向量专题分类、分层提高训练----2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 本专项以向量概念-运算-定理-应用为逻辑主线，分类分层设计选择、填空、解答题，聚焦基础辨析与综合应用，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量概念|4题|概念辨析、充要条件判断|从向量基本属性到共线向量性质| |平面向量运算|4题|数量积、投影、模长计算|运算律与几何意义结合| |基本定理及坐标表示|4题|动态问题、最值求解|坐标法与几何法融合| |向量应用（解三角形）|选择7题/填空6题/解答11题|多结论判断、范围最值、证明求值|向量工具与三角定理综合应用|

2026-2027学年度高三一轮复习向量专题分类、分层提高训练 1、 单选题 (一)平面向量的概念 1．若为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A．且 B． C． D． 3．设，是共线的单位向量，则的值（    ） A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2 4．在中，，若的面积为6，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 (二)平面向量的运算 1．已知非零向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，的外接圆的圆心为O，，，，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D． 3．已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．若平面向量，两两夹角相等，且，则（    ） A．3 B．6 C．3或6 D．6或 (三)平面向量的基本定理及坐标表示 1．如图，在中，点，是线段上两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．9 2．在中，是线段的中点，是上的动点，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．在中，是中点，是线段上一点，若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 4．梯形满足为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 (一)平面向量的应用：正弦定理与余弦定理 1．已知的面积为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，，则（   ） A． B． C． D．内切圆半径的大小为 3．在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 4．在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B．有两解 C．是钝角三角形 D．若，则 5．已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ） A．若，则不是锐角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则 D．若，则 6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC的中点，（为锐角），，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B． C． D． 7．设的内角A，B，C的对边为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C．的面积可以是 D．的周长可以是3 3、 填空题 (一)平面向量的应用：正弦定理与余弦定理及面积公式 1．在中，若，则角________． 2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______． 3．已知中，内角所对的边分别为，若，则边上的高的长度为__________. 4．在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________． 5．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为______. 6．在中，，，则的面积的最大值为___________． 4、 解答题 (一)正弦定理与余弦定理：求值与证明 1．在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． (1)求的面积； (2)若为的中线，且，判断的形状． 2．已知在中，，. (1)求证：； (2)若边上的中线的长为1，求的面积. 3．在中，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，半周长为．已知，，． (1)求； (2)求和的面积． 4．在中，. (1)证明：为等腰三角形； (2)若AC边上的高与BC边上的高之比为1:3，求. 5．在中，内角,,的对边分别为,,,的面积为S，且． (1)求的大小； (2)已知点在边上，，且．证明：． 6．内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求证：； (2)当角取得最大值时，的面积为，求． (二)正弦定理与余弦定理：最值与范围 1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 (1)求C； (2)若D在AB边上， 且AD=2DB， CD =2， 求△ABC面积的最大值. 2．已知分别为三个内角的对边，且 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 3.已知在中，，其中内角的对边分别为． (1)求角的大小；(2)若为的中点，且，求的最大值． 4.已知锐角三角形的内角所对的边分别为，且满足． (1)求； (2)若，求的取值范围． 5.记锐角内角，，的对边分别为，，，且. (1)证明：；(2)求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三一轮复习向量专题分类、分层提高训练 1、 单选题 (一)平面向量的概念 1．若为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设为方向上的单位向量， 则，，所以，可以推出，不能推出，即. 2．设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A：且，则，两个为相等向量或相反向量，当时，，不成立，所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确； 对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确； 对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出， 所以不是成立的充分条件，故选项C不正确； 对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即， 所以是成立的充分条件，故选项D正确； 3．设，是共线的单位向量，则的值（   ） A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2 【答案】D 【详解】与是共线的单位向量，∴，当两个向量同向时，，则； 当两个向量反向时，，则． 4．在中，，若的面积为6，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】因为，所以，所以， 所以，又，所以， 所以，所以. (二)平面向量的运算 1．已知非零向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为非零向量满足，且，可得，解得. 2．如图，的外接圆的圆心为O，，，，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】设的中点为，的中点为，连接，因为为的外心，所以，所以，则， 同理，所以. 3．已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，为单位向量，故.又，所以，即，所以.所以向量在向量上的投影向量为. 4．若平面向量，两两夹角相等，且，则（    ） A．3 B．6 C．3或6 D．6或 【答案】D 【详解】 当平面向量，两两夹角为时，，则，所以 当平面向量，两两夹角为时，，则，所以，所以，故或． (三)平面向量的基本定理及坐标表示 1．如图，在中，点，是线段上两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．9 【答案】C 【详解】解：设，，，，，共线，，． ，则，点，是线段上两个动点，，． ,则的最小值为． 2．在中，是线段的中点，是上的动点，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是线段的中点，所以，又，所以， 因为三点共线，所以，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 3．在中，是中点，是线段上一点，若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得是中点，则，因为三点共线，所以， 由基本不等式有，当且仅当时等号成立，解得，则的最大值为. 4．梯形满足为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】  如图所示，由题意，以为原点，分别为轴正方向建立直角坐标系，设， 则有，，，，由于为的中点，所以， 得，，所以，故B正确. 2、 多选题 (一)平面向量的应用：正弦定理与余弦定理 1．已知的面积为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A.因为，所以，得 由正弦定理 ，得，由勾股定理逆定理，，选项 A 正确； B.代入，所以， 因为,所以，所以 即，所以，选项 B 正确； C.由B得，同理可得，不妨设，则，即， 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，C 正确； D. ，仅知，无固定值，可取，则，D 错误. 2．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，，则（   ） A． B． C． D．内切圆半径的大小为 【答案】ACD 【详解】由，得，即，由余弦定理得，所以，即.所以或（舍去，角度为正值）.对于A：由正弦定理得， 又，所以，则，即，A正确. 对于C：因为，，则，所以.由余弦定理得，即，整理得，解得或.若，则为等腰三角形，，又，所以，即，所以，所以与矛盾，故舍去.因此，，故C正确. 对于B：，故B错误. 对于D：由，，得. 则.设内切圆半径为，则， 所以，解得，故D正确. 3．在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 【答案】ABD 【详解】由及正弦定理得，，， 代入得，得， 即，在中，有，故A项正确； 由，得， 得，因，则，得，故B项正确；因为，，及，联立解得， 由得，则，，故D项正确； 外接圆半径为，故C项错误． 4．在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B．有两解 C．是钝角三角形 D．若，则 【答案】ACD 【详解】 选项A：由正弦定理，结合，得，又，因此，即.又，故，故A正确；选项B：由，得，则，得. 因为，由大边对大角得，故，，只有1解，所以B错误； 选项C：三角形内角和，故是钝角三角形，故C正确； 选项D：若，又，则，由余弦定理，得， 化简得，解得或（舍去），故D正确. 5．已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不是锐角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】选项A：由，可得，则 或 ，由于为三角形的内角，故或，为直角三角形或钝角三角形，故A正确； 选项B：当时，，对于任意，， 恒成立，为钝角三角形，故B错误； 选项C：由 ，得，由余弦定理得：，，，故C正确； 选项D：由正弦定理，则，即，，，故D正确． 6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC的中点，（为锐角），，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由 为锐角，所以，A错误； 由，为锐角，得，由余弦定理得 ，则，B正确；由题意，可得，则， ，所以C正确；由，得，则，D正确． 7．设的内角A，B，C的对边为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C．的面积可以是 D．的周长可以是3 【答案】BCD 【详解】由正弦定理可知：，（为外接圆的半径），则； 因为，代入可得：， 则，由两角和的正弦公式可得：， 因为，故，化简可得：，故，因为，故，故B正确； 通过题给条件无法判断A,故A错误；因为，由基本不等式可知：， 故；故，当且仅当时，“=”成立，故C正确；由余弦定理可知：； 因为，故，解得；因此周长：，因为，因此周长可以为3，故D正确． 3、 填空题 (一)平面向量的应用：正弦定理与余弦定理及面积公式 1．在中，若，则角________． 【答案】 【详解】由题知， 根据正弦定理可得， 由余弦定理可知，将上述等式代入，得，又，故. 2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______． 【答案】或或 【详解】因为，，所以、均为方程的根，对于方程，两根，，，，所以当时，因为，所以为等边三角形， 则此时或，当时，，，所以由余弦定理， 则，则此时. 3．已知中，内角所对的边分别为，若，则边上的高的长度为__________. 【答案】/ 【详解】由余弦定理，. ..所以边上的高. 4．在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________． 【答案】 【详解】因为，所以所以因为，，为外接圆半径，所以 因为，所以， 5．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为______. 【答案】/ 【详解】在中，,，故,由余弦定理，得. 又（当且仅当时取等号），所以，所以， 所以面积的最大值为. 6．在中，，，则的面积的最大值为___________． 【详解】记内角的对边分别为，因为，所以， 由正弦定理得，由余弦定理可得， 所以， 又，所以，又， 所以，所以， 所以当，即时，取得最大值，最大值为． 4、 解答题 (一)正弦定理与余弦定理：求值与证明 1．在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． (1)求的面积； (2)若为的中线，且，判断的形状． 【详解】（1），其中，所以，， 解得，，由正弦定理得，又，所以，所以； （2）为的中线，，故，，故， ，故，所以，在中，由余弦定理得，即，化简得， 联立与得或， 若，此时，为等腰直角三角形； 若，此时，为等腰直角三角形；综上，为等腰直角三角形 2．已知在中，，. (1)求证：； (2)若边上的中线的长为1，求的面积. 【详解】（1）解：因为，，所以，即，所以，因为，即 因为，中至少有一个为锐角，所以， 所以，即 所以，所以，即， 因为，所以，即. （2）解：由（1）知，即，所以， 因为，所以， 因为，所以，所以， 因为，，所以，， 因为，所以， 所以，由余弦定理得，即，所以设为外接圆半径，所以， 所以，解得，即，所以，所以 3．在中，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，半周长为．已知，，． (1)求； (2)求和的面积． 【详解】（1）已知，半周长，由面积公式可得： ， 又因为，由面积公式可得： ，因为两式相等，所以约去得： ①，由余弦定理可得：， 又因为，， 所以 ② 将①代入②得：，整理得，解得正根（负根舍去），因此. （2）由（1）已得，面积，代入可得：，， 所以. 4．在中，. (1)证明：为等腰三角形； (2)若AC边上的高与BC边上的高之比为1:3，求. 【详解】（1）(1)因为，所以，所以， 所以，即，又因为，所以， 所以，即，所以为等腰三角形. （2）设AC边上的高为边上的高为，则，因为，所以， 所以，由余弦定理可知. 5．在中，内角,,的对边分别为,,,的面积为S，且． (1)求的大小； (2)已知点在边上，，且．证明：． 【详解】（1）因为，又，所以， 即．    由余弦定理得：，即．     所以，   所以，又，所以． （2）在中，由正弦定理得， 则，    在中，由正弦定理得， 则，    因为， 所以，    在中，由正弦定理得，即，    所以，所以，即． 6．内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求证：； (2)当角取得最大值时，的面积为，求． 【详解】（1）由，可得．  由正弦定理可得．   故．  由余弦定理可得．   化简得． （2）因为角取得最大值，所以为锐角，，因为，所以，所以，所以，所以为锐角，则，   当且仅当即时取等号．  此时最大，且．  所以．   解得． (二)正弦定理与余弦定理：最值与范围 1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 (1)求C； (2)若D在AB边上， 且AD=2DB， CD =2， 求△ABC面积的最大值. 【详解】（1）由题意，根据正弦定理得， ∵，∴，∴，∵，即：， ∵，∴. （2）（2）由题意在边上一点，且，可得， ∴，∴，故，，∴当且仅当时取到等号，故，∴的最大值为，当且仅当时取到等号. 2．已知分别为三个内角的对边，且 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【详解】（1）因为，由正弦定理得： ，因为，所以，则， 即，，因为，则，所以，即. （2）因为，，所以，所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以， 所以． 3.已知在中，，其中内角的对边分别为． (1)求角的大小；(2)若为的中点，且，求的最大值． 【详解】（1）由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入，可得， 化简后得到，即．根据余弦定理，把代入可得．因为，所以； （2）在中，根据余弦定理．因为为中点，设，已知，则，即．根据基本不等式（当且仅当时取等号）．所以，即，当且仅当时取等号． 将代入，可得，解得，，满足条件，所以的最大值为18． 4.已知锐角三角形的内角所对的边分别为，且满足． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【详解】（1）由，根据正弦定理，得， 由，，则，即，而，故,又，所以. （2）由正弦定理，且，则，，由， 则 ， 由，则，即，可得， 令，则， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， ，，，所以. 5.记锐角内角，，的对边分别为，，，且. (1)证明：；(2)求的最大值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则， 而，则，于是， 整理得，因此， 所以. （2）在锐角中，由（1）知，，则， 而，则 ，当且仅当时取等号， 因此，，所以的最大值为1. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $