26.4 实际问题与二次函数 课前预习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过多场景问题构建“建模-求解-应用”方法体系，强化数学建模与逻辑推理 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |拱桥/隧道问题|1,9,15,16|待定系数法求解析式，顶点式应用|实际情境→坐标系建立→二次函数模型→几何性质应用| |销售利润问题|2,14,20|利润公式（单件利润×销量），分段函数最值|经济问题→等量关系分析→函数关系式构建→最值求解| |投球/喷水问题|3,12,17,19|顶点式求最大高度，零点意义|运动轨迹→二次函数表达式→顶点与零点应用| |增长率/图形问题|4,6,7,8,11,13|增长率公式，图形面积关系|变化规律→函数关系建立→自变量取值范围分析|

26.4 实际问题与二次函数 课前预习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在空中的运动路线可以看做是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度（米）与水平距离（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 5．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆至停下来共滑行（    ） A．20米 B．40米 C．400米 D．600米 6．正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为 （   ） A． B． C． D． 7．如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）    A．   B．   C．   D．   8．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 9．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．一种玻璃水杯的截面如图①所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．把一根长为 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式为_______（写出自变量取值范围）． 12．已知小金同学掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小金同学本次投掷实心球的成绩为______米． 13．某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为_______．（不要求写定义域） 14．某企业研发出了一种新产品准备销售，已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，据调查年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为： ，则当该产品的售价x为________．（元/件）时，企业销售该产品获得的年利润最大． 15．校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆、垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为______． 三、解答题 16．如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 17．为了给草坪喷水，安装了自动旋转喷水器，如图所示．设直线AD所在位置为地平面，喷水管高出地平面，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B与水流最高点C的连线与地平面成的角，水流的最高点C离地平面，水流的落地点为D．在建立如图所示的直角坐标系中： (1)求抛物线的函数解析式； (2)求水流的落地点D到A点的距离． 18．如图，在四边形中，，于点，，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发，沿折线 方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当函数时的值．（结果保留一位小数，误差不超过） 19．掷实心球是某市中考体育选考项目．小西（男生）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知小西掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)下表为某市中考体育投掷实心球项目评分表，按此评分标准，该生在此项考试中得分为多少？说明理由． 项目 评分表（成绩） 20分 19分 18分 17分 16分 原地掷实心球 米 12.10 11.70 11.30 10.90 10.50 20．近几年城市建设快速发展，对花木的需求逐年提高，某园林专业户计划投资万元种植花卉和树木．根据市场调查与预测，种植树木的利润 (万元)与投资量 (万元)成正比例关系：；种植花卉的利润 (万元)与投资量 (万元)的函数关系如图所示(其中是抛物线的一部分，为抛物线的顶点，轴)． (1)写出种植花卉的利润关于投资量的函数关系式； (2)求此专业户种植花卉和树木获取的总利润 (万元)关于投入种植花卉的资金 (万元)之间的函数关系式； (3)此专业户投入种植花卉的资金为多少万元时，才能使获取的总利润最大，最大利润是多少万元？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A D C C D D D 1．【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了求抛物线的表达式，根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式． 【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为， ∴，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线表达式为． 故选：D． 2．【答案】C 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查实际问题与二次函数的应用，解题的关键是明确“利润每件利润销售量”的数量关系． 先确定涨价后的每件售价、每件利润，再确定涨价后的销售量，最后根据“利润每件利润销售量”列出函数式． 【详解】解：商品原售价为10元，涨价元后，新售价为元， 商品进价为9元，因此每件利润为“售价进价”，即元， 原销售量为100件，每涨价1元销量减少10件，因此涨价元后，销售量为件， 利润每件利润销售量，代入得： 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用（投球问题），把化成顶点式，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 将函数解析式化为顶点式，再求二次函数的最值即可． 【详解】解：， ∵， 当时，取得最大值， ∴羽毛球飞出的最大高度为米， 故选：A． 4．【答案】A 【知识点】函数解析式、增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 5．【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】将函数解析式配方成顶点式，根据抛物线的性质求出y的最大值即可． 【详解】解：∵， ∴当t＝20时，y取得最大值600， 即飞机着陆至停下来共滑行600米． 故选D 【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为y的最大值是解题的关键． 6．【答案】C 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据正方体有6个正方形面列式即可得解． 【详解】解：∵正方体有6个表面， ∴y=6x2， ∴y与x关系式为y=6x2， 故选：C 【点睛】本题是对函数关系式的考查，明确正方体有6个正方形面是解题的关键． 7．【答案】C 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可 【详解】解：如图，当时，    重叠部分为三角形，面积， 如图，当时，    重叠部分为梯形，面积， ∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为50， 纵观各选项，只有C选项符合． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键． 8．【答案】D 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意表示出垂直于墙饲养室的宽的长度，通过长和宽的实际意义列不等式组求出的范围，再求出矩形面积即可． 本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出饲养室的宽的长度是解题关键． 【详解】解：饲养室长为，则宽为， 由题意， 解得， 则占地面积． 故选：D． 9．【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得，设抛物线的表达式为．将代入，求出a的值，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 设抛物线的表达式为． 将代入，得， 解得． 抛物线的表达式为． 令，则． 解得，（不合题意，舍去）． 的长为． 故选：D． 10．【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，求一次函数解析式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．先以的中点为原点建立平面直角坐标系，然后求解轮廓线、所在抛物线的解析式，再求解直线的解析式，最后求解抛物线与直线的交点的坐标即可． 【详解】解：建立如图所示坐标系，作轴于点E， 各点坐标为：，，，， 设， 把点C坐标代入解析式得：， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， 即， 解得（舍去），， ∴， ∴． 故选：D． 11．【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式，弄清题意，找出题中的等量关系是解答此类题目的关键．根据矩形的面积长宽列出函数关系式即可． 【详解】解：设矩形的一边长为，则另一边长为， 则面积，x 需满足 ． 故答案为：． 12．【答案】9 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可． 【详解】解：由题意可知，将代入，得： ， 解得（舍去）或， 小朱本次投掷实心球的成绩为9米， 故答案为：9． 13．【答案】y＝10(1+x)2 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】利用该厂九月份的产值=该厂七月份的产值×（1+增长率）2，即可得出结论． 【详解】解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x， ∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元， ∴y＝10（1+x）2． 故答案为：y＝10（1+x）2． 【点睛】本题考查了由根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键． 14．【答案】50 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】设企业销售该产品获得的年利润为w元，根据题意分别列出当时和当时的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设企业销售该产品获得的年利润为w元，根据题意得： 当时， ， ∵-2<0， ∴当x=50时，w有最大值，最大值为800； 当时， ， ∵-1<0， ∴当x>55时，w随x的增大而减小， ∴当x=60时，w有最大值，最大值为600； ∵800>600， ∴当x=50时，w有最大值， 即当该产品的售价x为50（元/件）时，企业销售该产品获得的年利润最大． 故答案为：50 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． 15．【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，建立平面直角坐标系，求二次函数的解析式是解题的关键．以的中点O为原点，水平向右为x轴的正方向，垂直向上为y轴的正方向建立平面直角坐标系，则，，，设经过A、B、C三点的抛物线解析式为，把代入，求出，再求出抛物线的顶点纵坐标即可． 【详解】解：如图所示，以的中点O为原点，水平向右为x轴的正方向，垂直向上为y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，，， 设经过A、B、C三点的抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 抛物线解析式为， 令，则， 此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为． 16．【答案】(1) (2)摄像头到地面的竖直距离为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式； （2）令，求出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得： ∴该抛物线的函数解析式为 （2）解：依题意，当时， 答：摄像头到地面的竖直距离为 17．【答案】(1) (2) 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式和二次函数的性质是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）当时求出点D的横坐标，即可解题． 【详解】（1）解：在如图所建立的直角坐标系中， 由题意知，B点的坐标为，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴C点坐标为， 设抛物线的函数解析式为， 把代入得：， 解得： 所以抛物线的解析式为； （2）令，则， 解得：，（舍去） ∴． 18．【答案】(1) (2)图见解析；性质：函数值的最大值为8（答案不唯一）； (3)或． 【知识点】一次函数与几何综合、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，画函数图象，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）分两种情况求解，①当，点在上，点在上，②当，点在上，由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （2）根据函数解析式列表描点连线画图，再写出一条性质即可； （3）根据（2）中的函数图象直接作答即可 【详解】（1）解：，， ， ①当，点在上，点在上， 此时，， ； ②当，点在上，点在上， 此时， ， 综上可知，关于的函数关系式为； （2）解：列表如下： 0 1 2 4 0 3 4 0 4 5 6 0 4 8 描点连线如下： 性质：函数值的最大值为8； （3）解：由函数图象可知，当函数时或． 19．【答案】(1) (2) 解：该生得分为19分，理由如下： 在中，当时，则， 解得，（不合题意，舍去）， （米）， ∵， 根据上表可得该生得分为19分． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）令解析式中的，求出自变量的值，对照表格即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：函数的顶点的坐标为，且函数的图象经过点， 设函数解析式为， 则， 解得； ∴函数表达式为； （2）略 20．【答案】(1) (2) (3)当时，取得最大值为万． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用； (1)从 (万元)与投资量 (万元)的函数关系图可知，当时与的关系式为二次函数图像的一部分，当时，，故应分两种情况； (2)由题意可知 及共投资万元，列出关于、的函数关系式； (3)由(2)中、的关系式求出的最大值即可． 【详解】（1）解：由函数图像可知，当 时，与的关系式图像为 抛物线的一部分， 设此抛物线的解析式为： 把代入解析式为： 解得． 则 当时， ； 所以 （2）因为投入种植花卉万元，则投入种植树木万元． 当 时， ， 则 ； 当时， 则． 所以、的函数关系式为：； （3） 根据二次函数的性质， 当 万元时，W取得最大值， 万． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $