＝A’C’， BC＝B’C’； ∠ABC＝∠A’B’C’，∠ACB＝∠A’C’B’；  (2)对应点到旋转中心的距离相等；  如OA＝OA’，OB＝OB’；  (3)对应点与旋转中心的连线所成的角等于 旋转角，如：∠AOA'＝∠BOB'＝∠COC'＝α；  (4)旋转不改变图形的形状、大小，只改变位置 如图，将△ABC绕点O顺时针旋转 α得到△A'B'C' 考点三：中心对称图形与成中心对称 图形 中心对称图形   中心对称   性质 (1)图形绕对称中心旋转180°，旋转前后的图形完全重合； (2)经过对称中心的任意一条直线平分该图形的面积 (1)成中心对称的两个图形是全等图形； (2)对应点的连线交于对称中心，且被对称中心平分；  (3)对应线段平行(或共线)且相等 总结 (1)常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等； (2)常见的既是轴对称图形又是中心对称图形的有：菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等 题型一：根据变换方式确定图形 注意：图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变位置，而不改变图形的形状和大小.。 1．（24-25八年级下·山东济南·期中）下列图形中是中心对称图形的是（　  　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，理解中心对称图形的概念是解题关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念即可得出答案． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西大同·月考）下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键．根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、此选项图案在设计中用到平移变换方式，不符合题意； B、此选项图案在设计中用到旋转变换方式，符合题意； C、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； D、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查了成中心对称的概念，熟练掌握知识点是解题的关键，把一个图形绕着一个定点旋转后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、两个图形成中心对称，符合题意； B、两个图形不成中心对称，不符合题意； C、两个图形不成中心对称，不符合题意； D、两个图形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 题型二：平移图形的性质 注意： （1）正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． ①应用方程思想+全等三角形+角度等量代换求角度； ②应用全等三角形的性质+勾股定理+方程思想解直角三角形。 1．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，将四边形沿着对角线所在的直线平移，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质求解即可． 【详解】解：∵平移不改变角度大小， ∴， 故选：B 2．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，平移后得到，已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了平移的性质，掌握平移不改变角的大小是解题的关键． 直接利用平移的性质求解即可． 【详解】解：∵平移后得到，， ∴． 故选C． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，将向左平移得到，连接，如果的周长是，四边形的周长是，那么平移的距离是________． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移前后对应线段相等是解题关键． 根据平移的性质结合已知条件求解即可． 【详解】解：∵将向左平移得到， ∴，， 则， ∵的周长是， ∴的周长是， 即cm， ∵四边形的周长， ∴， 即平移的距离是； 故答案为：． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，，将直角沿着射线方向平移，得，若，则阴影部分的周长为 （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查平移的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．利用勾股定理求出，再利用平移变换的性质，可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， 阴影部分的周长． 故选：D． 5．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，，把向下平移至后，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．32 B．48 C．24 D．16 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到，，，则，由于，所以利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：三角形向下平移至三角形， ，，， ， ， ， ． 故选：B． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，将含角的直角三角板沿着射线方向平移，得到三角形，连接，在平移过程中，若与之间存在两倍的数量关系，则______． 【答案】或或 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移后对应线段互相平行可得，再根据点在线段上时，，点在线段延长线上时，，两种情况结合与之间存在两倍关系分类讨论求解， 【详解】解：设， ∵， ∴ I．当点在线段上时，如图1， ①当时，即， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴，解得：， ∴； II．点在线段延长线上时，如图2， ③当时，即， ∵， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴，，不合题意舍去， 综上所述：等于、、． 故答案为：或或． 题型三：旋转图形的性质 ·角度问题：全等三角形的性质+角度等量代换 ·边长问题：全等三角形的性质+勾股定理+方程思想+线段的等量代换 7．（24-25八年级下·全国·期中）如图所示，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使，则度数为（    ） A．70° B．40° C．50° D．80° 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角、平行线的性质．旋转中心为点，与，与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴， ∴，， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 故选：B． 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点落在的延长线上，连接，则的长为________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及勾股定理逆定理，掌握旋转的性质，等腰三角形的性质及勾股定理求线段长度的计算是解题关键．根据旋转的性质得到，，，得出，利用勾股定理逆定理得出，即可得出是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 题型四：中心对称图形的性质 1．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质． 根据中心对称的性质进行求解即可． 【详解】解：∵和关于点O成中心对称， ∴， ∴， 故选项A，C正确， 根据对顶角相等得， 故选项B正确． 故选：D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，与成中心对称，点A是它们的对称中心，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查了中心对称的性质．由中心对称的性质得，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图，在四边形中，，点E是上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F． (1)E是线段的___________，点A与点F关于点___________成中心对称； (2)若，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)中点，E (2)见解析 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，中心对称图形的定义，等腰三角形的等腰，证明是解题的关键。 （1）由中心对称图形的定义可得E是线段的中点，再由平行线的性质得到，则可证明，则，即点A与点F关于点E成中心对称； （2）由全等三角形的性质得到，则可证明，即可证明是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵点D与点C关于点E中心对称， ∴E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点A与点F关于点E成中心对称， 故答案为：中点，E； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形． 题型五：确定对称中心和旋转中心 ·确定对称中心： ①找两组对应点；②连接两组对应点的交点即对称中心 ·确定旋转中心： ①找两组对应点并连线；②作两线段的垂直平分线；③两条垂直平分线的交点即旋转中心。 1．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查了旋转的性质，找旋转中心，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据旋转的性质，可知对应点到旋转中心的距离相等，据此解答即可． 【详解】解：根据题意，得，只有， 故B，C，D都错误，A正确， 故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了旋转的性质，连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：C． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，将绕点旋转得到，则点的坐标是______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，先根据旋转的性质得到点A的对应点为点，点的对应点为点，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段的垂直平分线，也在线段的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心． 【详解】解：作线段和的垂直平分线，它们的交点为， 旋转中心的坐标为． 故答案为：． 题型六：根据变换方式求坐标 ·点的平移 点的平移→坐标的变化规律：①点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))； ②点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 口诀：右加左减、上加下减 注意：点的坐标的变化也可引起的点相应的平移变换． ·点的旋转 ①绕原点旋转180°：对应点关于原点对称； ②绕一点旋转90°：构造一线三直角全等模型解决问题； ③45°、30°、60°的旋转：辅助线构造直角三角形解决问题（一般题型都是向坐标轴作垂线段）。 ·图形的平移与旋转：本质是图形上的点的平移与旋转（利用参数表示变换方式） 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查平面直角坐标系中线段的平移，解题的关键是利用已知点的坐标变化确定平移规律（横、纵坐标的变化量），再将规律推广到其他点．要解决线段平移后点的坐标问题，需先确定点到的平移规律（横坐标和纵坐标的变化量），再将该规律应用到点 上，从而得到 的坐标． 【详解】已知点的坐标为，平移后点 的坐标为． 横坐标的变化量：，即点的横坐标向左平移了4个单位； 纵坐标的变化量：，即点的纵坐标向下平移了3个单位． 点的坐标为，根据上述平移规律（横坐标减4，纵坐标减3）： 横坐标：； 纵坐标：． 因此，点 的坐标为． 故选D 2．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，的顶点都在方格线的交点上，如果将先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，那么点B的对应点的坐标是_________． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查坐标与平移，根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：由图可知：， ∵将先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∴，即：； 故答案为：． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，求、的值． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查坐标与原点对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 解得：． 故． 4．（2025·湖北·一模）如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转90°至，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，求平面直角坐标系内点的坐标， 先作轴，轴，根据题意可知，可得，再证明，可得，即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 过点A，B作轴，轴，交x轴于点D，E， ∵点， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点． 故选：A． 5．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查坐标与旋转，根据题意，画出图形，利用数形结合，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，则：， ∵， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转，得到，则点的坐标是_______． 【答案】 【难度】0.65 【分析】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线构造出直角三角形． 过点C作轴于点E，由题意可得，，再利用含度直角三角形的性质，求解即可． 【详解】解：过点C作轴于点E， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点A作轴于点D，结合，，得到，，，确定，根据旋转意义，得到第一秒后的位置为，第二秒后的位置为，第三秒后的位置为，第四秒后的位置为，第五秒后的位置为，第六秒后的位置为，确定循环节为6，再由即可得到答案． 【详解】解：过点A作轴于点D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 根据旋转意义，得到第一秒后的位置为，第二秒后的位置为，第三秒后的位置为，第四秒后的位置为，第五秒后的位置为，第六秒后的位置为， ∵每旋转6次为一个循环 ∵， ∴第2025秒时，点的对应点的坐标为， 故选C． 8．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题及平移的性质，先求出两点的坐标，得到，进而求出，即可求出C点的坐标，设沿x轴正方向平移m个单位长度后，得到，由平移的性质得到，结合平行四边形的性质，当直线过的中点时，面积恰好被直线平分，即可求解． 【详解】解：根据题意当时，则， 当时，则， 解得：， ∴， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 设沿x轴正方向平移m个单位长度后，得到，连接， 则， ∵四边形是平行四边形，即平行四边形是中心对称图形， ∴当直线过的中点时，面积恰好被直线平分， ∵的中点为，即， ∴， 解得：． 故选B． 题型七：根据变换方式作图 ·旋转作图 ①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. ②分析所作图形，找出构成图形的关键点. ③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. ④按原图形连结方式顺次连结各对应点. ·中心对称图形作图 ①确定对称中心； ②作已知图形的关键点与对称中心的连线，并且延长至2倍，得到关键点（顶点）的对称点. ③顺次连结对称点即得所作图形. 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图所示，在的正方形网格中，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形． 【答案】见解析． 【难度】0.65 【分析】本题考查了利用旋转设计图形，根据中心对称图形的定义即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：依题意可得，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，如图： 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答． (1)在6个图案中，具有中心对称性的图案是____________（填写序号）． (2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有中心对称性． 【答案】(1)②④⑥ (2)见解析 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． （1）把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此求解即可； （2）把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此设计图案即可． 【详解】（1）解：由中心对称图形的定义可知，②④⑥都是中心对称图形； （2）解：如图所示，即为所求； 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． (1)在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； (2)在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【难度】0.85 【分析】本题考查设计轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键： （1）画一个平行四边形即可； （2）画一个等腰梯形即可． 【详解】（1）解：由题意画图如下： （2）解：由题意，画图如下： 4．（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，在中，点D是边的中点，已知，．    (1)画出关于点D的中心对称图形； (2)根据图形说明线段长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【分析】本题考查了画中心对称图形，三角形三边关系的应用，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据中心对称图形的性质和三角形三边关系解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，关于点D的中心对称图形即为所求：    （2）解：由中心对称的性质可得，点共线，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，已知四边形．将四边形平移，使得顶点A平移到了点，在平面内画出四边形．（不写画法，标明字母） 【答案】见解析 【难度】0.85 【分析】本题考查了画图形的平移，确定A到的平移，画出B，C，D平移后的对应点，依次连接即可． 【详解】解：四边形平移后的四边形如图所示． 6．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，B的坐标为，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到． (1)若直线经过点C，求平移的距离； (2)继续向右平移，当点A平移到了原点O，画出此时平移后的，连接，，直接写出和平行且相等的线段． 【答案】(1) (2)图见解析，， 【难度】0.65 【分析】本题考查平移作图，勾股定理，一次函数图象和性质，掌握平移的性质是解题的关键． （1）先求出直线的解析式，再根据平移求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标，即可求解； （2）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：过点B作，垂足为M， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， 当直线经过点C，∵， ∴， ∴， 设， 把，代入，得， 解得， ∴， ∵平移， ∴设， 把代入得：， ∴， 令，解得， ∴点， ∴， ∴平移的距离为的长． （2）解：如图所示，和平行且相等的线段为，． 7．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，是由经过平移得到的，点，，的对应点分别为，，，且这六个点都在格点上，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标，并说明是由经过怎样的平移得到的； (2)若点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为，求和的值； (3)连接，则______． 【答案】(1)点和点，是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)的值为，的值为； (3)． 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． （）根据所给平面直角坐标系及点和点的位置即可求解； （）根据平移的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得，点和点， ∵，， ∴是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； （2）解：由（）得是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的， ∵点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为， ∴，， ∴，， ∴的值为，的值为； （3）解：如图，连接， 由平移性质可得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)画出关于原点对称的； (3)观察图形可知，与关于点______中心对称．（写出坐标） (4)点P在y轴上且为等腰三角形，这样的P点有 个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)4 【难度】0.65 【分析】此题考查了平移和中心对称的作图，写出点的坐标，等腰三角形的定义． （1）找到向左平移4个单位后得到对应点，顺次连接即可； （2）找到关于原点对称的，顺次连接即可； （3）根据中心对称的性质，结合图形得出对称中心，根据坐标系写出坐标，即可求解； （4）根据两圆一线的方法，找出等腰三角形的顶点，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：观察图形可知，与关于点中心对称． 故答案为：； （4）解：依题意，P在y轴上且为等腰三角形， 当时，点有2个，当时，点有1个，当时，有1个，共4个， 故答案为：． 题型八：旋转条件下的全等模型 注意：坐标系中动点问题的破题思路 ①方程思想：设动点坐标（例：y轴上的点可设）；②借助坐标轴构造全等（一线三直角全等模型）；③根据全等性质表示相关点的坐标；④勾股定理求动点坐标. ·利用旋转构造全等三角形： 1．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与证明，旋转的性质及勾股定理，证明三角形全等是解题的关键； （1）由等边三角形的性质与旋转的性质证明即可； （2）由旋转知是等边三角形，则，可得，在直角三角形中利用勾股定理即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：旋转知， ∴是等边三角形， ∴； ∴； ∵， ∴由勾股定理得：． 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．          【操作感知】 （1）如图1，已知点O，A，B在的网格格点上（小正方形的顶点），若M为格点，请在图1的网格中直接画出所有以，为勾股边且对角线相等的勾股四边形； 【探究论证】 （2）如图2，，且，连接，，，，当时，求证：，即四边形是勾股四边形； 【迁移探究】 （3）如图3，和是等边三角形（），连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 【答案】（1）画图见解析；（2）证明见解析；（3）4 【难度】0.65 【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“勾股四边形”，勾股定理、直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键在于理解勾股四边形的概念，掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质，充分利用其特点解题． （1）利用勾股定理计算画图即可； （2）先利用旋转的性质得到，，，则可判断是等边三角形，所以，，再证明，利用勾股定理得到，从而得到，然后根据题中定义可判断四边形是勾股四边形； （3）将绕顶点按逆时针方向旋转，使点与点重合，得到 ，证明为直角三角形，得出，即，可求出答案． 【详解】解：（1）如图所示，四边形，即为所求； 连接，，， ， ，，， ， 四边形，即为所求； （2）∵ ∴，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即四边形是勾股四边形； （3）连接，，过点B作于点F， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴． 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是以为勾股边的勾股四边形，且， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【难度】0.65 【分析】（1）作高线，根据等边三角形的性质和勾股定理求和的长，写出点的坐标，注意象限的符号问题； （2）根据等边三角形性质和平移的性质，由可证． 【详解】（1）解：如图1，过作于，    ∵是等边三角形，且， ， ∴， ∴ （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵将沿着x轴向右平移到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知在中，，，于D． (1)如图1，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接交于点G．求证：； (2)如图2，点E是线段上一点．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G． ①求证：；②若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；② 【难度】0.4 【分析】（1）由旋转的性质得出，，证得，可证明，则可得结论； （2）①过点作交于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，则可得结论；②由勾股定理求出，，，则可求出答案． 【详解】（1）证明：将线段绕点顺时针旋转得到， ，， ，，于， ，， ， ， 又， ， ； （2）①证明：过点作交于点，连接， 由（1）知为的中点， ，， 为等腰直角三角形， ， 又，， ， ， ，， ，， 又， ， ， ， ； ②解：，， ， ， ，， ，， 又， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【难度】0.65 【分析】（1）作高线，根据等边三角形的性质和勾股定理求和的长，写出点的坐标，注意象限的符号问题； （2）根据等边三角形性质和平移的性质，由可证． 【详解】（1）解：如图1，过作于，    ∵是等边三角形，且， ， ∴， ∴ （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵将沿着x轴向右平移到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 6．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知在中，，，于D． (1)如图1，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接交于点G．求证：； (2)如图2，点E是线段上一点．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G． ①求证：；②若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；② 【难度】0.4 【分析】（1）由旋转的性质得出，，证得，可证明，则可得结论； （2）①过点作交于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，则可得结论；②由勾股定理求出，，，则可求出答案． 【详解】（1）证明：将线段绕点顺时针旋转得到， ，， ，，于， ，， ， ， 又， ， ； （2）①证明：过点作交于点，连接， 由（1）知为的中点， ，， 为等腰直角三角形， ， 又，， ， ， ，， ，， 又， ， ， ， ； ②解：，， ， ， ，， ，， 又， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 题型八：图形变换与规律探究 1．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处．点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，，则点的横坐标为____． 【答案】608 【难度】0.85 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型：点的坐标，勾股定理，解题的关键是循环探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 然后通过旋转发现，每偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】解：∵点， ∴， ∴， ∴， 观察图象可知，点的纵坐标为4， ∵， ∴点的横坐标为， ， ∴点的横坐标为608． 故答案为：608． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期中）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2025秒时，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题主要考查坐标规律探索，找出一般规律，是解题的关键．根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：B． 3．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，确定旋转后的位置是解此题的关键． 【详解】解：由题可知，将绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∴第2025次旋转结束后，图形旋转了， 如图所示，旋转后的图形为作轴于H， ∵，， 设则 在中 （负值舍去） ∵点在第二象限， 故选：A． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转20次后，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查点的坐标变化规律及全等三角形的判定与性质，能根据所给旋转方式发现点横纵坐标的变化规律是解题的关键．根据所给旋转方式可知，每旋转四次，点的横坐标增加16，纵坐标循环出现一次，据此可解决问题． 【详解】解：分别连接和，过点和分别作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，， 又点的坐标为，点坐标为， ，， 点的坐标为． 同理可得， 第2次旋转后，点的坐标为， 第3次旋转后，点的坐标为， 第4次旋转后，点的坐标为， 点5次旋转后，点的坐标为， ， 根据旋转方式可知，每旋转四次，点的横坐标增加16，纵坐标按2，1，2，3循环出现， 点的坐标为， ， 连续旋转20次后，点的坐标为． 故选：C． 5．（22-23七年级下·山东德州·期中）如图，在长方形中，，第一次平移将长方形沿方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第二次平移将长方形沿方向向右平移4个单位长度，得到长方形，……，第n次平移将长方形沿方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长为45，则________． 【答案】10 【难度】0.85 【分析】根据题意，每次平移4个单位长度，得到，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 解得. 6．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点，……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（    ） A．22025 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查了坐标系中点的坐标规律的探索，平移的性质，找到规律是解题的关键；由题意知，的横坐标为1，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，……，显然，每平移一次，横坐标为平移前的2倍，由此规律即可求得点的横坐标． 【详解】解：由题意知，的横坐标为1， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， ……， 则的横坐标为， 故选：C． 7．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）【阅读理解】 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式． 例：点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． (1)求直线的解析式； (2)点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了次． ①当时，若点恰好落在直线上，求的值； ②若无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，已知点，点，若点、点位于直线的两侧，求的取值范围； 【答案】(1) (2)①；② 【难度】0.4 【分析】本题考查了平移的性质，求一次函数的解析式，一次函数的图象，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）①根据平移方式，求得点的坐标为，代入求解即可； ②根据平移方式，求得点的坐标为，代入求得，令，求得直线的解析式为，分别经过点、点即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，因为点，点 ， 解之得 直线的解析式为； （2）解：①已知，其中，按甲方式移动了次，则按乙方式移动了次， 根据平移方式，点的坐标为， 由题意得， 解得； ②设这条直线的解析式为，点按甲方式移动了次，又点从原点出发连续移动次，则点按乙方式移动了次， ∴点按甲方式移动了次后得到的点的坐标为，点按乙方式移动了次，得到点的坐标为， 由题意得，即， ∵无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 若点、点位于直线的两侧， 情况一：直线恰好经过，代入得，即， 情况一：直线恰好经过，代入得，即， ∴若点、点位于直线的两侧，的取值范围是． 8．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式． 例：点从原点出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． (1)设直线经过上例中的点M，N，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点从原点出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了次． ①用含的式子分别表示x，y； ②请说明：无论怎样变化，点都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； 【答案】(1)， (2)①②说明见解析，画图见解析 【难度】0.4 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，根据平移法则，上加下减，求出平移后的解析式即可； （2）①甲方式移动了次，则乙方式移动了次，根据移动规则，表示出x，y即可；②根据①中结果，得到关于的解析式，进而画出的图象即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把，代入，得： ，解得：， ∴； 将向上平移9个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为：； （2）①由题意，一次甲方式，向右移动2个单位，再向上移动1个单位，一个乙方式，向右移动1个单位，再向上移动2个单位， ∵点从原点出发连续移动10次，按甲方式移动了次，则按乙方式移动了，次 ∴点共向右移动了个单位，向上移动了个单位， ∴； ②∵， ∴， ∴； ∴无论怎样变化，点都在一条确定的直线上， ∵， ∴当时，，当时，， ∴过点，画图如下： 1．（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．一个机器人（看成点）从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；机器人照此规律跳下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了中心对称的性质与规律的综合，熟练掌握中心对称性以及找出点的循环数是解题的关键．根据中心对称的性质可得，，，，，坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 【详解】解：点，，的坐标分别为，，， 又与点关于点成中心对称， 点坐标为， 与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 个点一循环， ， 点的坐标为， 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点与坐标原点重合，点在轴正半轴上．将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，记为第一次旋转．再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，以此规律旋转．则点的坐标为___________，第2025次旋转后钝角顶点坐标为___________． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．过点B作轴于点T，于点H．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，可得点B的坐标，再探究规律，利用规律求解即可． 【详解】解：过点B作轴于点T，于点H． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意，，，，，，…， 发现每旋转3次循环，， ∴第2025次旋转后钝角顶点的横坐标为，纵坐标为0， ∴第2025次旋转后钝角顶点坐标为， 故答案为：，． 3．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，点D为外一点，连接，，，，，，则____________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，含度角的直角三角形的性质，将绕点逆时针旋转得到，易证得是直角三角形，根据勾股定理求得，作于，得到解直角三角形即可求得． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 作于， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在边长为1的的小正方形网格中，图形①经过若干次的图形变化得到图形②．（平移、旋转或轴对称） (1)请你写出一种由图形①到图形②的变化过程：____________． (2)求图形①中五边形的面积． 【答案】(1)图形①绕点G逆时针旋转得到图形②（答案不唯一） (2) 【难度】0.85 【分析】本题考查了图形的旋转变换，网格中求图形面积等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）图形①绕某点旋转得到图形②； （2）利用长方形面积减去两个小三角形面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，图形①绕点G逆时针旋转得到图形②（答案不唯一）； （2）解：图形①中五边形的面积为． 5．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在期中复习中，小杰对数学课本第62页习题的第5题进行了再探究． 【原题再现】 如图1，直线，垂足为，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？ 小杰发现点可看作是由点绕着点旋转后得到，即点与点关于点成中心对称．为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘，为此他邀请爱思考的小华一起继续探究． 【初步探究】 （1）如图2，他们先把一个沿直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置．他们发现可以看作是由通过一次________得到（填“平移”、“轴对称”或“旋转”）；若，则两条对称轴所形成的夹角（锐角）度数为________°． 【深入探究】 （2）如图3，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点；他们通过研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次即可得到． ①旋转中心为点________； ②经过探究，他们发现两条对称轴之间的夹角与旋转角之间存在等量关系，请写出它们之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）旋转，；（2）①，②． 【难度】0.65 【分析】本题考查了中心对称、轴对称性质． （1）由图形的变换可知，可以看作是由通过一次旋转可得，两条对称轴是、，根据对称的性质可知：，由此即得出； （2）由对称性质可知：点到和的对应点距离相等，故旋转中心为点， ②连接、、，由对称的性质可得，，由此可得． 【详解】解：（1）由题意可以，两条对称轴是、，根据对称的性质可知：， ∵， ∴， ∴可以看作是由通过绕旋转的度数得到． 故答案为：旋转，． （2）①由对称性质可知：点到和的对应点距离相等，故旋转中心为点， ②结论：． 连接、、， 由对称性质可知：，， ∵两条对称轴之间的夹角， 旋转角， ∴． 6．（24-25八年级下·广东深圳·期中）在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在网格中画出以为旋转中心，顺时针旋转的； (2)①在网格中画出关于原点成中心对称的； ②已知点为中其中一边上任一点，若点在①中的边上的对应点为，则点的坐标是______（用字母、表示）． ③在轴上找一点，使最小，最小值为______，并在图中标出点． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析②③，见解析 【难度】0.65 【分析】（1）根据旋转的性质，确定各顶点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标，再连接各点得到 ． （2）①依据中心对称的性质，求出各顶点关于原点成中心对称的点的坐标，然后连接得到 ．②利用关于原点对称的点的坐标特征，直接得出点关于原点对称的点的坐标 ．③利用轴对称 - 最短路径问题，作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为，再用勾股定理计算的长度，即的最小值 ． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：①如图：即为所求； ②关于原点成中心对称的点坐标为； ③如图，点即为所求． 作点关于轴的对称点； 连接，设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴； 令，则， ∴； 根据勾股定理，，即的最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、中心对称、关于原点对称的点的坐标特征以及轴对称 - 最短路径问题，熟练掌握图形变换的性质和坐标特征，运用勾股定理计算线段长度是解题的关键． 7．（24-25八年级下·北京·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题． 探究的几何意义 如图①，设点M的坐标为，过M作轴于点P，作轴于点Q，则，则．因此的几何意义可以理解为点与点之间的距离． 探究的几何意义． 如图②，在直角坐标系中，设点的坐标为，，将线段先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段，此时点A的坐标为，点B的坐标为，因为，所以，因此的几何意义可以理解为点与点之间的距离． 回答以下问题： (1)的几何意义可以理解为点与点的距离和点与点F________（填写坐标）的距离之和． (2)的最小值为________（直接写出结果）． (3)已知， 求证：．并求使等号成立的条件． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析，当时，等号成立． 【难度】0.65 【分析】本题考查了坐标与图形，两点间的距离公式的应用，三角形三边关系等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）根据题意和（1）可知，当点位于线段之间时，此时，取最小值，求解即可； （3）设，则，， ，，根据三角形的三边关系可得，，进而得到，并得出当时，等号成立． 【详解】（1）解：由题意可知，的几何意义可以理解为点与点的距离和点与点的距离之和， 故答案为：； （2）解：由（1）可知的几何意义可以理解为点与点的距离和点与点的距离之和， 当位于直线外时，此时点三点组成， ∴由三角形三边关系可知：， 当点位于线段之间时，此时， ∴的最小值为线段的长度， ∵ ∴的最小值为， 故答案为：； （3）证明：设，如图，则，， ，， 根据三角形的三边关系可得，， ， ∴当且仅当点为正方形的对角线与的交点时取等号， 即时，． 8．（24-25八年级下·广东深圳·期中）旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”． 【问题解决】如图1，P是等边内一点，且，，，若将绕点A逆时针旋转后，得到． (1)则点P与之间的距离为 ， （直接写出答案）． (2)在（1）的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作，交延长线于H，请你根据他的思路，计算 （直接写出答案）． (3)【类比探究】如图3，点P是正方形内一点，，求的度数？请写出完整过程； （直接写出答案）． (4)【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接，，记与交于点D，可知，由，可知为等边三角形，有．故，因此，当共线时，如图5，有最小值为．请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形内一点，Q为边上一点，连接、、，则的最小值为 （直接写出答案）． 【答案】(1)3； (2) (3)见解析， (4) 【难度】0.65 【分析】本题考查了垂线段最短及其应用、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形、勾股定理和勾股定理的逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）由题意可得，，，根据角之间的关系可得，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，则，再根据角之间的关系即可求出答案； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，再根据含角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案； （3）将绕点B按顺时针方向旋转，使与重合，过点A作，交的延长线于点H，由旋转可得：，，，，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，根据勾股定理可得，，，再根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，即，再根据角之间的关系可得，再根据正方形面积即可求出答案； （4）将绕点A逆时针旋转得到，则，，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，是等边三角形，则，作于点H交于点G，则，根据含角的直角三角形性质可得，，再根据边之间的关系可得当点E，F，G，H四点共线且垂直时，有最小值为，则，即可求出答案； 【详解】（1）解：由题意可得： ，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：3；； （2）解：由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：将绕点B按顺时针方向旋转，使与重合，过点A作，交的延长线于点H，如图： ， 由旋转可得：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，在中，由勾股定理可得， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， 即，解得：， ∴， 在中，， 即， ∴， 故答案为：； （4）解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图： ∴，，， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴， 作于点H交于点G， ∴， ∴，， ∵， ∴当点E，F，G，H四点共线且垂直时，有最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； 9．（24-25八年级下·山西太原·期末）综合与探究 问题情境：一次数学兴趣小组活动中，同学们准备了一大一小两张直角三角形纸片（即），按照图1所示的方式摆放．其中，点D、E分别为的中点．老师要求各小组结合所学的图形变化的知识展开数学探究． 操作探究1：（1）如图2，“勤学”小组将沿射线上平移得到，分别连接，发现四边形是平行四边形，请证明这一结论． 操作探究2：（2）“善思”小组将由初始位置（图1）绕点A按顺时针方向旋转得到． ①如图3，当点Q落在边上时，延长交于点M，判断的形状并说明理由． ②当旋转到时，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）①是等边三角形，理由见解析；②或 【难度】0.4 【分析】（1）根据平移的性质得，，再由平行线的判定可得，最后根据平行四边形的判定求证即可； （2）①根据旋转的性质得，，进而得，证得，再根据等边三角形的判定求证即可； ②根据直角三角形的性质和勾股定理求得，由旋转的性质得，，当点P在的上方，证明是等边三角形，得，，过点E作于点G，由等腰三角形的判定与性质得，，再由直角三角形的性质和勾股定理求得，进而求解即可；当点P在的下方，延长，过点Q作于点M，由直角三角形的性质和勾股定理求得，，进而求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）：∵沿射线上平移得到， ∴，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①是等边三角形，理由如下： ∵绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②∵，， ∴， ∴， ∵点D、E分别是、的中点， ∴， 如图，当点P在的上方， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 过点E作于点G， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴， ， 如图，当点P在的下方， 由旋转的性质得，，， 延长，过点Q作于点M， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查平移的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、平行线的判定及平行四边形的判定，熟练掌握平移的性质和旋转的性质是解题的关键． 10．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点A．与y轴交于点B，过点A作轴于点C． (1)直接写出定点A的坐标为______； (2)如图1，点，连接，当时，连接，若，且在左侧存在点使得，求点B和点E的坐标； (3)如图2，当时，直线交x轴于点F，平移直线交x轴正半轴于点G，交y轴负半轴于点H，连接，交y轴正半轴于点M．当时，求证：为定值． 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【难度】0.4 【分析】（1）把转化为k的一元一次方程无数解问题求解即可； （2）先证明，确定点B的坐标，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点，再证明，确定的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，代入求解即可； （3）过A作于点N，先证明，设的解析式为，设的解析式为，求得解析式，表示相应的线段，后代入计算即可． 【详解】（1）解：变形得， ∵过定点， ∴的解有无数， ∴， 解得， 故直线过定点， 故答案为：． （2）解：由题意得：，， ， ， 在和中 ∵， ， ， 故， 故B坐标为 ，， ， ， 如图1，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点， 则，，， 故，， 在和中， ， ，， ， 设直线的解析式为：，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：， 把代入得， 解得， 的坐标为． （3）解：如图2，过A作于点N， ， ， 又且， ， ， ， 设的解析式为， 令，则， 设的解析式为，代入A和G的坐标得： ， 解得：， 的解析式为， ， ， ， ，为定值． 【点睛】本题考查了直线过定点，一元一次方程有无数解，待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，平移，熟练掌握待定系数法，平移，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $