5.1函数的概念和图像讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦函数的概念（非空实数集单值对应）、三要素（定义域、对应法则、值域）、区间表示、相等函数判断及描点法作图。从集合与对应角度引入概念，通过三要素掌握函数构成，区间实现集合与区间互化，相等函数判断强化定义域与对应法则，描点法作图连接概念与图像，形成递进学习支架。 资料以核心素养为导向，通过“非空数集、任意、唯一”突破函数概念理解（数学思维），求定义域列限制条件培养逻辑推理（数学思维），描点法作图发展几何直观（数学眼光）。分知识点精练针对性强，答案解析详细，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升学习效果。

5.1 函数的概念和图像 2026 年高中数学暑期同步讲义 · 苏教版必修一 【学习目标】 理解函数的概念（非空实数集上的单值对应），能从集合与对应角度认识函数； 掌握函数的三要素（定义域、对应法则、值域），会求简单函数的定义域； 熟记区间的表示方法，能在集合与区间之间互化； 理解相等函数的含义（定义域与对应法则均相同）； 了解函数图象的意义，会用描点法作简单函数的图象。 【重难点梳理】 类别 内容要点 突破策略 重点 函数概念（任意 x 唯一 y）、三要素、区间 紧扣“非空数集、任意、唯一”三要素 重点 求简单函数的定义域 列全限制：分母≠0、偶次根号下≥0 难点 函数概念的理解与相等函数判断 相等必须“定义域同且对应法则同” 难点 描点法作图 先列表取点，再描点连线 一、教材知识点盘点 1. 函数的概念 设 A、B 是___【1】___实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种对应法则 f，在集合 B 中都有___【2】___的数 y 和它对应，记作 y=f(x)，x∈A。其中 x 叫做___【3】___，A 叫做___【4】___。 2. 函数的三要素 函数由___【5】___、___【6】___、___【7】___ 三要素确定；其中值域由___【8】___和___【9】___共同确定。 3. 区间表示 闭区间 [a,b] 表示___【10】___；开区间 (a,b) 表示___【11】___；半开半闭 [a,b) 表示___【12】___；[a,+∞) 表示___【13】___；(-∞,b] 表示___【14】___；(-∞,+∞) 表示___【15】___。 4. 相等函数与函数图象 两个函数相等，当且仅当它们的___【16】___相同且___【17】___相同。 函数的图象是以 x 为横坐标、___【18】___为纵坐标的点 (x, f(x)) 的集合；用描点法作图的步骤是：列表、___【19】___、连线。 二、随堂练习 1. 判断下列对应是否为集合 A 到 B 的函数： (1) A=R，B=R，对应法则 x→x²； (2) A=R，B=R，x→±（x≥0）； (3) A=R，B=R，x→。 2. 求下列函数的定义域：(1) f(x)=；(2) f(x)=；(3) f(x)=+。 3. 用区间表示：{x|x≥-1}=______；{x|1<x≤3}=______；{x|x≠2}=______。 4. 判断 f(x)=x 与 g(x)= 是否相等函数，并说明理由。 5. 用描点法作出 y=x²（x∈[-2,2]）的图象（至少列出 5 个点）。 三、分知识点精练 知识点1：函数概念与判断 1. 下列对应能构成函数的是（　） A. x→x²（x∈R） B. x→（x∈R） C. x→±（x≥0） D. 三角形→它的面积（集合不明确） 2. 集合 A={1,2,3}，B={a,b}，下列 A→B 的对应中能构成函数的是（　） A. 1→a，2→a，3→a B. 1→a，2→b，3→a，1→b C. 1→a，1→b，2→a，3→b D. 1→a，2→b 3. 已知 f(x)=x²+1，则 f(0)=______，f(-1)=______，f(a+1)=______。 4. 下列对应法则不能构成函数的是（　） A. x→x² B. x→|x| C. x→（定义域含 0） D. x→2x+1 知识点2：定义域的求法 5. 函数 f(x)= 的定义域是（　） A. [1,+∞) B. (1,+∞) C. (-∞,1) D. R 6. 函数 f(x)= 的定义域为______。 7. 函数 f(x)= 的定义域为______。 8. 已知 f(x) 的定义域为 [0,4]，则 f(2x-1) 的定义域为______。 知识点3：区间与相等函数 9. 区间 (a,b] 对应的集合是（　） A. {x|a<x≤b} B. {x|a≤x<b} C. {x|a<x<b} D. {x|a≤x≤b} 10. 函数 f(x)=x 与 g(t)=t 是否相等函数？______（填“是”或“否”）。 11. 下列与 f(x)=x 相等的函数是（　） A. g(x)= B. g(x)= C. g(x)= D. g(x)=|x| 12. 函数 与 g(x)=x+1 是否相等？______（填“是”或“否”） 知识点4：函数图象与描点法 13. 函数 y=2x+1（x∈R）的图象是（　） A. 抛物线 B. 直线 C. 射线 D. 折线 14. 用描点法作出 y=x²（x∈[-2,2]）的图象，并说明它关于______轴对称。 15. 若点 (a,4) 在函数 y=x² 的图象上，则 a=______。 16. 函数 y= 的图象分布在第______、第______象限。 【教材知识点盘点·参考答案】 【1】 非空　　解析：函数定义要求 A、B 为两个非空数集。 【2】 唯一确定　　解析：对 A 中任意 x，B 中有唯一确定的 y 与之对应。 【3】 自变量　　解析：x 叫做自变量。 【4】 定义域　　解析：A 叫做函数的定义域。 【5】 定义域　　解析：函数三要素为定义域、对应法则、值域。 【6】 对应法则　　解析：同上。 【7】 值域　　解析：同上。 【8】 定义域　　解析：值域由定义域和对应法则共同确定。 【9】 对应法则　　解析：同上。 【10】 {x | a≤x≤b}　　解析：闭区间 [a,b] 表示满足 a≤x≤b 的实数集合。 【11】 {x | a<x<b}　　解析：开区间 (a,b) 表示 a<x<b。 【12】 {x | a≤x<b}　　解析：半开半闭 [a,b) 表示 a≤x<b。 【13】 {x | x≥a}　　解析：[a,+∞) 表示不小于 a 的实数。 【14】 {x | x≤b}　　解析：(-∞,b] 表示不大于 b 的实数。 【15】 R（全体实数）　　解析：(-∞,+∞) 即全体实数 R。 【16】 定义域　　解析：两函数相等当且仅当定义域与对应法则都相同。 【17】 对应法则　　解析：同上。 【18】 y（或函数值 f(x)）　　解析：图象点的纵坐标为函数值 y=f(x)。 【19】 描点　　解析：描点法步骤：列表、描点、连线。 四、答案与解析 随堂练习： 1. (1) 是（任意 x 唯一对应 x²）；(2) 否（一个 x 对应两个值 ±√x，不唯一）；(3) 否（x=0 时无意义，B 中无对应）。 2. (1) {x|x≠1}；(2) {x|x≥2}；(3) {x|x≥-1 且 x≠2}。 3. [-1,+∞)；(1,3]；(-∞,2)∪(2,+∞)。 4. 否。g(x)=x²/x 的定义域为 {x|x≠0}，而 f(x)=x 的定义域为 R，定义域不同，故不是相等函数。 5. 列表：x=-2,-1,0,1,2 时 y=4,1,0,1,4；描点并连成抛物线。 分知识点精练： 1. A　解析：B 中 x=0 无对应；C 中一个 x 对应两值；D 集合不明确。 2. A　解析：每个 x 唯一对应一个 y 即可，A 满足；B、C 中 1 对应两个值，D 不完整。 3. 1；2；a²+2a+2。 4. C　解析：x=0 时 无意义，不能对全体实数定义。 5. B　解析：分母要求 x-1>0，故 x>1。 6. [-2,2]　解析：4-x²≥0 ⇒ x²≤4。 7. (2,+∞)　解析：分母 √(x-2) 要求 x>2，且 (x+1)⁰ 要求 x+1≠0（已满足）。 8. [, ]　解析：0≤2x-1≤4 ⇒ ≤x≤。 9. A　解析：(a,b] 表示 a<x≤b。 10. 是　解析：两函数定义域均为 R，对应法则相同（都是自变量本身）。 11. B　解析：³√(x³)=x 且定义域为 R；A 定义域不含 0，C、D 为 |x|。 12. 否　解析：f(x) 的定义域不含 x=1，而 g 的定义域为 R。 13. B　解析：一次函数图象是直线（定义域受限时才是射线或线段）。 14. y 轴（或直线 x=0）。 15. ±2　解析：a²=4 ⇒ a=±2。 16. 一、三。 学科网（北京）股份有限公司 $