甘肃兰州市第五十九中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

兰州市第五十九中学2025~2026学年第二学期期末考试 高一数学 时间：120分钟 分数：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知，，若和方向相同，则 A． B． C．或 D．或 2．已知向量且向量在向量上的投影向量为，则 A． B． C． D． 3．已知，，则 A． B． C． D． 4．已知函数，若在上的最大值为，最小值为，则 A． B． C． D． 5．已知为虚数单位，复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为 A． B． C． D． 6．已知正方体边长为，，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是 A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 7．已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是 A．若，，则，是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．若为从集合中任意选取的一个元素，则是纯虚数的概率为 A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．在中内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，，且有两解，则的取值范围是 10．已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是 A．若的一个对称中心为，则 B．若为偶函数，则 C．若在区间内有三个零点，则 D．若在区间上单调递增，则的最大值为 11．某公益组织为更好地安排志愿者工作，随机抽取了1000名志愿者，并统计了他们的年龄数据，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），则 A．估计这1000名志愿者年龄的众数为22.5 B．这1000名志愿者中年龄在的有175人 C．估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为 D．以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选2人，其年龄均在的概率为0.2 三、填空题（每题5分，共15分） 12．黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是_________．（参考数据：） 13．如图是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是_________ 14．在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，、闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为_________． 四、解答题（共73分） 15．（13分）在中，内角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若点满足，且，求面积的最大值． 16．（15分）已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求函数在时的值域； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 17．（15分）某地区为了了解市民的心理健康水平，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康分为四个等级： 调查评分 心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 并绘制了如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的市民人数为400人．（用频率估计概率） （1）求的值及频率分布直方图中的t值； （2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照分层随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后至少有一人心理等级转为“良好”的概率； （3）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照简单随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后恰有一人心理等级转为“良好”的概率． 18．（17分）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：（）（其中是自然对数的底数，是虚数单位），现令． （1）求，的虚部； （2）证明：； （3）复数与复平面内的点和向量一一对应（为复平面内坐标原点），由（2）的结论可知：复平面内任意复数乘以，对应其向量绕原点逆时针旋转． （i）在复平面内将点绕原点按逆时针方向旋转后得到点，证明：； （ii）若，且，求的面积． 19．（17分）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）设平面平面，求证：平面； （3）求三棱锥的体积． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $