26.4 实际问题与二次函数 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，分层设计基础巩固、中档应用、提升拓展三阶训练，覆盖图形、销售等多情境，强化建模能力与数学思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|列函数关系式、增长率问题|单选填空基础题型，如第6题增长率公式应用| |中档|动态几何、最值问题|综合辨析题，如第8题图形运动面积函数分析| |提升|复杂情境建模|多问解答题，如第18题动态三角形面积最值探究|

26.4 实际问题与二次函数 同步练习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ）米． A．11 B．13 C．22 D．26 3．一塑料玩具生产公司将每件成本为元的某种玩具按每件元批发出售，平均一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低元，其日销量可平均增加件．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天件．若想获得最大利润，则批发价应降低（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（　　） A． B． C． D． 5．如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y 与x的函数关系式是（    ） A．y=x+m B．y=m（x-1） C．y=m（1+x） D．y=m（1-x） 7．用的绳子围成一个的矩形，则矩形面积与一边长为之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 8．如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）    A．   B．   C．   D．   9．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式为．有下列结论： ①滑行的时间为时，滑行的距离是； ②飞机停下前最后内滑行的距离是； ③飞机着陆后滑行了才停下来． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．电暖气（如图1）可以通过旋钮开关调节电路的总电阻来控制电流的变化，从而实现功率的改变．在额定功率范围内，电暖气电路的电流I（单位：A）与实际功率P（单位：W）的二次函数图象如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．P与I的函数关系式是 C．在额定功率范围内，P随I的增大而增大 D．I每增加，P的增加量相同 二、填空题 11．用长为的铝合金制成如图所示形状的矩形窗框，当_______m时窗户的透光面积最大（铝合金条遮光部分忽略不计）． 12．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则第______秒时炮弹所在高度最高． 13．某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为_______．（不要求写定义域） 14．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 15．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为______，宾馆利润最大利润是______元． 三、解答题 16．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为6m，宽为4m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米．求出抛物线的解析式． 17．如图，某公司要在办公楼前的广场修建一个圆形的喷水池，在池中心竖直安装一根水管，并且在距离池中心地面高的水管处安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为4m时达到最高，高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，其中 是水柱距喷水头的水平距离， 是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的解析式； (2)求水柱落地处与池中心的水平距离．（结果保留两位小数，参考数据：）． 18．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 19．掷实心球是某市中考体育选考项目．小西（男生）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知小西掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)下表为某市中考体育投掷实心球项目评分表，按此评分标准，该生在此项考试中得分为多少？说明理由． 项目 评分表（成绩） 20分 19分 18分 17分 16分 原地掷实心球 米 12.10 11.70 11.30 10.90 10.50 20．为宣传海洋文化，某文创店计划在一段时间内销售贝壳饰品和栈桥明信片两种文创商品，其中每件贝壳饰品的利润（元）与第天（为整数，且）之间满足一次函数关系，部分销售数据如下表所示： 第天 ．．． 2 3 4 5 ．．． 贝壳饰品每件的利润（元） ．．． 7 7.5 8 8.5 ．．． 已知：贝壳饰品第天销售量满足：；栈桥明信片每套的利润固定为8元，且第天销售量满足：． (1)求每件贝壳饰品的利润（元）与第天之间的函数关系式； (2)若销售期间栈桥明信片每天的销量不低于25套，且每天需支出其他费用500元，求销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润至少为多少元？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D B C C C C D 1．【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 设，矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，矩形菜园的面积为，根据题意得： ， ∵的长不能超过， ∴， ∴， ∴的长不可以为，故①错误； 当时，， 解得：， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵， ∴菜园面积的最大值为，故③正确． 故选：B 2．【答案】D 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为． 【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中： 得到：， 解得， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米， 故选：D． 3．【答案】C 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设批发价降低x元，根据生产限额180件，求出x的取值范围，再列出利润的函数，然后分情况讨论利润函数，求最大值即可得出答案． 【详解】解：设降低x元，则批发价为元，每件利润为元，销量为， 根据题意可知，即， 设利润为， 可得， ∵该二次函数开口向下，对称轴， ∴在时P随x增大而增大， ∴当时，P最大，元． 综上，当时利润最大，故批发价应降低8元． 故选C 4．【答案】D 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质和解析式求解，准确计算是解题的关键． 根据球门高为米，可得当时，，即可得解． 【详解】球门高为米， 当时，， ， 可能是． 故选． 5．【答案】B 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 6．【答案】C 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意列出函数关系式即可，先求得第一年的利润m（1+x），再求得第二年的利润为m（1+x） 【详解】根据题意，某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，每年增长的百分数都是x，则, 故选C 【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确题意、掌握增长率问题是解题的关键． 7．【答案】C 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意求出矩形的另一边长，即可求解． 【详解】解：由题意得：矩形的另一边长， ∴， 故选：C． 8．【答案】C 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可 【详解】解：如图，当时，    重叠部分为三角形，面积， 如图，当时，    重叠部分为梯形，面积， ∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为50， 纵观各选项，只有C选项符合． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键． 9．【答案】C 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式再逐个分析即可得． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即滑行的时间为时，滑行的距离是； 当时，s有最大值，此时， ∴飞机从落地到停下来共需20秒，滑行距离为600m， ∴飞机前10秒滑行的距离为， 即飞机停下前最后内滑行的距离是 当时，y取得最大值600， 即飞机着陆后滑行600米才能停下来， 所以，正确的结论是①③，共2个， 故选：C． 10．【答案】D 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据图像中提供的信息可以判断A；待定系数法求出函数解析式即可判断B；根据函数性质进行求解，即可判断C；根据函数性质进行求解． 【详解】解：由题图2可知，当时，，故选项A中结论正确，不符合题意； 根据题意，设P与I的函数关系式为（，），把点代入，得， ， ∴P与I的函数关系式是，故选项B中结论正确，不符合题意； 由题图2可知，在额定功率范围内，P随I的增大而增大，故选项C中结论正确，不符合题意； I每增加，P的增加量不相同，故选项D中结论错误，符合题意． 11．【答案】2 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】设AB=xm，则 ，根据矩形的面积公式，可得到关于x的函数关系式，然后根据二次函数的性质判断面积的最大值，即可求解． 【详解】解：设AB=xm，则 ， 则窗框的透光面积为 ， ∴当x=2时，窗框的透光面积最大， 即AB=2m时，窗框的透光面积最大． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，列出函数关系式是解题的关键． 12．【答案】10 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时的值． 【详解】解：∵此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等， ∴对称轴为直线, ∴炮弹位置达到最高时，时间是第10秒． 故答案为：10． 13．【答案】y＝10(1+x)2 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】利用该厂九月份的产值=该厂七月份的产值×（1+增长率）2，即可得出结论． 【详解】解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x， ∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元， ∴y＝10（1+x）2． 故答案为：y＝10（1+x）2． 【点睛】本题考查了由根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键． 14．【答案】6 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解： ，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 15．【答案】 10240 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．由题意得y 关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意得： ， ，抛物线开口向下， 当时， y 有最大值，为10240， 答：房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元． 故答案为：，10240． 16．【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：根据题意得：，，， 设抛物线的解析式为， 把，代入， 得：， 解得， ∴抛物线的解析式为，即． ∴抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 17．【答案】(1) (2)水柱落地处与池中心的水平距离为米 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际运用，解题的关键是掌握二次函数顶点式，函数的性质． （1）设抛物线的解析式为：，把顶点代入，再把，代入，即可； （2）根据（1）中得函数解析式，当时，求出的值，即可． 【详解】（1）设抛物线的解析式为：， ∵顶点坐标为：， ∴， ∵点， ∴， 解得：， ∴函数的解析式为：． （2）由（1）得，函数解析式为：， ∴当时，， 解得：，（舍）， ∴， 答：水柱落地处与池中心的水平距离为：米． 18．【答案】(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【知识点】列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况、动态几何问题(一元二次方程的应用)、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 19．【答案】(1) (2) 解：该生得分为19分，理由如下： 在中，当时，则， 解得，（不合题意，舍去）， （米）， ∵， 根据上表可得该生得分为19分． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）令解析式中的，求出自变量的值，对照表格即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：函数的顶点的坐标为，且函数的图象经过点， 设函数解析式为， 则， 解得； ∴函数表达式为； （2）略 20．【答案】(1) (2)销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润至少为255元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，求一次函数解析式，一元一次不等式的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系列出表达式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先根据题意求出，设销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润为w，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设 将，代入得， 解得 ∴； （2）解：∵销售期间栈桥明信片每天的销量不低于25套 ∴ ∴ 又∵为整数，且 ∴ 设销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润为w， 根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ∵，， ∴当时，w有最小值，此时． ∴销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润至少为255元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $