4.1图形的平移（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

**基本信息** 围绕“图形的平移”，通过基础认知、性质应用、坐标计算、综合应用四层设计，覆盖从生活现象识别到坐标系综合应用的完整路径，注重几何直观与运算能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|生活平移现象识别|结合安检传送带、车标等真实情境，培养几何直观| |性质应用|平移性质在三角形、长方形中的应用|通过图形平移后边长、周长计算，发展推理意识| |坐标计算|点的平移坐标变换|正向/逆向坐标平移问题，提升运算能力| |综合应用|作图、实际问题与坐标系综合|楼梯地毯长度、草坪面积计算，体现模型意识与应用意识|

4.1图形的平移 题型一   生活中的平移现象 1．（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活现象中是平移的是（ ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的定义， 平移是物体沿直线移动且方向不变的运动． 【详解】解：∵A钟摆运动是旋转，B汽车雨刷运动是旋转，D车轮转动是旋转，均不是平移；C传送带上行李箱运动是沿直线移动且方向不变，∴是平移. 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列现象中属于平移的是（ ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【答案】A 【分析】本题考查了平移的定义，理解平移的定义：物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变是解题的关键． 根据平移的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：∵平移的定义是物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变. 选项A：升降电梯从一楼升到五楼，是沿直线移动，电梯本身形状不变，符合平移； 选项B：卫星绕地球运动，是圆周运动，方向不断变化，不符合平移； 选项C：树叶从树上随风飘落，运动轨迹不规则，且常有旋转，不符合平移； 选项D：纸张沿着中线对折，是对称折叠，形状改变，不符合平移. ∴属于平移的是A， 故选：A． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平移的定义与性质，熟记平移不改变图形形状与大小是解决问题的关键．根据平移的定义与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：温度计中，液柱的变化：液柱热胀冷缩，长度改变，点之间的相对位置变化，不是平移； 电梯上下运动：电梯整体移动，所有点移动相同距离，是平移； 钟摆的摆动：钟摆沿弧线运动，有旋转，不是平移； 小方块在水平地面滑动：小方块整体滑动，所有点移动相同距离（假设无旋转），是平移． 属于平移的是和， 故选：D． 4．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； B．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； C．可由圆环沿水平直线方向移动得到，符合题意； D．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公司徽标图案．在下列选项中，能由此徽标通过平移得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移后图形的形状、大小、方向均不改变，仅位置变化是解题的关键． 本题根据平移的性质，逐个判断选项中的图形是否与原徽标保持一致的形状、大小和方向． 【详解】解： A、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； B、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； C、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； D、图形的形状、大小、方向均与原徽标一致，仅位置改变，符合平移的性质，符合题意． 故选：D． 6．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的概念与性质，根据平移的概念即可判断． 【详解】解：选项B中的“比”字形状一样，因此可以看作是由一个“基本图形”平移得到； 故选：B． 7．（23-24七年级下·四川广安·期末）下列四个图形中，由题图经过平移得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的平移:“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟练掌握平移的定义是解题关键．根据平移的定义进行判断即可得． 【详解】 解：由平移的定义可知，四个选项中，由题图经过平移得到的图形是 故选：C． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）五彩缤纷的世界之所以美丽，是由于多姿多彩的图形的和谐组合．日常生活中，线条的合理布局为美丽的世界和日常生活增添了亮丽的色彩，如图1、图2． (1)观察图1，你能从图中抽象出一些直线来，并说明它们之间的位置关系吗？从图2中能看到直线与直线之间的什么位置关系，并且说明包含了哪种图形运动． (2)在你生活的周围，你能发现这样美妙的线条组合吗？请以摄影或绘画的形式把它们记录下来，与同学们一起交流，看谁能在平常的生活中发现美丽的数学． 【答案】(1)图1，垂直；图2，平行，包含的运动是平移 (2)答案不唯一，见解析 【分析】本题主要考查垂直的定义和平行线的定义，熟练判断直线位置关系是解题的关键． （1）根据垂直的定义和平行线的定义可直接得出结论； （2）想象生活中的场景，属于垂直或平行关系即可． 【详解】（1）解：图1中支撑桥梁结构的直线与桥梁直线是垂直关系； 图2中楼梯的台阶边缘直线相互平行，电梯的上下运行可看作是平移运动； 故答案为：图1，垂直；图2，平行，包含的运动是平移； （2）生活中这样的线条组合很多，例如：桌角的两条直线属于垂直，铁轨等属于平行，答案不唯一，符合垂直关系或平行关系的直线均可． 题型二   利用平移的性质求解 1．（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，，，．现将沿着射线CB的方向平移3个单位长度，得到，连接，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的性质，根据题意得到为等边三角形是解题的关键． 由平移的性质可得，从而得到为等边三角形，即可求解． 【详解】解：将沿着射线CB的方向平移3个单位长度，得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴的周长为． 故选：D 2．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿射线方向平移得到，与交于点，且，连接，下列判断错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，勾股定理求出，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 【详解】解：由平移的性质得到，，故选项A正确； ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴．故选项D正确； ∵，，， ∴；故选项C正确； 无法得到平分；故选项B错误； 故选B． 3．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，三角形沿x轴向右平移后得到三角形，点A的对应点到x轴、y轴的距离相等，则点B与其对应点间的距离为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征以及坐标与图形变化－平移，利用平移的性质及点的坐标特征，连接，利用平移的性质可得出，且轴，利用点到x轴、y轴的距离相等可得出点的坐标，结合点的坐标可得出的值，此题得解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵点A的坐标为，三角形沿x轴向右平移后得到三角形， ∴，且轴， ∵点A的对应点到x轴、y轴的距离相等， ∴点的坐标为， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，中，，，将沿向右平移至，点在上，若，则四边形的周长为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得，，又因为，故设，则，得出，故，，再把数值代入进行计算即可． 【详解】解：∵平移 ∴， 设，则 ∵ ∴ 解得 则 ∴ ∴ 则周长， 故答案为：25 5．（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果，理解掌握平移的性质是解题关键． 【详解】解：∵长方形平移到长方形的位置，且对应点B到的距离为：， ∴平移的距离是3， 故答案为：3． 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 【答案】(1)见解析 (2)平行；相等 【分析】本题考查了平移作图和平移的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）首先根据点和点的位置，得出点到移动的方向和距离，然后点和点作相应的移动得到点与点，顺次连接就可得到； （2）根据平移的性质对应点的连线平行且相等，直接得出，且． 【详解】（1）解：由点的对应点为点可知：将点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点；根据点的平移方向和距离，同样平移点和点，得出点与点，顺次连接、、，就可得到． 如图所示： （2）解：根据平移性质可知：，且， 故答案为：平行；相等． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段平行、平移距离对应线段的长度是解题的关键． （1）利用平移的性质得到对应线段平行，结合已知角的度数，通过邻补角的关系计算的度数； （2）根据平移距离确定对应线段的长度，结合的长度，通过线段和计算的长． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴， ∴． （2）解：由平移的性质知，． ∵， ∴． 题型三   求点沿坐标轴平移后的坐标 1．（25-26八年级上·四川德阳·月考）在平面直角坐标系xOy中，点向下平移2个单位长度后的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移规则，掌握相关知识是解决问题的关键．向下平移时，点的纵坐标减少，横坐标不变． 【详解】解：∵点向下平移2个单位长度， ∴平移后的点横坐标不变，纵坐标减少2， 即新坐标为 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）将向右平移个单位后得到，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解：将向右平移个单位后得到， 故点向右平移个单位后得到， 根据点的坐标的平移规律，点的坐标为，即． 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·周测）如图，将“笑脸”图标先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，则在“笑脸”图标中的点P的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坐标与图形变化中平移的特征即可求解． 【详解】解：由题意，向右平移个单位，再向下平移个单位， 点的对应点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标中图形平移的特征，熟练掌握相关性质是解题关键． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移规律与轴上点的坐标特征，掌握点向左平移时横坐标减、轴上点的横坐标为是解题的关键． 点向左平移，横坐标减，纵坐标不变；点在轴上，则其横坐标为，由此求出的值，再代入求坐标． 【详解】解：∵点向左平移1个单位得到点， ∴的坐标为，即， ∵在轴上， ∴， ∴， ∴的坐标为，即． 故选：A． 5．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标平移的规则：横坐标左减右加，纵坐标上加下减． 【详解】∵点向左平移个单位， ∴横坐标变为； ∵再向上平移个单位， ∴纵坐标变为； ∴平移后的点的坐标为． 故选：D． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，把点先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移规律． 根据点的平移规则，向左平移横坐标减少，向上平移纵坐标增加，计算即可． 【详解】解：点向左平移3个单位，得到点，即； 再向上平移3个单位，得到点，即； 故答案为：． 7．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度后，得到的点关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，坐标与轴对称，根据点的平移规则，左减右加，求出的坐标，再根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，即， 故点关于轴的对称点的坐标是； 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽·月考）在龙岭学校的科技节开幕式上，一个无人机编队正在进行表演，以表演区域中心为原点建立平面直角坐标系，初始队形中，1号无人机位于点．表演第一个动作，所有无人机同时向右平移5个单位长度，此时1号无人机的位置坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，根据平面直角坐标系中点的平移性质，向右平移5个单位长度，点的横坐标增加5，纵坐标不变即可解答． 【详解】解：点向右平移5个单位长度后，横坐标变为，纵坐标保持4不变，因此平移后的位置坐标是； 故答案为． 题型四   已知平移后的坐标求原坐标 1．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，点先向下平移4个单位得到点Q，再将点Q向右平移3个单位得到点R．若点R的坐标为，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知平移后的坐标求原坐标． 根据点平移的规律，用，表示点的坐标，可得关于，的方程，从而可得，的值，即可得点的坐标． 【详解】解：由平移过程可得， ∵点R的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点坐标的平移变换．上加下减，右加左减，上下平移是纵坐标变化，左右平移是横坐标变化，据此求解即可． 【详解】解：把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点的坐标为，即为， 故选：C． 3．（24-25七年级下·河南安阳·月考）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移．根据平移的逆变换求解点M的坐标，即可． 【详解】解：∵向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合， ∴点的坐标为，即． 故选：C． 4．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的平移，掌握“纵坐标上加下减，横坐标左加右减”是解题关键．根据平移的规律求解即可． 【详解】解：点向下平移3个单位后位于坐标原点， ，， ， 点坐标为， 故答案为：． 5．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标确定平移规则，再根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵平移后，点的对应点为， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∵点的坐标为， ∴，即； 故答案为：． 6．（25-26八年级上·安徽池州·月考）已知点． (1)当，满足怎样的条件时，点在第二象限？ (2)若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，求，的值． 【答案】(1)当且时，点在第二象限； (2) 【分析】本题考查了点的坐标特征，点的坐标的平移法则，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据第二象限的点的特征：横坐标小于零，纵坐标大于零，得出，，求解即可得出结果； （2）根据点的坐标的平移法则：左减右加，上加下减，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点在第二象限， ∴，， 解得，， 即当且时，点在第二象限； （2）解：∵点先向下平移个单位长度，纵坐标变为；再向右平移个单位长度，横坐标变为，得到点， ∴， 解得：． 题型一   平移作图 1．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为． (1)把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别是点，请你在平面直角坐标系中画出三角形． (2)将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，在图中画出点D，直接写出点D的坐标________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平移作图，点的平移的坐标变化． （1）根据平移作出点，依次连接即可得到三角形； （2）根据平移作出点D，再根据坐标系中点的平移的坐标变化即可得到点D的坐标． 【详解】（1）解：如图，三角形为所求． （2）解：点先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，如图所示，则点D的坐标为． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)将向左平移3个单位长度，得到，画出． (2)将沿着y轴翻折，得到，画出． (3)在x轴上求一点D，使的值最小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了平移作图，作轴对称图形，最短路径，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平移的性质，得点，再依次连接，即可作答． （2）根据将沿着y轴翻折，得出与关于y轴对称，据此找出点，再依次连接，即可作答． （3）先得出点关于x轴的对称点，再把与连接，与x轴的交点，即为点D，故，此时的值最小． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：点D如图所示． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)作出向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的，点的坐标为________． (2)作出关于直线l对称的，使点C的对应点为． (3)写出直线l的函数表达式为________． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作图，待定系数法求函数解析式，熟练掌握画图是解题的关键． （1）根据题意进行平移即可； （2）根据对应点作出图形； （3）由题意得直线l是第二、四象限的角平分线，进而写出函数解析式即可． 【详解】（1）解：图形如图所示，， 故答案为：． （2）解：图形如图所示 （3）解：根据关于直线l对称的，可得直线l是第二、四象限的角平分线， ∴直线l的函数解析式为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出向右平移7个单位后的； (2)画出关于x轴对称的； (3)直接写出的面积． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)的面积为． 【分析】本题考查作图﹣平移变换、轴对称、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用平移的性质即可解答； （2）利用轴对称的性质即可解答； （3）利用正方形面积减去三角形的面积计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示： （3）由题意可得：． 5．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，画出； (2)作出关于x轴对称的； (3)的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和平移，坐标与图形，熟知轴对称和平移的知识是解题的关键． （1）根据平移规律可得三点，然后顺次连接即可； （2）关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：． 题型二   由点平移前后的坐标确定平移方式 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，点，的坐标分别为，，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平移的性质解题即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，， ∴线段向左平移了个单位，向上平移了个单位， ∴点，的坐标分别为，， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果通过平移直线得到，那么直线须（    ） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键． 根据对应点的平移得到平移中解析式的变化规律，可得出答案． 【详解】解：∵ 直线 平移后得到，且斜率不变， ∴ 平移是竖直方向的. 对于点在上，平移后对应点应满足， 即当 时，，平移后得到的点坐标为， ∵ 点 向下移动个单位到， ∴直线 向下平移 个单位得到 . 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，线段经过平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上若线段上有一个点，则点在上的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，掌握相关知识是解决问题的关键.先利用点和它的对应点的坐标特征得到线段先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到线段，然后利用点平移的坐标规律写出点平移后的对应点的坐标． 【详解】解：由图知，线段向左平移3个单位，再向上平移1个单位即可得到线段， ∴点在上的对应点的坐标为， 故选：A． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）若使四边形各顶点在直角坐标系中的横坐标保持不变，纵坐标比原来都小，则此四边形（   ） A．向上平移个单位 B．向左平移个单位 C．向下平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握：点坐标平移的规律：左减右加，上加下减．据此解答即可． 【详解】解：∵四边形各顶点在直角坐标系中的横坐标保持不变，纵坐标比原来都小， ∴四边形向下平移个单位长度． 故选：C． 5．（25-26九年级上·四川内江·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段平移至，那么的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标的平移，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：点坐标平移，左减右加，上加下减． 由，，，，可得线段向右平移1个单位，向上平移1个单位至，则，，然后代值求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴线段向右平移1个单位，向上平移1个单位至， ∴，， ∴， 故选：A． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知点 A,B的坐标分别为，将线段平移到，若点C的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化平移，结合图形根据点、的坐标确定出平移规律是解题的关键． 先根据、两点确定出平移规律，再根据此规律解答． 【详解】解：、是对应点， 平移规律为向右平移3个单位，向上平移3个单位， ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点 ，， 点的坐标为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）三架飞机A，B，C保持编队飞行（飞机之间的距离保持不变）．它们现在的坐标为，，．后，飞机A飞到位置，此时飞机B，C分别飞到，位置． (1)请在图中标出，位置点； (2)写出这三架飞机在新位置的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查了点的平移． （1）根据A到坐标的变化求出平移方式，进而标出，位置点即可； （2）直接根据平面直角坐标系作答即可． 【详解】（1）解：由图可知，移动后到达，即向上平移了9个单位， 作图如下： （2）解：由平面直角坐标系可知，，，． 8．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立如图所示平面直角坐标系，原点O、的顶点都在小正方形的顶点上． (1)将向右平移，得到，使得点的坐标为，在图中画出，并写出的面积：______． (2)将向右平移，得到，继续将向右平移，得到，……使得点，，……的坐标分别为，，……，则点的坐标为______． 【答案】(1)见详解，3 (2) 【分析】该题考查了平移作图，点坐标规律探究，三角形面积计算，解题的关键是找到点的规律 （1）根据平移的性质的画图即可得出，再根据围成的矩形的面积减去三个三角形的面积即可求出的面积． （2）根据题意得出，，根据规律解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 的面积． 故答案为：； （2）解：根据题意得出， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型三   已知图形的平移求点的坐标 1．（17-18七年级下·福建龙岩·期中）将点先向左平移3个单位长度，之后又向下平移4个单位长度得到点，则 ， ． 【答案】 6 2 【分析】本题考查了点的平移规律，掌握点向左平移横坐标减对应单位、向下平移纵坐标减对应单位是解题的关键． 根据点的平移规则，向左平移3个单位，横坐标减少3；向下平移4个单位，纵坐标减少4，根据平移后的坐标列方程求解． 【详解】解：点M向左平移3个单位后，坐标为，即； 再向下平移4个单位，坐标为，即， 此点与点相同，因此， 解得， 故答案为：，． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示．将长方形ABCD沿x轴向右平移使点B与原点O重合，再沿y轴向下平移，使点A与原点O重合，则此时点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，点的坐标特征，掌握平移的坐标变化是解题的关键． 由平移的性质可得长方形向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，即可求解． 【详解】解：∵长方形中点坐标为， ∴，， ∵将长方形沿轴向右平移使点与原点重合，再沿轴向下平移，使点与原点重合， ∴将长方形向右平移个单位长度，向下平移个单位长度． ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）如图，的三个顶点坐标分别为、、．将沿方向平移得到，其中点与原点重合．则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形-平移变换，理解平移性质，正确得到对应点的位置是解答的关键．先确定平移方式：先向下平移3个单位，再向右平移4个单位，进而求出结论． 【详解】解：∵将沿方向平移得到，其中点与原点重合， ∴平移方式可以是先向下平移3个单位，再向右平移4个单位， ∴按以上平移方式，点平移后对应点的坐标为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向左平移m个单位，再沿x轴翻折，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，等边的顶点，．若经变换后得，经变换后得，经变换后得……，经变换后得……，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了点的平移，关于x轴对称的特点，点的坐标规律问题，解题的关键是找到坐标的变化规律． 写出前几次变换后的坐标得到坐标的变化规律，然后将代入求解即可． 【详解】解：根据题意得，经变换后得，的坐标为； 经变换后得，的坐标为，即； 经变换后得，的坐标为，即； 经变换后得，的坐标为，即； 经变换后得，的坐标，即； ∴经变换后得，的坐标为 ∴点的坐标是，即． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，若是由平移后得到的，且中任意一点经过平移后的对应点为； (1)直接写出点、、的坐标． (2)若点在轴上，若值最小，请在图中画出点位置，并求点坐标； 【答案】(1)，， (2)图见解析， 【分析】本题考查了已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标、最短路径问题、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据点经过平移后的对应点为，得出向左平移5个单位，向上平移2个单位得到，结合中顶点的坐标，即可求解； （2）作点关于轴对称的点，连接，与轴交于点，根据轴对称的性质得出，根据两点之间线段最短确定点的位置，根据待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，即可． 【详解】（1）解：中，，， ∵点经过平移后的对应点为， 故向左平移5个单位，向上平移2个单位得到， 故点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为． （2）解：作点关于轴对称的点，连接，与轴交于点，点即为所求，如图： ∵点的坐标是， 故点关于轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为：， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为：， 当时，， 即点的坐标为． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）三角形和三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标：_____，_____． (2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？ (3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是_____． 【答案】(1)，； (2)先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到 (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形的特点，掌握平面直角坐标系的特点，图形平移的性质是关键． （1）根据坐标与图形的特点即可求解； （2）根据图形平移的特点即可求解； （3）结合（2），根据平移规律得到点的坐标． 【详解】（1）解：由图可得：，； （2）根据图可知：先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到； （3）∵先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到， 则先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， ∴内部的对应点的坐标是． 7．（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)直接写出点，的坐标． (2)若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为．求和的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，确定平移规则是解题的关键： （1）根据点的位置，写出点的坐标即可； （2）根据对应点的坐标确定平移规则，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：，； （2）∵平移后的对应点为， ∴先向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到， ∵点是内部一点，平移后对应点的坐标为， ∴， 解得． 题型四   坐标系中的平移 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在平面直角坐标系中，正的边长为2，顶点在轴上，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质以及坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．先求得，再根据，，即可得到点B向右平移个单位，向上平移2个单位可得点，再根据平移方式由点A的坐标即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过A作轴， ∵是等边三角形，边长为2， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴点B向右平移个单位，向上平移2个单位可得点， ∴，即． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）已知A点的坐标为，轴，且，则B点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】与y轴平行的直线上所有点的横坐标相同，根据的长度，得计算B点的纵坐标即可． 本题考查了点的坐标特征，平行坐标轴直线上两点间的距离，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：根据A点的坐标为，轴， 得到， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故B点的坐标为或， 故选：C． 3．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知点和点，若直线轴，且，则的值是（   ） A．0 B．4或 C．12或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，涉及平行于轴的直线上点的坐标特征，熟记平行于轴的直线上点的坐标特征是解决问题的关键． 由轴，可知点与点纵坐标相等；结合，利用两点之间距离公式求点横坐标的值，进而代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵轴，点和点， ∴ ， ∵，且轴， ∴， 即， ∴ ， 当时，； 当时，； ∴， 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据平方根和绝对值的非负性求出点A的坐标，再根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，结合距离公式求解点B的坐标． 本题考查非负数的性质和坐标与图形性质． 【详解】解：由， 根据非负数的性质，得且， 解得， 所以点A的坐标为． 由于轴， 所以点B的横坐标与点A相同，且为3． 又， 当点B在点A的上方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为； 当点B在点A的下方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为． 故点B的坐标为或． 故答案为：或． 5．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移、坐标与图形性质及三角形面积计算，解题关键是利用平移性质确定点的坐标，结合坐标特征分析图形关系并计算． （1）由轴得纵坐标与相同，结合平移后在轴，通过平移量确定、坐标； （2）根据的横坐标，结合、坐标，用三角形面积公式列式； （3）设平移距离，结合面积关系列方程求平移量，再利用建立等式求，得坐标． 【详解】（1）解：∵点平移后在轴上， ∴点先向右平移4个单位， ∵轴， ∴点纵坐标为2， ∴点向上平移2个单位， ∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴． （2）解：如图： ∵ ∴， ∵的横坐标为， ∴的面积为． （3）解：当在上时，如图： 设，则， 的面积比三角形的面积大2， 解得， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图： 设，则， ∵的面积比三角形的面积大2， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：或． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为3和1． (1)分别求的值． (2)设的立方根为，在同一个平面直角坐标系中还有一点，点，请指出点是怎样由点平移得到的？ 【答案】(1), (2)点Q是由点P先向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度得到的 【分析】（1）根据题意，列出关于m，n的方程求解即可； （2）先求出t，再求出Q点坐标与P点坐标，再确定平移关系即可． 【详解】（1）解：∵点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为3和1， ∴，， 解得：，； （2）∵，， ∴， ∵设的立方根为， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∵，，， ∴， ∴点Q是由点P向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度得到的． 【点睛】本题考查了已知点所在的象限求参数，求点到坐标轴的距离，坐标系中的平移，求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 7．（20-21七年级下·广西南宁·期末）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足． (1)如图，求点的坐标； (2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围； (3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）根据非负数的性质解答即可； （）由题意得，，再分点在上和点在的延长线上两种情况解答即可； （）设点，由平移的性质得，过点作轴于，可得，，进而得到，即得到，再根据得，解方程即可求解； 本题考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵，轴于，轴于， ∴，， 由题意得，，， 当点在上，即时，则， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在的延长线上，即时，则， ∴， ， ∵， ∴， 解得； 综上，当时，的取值范围为或； （3）解：设点，则， ∵，， ∴由平移的性质得，， 过点作轴于，如图， 则，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五   利用平移解决实际问题 1．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图，长方形花园中，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，代数式表示，解题的关键在于将不规则图形面积经过平移形成规则图形面积． 结合图形将不规则图形面积经过平移形成规则图形面积，再结合长方形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：长方形花园中，， 将可绿化部分平移到一起， 可得绿化部分的面积为， 故选：C． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为 米． 【答案】7 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法； 先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 故答案为：7． 3．（25-26七年级上·广西崇左·月考）某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移性质的应用，列代数式，代数式求值，理解题意，草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，是解题的关键． ①草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，计算面积即可； ②同①计算面积，再将，代入代数式计算即可． 【详解】①解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积， ②解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积； 当，时，． 故答案为：，，． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 m． 【答案】176 【分析】本题考查平移的实际应用，掌握通过平移将曲折线段的长度转化为规则线段的长度进行计算是解题的关键． 观察小路的曲折路线，通过平移线段的方法，将横向线段的总长度转化为长方形的长，纵向线段的总长度等于，再将两部分长度相加得到总路线长． 【详解】解：利用平移的方法：路线中横向线段平移后，总长度等于长方形的长； 路线中纵向线段平移后，总长度等于； 因此，总路线长为． 故答案为：176． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走： ①为折线段，②为折线段，③为折线段． 三条路的长依次为、、，则a，b，c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质、两点之间线段最短，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得，，则可得，再根据两点之间线段最短可得，则，由此即可得． 【详解】解：由平移的性质得：，， ∵路①为折线段：， 路②为折线段：， 由平移的性质可知：，， ∴， 由两点之间线段最短得：， ∵路②为折线段：， 路③为折线段：， ∴， 综上，． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东济宁·月考）某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价25元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要多少元． 【答案】400元 【分析】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是掌握平移的性质，不改变图形的大小和形状． 根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，长、宽分别为米，米， 即地毯的长度为米， 地毯的面积为平方米， 故买地毯至少需要元． 7．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）在如图所示的长方形草坪上修建了两条宽度相同的小路（阴影部分）（单位：米）． (1)求草坪（空白部分）的面积（用含的代数式表示）． (2)当时，求小路（阴影部分）的面积． 【答案】(1)（平方米） (2)平方米 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，多项式乘以多项式的运算，平移的性质，熟练掌握平移的性质和多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． （1）将两条小路进行平移，则空白部分可以看成一个新的长方形，表示出长和宽，再利用多项式乘以多项式的运算法则计算面积即可； （2）根据小路面积等于大长方形面积减去空白部分面积列式，计算多项式乘以多项式，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解：将两条小路进行平移，则空白部分可以看成一个新的长方形， 长为：，宽为：， ∴草坪（空白部分）的面积为：（平方米） （2）解：小路面积为：（平方米）， 当时，（平方米）． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， ， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】作图见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、两点之间线段最短以及平移的性质．作关于直线的对称点，根据轴对称的性质可知，再将转化为，根据两点之间线段最短，得出的最小值为的长度；在问题拓展中，通过平移的方法，将桥的长度固定，把问题转化为求两点之间的最短路径问题，利用了平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置的性质即可画出此时桥的位置． 【详解】根据轴对称的性质可知，， ， 根据两点之间线段最短， 故选①， 最小值为， 故答案为：， ① ，； 桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短． 题型一 平移综合 1．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且，直线过点， (1)求直线解析式； (2)连接，将线段沿x轴正方向平移到线段 ①若，求满足条件的点C的坐标； ②在平移过程中，是否存在点C使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点P平移的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②图见详解，点平移的距离为：2或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，解一元二次方程，等知识，其中第（2）步分类讨论是解题的关键． （1）设直线解析式为，点坐标为，∴点A坐标为， 结合在直线上可得，即可求出直线解析式为； （2）①先求出，再求出，根据平移性质得到C的纵坐标为3，，设，列方程，求出或，从而得到或， 即可求出或； ②设点P平移的距离为，则，根据两点间距离公式即可得到，，，再分，，三种情况讨论，列方程，解方程，舍去不合题意解，问题得解． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 则点坐标为， ∵， ∴点A坐标为， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：∵直线解析式为， ∴点A坐标为，坐标为， ∴， ∴， ①∵， ∴将线段沿x轴正方向平移到，， ∴C的纵坐标为3，， 设， 则， 解得或， ∴或， ∵，， ∴或； ②设点P平移的距离为， ∴， ∵点A坐标为，坐标为， ∴， ， ， 如图，当时， ， 解得； 如图，当时， ， 解得或（舍去）； 当时， ， 解得或（舍去）； 综上所述，点P平移的距离为2或或． 2．（24-25八年级下·山东滨州·期末）【问题背景】（1）如图1，在直角三角形中：，，，垂足为，要在距离点的点处做一条垂直于的垂线，垂足为，交于点，，试求的长度？（提示：根据面积相等的方法求解，梯形的面积，其中上底，下底，高） 【触类旁通】（2）如图2，点，，线段与轴交于点，且满足． ① ， ； ②求此时点的坐标； 【实践探究】（3）如图3，在（2）的基础上将直线与轴交于点，将线段沿轴向右平移个单位得到线段，点为射线上一动点． ①点的坐标为 ，点的坐标为 ； ②点是线段上一点（不与点、重合），当点在射线上运动时（点不与点重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并写出求解过程． 【答案】（1）；（2）①，；②点的坐标；（3）①，；②或，过程见解析 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行线的性质，一次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键； （1）设的长为，根据题意得，，进而列出方程，解方程，即可求解． （2）①根据算术平方根与偶次幂的非负性求得； ②过点，分别作轴，垂足为，轴，垂足为，设，根据，建立方程，解方程即可求解； （3）①待定系数法求得直线解析式为，即可得出，根据平移的性质得出； ②分两种情况：点在点的左边和左边，分别根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：（1）设的长为，根据题意得， ∴ 解得： （2）解：∵ ∴ ∴，则， 故答案为：，． ②过点，分别作轴，垂足为，轴，垂足为， ∴ ∵， ∴ 设 根据题意得： 解得： ∴ （3）①设直线解析式为，代入， 解得： ∴直线解析式为 当时， ∴ ∵将线段沿轴向右平移个单位得到线段，的对应点为， ∴ 故答案为：，． ②分两种情况： 第一种情况：如图所示，点在点的左边 过点作， 将线段沿轴向右平移个单位得到线段， ，， ， ， ， ， 第二种情况：如图所示，点在点的右边 过点 作， ，， 将线段沿轴向右平移个单位得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、 ， ． ，，之间满足的数量关系为或． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1图形的平移 题型一   生活中的平移现象 1．（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活现象中是平移的是（ ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列现象中属于平移的是（ ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公司徽标图案．在下列选项中，能由此徽标通过平移得到的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（ ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·四川广安·期末）下列四个图形中，由题图经过平移得到的图形是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）五彩缤纷的世界之所以美丽，是由于多姿多彩的图形的和谐组合．日常生活中，线条的合理布局为美丽的世界和日常生活增添了亮丽的色彩，如图1、图2． (1)观察图1，你能从图中抽象出一些直线来，并说明它们之间的位置关系吗？从图2中能看到直线与直线之间的什么位置关系，并且说明包含了哪种图形运动． (2)在你生活的周围，你能发现这样美妙的线条组合吗？请以摄影或绘画的形式把它们记录下来，与同学们一起交流，看谁能在平常的生活中发现美丽的数学． 题型二   利用平移的性质求解 1．（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，，，．现将沿着射线CB的方向平移3个单位长度，得到，连接，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 2．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿射线方向平移得到，与交于点，且，连接，下列判断错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 3．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，三角形沿x轴向右平移后得到三角形，点A的对应点到x轴、y轴的距离相等，则点B与其对应点间的距离为（   ） A． B．3 C．4 D．5 4．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，中，，，将沿向右平移至，点在上，若，则四边形的周长为 ． 5．（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ． 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处．现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点． (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是_______，数量关系是_______． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 题型三   求点沿坐标轴平移后的坐标 1．（25-26八年级上·四川德阳·月考）在平面直角坐标系xOy中，点向下平移2个单位长度后的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）将向右平移个单位后得到，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·周测）如图，将“笑脸”图标先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，则在“笑脸”图标中的点P的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，把点先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 ． 7．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度后，得到的点关于轴的对称点的坐标是 ． 8．（25-26八年级上·安徽·月考）在龙岭学校的科技节开幕式上，一个无人机编队正在进行表演，以表演区域中心为原点建立平面直角坐标系，初始队形中，1号无人机位于点．表演第一个动作，所有无人机同时向右平移5个单位长度，此时1号无人机的位置坐标是 ． 题型四   已知平移后的坐标求原坐标 1．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，点先向下平移4个单位得到点Q，再将点Q向右平移3个单位得到点R．若点R的坐标为，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南安阳·月考）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为 ． 5．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 6．（25-26八年级上·安徽池州·月考）已知点． (1)当，满足怎样的条件时，点在第二象限？ (2)若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到点，求，的值． 题型一   平移作图 1．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为． (1)把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别是点，请你在平面直角坐标系中画出三角形． (2)将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，在图中画出点D，直接写出点D的坐标________． 2．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)将向左平移3个单位长度，得到，画出． (2)将沿着y轴翻折，得到，画出． (3)在x轴上求一点D，使的值最小． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)作出向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的，点的坐标为________． (2)作出关于直线l对称的，使点C的对应点为． (3)写出直线l的函数表达式为________． 4．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出向右平移7个单位后的； (2)画出关于x轴对称的； (3)直接写出的面积． 5．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，画出； (2)作出关于x轴对称的； (3)的面积为 ． 题型二   由点平移前后的坐标确定平移方式 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，点，的坐标分别为，，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果通过平移直线得到，那么直线须（    ） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 3．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，线段经过平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上若线段上有一个点，则点在上的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）若使四边形各顶点在直角坐标系中的横坐标保持不变，纵坐标比原来都小，则此四边形（   ） A．向上平移个单位 B．向左平移个单位 C．向下平移个单位 D．向右平移个单位 5．（25-26九年级上·四川内江·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段平移至，那么的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知点 A,B的坐标分别为，将线段平移到，若点C的坐标为，则点D的坐标为 ． 7．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）三架飞机A，B，C保持编队飞行（飞机之间的距离保持不变）．它们现在的坐标为，，．后，飞机A飞到位置，此时飞机B，C分别飞到，位置． (1)请在图中标出，位置点； (2)写出这三架飞机在新位置的坐标． 8．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立如图所示平面直角坐标系，原点O、的顶点都在小正方形的顶点上． (1)将向右平移，得到，使得点的坐标为，在图中画出，并写出的面积：______． (2)将向右平移，得到，继续将向右平移，得到，……使得点，，……的坐标分别为，，……，则点的坐标为______． 题型三   已知图形的平移求点的坐标 1．（17-18七年级下·福建龙岩·期中）将点先向左平移3个单位长度，之后又向下平移4个单位长度得到点，则 ， ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示．将长方形ABCD沿x轴向右平移使点B与原点O重合，再沿y轴向下平移，使点A与原点O重合，则此时点C的坐标为 ． 3．（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）如图，的三个顶点坐标分别为、、．将沿方向平移得到，其中点与原点重合．则点的坐标为 ． 4．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向左平移m个单位，再沿x轴翻折，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，等边的顶点，．若经变换后得，经变换后得，经变换后得……，经变换后得……，点的坐标是 ． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，若是由平移后得到的，且中任意一点经过平移后的对应点为； (1)直接写出点、、的坐标． (2)若点在轴上，若值最小，请在图中画出点位置，并求点坐标； 6．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）三角形和三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标：_____，_____． (2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？ (3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是_____． 7．（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)直接写出点，的坐标． (2)若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为．求和的值． 题型四   坐标系中的平移 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在平面直角坐标系中，正的边长为2，顶点在轴上，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）已知A点的坐标为，轴，且，则B点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）已知点和点，若直线轴，且，则的值是（   ） A．0 B．4或 C．12或 D．1或 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为 ． 5．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为3和1． (1)分别求的值． (2)设的立方根为，在同一个平面直角坐标系中还有一点，点，请指出点是怎样由点平移得到的？ 7．（20-21七年级下·广西南宁·期末）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足． (1)如图，求点的坐标； (2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围； (3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标． 题型五   利用平移解决实际问题 1．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图，长方形花园中，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为 米． 3．（25-26七年级上·广西崇左·月考）某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 m． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走： ①为折线段，②为折线段，③为折线段． 三条路的长依次为、、，则a，b，c的大小关系为 ． 6．（25-26八年级上·山东济宁·月考）某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价25元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要多少元． 7．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）在如图所示的长方形草坪上修建了两条宽度相同的小路（阴影部分）（单位：米）． (1)求草坪（空白部分）的面积（用含的代数式表示）． (2)当时，求小路（阴影部分）的面积． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， ， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 题型一 平移综合 1．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且，直线过点， (1)求直线解析式； (2)连接，将线段沿x轴正方向平移到线段 ①若，求满足条件的点C的坐标； ②在平移过程中，是否存在点C使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点P平移的距离，若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级下·山东滨州·期末）【问题背景】（1）如图1，在直角三角形中：，，，垂足为，要在距离点的点处做一条垂直于的垂线，垂足为，交于点，，试求的长度？（提示：根据面积相等的方法求解，梯形的面积，其中上底，下底，高） 【触类旁通】（2）如图2，点，，线段与轴交于点，且满足． ① ， ； ②求此时点的坐标； 【实践探究】（3）如图3，在（2）的基础上将直线与轴交于点，将线段沿轴向右平移个单位得到线段，点为射线上一动点． ①点的坐标为 ，点的坐标为 ； ②点是线段上一点（不与点、重合），当点在射线上运动时（点不与点重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并写出求解过程． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1图形的平移 题型一   生活中的平移现象 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8． 【答案】(1)图1，垂直；图2，平行，包含的运动是平移 (2)答案不唯一，见解析 【分析】本题主要考查垂直的定义和平行线的定义，熟练判断直线位置关系是解题的关键． （1）根据垂直的定义和平行线的定义可直接得出结论； （2）想象生活中的场景，属于垂直或平行关系即可． 【详解】（1）解：图1中支撑桥梁结构的直线与桥梁直线是垂直关系； 图2中楼梯的台阶边缘直线相互平行，电梯的上下运行可看作是平移运动； 故答案为：图1，垂直；图2，平行，包含的运动是平移； （2）生活中这样的线条组合很多，例如：桌角的两条直线属于垂直，铁轨等属于平行，答案不唯一，符合垂直关系或平行关系的直线均可． 题型二   利用平移的性质求解 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】25 5．【答案】3 6． 【答案】(1)见解析 (2)平行；相等 【分析】本题考查了平移作图和平移的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）首先根据点和点的位置，得出点到移动的方向和距离，然后点和点作相应的移动得到点与点，顺次连接就可得到； （2）根据平移的性质对应点的连线平行且相等，直接得出，且． 【详解】（1）解：由点的对应点为点可知：将点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点；根据点的平移方向和距离，同样平移点和点，得出点与点，顺次连接、、，就可得到． 如图所示： （2）解：根据平移性质可知：，且， 故答案为：平行；相等． 7． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段平行、平移距离对应线段的长度是解题的关键． （1）利用平移的性质得到对应线段平行，结合已知角的度数，通过邻补角的关系计算的度数； （2）根据平移距离确定对应线段的长度，结合的长度，通过线段和计算的长． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴， ∴． （2）解：由平移的性质知，． ∵， ∴． 题型三   求点沿坐标轴平移后的坐标 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】 题型四   已知平移后的坐标求原坐标 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】 5．【答案】 6． 【答案】(1)当且时，点在第二象限； (2) 【分析】本题考查了点的坐标特征，点的坐标的平移法则，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据第二象限的点的特征：横坐标小于零，纵坐标大于零，得出，，求解即可得出结果； （2）根据点的坐标的平移法则：左减右加，上加下减，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点在第二象限， ∴，， 解得，， 即当且时，点在第二象限； （2）解：∵点先向下平移个单位长度，纵坐标变为；再向右平移个单位长度，横坐标变为，得到点， ∴， 解得：． 题型一   平移作图 1． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平移作图，点的平移的坐标变化． （1）根据平移作出点，依次连接即可得到三角形； （2）根据平移作出点D，再根据坐标系中点的平移的坐标变化即可得到点D的坐标． 【详解】（1）解：如图，三角形为所求． （2）解：点先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，如图所示，则点D的坐标为． 故答案为：． 2． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了平移作图，作轴对称图形，最短路径，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平移的性质，得点，再依次连接，即可作答． （2）根据将沿着y轴翻折，得出与关于y轴对称，据此找出点，再依次连接，即可作答． （3）先得出点关于x轴的对称点，再把与连接，与x轴的交点，即为点D，故，此时的值最小． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：点D如图所示． 3． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作图，待定系数法求函数解析式，熟练掌握画图是解题的关键． （1）根据题意进行平移即可； （2）根据对应点作出图形； （3）由题意得直线l是第二、四象限的角平分线，进而写出函数解析式即可． 【详解】（1）解：图形如图所示，， 故答案为：． （2）解：图形如图所示 （3）解：根据关于直线l对称的，可得直线l是第二、四象限的角平分线， ∴直线l的函数解析式为， 故答案为：． 4． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)的面积为． 【分析】本题考查作图﹣平移变换、轴对称、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用平移的性质即可解答； （2）利用轴对称的性质即可解答； （3）利用正方形面积减去三角形的面积计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示： （3）由题意可得：． 5． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和平移，坐标与图形，熟知轴对称和平移的知识是解题的关键． （1）根据平移规律可得三点，然后顺次连接即可； （2）关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：． 题型二   由点平移前后的坐标确定平移方式 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】 7． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查了点的平移． （1）根据A到坐标的变化求出平移方式，进而标出，位置点即可； （2）直接根据平面直角坐标系作答即可． 【详解】（1）解：由图可知，移动后到达，即向上平移了9个单位， 作图如下： （2）解：由平面直角坐标系可知，，，． 8． 【答案】(1)见详解，3 (2) 【分析】该题考查了平移作图，点坐标规律探究，三角形面积计算，解题的关键是找到点的规律 （1）根据平移的性质的画图即可得出，再根据围成的矩形的面积减去三个三角形的面积即可求出的面积． （2）根据题意得出，，根据规律解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 的面积． 故答案为：； （2）解：根据题意得出， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型三   已知图形的平移求点的坐标 1．【答案】 6 2 2．【答案】 3．【答案】 4．【答案】 5． 【答案】(1)，， (2)图见解析， 【分析】本题考查了已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标、最短路径问题、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据点经过平移后的对应点为，得出向左平移5个单位，向上平移2个单位得到，结合中顶点的坐标，即可求解； （2）作点关于轴对称的点，连接，与轴交于点，根据轴对称的性质得出，根据两点之间线段最短确定点的位置，根据待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，即可． 【详解】（1）解：中，，， ∵点经过平移后的对应点为， 故向左平移5个单位，向上平移2个单位得到， 故点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为． （2）解：作点关于轴对称的点，连接，与轴交于点，点即为所求，如图： ∵点的坐标是， 故点关于轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为：， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为：， 当时，， 即点的坐标为． 6． 【答案】(1)，； (2)先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到 (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形的特点，掌握平面直角坐标系的特点，图形平移的性质是关键． （1）根据坐标与图形的特点即可求解； （2）根据图形平移的特点即可求解； （3）结合（2），根据平移规律得到点的坐标． 【详解】（1）解：由图可得：，； （2）根据图可知：先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到； （3）∵先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到， 则先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， ∴内部的对应点的坐标是． 7． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，确定平移规则是解题的关键： （1）根据点的位置，写出点的坐标即可； （2）根据对应点的坐标确定平移规则，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：，； （2）∵平移后的对应点为， ∴先向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到， ∵点是内部一点，平移后对应点的坐标为， ∴， 解得． 题型四   坐标系中的平移 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】或 5． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移、坐标与图形性质及三角形面积计算，解题关键是利用平移性质确定点的坐标，结合坐标特征分析图形关系并计算． （1）由轴得纵坐标与相同，结合平移后在轴，通过平移量确定、坐标； （2）根据的横坐标，结合、坐标，用三角形面积公式列式； （3）设平移距离，结合面积关系列方程求平移量，再利用建立等式求，得坐标． 【详解】（1）解：∵点平移后在轴上， ∴点先向右平移4个单位， ∵轴， ∴点纵坐标为2， ∴点向上平移2个单位， ∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴． （2）解：如图： ∵ ∴， ∵的横坐标为， ∴的面积为． （3）解：当在上时，如图： 设，则， 的面积比三角形的面积大2， 解得， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图： 设，则， ∵的面积比三角形的面积大2， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：或． 6． 【答案】(1), (2)点Q是由点P先向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度得到的 【分析】（1）根据题意，列出关于m，n的方程求解即可； （2）先求出t，再求出Q点坐标与P点坐标，再确定平移关系即可． 【详解】（1）解：∵点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为3和1， ∴，， 解得：，； （2）∵，， ∴， ∵设的立方根为， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∵，，， ∴， ∴点Q是由点P向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度得到的． 【点睛】本题考查了已知点所在的象限求参数，求点到坐标轴的距离，坐标系中的平移，求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 7． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）根据非负数的性质解答即可； （）由题意得，，再分点在上和点在的延长线上两种情况解答即可； （）设点，由平移的性质得，过点作轴于，可得，，进而得到，即得到，再根据得，解方程即可求解； 本题考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵，轴于，轴于， ∴，， 由题意得，，， 当点在上，即时，则， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在的延长线上，即时，则， ∴， ， ∵， ∴， 解得； 综上，当时，的取值范围为或； （3）解：设点，则， ∵，， ∴由平移的性质得，， 过点作轴于，如图， 则，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五   利用平移解决实际问题 1．【答案】C 2．【答案】7 3．【答案】 4．【答案】176 5．【答案】 6． 【答案】400元 【分析】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是掌握平移的性质，不改变图形的大小和形状． 根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，长、宽分别为米，米， 即地毯的长度为米， 地毯的面积为平方米， 故买地毯至少需要元． 7． 【答案】(1)（平方米） (2)平方米 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，多项式乘以多项式的运算，平移的性质，熟练掌握平移的性质和多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． （1）将两条小路进行平移，则空白部分可以看成一个新的长方形，表示出长和宽，再利用多项式乘以多项式的运算法则计算面积即可； （2）根据小路面积等于大长方形面积减去空白部分面积列式，计算多项式乘以多项式，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解：将两条小路进行平移，则空白部分可以看成一个新的长方形， 长为：，宽为：， ∴草坪（空白部分）的面积为：（平方米） （2）解：小路面积为：（平方米）， 当时，（平方米）． 8． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】作图见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、两点之间线段最短以及平移的性质．作关于直线的对称点，根据轴对称的性质可知，再将转化为，根据两点之间线段最短，得出的最小值为的长度；在问题拓展中，通过平移的方法，将桥的长度固定，把问题转化为求两点之间的最短路径问题，利用了平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置的性质即可画出此时桥的位置． 【详解】根据轴对称的性质可知，， ， 根据两点之间线段最短， 故选①， 最小值为， 故答案为：， ① ，； 桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短． 题型一 平移综合 1． 【答案】(1) (2)①或；②图见详解，点平移的距离为：2或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，解一元二次方程，等知识，其中第（2）步分类讨论是解题的关键． （1）设直线解析式为，点坐标为，∴点A坐标为， 结合在直线上可得，即可求出直线解析式为； （2）①先求出，再求出，根据平移性质得到C的纵坐标为3，，设，列方程，求出或，从而得到或， 即可求出或； ②设点P平移的距离为，则，根据两点间距离公式即可得到，，，再分，，三种情况讨论，列方程，解方程，舍去不合题意解，问题得解． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 则点坐标为， ∵， ∴点A坐标为， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：∵直线解析式为， ∴点A坐标为，坐标为， ∴， ∴， ①∵， ∴将线段沿x轴正方向平移到，， ∴C的纵坐标为3，， 设， 则， 解得或， ∴或， ∵，， ∴或； ②设点P平移的距离为， ∴， ∵点A坐标为，坐标为， ∴， ， ， 如图，当时， ， 解得； 如图，当时， ， 解得或（舍去）； 当时， ， 解得或（舍去）； 综上所述，点P平移的距离为2或或． 2． 【答案】（1）；（2）①，；②点的坐标；（3）①，；②或，过程见解析 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行线的性质，一次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键； （1）设的长为，根据题意得，，进而列出方程，解方程，即可求解． （2）①根据算术平方根与偶次幂的非负性求得； ②过点，分别作轴，垂足为，轴，垂足为，设，根据，建立方程，解方程即可求解； （3）①待定系数法求得直线解析式为，即可得出，根据平移的性质得出； ②分两种情况：点在点的左边和左边，分别根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：（1）设的长为，根据题意得， ∴ 解得： （2）解：∵ ∴ ∴，则， 故答案为：，． ②过点，分别作轴，垂足为，轴，垂足为， ∴ ∵， ∴ 设 根据题意得： 解得： ∴ （3）①设直线解析式为，代入， 解得： ∴直线解析式为 当时， ∴ ∵将线段沿轴向右平移个单位得到线段，的对应点为， ∴ 故答案为：，． ②分两种情况： 第一种情况：如图所示，点在点的左边 过点作， 将线段沿轴向右平移个单位得到线段， ，， ， ， ， ， 第二种情况：如图所示，点在点的右边 过点 作， ，， 将线段沿轴向右平移个单位得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、 ， ． ，，之间满足的数量关系为或． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $