2026年中考数学真题完全解读（辽宁卷）

该初中数学中考复习讲义聚焦数与式、函数、几何及统计等中考核心模块，以课标为纲构建知识网络，通过“考点细目表-模块占比分析-核心复习策略”三级架构梳理内在联系。教学流程设计“真题解读-方法归纳-避坑提醒”环节，帮助学生突破函数几何综合等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于融合东北地域文化与科技情境的真题设计，如“助农直播间销售”考查方程与不等式应用，培养模型意识与数据观念。设置“基础过关-综合提升-压轴突破”分层练习，配合“避坑提醒”强化运算与推理能力，助力学生高效备考，教师可据此精准把控复习节奏。

2026年辽宁省中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年辽宁省中考数学试卷总分120分，考试时间120分钟，共设23题，题型包括选择题（10题，30分）、填空题（5题，15分）和解答题（8题，10+8+8+8+8+8+12+13=75分）。全卷立足课标、回归教材，注重基础性与综合性并重，在保持稳定结构的同时，突出了对数学核心素养和关键能力的考查。试卷覆盖了数与式、方程与不等式、函数、图形的性质、图形的变化、统计与概率等全部主干知识模块，其中几何与函数综合题占据较大分值，体现了辽宁卷‘重基础、强综合、显应用’的命题导向。选择题第1至6题侧重基础概念和基本运算，第7至10题开始融入几何直观与数形结合；填空题第11题考查因式分解，第12、13题考查统计与概率，第14题考查相似三角形，第15题考查函数图象综合；解答题第16题考查实数与分式运算，第17题以乡村振兴直播间销售大米小米为背景考查方程与不等式综合应用，第18题以3D打印智能机器人关节部件质检为背景考查统计量分析，第19题以冬小麦收割机拨禾轮为背景考查综合与实践，第20题考查圆的性质与计算，第21题考查一次函数与反比例函数综合，第22题考查旋转与全等三角形，第23题以二次函数表格与图象平移为背景设置压轴综合题。整体而言，本卷注重真实情境与数学建模，强调思维过程考查，压轴题层次分明，区分度明显。 试题亮点 东北地域文化与乡村振兴情境并进，彰显辽宁卷的本土关怀：第3题以‘山海关不住，东北超级酷’和东北城市足球联赛辐射近1.2亿人口为背景，用科学记数法表示区域人口数据，将东北地域文化符号与数与式知识结合；第12题以‘水润辽兴，水赋新能’辽宁水宣传活动抽样调查为背景，考查用样本估计总体；第17题以‘乡村振兴，辽宁在行动’助农直播间销售大米、小米为背景，考查二元一次方程组与一元一次不等式的综合应用。这些情境紧扣辽宁地域特色和时代发展主题，体现了试卷服务地方、关注民生的育人导向。 科技制造与农业生产情境渗透，体现数学服务现实发展：第18题以3D打印技术制造智能机器人关节部件为背景，要求对甲、乙两个品牌钛合金粉末的打印合格数量进行平均数、中位数和方差分析，考查学生用统计量评价生产稳定性的能力；第19题以2026年夏冬小麦丰收和‘科学收粮，颗粒归仓’为背景，研究收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系，将农业生产实际问题与解直角三角形、矩形性质等综合在一起。这些题目引导学生关注智能制造和现代农业，体会数学在科技发展和社会生产中的工具价值。 函数与几何综合压轴，思维梯度层次分明：第21题以一次函数与反比例函数图象交点为起点，通过设动点、建立面积函数、求二次函数最值，将函数图象性质、坐标运算与最值问题融为一体；第22题以等腰三角形中旋转线段为背景，考查等边三角形、全等三角形、解直角三角形与勾股定理的综合运用，第(2)问通过构造辅助线建立全等关系，对学生几何推理能力要求较高；第23题以二次函数表格数据为入口，综合考查待定系数法、抛物线平移、分段函数最值、函数图象与坐标轴交点等，第(2)问三小问层层递进，涉及分类讨论和参数范围分析。三道压轴题均注重思维过程而非复杂计算，有效区分了不同层次学生的数学素养。 命题趋势 东北地域文化与乡村振兴情境将持续入题，本土育人导向更加鲜明：辽宁卷2026年第3题以东北城市足球联赛、第12题以水宣传活动、第17题以助农直播间为情境，均紧扣辽宁地域特色和乡村振兴主题。预计未来几年，以东北文化符号、地方产业、民生工程、乡村振兴为背景的试题将继续保持，且情境与知识点的结合将更加紧密，不仅考查运算能力，更考查学生从本土情境中提取数学信息、建立模型并解决问题的能力。 科技制造与现代农业情境常态化，统计与建模能力考查将进一步强化：本卷第18题3D打印机器人部件质检、第19题收割机拨禾轮农业实践，分别对应统计决策和综合与实践两大领域。未来命题将继续从辽宁智能制造、现代农业、生态环保等地方产业中选取素材，引导学生经历‘采集数据—整理描述—分析决策’或‘阅读信息—建立模型—求解验证’的完整过程，强化数据观念、模型观念和应用意识的核心素养考查。 基础题‘送分到位’但概念理解要求更深，拒绝机械刷题：本卷选择题前6题和填空题第11题总体难度不高，但第1题有理数大小比较需要准确理解负数与绝对值，第4题解不等式组需关注不等号方向与解集公共部分，第5题幂的运算与积的乘方需要区分不同运算法则，第14题相似三角形需要由平行线性质正确识别对应角。未来命题将继续以基础题为基本盘，但通过概念辨析、易混淆点对比和图形识别设计，检验学生是否真正理解数学概念的本质，而非仅靠题型记忆得分。 函数与几何综合仍是压轴主流，动态探究与分类讨论要求更高：本卷第21题一次函数与反比例函数综合、第22题几何旋转综合、第23题二次函数压轴题延续了辽宁卷中高档题的传统风格，涉及最值函数、参数分类、旋转构造、分段函数交点等高阶思维。预计未来辽宁卷将继续以函数图像性质与几何变换综合为压轴方向，强化数形结合、分类讨论和从特殊到一般的探究路径，思维过程考查将继续成为顶尖区分度的重要载体。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 3 数与式→有理数→有理数的大小比较 运算能力 2 单选 3 图形的性质→投影与视图→简单几何体的三视图 空间观念 3 单选 3 数与式→科学记数法→用科学记数法表示较大的数 运算能力 4 单选 3 方程与不等式→一元一次不等式组→解一元一次不等式组 运算能力 5 单选 3 数与式→幂的运算→幂的乘方与积的乘方 运算能力 6 单选 3 图形的性质→相交线与平行线→平行线的性质与角平分线 推理能力 7 单选 3 图形的变化→图形的翻折→菱形中的翻折与勾股定理 推理能力 8 单选 3 方程与不等式→一元二次方程→列一元二次方程解决古代数学问题 模型观念 9 单选 3 函数→一次函数→一次函数图象的实际应用 模型观念 10 单选 3 图形的性质→矩形→矩形的性质、垂直平分线与面积计算 推理能力 11 填空 3 数与式→因式分解→提公因式法分解因式 运算能力 12 填空 3 统计与概率→统计→用样本估计总体 数据观念 13 填空 3 统计与概率→概率→简单概率计算 数据观念 14 填空 3 图形的性质→三角形→相似三角形的判定与性质 推理能力 15 填空 3 函数→函数图象综合→函数图象的对称性与线段长度计算 推理能力 16 解答 10 数与式→实数与分式的运算→实数的混合运算与分式的化简 运算能力 17 解答 8 方程与不等式→方程与不等式的应用→二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用 模型观念 18 解答 8 统计与概率→统计→平均数、中位数、方差与统计决策 数据观念 19 解答 8 综合与实践→解直角三角形的应用→解直角三角形、矩形性质与方案可行性判断 应用意识 20 解答 8 图形的性质→圆→圆周角定理、全等三角形与勾股定理 推理能力 21 解答 8 函数→函数综合→一次函数与反比例函数综合、二次函数最值 推理能力 22 解答 12 图形的变化→图形的旋转→旋转、全等三角形、等边三角形与勾股定理 推理能力 23 解答 13 函数→二次函数→二次函数综合（平移、分段函数、最值、交点） 推理能力 考点模块占比分析 数与式模块（约30%，36分）：重点考查有理数、科学记数法、幂的运算、因式分解、实数与分式运算及方程与不等式的综合应用，对应第1、3、4、5、8、11、16、17题。 函数模块（约22.5%，27分）：重点考查一次函数图象应用、函数图象综合、一次函数与反比例函数综合及二次函数压轴，对应第9、15、21、23题。 图形的性质模块（约16.5%，20分）：重点考查三视图、平行线性质、矩形性质、相似三角形判定与性质及圆的综合计算，对应第2、6、10、14、20题。 图形的变化与综合实践模块（约19%，23分）：重点考查菱形翻折、古代数学问题建模、解直角三角形的农业应用、几何旋转综合，对应第7、8、19、22题。 统计与概率模块（约11.5%，14分）：重点考查用样本估计总体、简单概率计算、平均数中位数方差与统计决策，对应第12、13、18题。 核心复习策略 1. 回归教材，夯实基础概念与运算技能 （1）优先巩固数与式、方程不等式、函数图象等核心概念，做到概念清晰、运算准确、表达规范。选择题和填空题的前半部分占分较多，基础扎实即可稳定得分。 （2）重视课本例题和课后习题的变式训练，尤其是有理数比较、幂的运算、因式分解、解不等式组、实数与分式混合运算等高频考点，确保基本计算不丢分。 2. 专题突破几何与函数综合，建立解题模型 （1）针对图形的变化（翻折、旋转、平移）和相似全等专题，归纳常见辅助线作法（如作高、作平行线、构造全等三角形），建立‘条件—模型—结论’的关联路径。 （2）对函数综合题（尤其是一次函数、反比例函数、二次函数），重点训练待定系数法、数形结合、分类讨论和最值分析，掌握动点问题和参数范围的处理策略。 3. 强化真实情境与新定义题训练，提升应用与探究能力 （1）多关注以地域文化、乡村振兴、科技制造、农业生产为背景的统计与概率、方程不等式应用、解直角三角形综合题，培养从情境中提取信息、建立模型、求解验证的能力。 （2）注重规范表达和步骤完整性，尤其是几何证明题、综合实践题和统计决策题要写出关键依据（如定理、定义、统计量意义），避免因步骤缺失或表述不清而失分。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×不等式组解集判断错误：解不等式组时，要借助数轴确定各不等式解集的公共部分，特别注意不等号方向和等号是否包含。 ×统计量混淆：平均数、中位数、方差代表不同统计意义，第18题需根据‘越稳定’选择方差较小的品牌，不能只看平均数相等。 ×几何证明跳步漏条件：相似、全等三角形的判定条件要一一对应，圆中直径所对圆周角为直角、切线性质等关键条件不能省略。 ×函数压轴题分类讨论不全：第23题涉及分段函数最值和交点个数，需根据参数范围准确分类，避免遗漏临界情况。 一、单选题 1．下列各数中，比小的数是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：有理数的大小比较 ►命题分析： （1）情境创设：直接给出几个数，要求找出比给定数小的数。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯数与式概念辨析情境；（2）问题设计：通过比较各数与给定数的大小，考查学生对负数、绝对值和有理数大小关系的理解，选项设置包含常见易混淆的数；（3）考查目标：考查有理数大小比较和运算能力。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生能准确比较有理数的大小，特别是负数与绝对值的关系。 答案与解析 【答案】A 【详解】解：，，，， ， ∴比小的数是． 知识总结 ①核心概念：正数大于零，负数小于零，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。②解题方法：先将各数化简或估算，再与目标数比较。③拓展关联：有理数大小比较是后续学习数轴、不等式、函数单调性的基础。 2．如图是由4个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：简单几何体的三视图 ►命题分析： （1）情境创设：以4个大小相同的小正方体组成的几何体为背景，考查主视图。 （2）问题设计：（1）情境创设：以由小正方体搭成的几何体为背景，直观形象；（2）问题设计：从正面观察几何体，判断其主视图，选项设计考查学生对三视图概念的理解；（3）考查目标：考查空间观念和三视图知识。 （3）考查目标：考查空间观念，要求学生能准确判断由小正方体搭成的几何体的主视图。 答案与解析 【答案】C 【详解】 解：该几何体的主视图是． 知识总结 ①核心概念：主视图是从前向后观察物体所得的平面图形。②解题方法：从正面看，数出每一列能看到的小正方体个数，画出对应图形。③拓展关联：三视图是培养空间观念的重要载体，在工程制图、机械设计中有广泛应用。 3．山海关不住，东北超级酷．“东北超”（即东北地区城市足球联赛）辐射近1.2亿人口，贯穿东北文旅商体消费黄金季．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：用科学记数法表示较大的数 ►命题分析： （1）情境创设：以东北地区城市足球联赛辐射近1.2亿人口为背景，考查科学记数法。 （2）问题设计：（1）情境创设：以东北城市足球联赛和区域人口数据为背景，体现地域特色和时代气息；（2）问题设计：将1.2亿用科学记数法表示，选项设计考查学生对科学记数法形式a×10^n（1≤|a|<10）的掌握；（3）考查目标：考查科学记数法的表示方法和运算能力。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生能准确将大数表示为科学记数法的标准形式。 答案与解析 【答案】D 【详解】解：. 知识总结 ①核心概念：科学记数法表示为a×10^n，其中1≤|a|<10，n为整数。②解题方法：将1.2亿即120000000写成1.2×10^8。③拓展关联：科学记数法常用于表示极大或极小的数，是物理、化学、地理等学科中的重要工具。 4．不等式组的解集是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：解一元一次不等式组 ►命题分析： （1）情境创设：直接给出不等式组，求其解集。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：分别解每个不等式，再确定公共解集，选项设计考查学生对不等式组解法和解集表示的掌握；（3）考查目标：考查运算能力和不等式求解能力。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生能正确解一元一次不等式组并确定公共解集。 答案与解析 【答案】B 【详解】解： 解不等式①得， 不等式②的解集为， ∴不等式组的解集为． 知识总结 ①核心概念：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分。②解题方法：分别求出每个不等式的解集，再借助数轴取公共部分。③拓展关联：不等式组是描述多个约束条件的重要工具，广泛应用于方案设计、取值范围等问题。 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：幂的乘方与积的乘方 ►命题分析： （1）情境创设：直接给出幂运算式，考查幂的乘方和积的乘方公式。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：根据幂的乘方和积的乘方公式计算，选项设计考查学生对不同幂运算法则的辨析；（3）考查目标：考查运算能力和代数变形能力。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则。 答案与解析 【答案】D 【分析】本题考查了幂的、积的乘方，掌握计算公式是解题的关键． 根据幂的、积的乘方计算公式计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 知识总结 ①核心概念：幂的乘方(a^m)^n=a^(mn)；积的乘方(ab)^n=a^n·b^n。②解题方法：根据运算类型选择对应公式，注意区分同底数幂乘法、幂的乘方和积的乘方。③拓展关联：幂的运算是整式运算、指数函数学习的基础。 6．如图，，直线分别与，相交于点，，的平分线交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：平行线的性质与角平分线 ►命题分析： （1）情境创设：以平行线被截线和角平分线为背景，求角度大小。 （2）问题设计：（1）情境创设：以平行线和角平分线构成的几何图形为背景；（2）问题设计：利用平行线性质得到内错角相等，再结合角平分线定义求目标角度，选项设计考查学生对平行线性质和角平分线概念的综合运用；（3）考查目标：考查推理能力和几何直观能力。 （3）考查目标：考查推理能力和几何直观，要求学生能利用平行线性质和角平分线定义进行角度计算。 答案与解析 【答案】C 【分析】根据两直线平行内错角相等，求出的度数，再利用角平分线的定义与两直线平行内错角相等求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 知识总结 ①核心概念：两直线平行，内错角相等；角平分线将角分成两个相等的角。②解题方法：先由平行线性质得到相关角相等，再利用角平分线定义求出目标角。③拓展关联：平行线性质与角平分线、三角形内角和等知识结合，是初中几何计算的基础题型。 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：菱形中的翻折与勾股定理 ►命题分析： （1）情境创设：以菱形为背景，将一条线段沿某边折叠，使对应线段经过对角线交点，求线段长度。 （2）问题设计：（1）情境创设：以菱形和翻折变换为背景，综合考查几何性质；（2）问题设计：利用菱形对角线互相垂直平分、翻折后对应线段相等等性质，结合勾股定理求线段长度，选项设计考查学生对菱形性质、翻折性质和勾股定理的综合运用；（3）考查目标：考查推理能力和运算能力。 （3）考查目标：考查推理能力和几何直观，要求学生能利用菱形性质、翻折性质和勾股定理解决几何计算问题。 答案与解析 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，则，根据翻折得出，最后根据即可求解. 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴. 知识总结 ①核心概念：菱形四条边相等，对角线互相垂直平分；翻折变换保持对应线段相等。②解题方法：利用菱形对角线性质得到直角三角形，由翻折性质确定相等线段，再用勾股定理列方程求解。③拓展关联：翻折、旋转等变换常与菱形、正方形、勾股定理结合，是中考几何综合题的重要载体。 8．我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：列一元二次方程解决古代数学问题 ►命题分析： （1）情境创设：以《新编直指算法统宗》中‘方田一段，圆田一段’问题为背景，正方形与圆形田地面积之和已知，边长与直径相等，列方程。 （2）问题设计：（1）情境创设：引入中国古代数学著作《新编直指算法统宗》，渗透数学文化；（2）问题设计：设正方形边长为x，根据面积之和为252平方步列出方程，选项设计考查学生将古代数学问题转化为代数方程的能力；（3）考查目标：考查模型观念和应用意识。 （3）考查目标：考查模型观念，要求学生能从古代数学问题中抽象出等量关系并列出方程。 答案与解析 【答案】B 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程即可． 【详解】解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 知识总结 ①核心概念：正方形面积=边长^2；圆面积=πr^2；直径=2r。②解题方法：设正方形边长为x，则圆半径为x/2，根据面积之和x^2+π(x/2)^2=252列方程。③拓展关联：古代数学问题与现代方程思想一脉相承，列方程解应用题是解决实际问题的重要方法。 9．一个试验室在保持的恒温，在匀速升温至，试验室温度（单位：）关于时间（单位：）的函数图像如图所示，则这个试验室在时的温度为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：一次函数图象的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以实验室温度从恒温匀速升温至另一恒温的函数图象为背景，求某时刻温度。 （2）问题设计：（1）情境创设：以实验室温度变化为背景，贴近科学探究；（2）问题设计：根据函数图象读取升温段和恒温段的信息，计算指定时刻的温度，选项设计考查学生对一次函数图象的理解和信息提取能力；（3）考查目标：考查模型观念和应用意识。 （3）考查目标：考查模型观念，要求学生能根据一次函数图象提取信息并解决实际问题。 答案与解析 【答案】D 【分析】观察函数图像，根据函数图像求解即可． 【详解】解：根据图像知，共升温（）， 则每小时升温（）， 则在时的温度为（）． 知识总结 ①核心概念：一次函数图象是一条直线，斜率表示变化率；实际问题中要注意分段函数的不同阶段。②解题方法：从图象中读取初始温度、最终温度、升温时间，计算升温速率，再代入指定时间求温度。③拓展关联：函数图象是描述变量关系的重要工具，广泛应用于物理、化学、生物等学科。 10．如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，则的面积是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：矩形的性质、垂直平分线与面积计算 ►命题分析： （1）情境创设：以矩形为背景，以顶点为圆心作弧，再以两点为圆心作弧得到垂直平分线，求某三角形面积。 （2）问题设计：（1）情境创设：以矩形中的尺规作图和线段计算为背景；（2）问题设计：综合运用矩形性质、垂直平分线性质、勾股定理求线段长度，再计算三角形面积，选项设计考查学生对几何知识的综合运用能力；（3）考查目标：考查推理能力和几何直观能力。 （3）考查目标：考查推理能力和几何直观，要求学生能运用矩形性质、垂直平分线性质和勾股定理解决几何计算问题。 答案与解析 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质求得的高是解题的关键．过作垂直于，记与得交点为，先由勾股定理求得，再由垂直平分线的性质求得，最后再由矩形的性质得到的高． 【详解】解：如图所示，过作垂直于，记与的交点为， 在矩形中，， 由题意得，， 在中，， 由题意得，垂直平分， ，． ， 四边形为矩形， ， ． 知识总结 ①核心概念：矩形对边相等、四个角都是直角；垂直平分线上的点到线段两端距离相等；勾股定理a^2+b^2=c^2。②解题方法：由矩形性质得到边长和直角，由垂直平分线性质得到等长线段，构造直角三角形用勾股定理求高，再计算面积。③拓展关联：矩形、垂直平分线、勾股定理是中考几何综合题的常见组合。 二、填空题 11．因式分解：__________________. 命题透视 ►核心考点：提公因式法分解因式 ►命题分析： （1）情境创设：直接给出多项式，要求因式分解。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：观察多项式，提取公因式，考查学生对因式分解基本方法的掌握；（3）考查目标：考查运算能力。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生能正确运用提公因式法进行因式分解。 答案与解析 【答案】 【分析】根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案． 【详解】解：x2－xy= x(x－y). 故答案： 【点睛】提公因式法因式分解是本题的考点，通过观察正确找出公因式是解题的关键. 知识总结 ①核心概念：提公因式法是把多项式各项的公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式乘积的形式。②解题方法：先确定各项的公因式（系数最大公约数、相同字母最低次幂），再提取公因式。③拓展关联：因式分解是化简、求值、解方程、分式运算的重要基础。 12．水润辽兴，水赋新能．某校为了解学生参与水宣传活动情况，随机抽取名学生进行调查，结果显示有名学生参与了活动．已知全校共有名学生，估计全校参与这项活动的学生约有_________名． 命题透视 ►核心考点：用样本估计总体 ►命题分析： （1）情境创设：以辽宁水宣传活动抽样调查为背景，根据样本参与比例估计全校参与人数。 （2）问题设计：（1）情境创设：以水宣传活动调查为背景，体现地域特色和环保意识；（2）问题设计：根据样本中参与活动的频率估计总体中参与人数，考查学生对用样本估计总体方法的理解；（3）考查目标：考查数据观念和应用意识。 （3）考查目标：考查数据观念，要求学生能根据样本频率估计总体中某类个体的数量。 答案与解析 【答案】 【分析】用样本中参与活动的频率估计总体的参与频率，再计算全校参与活动的人数． 【详解】解：抽取样本中参与活动的频率为， 因此估计全校参与活动的人数为． 知识总结 ①核心概念：用样本估计总体时，常用总体数量乘以样本中某特征的频率。②解题方法：先计算样本中参与活动的频率，再用全校总人数乘以该频率得到估计值。③拓展关联：抽样调查与用样本估计总体是统计推断的基本思想，在社会调查、质量检验中广泛应用。 13．3支试管中装有无色无味溶液，分别为稀、溶液、溶液，将紫色石蕊溶液（紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝）随机滴加到1支试管中，溶液颜色变红的概率是_________． 命题透视 ►核心考点：简单概率计算 ►命题分析： （1）情境创设：以3支试管中分别装有稀硫酸、氢氧化钠溶液、氯化钠溶液，随机滴加紫色石蕊溶液为背景，求溶液变红的概率。 （2）问题设计：（1）情境创设：以化学实验为背景，体现学科融合；（2）问题设计：3支试管中随机选择1支，只有酸性溶液使石蕊变红，求变红概率，考查学生对概率计算的理解；（3）考查目标：考查数据观念。 （3）考查目标：考查数据观念，要求学生能根据等可能事件的概率公式计算简单概率。 答案与解析 【答案】 【分析】三种溶液中只有稀硫酸为酸性，能使紫色石蕊溶液变红，随机选择1支试管所有结果等可能，直接代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵随机向1支试管滴加石蕊溶液，共有种等可能的结果， ∴其中能使溶液变红的结果只有稀硫酸种， ∴所求概率为． 知识总结 ①核心概念：等可能事件概率P=所求结果数/所有可能结果数。②解题方法：3支试管中随机选1支，共有3种等可能结果，其中变红只有稀硫酸1种，概率为1/3。③拓展关联：概率是研究随机现象的重要工具，在生活中广泛应用于风险评估和决策。 14．如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 命题透视 ►核心考点：相似三角形的判定与性质 ►命题分析： （1）情境创设：以平行线与两条垂线相交为背景，已知线段长度，求比例关系。 （2）问题设计：（1）情境创设：以平行线、垂线和相交线构成的几何图形为背景；（2）问题设计：通过平行线性质得到内错角相等，结合垂直定义得到直角相等，证明三角形相似，再利用相似比求线段比例，考查学生对相似三角形的综合运用；（3）考查目标：考查推理能力和几何直观能力。 （3）考查目标：考查推理能力，要求学生能利用平行线性质和垂直关系证明三角形相似，并运用相似比求解。 答案与解析 【答案】 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 知识总结 ①核心概念：两角分别相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例。②解题方法：由平行线得内错角相等，由垂直得直角相等，证明三角形相似，再代入已知线段长度求比例。③拓展关联：相似三角形是初中几何的核心内容，常用于测量、证明线段比例和计算长度。 15．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 命题透视 ►核心考点：函数图象的对称性与线段长度计算 ►命题分析： （1）情境创设：以两条关于y轴对称的曲线为背景，垂直于y轴的直线与两条曲线交于四点，已知某线段长度，求另一线段长度。 （2）问题设计：（1）情境创设：以函数图象的对称性为背景，考查数形结合思想；（2）问题设计：利用关于y轴对称的曲线性质，设出动点坐标，表示出交点坐标，再根据线段长度关系求解，考查学生对函数图象与坐标运算的综合运用；（3）考查目标：考查推理能力和运算能力。 （3）考查目标：考查推理能力和运算能力，要求学生能利用函数图象的对称性和坐标特征解决线段长度问题。 答案与解析 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 知识总结 ①核心概念：关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；函数图象上点的坐标满足函数解析式。②解题方法：设出动直线与曲线的交点坐标，利用对称性表示对应点坐标，根据已知线段长度建立方程求解。③拓展关联：函数图象的对称性是研究函数性质的重要方面，与二次函数、反比例函数图象特征密切相关。 三、解答题 16．计算： (1)； (2)． 命题透视 ►核心考点：实数的混合运算与分式的化简 ►命题分析： （1）情境创设：第(1)小题计算实数的混合运算，第(2)小题进行分式的化简运算。 （2）问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：第(1)问按实数运算顺序计算乘方、开方、绝对值等，第(2)问按分式运算规则化简，考查学生对实数运算和分式运算的掌握；（3）考查目标：考查运算能力和代数变形能力。 （3）考查目标：考查运算能力，要求学生能熟练进行实数混合运算和分式化简。 答案与解析 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照实数运算顺序，先计算乘方，开方，绝对值，再计算乘法，最后算加减； （2）先计算括号内的同分母分式减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 知识总结 ①核心概念：实数混合运算顺序为：先乘方、开方，再乘除，最后加减；分式运算要先因式分解、通分或约分。②解题方法：第(1)问按顺序计算各项；第(2)问先对分子分母因式分解，再约分化简。③拓展关联：实数与分式运算是代数运算的基础，后续学习方程、函数、不等式都需要熟练的运算能力。 17．乡村振兴，辽宁在行动．某助农直播间销售我省的大米和小米两种农产品．开播伊始，第一单售出大米和小米各袋，收款元；第二单售出袋大米和袋小米，收款元． (1)大米和小米每袋各多少元？ (2)仓库中剩余大米、小米各袋，若大米售价不变，小米降价销售，为保证剩余大米、小米的销售额不低于元，则每袋小米至多降价多少元？ 命题透视 ►核心考点：二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以乡村振兴助农直播间销售大米和小米为背景，考查方程与不等式的综合应用。 （2）问题设计：（1）情境创设：以辽宁乡村振兴和助农直播为背景，贴近地方经济发展；（2）问题设计：第(1)问根据两次销售的数量和收款列出二元一次方程组求单价；第(2)问根据剩余库存和销售额要求列一元一次不等式求降价范围，考查学生建模和求解能力；（3）考查目标：考查模型观念和应用意识。 （3）考查目标：考查模型观念，要求学生能从销售问题中提取等量关系列方程组，并根据不等关系列不等式求解。 答案与解析 【答案】(1)大米每袋元，小米每袋元 (2)每袋小米至多降价元 【分析】（1）根据题意，销售额数量单价，列出对应的二元一次方程组并求解； （2）根据题意列出一元一次不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设大米每袋元，小米每袋元． 由题意得：， 解得：． 答：大米每袋元，小米每袋元． （2）解：设每袋小米降价元． 由题意得：， 解得：． 答：每袋小米至多降价元． 知识总结 ①核心概念：单价×数量=总价；销售额=单价×数量。②解题方法：第(1)问设大米、小米单价，根据两次销售信息列二元一次方程组求解；第(2)问设小米降价金额，根据剩余库存销售额不低于目标金额列不等式求解。③拓展关联：方程与不等式是描述现实世界数量关系的重要工具，广泛应用于经济、工程、生活等问题。 18．某工厂计划生产一批智能机器人的关节部件，其外壳部分需要使用打印技术制造．现有甲、乙两个品牌的钛合金粉末（打印原料）可供选择，工厂的质检部门各随机抽取了10桶进行测试打印，按顺序记录下每桶原料打印的合格产品数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一： 每桶打印合格产品数（单位：个） 甲：48，51，48，51，48，50，51，50，51，52 乙：45，49，46，56，45，49，54，48，49，59 信息二：    信息三： 每桶打印合格产品数统计表 品牌 平均数 中位数 方差 甲 乙 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲品牌每桶打印合格产品数的平均数的值； (2)求乙品牌每桶打印合格产品数的中位数的值； (3)若每桶打印合格产品数越稳定越有利于生产，你认为工厂的质检部门会推荐哪个品牌？说明理由． 命题透视 ►核心考点：平均数、中位数、方差与统计决策 ►命题分析： （1）情境创设：以3D打印智能机器人关节部件质检为背景，对甲、乙两个品牌各10桶原料的打印合格数量进行统计描述和分析。 （2）问题设计：（1）情境创设：以智能制造和3D打印技术为背景，体现科技应用；（2）问题设计：第(1)问求甲品牌平均数，第(2)问求乙品牌中位数，第(3)问根据稳定性推荐品牌，考查学生对平均数、中位数、方差和统计决策的综合运用；（3）考查目标：考查数据观念和应用意识。 （3）考查目标：考查数据观念，要求学生能计算平均数、中位数，并根据方差进行统计决策。 答案与解析 【答案】(1)50 (2)49 (3)解：工厂的质检部门会推荐甲品牌，理由如下： 甲、乙的平均数都为，而甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定， 故工厂的质检部门会推荐甲品牌． 【分析】（1）根据平均数求解公式列式求解即可； （2）根据中位数定义求解即可； （3）根据平均数和方差的意义分析判断，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：将乙按从小到大的顺序排列为：45，45，46，48，49，49， 49，54，56，59， 其中第五位与第六位数是49，49， 中位数； （3）略 知识总结 ①核心概念：平均数反映整体水平；中位数反映中间位置；方差反映数据波动大小，方差越小越稳定。②解题方法：第(1)问用算术平均数公式计算；第(2)问将数据排序后取中间两数平均；第(3)问比较方差，选择方差较小的品牌。③拓展关联：统计量是描述数据特征的重要工具，在质量控制和决策分析中广泛应用。 19．2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： (1)求图1中的长； (2)求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 命题透视 ►核心考点：解直角三角形的应用（收割机拨禾轮） ►命题分析： （1）情境创设：以冬小麦丰收和收割机拨禾轮支撑臂角度为背景，综合考查解直角三角形和矩形性质。 （2）问题设计：（1）情境创设：以农业生产中收割机拨禾轮为综合与实践背景，体现数学服务现实；（2）问题设计：第(1)问在图1中求线段长度，第(2)问在图2中求旋转后的线段长度并判断方案是否可行，考查学生解直角三角形、矩形性质和实际应用能力；（3）考查目标：考查应用意识和运算能力。 （3）考查目标：考查应用意识，要求学生能将农业生产中的实际问题转化为解直角三角形问题并求解。 答案与解析 【答案】(1) (2)，小组所设计的方案可行 【分析】（1）解得出，根据题意得四边形是矩形，进而求得的长； （2）解得出，进而求得的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 在中， 依题意，四边形是矩形， ∴ （2）解：在中， ∴ 依题意，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴小组所设计的方案可行． 知识总结 ①核心概念：直角三角形中，sin、cos、tan分别表示对边、邻边、对边与邻边的比值；矩形对边相等、四个角为直角。②解题方法：在直角三角形中利用三角函数求边长，再结合矩形性质得到目标线段长度；将计算结果与实际要求范围比较判断方案可行性。③拓展关联：解直角三角形是测量高度、距离、角度等实际问题的重要工具。 20．如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 命题透视 ►核心考点：圆周角定理、全等三角形与勾股定理 ►命题分析： （1）情境创设：以圆O中直径、弦和垂直关系为背景，求角度和线段长度。 （2）问题设计：（1）情境创设：以圆和直径、弦为背景的经典几何问题；（2）问题设计：第(1)问利用直径所对圆周角为直角、等弧所对圆周角相等求角度；第(2)问通过构造垂线，证明三角形全等，再用勾股定理求线段长度，考查学生对圆的性质、全等三角形和勾股定理的综合运用；（3）考查目标：考查推理能力和运算能力。 （3）考查目标：考查推理能力和运算能力，要求学生能运用圆周角定理、全等三角形判定和勾股定理解决圆中的计算问题。 答案与解析 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 知识总结 ①核心概念：直径所对的圆周角是直角；同弧或等弧所对的圆周角相等；全等三角形对应边相等；勾股定理a^2+b^2=c^2。②解题方法：第(1)问由直径得直角，由等弧得等角，结合三角形内角和求角度；第(2)问构造垂线，证明三角形全等转移线段，再用勾股定理计算。③拓展关联：圆的性质与三角形知识结合是中考几何综合题的高频考点。 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴，垂足为．是反比例函数的图象上的点．若点到轴的距离是点到轴的距离的倍，求面积的最大值及此时点的坐标． 命题透视 ►核心考点：一次函数与反比例函数综合、二次函数最值 ►命题分析： （1）情境创设：以一次函数与反比例函数图象相交于点为背景，求参数、研究动点并求面积最大值。 （2）问题设计：（1）情境创设：以两个函数图象交点和动点为背景，突出数形结合思想；（2）问题设计：第(1)问利用交点坐标求函数解析式中的参数；第(2)问设动点坐标，建立面积关于某变量的二次函数，求面积最大值及对应点坐标，考查学生对函数综合运用的能力；（3）考查目标：考查推理能力和运算能力。 （3）考查目标：考查推理能力和运算能力，要求学生能利用函数图象交点求解析式，并通过建立二次函数模型求最值。 答案与解析 【答案】(1)， (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将代入求得，得，再将代入可得的值； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，得，，，继而得到，进一步得到，再根据二次函数的最值可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：反比例函数的解析式为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∵是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴， ∴，，， ∴， ∵是反比例函数的图象上的点，且点到轴的距离是点到轴的距离的倍， ∴， ∴点的横坐标为， ∴， ∵ ， 又∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为，此时点的坐标为． 知识总结 ①核心概念：函数图象上的点满足函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c（a<0）在顶点处取得最大值。②解题方法：第(1)问将交点坐标代入两个函数解析式求参数；第(2)问用参数表示动点坐标，建立面积函数，化为二次函数顶点式求最值。③拓展关联：函数综合题是中考压轴题的常见形式，重点考查数形结合、函数建模和最值思想。 22．如图，在中，，，点D在边上，点E在边上，连接，将线段绕点D逆时针旋转α得到． (1)当，且点E与点C重合时， ①如图1，若点F落在上，求的度数； ②如图2，若，连接并延长，交的延长线于点G，求证：； (2)如图3，当，，时，连接，，求的周长． 命题透视 ►核心考点：旋转、全等三角形、等边三角形与勾股定理 ►命题分析： （1）情境创设：在等腰三角形中，将线段绕点旋转得到新线段，研究角度关系和三角形周长。 （2）问题设计：（1）情境创设：以等腰三角形中的旋转为背景，突出几何变换思想；（2）问题设计：第(1)问分两种情况研究角度和证明垂直关系；第(2)问通过构造辅助线、全等三角形、等边三角形和解直角三角形求三角形周长，考查学生对几何变换和综合推理的能力；（3）考查目标：考查推理能力和几何直观能力。 （3）考查目标：考查推理能力和几何直观，要求学生能利用旋转性质、全等三角形和特殊三角形性质解决复杂几何问题。 答案与解析 【答案】(1)①； ②证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵由旋转有， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）①根据已知条件，利用等边对等角，再通过角度和差计算即可求得的度数； ②由平行的性质得出，从而确定，利用等腰三角形三线合一及旋转的性质得到，进而求得的度数，进一步推出的度数，最后根据等边对等角即可证得结论； （2）过点F作交于点K，取的中点G，连接，过点G作交于点H，由已知条件确定出是等边三角形，利用三角形内角和定理和平角定义推出，证明，再利用解直角三角形和勾股定理推出，角度和差关系与三角形外角的性质推出，证明，利用勾股定理求出的长度，最终求出的周长． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∵由旋转得，， ∴， ∴． ②略 （2）解：如图，过点F作交于点K，取的中点G，连接，过点G作交于点H， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，点G为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， ， ∴， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 知识总结 ①核心概念：旋转不改变图形的形状和大小，对应边相等、对应角相等；等边三角形三边相等、三角均为60°；全等三角形对应边相等；勾股定理用于求直角三角形边长。②解题方法：抓住旋转前后的对应关系，构造辅助线形成全等或等边三角形，将分散条件集中，再利用解直角三角形和勾股定理计算。③拓展关联：旋转、翻折、平移等几何变换常与全等、相似、特殊三角形结合，是几何压轴题的核心考查方式。 23．已知二次函数，与的几组对应值如表所示： … … … … (1)选取部分数据，求二次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，点是抛物线与抛物线的一个交点． ①过点作垂直于轴的直线，与，分别相交于点，．若点在点的上方，且，求的值； ②若函数其中，且函数的最大值与最小值的差为，求的值； ③若函数其中，且函数的图象与轴恰有两个交点，请直接写出的取值范围． 命题透视 ►核心考点：二次函数综合（平移、分段函数、最值、交点） ►命题分析： （1）情境创设：以二次函数表格数据为入口，研究抛物线平移后的交点、线段长度、分段函数最值和函数图象与坐标轴交点个数。 （2）问题设计：（1）情境创设：以二次函数解析式、表格、图象平移为背景，突出代数与几何综合；（2）问题设计：第(1)问用待定系数法求二次函数表达式；第(2)问①利用平移后两抛物线交点和竖直线段长度建立方程；②对分段函数分类讨论求参数；③结合抛物线与x轴交点情况和区间范围求参数范围，层层递进，考查学生分类讨论和数形结合能力；（3）考查目标：考查推理能力和创新意识。 （3）考查目标：考查推理能力和创新意识，要求学生能综合运用待定系数法、抛物线平移、分段函数最值和交点分析解决复杂二次函数问题。 答案与解析 【答案】(1)二次函数的表达式为． (2)①的值为；②的值为；③的取值范围是或． 【分析】（1）利用待定系数法，将表格中和代入解析式求解即可； （2）首先根据平移规律求出的解析式，联立与求出交点的坐标，进而确定的解析式， ①表示出线段的长度（纵坐标之差），建立关于的方程求解； ②根据的取值范围分类讨论，确定分段函数的最大值和最小值，利用差值建立方程； ③先求出函数和的图象与轴的交点情况，结合区间范围确定的取值． 【详解】（1）解：把，代入 得 二次函数的表达式为． （2）解： 把向右平移个单位，再向上平移个单位得： 即 当时， 把代入得： ①，。 因为点在点上方，所以线段的长度为： 令，解得。 ② 因此，当时，取得最大值， 对，当时，取得最小值， 情况1：当时， 当时，，此时, , 不符合题意； 情况2：当时， ， ，，则： 不符合题意； 情况3：当时， 此时，（由在处的取值决定）， 令，化简得： 解得（舍去，因），。 故； ③令，解得， 即与轴交点为、。 令，由求根公式得， 即与轴交点为、， 当时， 函数的图象在范围内与轴无交点； 又，故函数的图象在范围内与轴最多只有个交点， 因此不符合题意； 当时， 在范围内与轴有个交点； 要使函数的图象与轴总共有个交点，需函数的图象在范围内与轴无交点， 或 即或 的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、图象的平移变换、分段函数的最值问题以及函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数平移规律（左加右减，上加下减），在解决分段函数最值问题时，能根据参数的范围准确判断函数的最值点，在处理交点个数问题时，能结合数形结合思想，准确分析区间端点与方程根的位置关系． 知识总结 ①核心概念：抛物线平移遵循‘左加右减、上加下减’；分段函数的最值需在各段分别求出再比较；函数图象与x轴交点个数对应方程根的个数。②解题方法：先用待定系数法求原抛物线解析式；再写出平移后抛物线解析式，联立求交点；用参数表示竖直线段长度建立方程；对分段函数分类讨论求参数；结合图象与根的位置关系确定参数范围。③拓展关联：二次函数综合题是中考压轴题的核心类型，重点考查数形结合、分类讨论和方程思想。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $