5.4 函数的奇偶性（第1课时）教学设计- 2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数奇偶性的概念、几何意义及判断方法，从生活对称现象（如蝴蝶、天坛）切入，关联初中对称定义，搭建从生活到数学、从形到数的学习支架，引导学生探究函数图像对称性的代数表达。 特色在于以问题链驱动概念建构，通过观察图像、填表分析培养直观想象，通过定义严谨表述和证明发展数学抽象与逻辑推理。例如从偶函数定义到奇函数类比探究，形成“形-数-义”认知闭环，帮助学生深化理解，为教师提供可操作的探究式教学路径，提升课堂效率。

第5章 函数概念与性质 5.4 函数的奇偶性（第1课时） ▍教学目标 1. 理解函数的奇偶性及其几何意义． 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 3. 学会判断函数的奇偶性． 数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性． 逻辑推理：证明函数奇偶性． 直观想象：利用函数图象来研究函数性质． ▍情境设置 【问题1】 在大自然和我们的日常生活中存在着许多对称的现象：美丽的蝴蝶，北京天坛，中国的古代太极图，精美的剪纸． (1) 你能说出它们分别属于哪种对称吗？ (2) 数学源自生活，你能举一些数学中的对称现象吗？ [学生活动] (1) 第一、第二幅图形是轴对称图形，第三第四幅图形是中心对称图形． (2) 一些平面图形，如：圆，正方形，等腰三角形等． 【问题2】 (1) 你能说出轴对称图形在初中是如何定义的吗？中心对称图形呢？ (2) 数学中，哪些函数的图象具有对称性？ [学生活动] 初中的轴对称定义是：将图形沿对称轴翻折后，两侧完全重合； 中心对称图形的定义是：将图形按对称中心旋转180度后，完全重合． [教师引导] 初中对对称的定义主要是从整体宏观上界定，若从微观上点的特点来看，本质应是：图形上任意一点关于对称轴（中心）的对称点仍在该几何图形上． [学生活动] 初中，数学中函数，的图象分别关于轴成轴对称和原点成中心对称． ▍概念的探究与建构 【问题3】 你能判断函数图象的对称性吗？ [学生活动] 不能． [教师引导] 我们只能通过翻折和旋转的方法来判断一个图形是否具有对称性．这种方法的缺陷是必须预先知道函数的图象．有时即使知道函数的图象，我们也难以通过翻折和旋转后判断出每个点能够保证“严丝合缝”． 因此，我们还需要挣脱“形”的束缚，迫切需要从代数的角度来探究函数对称性的判断方法． 【问题4】 请画出函数的图象，并将下表补充完整： 自变量 … … 函数值 (1) 从形上看，图形具有怎样的特征？ (2) 从数上来看，观察表格，你发现了什么？ [学生活动] 数量，，…… [教师引导] (1) 对于任意的自变量，又有怎样的代数关系呢？ (2) 观察的图象和表格，你发现什么？ [学生活动] 从图形上看：函数图象关于轴对称；从数量上看：对于任意的自变量，都有． 【问题5】 用怎样的数量关系刻画函数的图象关于轴对称这一特征呢？ [学生活动] ． [教师引导] 如何予以代数证明呢？（师生共同完成） 证明：设点是函数图象上任意一点， 则点关于轴的对称点为， 又函数的图象关于轴对称，则在函数的图象上， 所以，且，则． 所以，函数的图象关于轴对称 [教师引导] 反之也成立吗？ 形成知识 函数的图象关于轴对称，我们把在定义域内任意的自变量满足的函数称为偶函数． 【问题6】 你能用数学符号语言给偶函数下一个定义吗？ [学生活动] 学生表达，师生共同完善补充． 形成知识 一般地，设函数的定义域为．如果对于任意的，都有，并且，那么称函数是偶函数． 【思考】 判定下列函数是否为偶函数： 1 2 3 [学生活动] 通过具体问题的解决，进一步加深对概念定义的理解． 【问题7】 (1) 偶函数的定义域有何特点？ （如果一个函数是偶函数，那么它的定义域有什么特点？） (2) 偶函数的图象特征是什么？ (3) 式子的本质内涵是什么？ [教师引导] 类比偶函数定义得到的过程． 形成知识 函数是偶函数，则： (1) 定义域特点：关于原点对称； (2) 代数本质：定义域内，等式恒成立； (3) 几何特征：图象关于轴对称． 偶函数 定义域特点 关于原点对称 代数本质 几何特征 图象关于轴对称 [学生活动] 类比方法，自主探究． 【问题8】 如何用数量关系来刻画函数图象关于原点对称？ 以函数为例，分组合作探究． 自变量 … 函数值 (1) 通过取点，你发现横坐标取相反数时，纵坐标什么关系？ (2) 函数图象关于原点对称，表达式满足的关系是什么？ (3) 函数图象关于原点对称，表达式满足的关系是什么？ [学生活动] (1) 当自变量取一对相反数时，对应的函数值互为相反数； (2) 对函数定义域内任意的，有； (3) 同上． 形成知识 一般地，设函数的定义域为．如果对于任意的，都有，并且，那么称函数是奇函数． 【问题9】 (1) 奇函数的定义域特点？ (2) 奇函数的图象特征？ (3) 奇函数定义表达式的代数本质是什么？ 形成知识 1. 奇函数的定义域关于原点对称； 2. 奇函数其图象关于原点对称定义域内任意的，有． [教师引导] 判断函数的图象是否具有怎样的对称性？ 在函数图象上图象关于轴对称． ▍知识的运用与升华 【例题】 判断下列函数是否为偶函数或奇函数． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) 【解析】 (1) 因为函数的定义域为，关于原点对称． 又，所以，函数为奇函数． (2) 因为函数的定义域为，关于原点对称． 又，所以，函数为偶函数． (3) 因为函数的定义域为，不关于原点对称． 所以，函数，既不是奇函数，也不是偶函数． 即非奇非偶函数． (4) 因为函数的定义域为，关于原点对称． 又，，即，且， 所以，函数为非奇非偶函数． (5) 因为函数的定义域为，关于原点对称． 又，且， 所以，函数既是奇函数，也是偶函数． [处理建议] 师生共同完成，教师板书一道例题的过程，形成判断函数奇偶性的一般步骤．通过本例题，按奇偶性完成对函数的分类． 方法归纳 1. 判断函数奇偶性的一般步骤： (1) 一看：看定义域→是否关于“”对称； (2) 二找：找关系→与； (3) 三判断：下结论→奇偶性． 2. 函数的分类（按照奇偶性）：偶函数、奇函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数． ▍课堂反馈 1. 对于定义在上的函数，下列判断是否正确？ 1 若是偶函数，则； 2 若，则是偶函数； 3 若，则不是偶函数． [答案] 1 对 2 错 3 对 2. 判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3) ． [答案] (1) 为偶函数； (2) 既是奇函数又是偶函数； (3) 是非奇非偶函数． ▍课堂总结 【问题10】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． 知识框图 1. 知识与技能层面： (1) 奇函数定义域内任意的变量恒有图象关于轴对称； (2) 偶函数定义域内任意的变量恒有图象关于原点对称． (3) 判断函数奇偶性的方法：①图象法；②定义法． (4) 定义法判断奇偶性的一般步骤：一看、二求、三判断． 2. 思想与方法层面：研究问题涵盖的思想与方法：数形结合、特殊到一般、类比…… 学科网（北京）股份有限公司 $