第58讲 椭圆及其性质讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆核心考点，涵盖定义、标准方程、几何性质等八大考点，按考情分析定位、知识清单梳理、典题精练突破、高考真题强化的教学流程，帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 资料以分层考点设计和核心素养培养为亮点，如焦点三角形中结合余弦定理与椭圆定义推导面积公式，培养数学思维与几何直观。设置基础到综合的典题训练，配合高考真题实战，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第58讲 椭圆及其性质 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精练 5 考点一：椭圆方程的充要条件 5 考点二：椭圆的定义与标准方程 5 考点三：椭圆的简单几何性质 7 考点四：离心率的值及取值范围 9 考点五：椭圆中的焦点三角形问题 10 考点六：椭圆中的距离与最值问题 12 考点七：椭圆定义的轨迹应用 13 考点八：椭圆与数列综合问题 13 四、高考真题 14 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第16题 解答题 15分 直接考察 椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系 2025 第18题 解答题 17分 直接考察 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系及最值问题 2026 第18题 解答题 17分 直接考察 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系及最值问题 近三年每年均有直接考查，题型为解答题，分值在15至17分之间. 2. 命题角度与特色 （1） 基础知识扎实：重点考查椭圆的标准方程、离心率等基本几何性质的求解. （2） 综合性强：常与直线方程结合，考查直线与椭圆的位置关系、面积问题、最值问题以及角度问题，对代数运算能力要求较高. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及几何性质，能够准确进行基本量的计算. （2） 加强直线与圆锥曲线综合问题的训练，熟练运用韦达定理、弦长公式及面积公式，提升代数变形与化简能力. 二、知识清单 1. 椭圆的定义 （1） 第一定义：平面内与两个定点 的距离之和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 .定义用集合语言表示为：. 【防坑警示】 ① 当 时，点的轨迹是线段 ； ② 当 时，点的轨迹不存在. （2） 第二定义：平面内动点到定点（焦点）的距离和它到定直线（准线）的距离之比等于常数 的点的轨迹是椭圆. （3） 第三定义：平面内动点 与两定点 （长轴的两个端点）连线的斜率之积为常数 的点的轨迹是椭圆（挖去两端点）. 2. 椭圆的方程、图形与性质 属性 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 ， 为参数 () ， 为参数 () 第一定义 到两定点 、 的距离之和等于常数 ，即 到两定点 、 的距离之和等于常数 ，即 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长 ，短轴长 长轴长 ，短轴长 对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 () () 准线方程 点和椭圆的关系 点 在椭圆 点 在椭圆 切线方程 ( 为切点) 对于过椭圆上一点 的切线方程，只需将椭圆方程中 换为 ， 换为 可得 ( 为切点) 对于过椭圆上一点 的切线方程，只需将椭圆方程中 换为 ， 换为 可得 切点弦所在的直线方程 (点 在椭圆外) (点 在椭圆外) 焦点三角形面积 ① ，，( 为短轴的端点) ② () ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是： ① ，，( 为短轴的端点) ② () ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是： 焦半径 左焦半径： 右焦半径： 焦半径最大值 ，最小值 下焦半径： 上焦半径： 焦半径最大值 ，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长 (最短的过焦点的弦) 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长 (最短的过焦点的弦) 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为 ，，， 则弦长 (其中 是消 后关于 的一元二次方程的 的系数， 是判别式) 设直线与椭圆的两个交点为 ，，， 则弦长 (其中 是消 后关于 的一元二次方程的 的系数， 是判别式) 3. 椭圆的补充几何性质 （1） 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点. （2） 椭圆的中点弦定理（点差法）：若 为椭圆 的一条弦， 为弦 的中点，则弦 所在直线的斜率 与直线 的斜率 满足 . （3） 椭圆的面积公式：椭圆 的面积为 . 三、典题精练 考点一：椭圆方程的充要条件 考法1：利用含参方程判断曲线类型 1.（2024·山东青岛·三模）已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（　　） A. 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 B. 当曲线表示双曲线时，的取值范围是 C. 当时，曲线表示一条直线 D. 存在，使得曲线为等轴双曲线 考法2：利用充要条件求解参数范围 2.“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点一 方法总结】 1. 表示椭圆的充要条件为：. 2. 表示双曲线方程的充要条件为：. 3. 表示圆方程的充要条件为：. 考点二：椭圆的定义与标准方程 考法3：利用椭圆定义求解基本量与方程 3.（2026·湖北随州·一模）已知，是椭圆的两个焦点，若点是椭圆上的一个动点，则的周长是（　　） A. B. C. D. 4.（2026·河北承德·一模）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为＿＿＿＿＿＿. 考法4：利用待定系数法求解椭圆标准方程 5.（2025·河北邢台·一模）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于，则椭圆的标准方程是（　　） A. B. C. D. 6.（2026·安徽合肥·一模）已知椭圆的离心率为，点在上. （1） 求的方程； 考法5：结合圆锥曲线共焦点求解椭圆方程 7.（2024·山东青岛·三模）已知椭圆的长轴长为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿. 8.（2026·湖北荆州·检测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为. （1） 求椭圆的标准方程； 考法6：结合几何性质求解椭圆标准方程 9.（2025·浙江宁波·模拟）已知椭圆的离心率为，且过点. （1） 求椭圆的方程； 考法7：分类讨论焦点位置求解参数范围 10.（2026·湖南长沙·模拟）设椭圆的标准方程为，若焦距为，则实数的值为（　　） A. B. 或 C. D. 或 11.（2026·广东江门·模拟）若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考法8：结合新定义求解椭圆方程与轨迹 12.（2026·安徽A10联盟·联考）已知椭圆的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆上的动点满足：到一个定点的距离与到不经过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中）得到. 由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复.设第次入射点为，规定：当为奇数时，，；当为偶数时，，. 已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上. （1） 求椭圆的方程； 【考点二 方法总结】 1. 求椭圆标准方程的方法： （1） 定义法：根据椭圆定义，确定 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2） 待定系数法：根据椭圆焦点是在 轴还是 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出 的方程组，解出 ，从而求得标准方程. 2. 设椭圆方程的技巧： （1） 如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为 . （2） 与椭圆 共焦点的椭圆可设为 . （3） 与椭圆 有相同离心率的椭圆，可设为 ，焦点在 轴上) 或 ，焦点在 轴上). 考点三：椭圆的简单几何性质 考法9：利用椭圆的范围与对称性求解基本量 13.（2026·安徽皖江联盟·联考）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（　　） A. B. C. D. 考法10：结合椭圆的几何性质求解参数与方程 14.（2026·浙江北斗星盟·联考）已知椭圆，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（　　） A. B. C. D. 考法11：结合圆的性质探究椭圆几何特征 15.（2026·江苏南京·模拟）已知椭圆，过其右焦点作直线交椭圆于，两点，取点关于轴的对称点，若点为的外心，则（　　） A. B. C. D. 以上都不对 16.（2026·河北百师联盟·一模）（多选）已知，分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（　　） A. B. C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为 考法12：利用椭圆斜率乘积与焦半径公式求解综合问题 17.（2025·河南H20联盟·联考）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 【考点三 方法总结】 1. 椭圆的通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为 . 2. 椭圆上的点到中心及焦点的距离最值： （1） 椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点. （2） 椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点.距离的最大值为 ，距离的最小值为 . 3. 椭圆的切线方程： （1） 椭圆 上一点 处的切线方程是 . （2） 过椭圆 外一点 ，所引两条切线的切点弦方程是 . （3） 椭圆 与直线 相切的条件是 . 考点四：离心率的值及取值范围 考法13：利用基本量关系直接求解离心率 18.（2026·江苏前黄中学·检测）已知椭圆的焦距长等于短轴长的倍，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 19.（2025·江西三新联盟·模拟）椭圆的离心率为＿＿＿＿＿＿. 考法14：结合几何图形特征求解离心率 20.（2026·湖北孝感·检测）以、为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 考法15：结合焦点三角形求解离心率 21.（2026·浙江金丽衢·联考）已知分别为椭圆的上顶点和右顶点，为的右焦点，若的一个内角为，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 22.（2025·福建福州·检测）已知椭圆的焦点为，，为上的一点，若的周长为，则的离心率为＿＿＿＿＿＿. 考法16：结合焦半径与参数方程求解离心率范围 23.（2026·广东稳派上进·检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于两点，若，，则（　　） A. B. C. 的离心率 D. 当的长轴长为时，的短轴长为 考法17：结合实际情境比较离心率大小 24.（2025·江西优创名校·联考）如图，这是一块宋代椭圆形玉璧，采用上好的和田青玉雕琢而成，该椭圆形玉璧长，宽，玉璧中心的椭圆形孔长，宽，设该玉璧的外轮廓为椭圆，玉璧中心的椭圆形孔对应的曲线为椭圆，则（　　） A. 的离心率等于的离心率 B. 的离心率小于的离心率 C. 的离心率大于的离心率 D. 与的离心率无法比较大小 【考点四 方法总结】 1. 求离心率的本质就是探究 之间的数量关系，知道 中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出 的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 2. 结合几何图形特征求解离心率时，常利用椭圆的定义、三角形的边角关系（如正弦定理、余弦定理）构建关于 的齐次方程. 考点五：椭圆中的焦点三角形问题 考法18：利用椭圆定义求解焦点三角形周长 25.（2026·福建莆田·检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（　　） A. B. C. D. 26.（2025·河南新未来·联考）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（　　） A. B. C. D. 考法19：结合余弦定理与面积公式求解焦点三角形面积 27.（2025·江西百万联考·联考）由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为，分别为的左、右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 考法20：结合向量与几何性质探究焦点三角形特征 28.（2026·山东德州·三模）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（　　） A. B. C. D. 29.（2026·河北邯郸·一模）（多选）已知是椭圆上一点，，分别是的左、右焦点，若点满足，，则的离心率可能为（　　） A. B. C. D. 考法21：利用焦点三角形特征求解椭圆方程 30.（2026·山东临沂·一模）已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上的一动点，当面积取到最大值时，. （1） 求的方程； 考法22：结合内切圆探究焦点三角形性质 31.（2024·全国·检测）如图，过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于，两点，则的内切圆面积可能是（　　） A. B. C. D. 【考点五 方法总结】 1. 焦点三角形的周长：若 为椭圆上一点， 为焦点，则 的周长为 . 2. 焦点三角形的面积：，其中 .当点 在短轴端点时， 取得最大值，此时面积取得最大值 . 3. 焦点三角形中的边角关系：常利用余弦定理 结合定义 进行整体代换. 考点六：椭圆中的距离与最值问题 考法23：利用代数法转化为函数求解距离最值 32.（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆上的动点，若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 考法24：结合几何意义与椭圆定义求解距离和差最值 33.（2026·山东淄博·二模）椭圆的左右焦点分别为，点，为上一动点，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 考法25：结合代数式与向量模长转化为距离最值 34.（2024·全国·检测）已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考法26：探究椭圆上动点到定点或弦中点的距离最值 35.（2026·河北八省八校·联考）已知椭圆内有点，，过点的直线交椭圆于点，若为的中点，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 36.（2026·安徽临泉·二模）已知点是椭圆上的动点，若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【考点六 方法总结】 1. 代数法：设出椭圆上动点的坐标，利用两点间距离公式将距离转化为关于某一个坐标变量的二次函数，结合该变量的取值范围求最值. 2. 几何法：在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题往往是考察我们定义.求解最值问题的过程中，如果发现动点 在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，将距离之和或差转化为点到定点或焦点的距离，利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）或三点共线求解. 考点七：椭圆定义的轨迹应用 考法27：利用椭圆第一定义求解动点轨迹方程 37.（2026·江西萍乡·二模）已知圆，圆，动圆与外切，与内切. （1） 求的轨迹的标准方程； 【考点七 方法总结】 1. 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点 的轨迹方程，这时候要注意把动点 和满足焦点标志的定点连起来做判断. 2. 焦点往往有以下的特征：（1） 关于坐标轴对称的点；（2） 标记为 的点；（3） 圆心；（4） 题上提到的定点等等. 3. 当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断.注意在求解轨迹方程的题中，要注意 和 的取值范围，判断是否需要挖去某些点. 考点八：椭圆与数列综合问题 考法28：结合椭圆几何特征推导数列通项与不等式 38.（2026·江西南昌·二模）已知一系列椭圆的右焦点为，上顶点为，，是等腰三角形，. （1） 求椭圆的方程； （2） 求数列的通项公式； （3） 若数列的前项和为，若对任意的，都有，求的最小值. 【考点八 方法总结】 1. 椭圆与数列的综合问题，通常需要根据椭圆的几何特征（如焦点、顶点、离心率等）推导出基本量的递推关系. 2. 将几何条件转化为代数关系，求出数列的通项公式，再利用数列的求和方法（如裂项相消法、错位相减法等）及不等式放缩技巧解决综合问题. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷·第16题）已知和为椭圆上两点. （1） 求的离心率； （2） 若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程. 2.（2025·全国一卷·第18题）设椭圆的离心率为，下顶点为，右顶点为，. （1） 求椭圆的标准方程； （2） 已知动点不在轴上，点在射线上，且满足. （i） 设，求点的坐标（用，表示）； （ii） 设为坐标原点，是椭圆上的动点，直线的斜率为直线的斜率的倍，求的最大值. 3.（2026·全国一卷·第18题）已知椭圆的左焦点为，离心率为. （1） 求的方程； （2） 设为坐标原点，过且斜率大于的动直线与交于，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为. （i） 若的面积是的面积的倍，求的方程； （ii） 求的最小值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第58讲 椭圆及其性质 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精讲 5 考点一：椭圆方程的充要条件 5 考点二：椭圆的定义与标准方程 6 考点三：椭圆的简单几何性质 10 考点四：离心率的值及取值范围 14 考点五：椭圆中的焦点三角形问题 17 考点六：椭圆中的距离与最值问题 20 考点七：椭圆定义的轨迹应用 23 考点八：椭圆与数列综合问题 24 四、高考真题 25 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第16题 解答题 15分 直接考察 椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系 2025 第18题 解答题 17分 直接考察 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系及最值问题 2026 第18题 解答题 17分 直接考察 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系及最值问题 近三年每年均有直接考查，题型为解答题，分值在15至17分之间. 2. 命题角度与特色 （1） 基础知识扎实：重点考查椭圆的标准方程、离心率等基本几何性质的求解. （2） 综合性强：常与直线方程结合，考查直线与椭圆的位置关系、面积问题、最值问题以及角度问题，对代数运算能力要求较高. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及几何性质，能够准确进行基本量的计算. （2） 加强直线与圆锥曲线综合问题的训练，熟练运用韦达定理、弦长公式及面积公式，提升代数变形与化简能力. 二、知识清单 1. 椭圆的定义 （1） 第一定义：平面内与两个定点 的距离之和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 .定义用集合语言表示为：. 【防坑警示】 ① 当 时，点的轨迹是线段 ； ② 当 时，点的轨迹不存在. （2） 第二定义：平面内动点到定点（焦点）的距离和它到定直线（准线）的距离之比等于常数 的点的轨迹是椭圆. （3） 第三定义：平面内动点 与两定点 （长轴的两个端点）连线的斜率之积为常数 的点的轨迹是椭圆（挖去两端点）. 2. 椭圆的方程、图形与性质 属性 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 ， 为参数 () ， 为参数 () 第一定义 到两定点 、 的距离之和等于常数 ，即 到两定点 、 的距离之和等于常数 ，即 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长 ，短轴长 长轴长 ，短轴长 对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 () () 准线方程 点和椭圆的关系 点 在椭圆 点 在椭圆 切线方程 ( 为切点) 对于过椭圆上一点 的切线方程，只需将椭圆方程中 换为 ， 换为 可得 ( 为切点) 对于过椭圆上一点 的切线方程，只需将椭圆方程中 换为 ， 换为 可得 切点弦所在的直线方程 (点 在椭圆外) (点 在椭圆外) 焦点三角形面积 ① ，，( 为短轴的端点) ② () ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是： ① ，，( 为短轴的端点) ② () ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是： 焦半径 左焦半径： 右焦半径： 焦半径最大值 ，最小值 下焦半径： 上焦半径： 焦半径最大值 ，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长 (最短的过焦点的弦) 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长 (最短的过焦点的弦) 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为 ，，， 则弦长 (其中 是消 后关于 的一元二次方程的 的系数， 是判别式) 设直线与椭圆的两个交点为 ，，， 则弦长 (其中 是消 后关于 的一元二次方程的 的系数， 是判别式) 3. 椭圆的补充几何性质 （1） 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点. （2） 椭圆的中点弦定理（点差法）：若 为椭圆 的一条弦， 为弦 的中点，则弦 所在直线的斜率 与直线 的斜率 满足 . （3） 椭圆的面积公式：椭圆 的面积为 . 三、典题精讲 考点一：椭圆方程的充要条件 考法1：利用含参方程判断曲线类型 1.已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（　　） A. 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 B. 当曲线表示双曲线时，的取值范围是 C. 当时，曲线表示一条直线 D. 存在，使得曲线为等轴双曲线 【答案】A 【思路】根据椭圆和双曲线的标准方程形式，列出参数满足的不等式组即可判断各选项. 【解析】对于A，当时，，，， 表示焦点在轴上的椭圆，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，A正确； 对于B，若曲线表示双曲线，则，解得：或， 即实数的取值范围为，B错误； 对于C，当时，曲线，即， 即曲线表示两条直线，C错误； 对于D，若曲线为等轴双曲线，则，解集为， 不存在，使得曲线为等轴双曲线，D错误. 故选：A. 考法2：利用充要条件求解参数范围 2.“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【思路】将方程化为标准形式，根据椭圆的定义得到参数满足的条件，再结合充分必要条件的定义进行判断. 【解析】[解法一] 方程即方程，表示椭圆的充分必要条件是， 显然“，”是“”既不充分也不必要条件， 故“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件， [解法二] 当时，满足“，”，此时题中方程可化为：，表示的曲线是圆而不是椭圆，当时，不满足“，”，只是题中方程可化为：，表示中心在原点，半长轴为，半短轴为的椭圆， 故：“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 【考点一 方法总结】 1. 表示椭圆的充要条件为：. 2. 表示双曲线方程的充要条件为：. 3. 表示圆方程的充要条件为：. 考点二：椭圆的定义与标准方程 考法3：利用椭圆定义求解基本量与方程 3.（2026·湖北随州·一模）已知，是椭圆的两个焦点，若点是椭圆上的一个动点，则的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】根据椭圆方程求出半长轴，利用椭圆的定义将三角形周长转化为定值与焦距之和. 【解析】由椭圆知， ，，， 所以， 由椭圆的定义知，， 则的周长为：. 故选：A. 4.（2026·河北承德·一模）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】利用椭圆的定义，将两个焦点与椭圆上两点构成的三角形周长转化为个半长轴之和. 【解析】由题意知，， 由椭圆的定义知，，， 所以的周长为. 考法4：利用待定系数法求解椭圆标准方程 5.（2025·河北邢台·一模）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于，则椭圆的标准方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】根据焦点位置设出标准方程，结合离心率和长轴长列出关于的方程组求解. 【解析】由题意得，解得，所以椭圆方程为：， 故选：A. 6.（2026·安徽合肥·一模）已知椭圆的离心率为，点在上. （1） 求的方程； 【答案】 【思路】根据离心率和点在椭圆上列出方程组，求出的值即可写出方程. 【解析】由题意得，解得， 所以的方程为. 考法5：结合圆锥曲线共焦点求解椭圆方程 7.已知椭圆的长轴长为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】先求出抛物线的焦点坐标，从而得到椭圆的焦点位置和焦距，再结合长轴长求出短半轴长，写出标准方程. 【解析】抛物线方程化为标准方程得，焦点坐标为， 抛物线焦点与椭圆的一个焦点重合，椭圆焦点在轴上， 设椭圆方程为， 则由焦点坐标和长轴长知，，， ， 椭圆的标准方程为. 故答案为：. 8.（2026·湖北荆州·检测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为. （1） 求椭圆的标准方程； 【答案】 【思路】求出抛物线的焦点，得到椭圆的半焦距，再利用离心率求出长半轴，进而求出短半轴，写出方程. 【解析】抛物线的焦点为，则. 椭圆的离心率，则. 故椭圆的标准方程为. 考法6：结合几何性质求解椭圆标准方程 9.（2025·浙江宁波·模拟）已知椭圆的离心率为，且过点. （1） 求椭圆的方程； 【答案】 【思路】利用离心率和点在椭圆上列出方程组，求出的值即可. 【解析】由已知得，解得， 所以椭圆的方程为. 考法7：分类讨论焦点位置求解参数范围 10.（2026·湖南长沙·模拟）设椭圆的标准方程为，若焦距为，则实数的值为（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【思路】分类讨论焦点在轴和轴上的情况，利用焦距公式列方程求解. 【解析】若焦点在轴上，则，由，得； 若焦点在轴上，则，由，得. 所以实数的值为或. 故选：B. 11.（2026·广东江门·模拟）若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】将方程化为标准形式，根据焦点在轴上列出不等式求解. 【解析】由椭圆方程的特征可知， 所以方程，可化为， 因为的焦点在轴上，所以， 所以， 故的取值范围是. 考法8：结合新定义求解椭圆方程与轨迹 12.（2026·安徽A10联盟·联考）已知椭圆的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆上的动点满足：到一个定点的距离与到不经过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中）得到. 由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复.设第次入射点为，规定：当为奇数时，，；当为偶数时，，. 已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上. （1） 求椭圆的方程； 【答案】 【思路】根据椭圆的光学性质和定义，结合已知条件求出基本量，进而写出方程. 【解析】由题意得，解得， 故椭圆的方程为. 【考点二 方法总结】 1. 求椭圆标准方程的方法： （1） 定义法：根据椭圆定义，确定 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2） 待定系数法：根据椭圆焦点是在 轴还是 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出 的方程组，解出 ，从而求得标准方程. 2. 设椭圆方程的技巧： （1） 如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为 . （2） 与椭圆 共焦点的椭圆可设为 . （3） 与椭圆 有相同离心率的椭圆，可设为 ，焦点在 轴上) 或 ，焦点在 轴上). 考点三：椭圆的简单几何性质 考法9：利用椭圆的范围与对称性求解基本量 13.（2026·安徽皖江联盟·联考）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】根据焦点在轴上确定长半轴，利用离心率求出半焦距，再由的关系求出. 【解析】因为焦点在轴上，所以，即， 又，所以， 所以， 又因为，所以. 故选：C. 考法10：结合椭圆的几何性质求解参数与方程 14.（2026·浙江北斗星盟·联考）已知椭圆，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】根据三角形面积求出点的纵坐标，代入椭圆方程求出横坐标，再利用角平分线定理求出角平分线与轴的交点，最后求出直线方程. 【解析】由椭圆得，焦点， 设， 因为的面积为，所以，解得， 代入椭圆方程得，解得，即， 直线的斜率，直线的斜率不存在， 设的角平分线交轴于点， 由角平分线定理得， ，， 所以，解得， 所以角平分线过点和， 其斜率， 直线方程为，即. 故选：B. 考法11：结合圆的性质探究椭圆几何特征 15.（2026·江苏南京·模拟）已知椭圆，过其右焦点作直线交椭圆于，两点，取点关于轴的对称点，若点为的外心，则（　　） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【思路】设出直线方程并与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及外心性质，将线段长度转化为斜率的表达式，进而求出比值. 【解析】因为椭圆，得，，右焦点. 因为关于轴对称，的中垂线就是轴，故在轴上，设， 直线斜率不存在时，不存在满足题意，舍去； 设过的直线，，， ， 所以， 由外心性质，所以. 所以， 整理得， 又，，所以， 即，整理得， 则. ， 所以. 16.（2026·河北百师联盟·一模）（多选）已知，分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（　　） A. B. C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为 【答案】ACD 【思路】利用三角形中位线定理、椭圆定义及焦点三角形面积公式，结合正弦定理逐项分析判断. 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，由三角形中位线得，因为当点在第二三象限时，，此时，故B错误； 对于C，因为，， 当点在上顶点时，最大，所以，所以， 所以，所以由三角形相似可得， 设内切圆半径为，又， 所以内切圆半径的最大值为，故C正确； 对于D，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，故D正确. 故选：ACD. 考法12：利用椭圆斜率乘积与焦半径公式求解综合问题 17.（2025·河南H20联盟·联考）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】写出焦点的坐标，设出点的坐标，将向量数量积转化为点横坐标的函数，结合横坐标的范围求最值. 【解析】由椭圆方程知，， 两焦点坐标分别为， 所以. 设点，则， ， 所以， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：D. 【考点三 方法总结】 1. 椭圆的通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为 . 2. 椭圆上的点到中心及焦点的距离最值： （1） 椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点. （2） 椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点.距离的最大值为 ，距离的最小值为 . 3. 椭圆的切线方程： （1） 椭圆 上一点 处的切线方程是 . （2） 过椭圆 外一点 ，所引两条切线的切点弦方程是 . （3） 椭圆 与直线 相切的条件是 . 考点四：离心率的值及取值范围 考法13：利用基本量关系直接求解离心率 18.（2026·江苏前黄中学·检测）已知椭圆的焦距长等于短轴长的倍，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】根据焦距和短轴长的关系式，结合的关系求出离心率. 【解析】由题意得，，所以，则，解得：， 所以. 19.（2025·江西三新联盟·模拟）椭圆的离心率为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】直接由椭圆方程读出的平方，求出，代入离心率公式计算. 【解析】由题意得，，则， 所以椭圆的离心率. 考法14：结合几何图形特征求解离心率 20.（2026·湖北孝感·检测）以、为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】利用椭圆的光学性质和对称性，找到切点满足的距离条件，求出长轴长和焦距，进而求出离心率. 【解析】依题意，直线与椭圆相切，直线上除切点外任意一点均在椭圆外.由椭圆的定义可知切点是直线上与、两点距离和最小的点.关于直线对称的点为， ，故椭圆的长轴长为，焦距，离心率. 考法15：结合焦点三角形求解离心率 21.（2026·浙江金丽衢·联考）已知分别为椭圆的上顶点和右顶点，为的右焦点，若的一个内角为，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】根据焦点三角形的内角，结合直角三角形的边角关系求出的关系，计算离心率. 【解析】设椭圆方程为，则，，， 因为是钝角，所以， 在中，， 所以，即， 所以，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 22.（2025·福建福州·检测）已知椭圆的焦点为，，为上的一点，若的周长为，则的离心率为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】根据焦点三角形周长等于列出方程，求出参数，进而求出离心率. 【解析】若的长半轴为，则的周长小于，不符题意； 所以的长半轴为，所以，解得，所以的离心率为. 考法16：结合焦半径与参数方程求解离心率范围 23.（2026·广东稳派上进·检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于两点，若，，则（　　） A. B. C. 的离心率 D. 当的长轴长为时，的短轴长为 【答案】ABD 【思路】利用已知线段比例关系，结合椭圆定义和余弦定理，求出的关系，逐项判断. 【解析】，则，，，， 所以，故A正确； ，故B正确； 由余弦定理得， 整理得，解得，所以，故C错误； 当的长轴长为时，，故D正确. 故选：ABD. 考法17：结合实际情境比较离心率大小 24.（2025·江西优创名校·联考）如图，这是一块宋代椭圆形玉璧，采用上好的和田青玉雕琢而成，该椭圆形玉璧长，宽，玉璧中心的椭圆形孔长，宽，设该玉璧的外轮廓为椭圆，玉璧中心的椭圆形孔对应的曲线为椭圆，则（　　） A. 的离心率等于的离心率 B. 的离心率小于的离心率 C. 的离心率大于的离心率 D. 与的离心率无法比较大小 【答案】B 【思路】根据长短轴的长度，计算短半轴与长半轴的比值，比值越大离心率越小，从而比较大小. 【解析】依题意可得的长轴长为，短轴长为，的长轴长为，短轴长为， 因为，，所以，又，所以越大，离心率越小，所以的离心率小于的离心率. 故选：B. 【考点四 方法总结】 1. 求离心率的本质就是探究 之间的数量关系，知道 中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出 的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 2. 结合几何图形特征求解离心率时，常利用椭圆的定义、三角形的边角关系（如正弦定理、余弦定理）构建关于 的齐次方程. 考点五：椭圆中的焦点三角形问题 考法18：利用椭圆定义求解焦点三角形周长 25.（2026·福建莆田·检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】根据椭圆方程求出，利用椭圆定义将三角形周长转化为计算. 【解析】由题意得，，，所以， 因在椭圆上，则有，且有， 则的周长为. 故选：D. 26.（2025·河南新未来·联考）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】根据顶点和焦点的角度关系求出的关系，结合方程求出基本量，再利用定义求周长. 【解析】依题意，，，（为坐标原点），因为，则，所以，，所以，解得，所以，由椭圆定义可得的周长为，故选A. 考法19：结合余弦定理与面积公式求解焦点三角形面积 27.（2025·江西百万联考·联考）由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为，分别为的左、右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】利用向量数量积为得到直角三角形，结合面积公式和勾股定理求出，进而求出椭圆面积. 【解析】由，可得，则， 因为的面积为，所以，则， 从而， 即.又的离心率为，所以，解得，从而，则的面积为. 故选：D. 考法20：结合向量与几何性质探究焦点三角形特征 28.（2026·山东德州·三模）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】利用余弦定理和焦点三角形面积公式，结合中线定理求出的长度. 【解析】由椭圆方程得，则，. 由，且，得. 在中，由余弦定理得， 即， 又，所以，解得. 由中线定理得， 即， 所以，解得，所以. 故选：D. 29.（2026·河北邯郸·一模）（多选）已知是椭圆上一点，，分别是的左、右焦点，若点满足，，则的离心率可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【思路】利用向量关系得到线段垂直和中点，结合三角形边长关系求出离心率的范围. 【解析】因为，所以为的中点.又，所以，则.因为，所以.又，所以，得. 考法21：利用焦点三角形特征求解椭圆方程 30.（2026·山东临沂·一模）已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上的一动点，当面积取到最大值时，. （1） 求的方程； 【答案】 【思路】当点在短轴端点时面积最大，结合已知角度求出的关系，再利用面积公式求出基本量. 【解析】（1） 易知当点在椭圆短轴端点处时面积取到最大值， 设，则面积的最大值为， ， 又面积取到最大值时，， 又，解得，， 椭圆方程为. 考法22：结合内切圆探究焦点三角形性质 31.如图，过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于，两点，则的内切圆面积可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】根据焦点三角形的周长和面积的范围，利用面积等于周长一半乘以内切圆半径，求出内切圆面积的范围. 【解析】记的周长为，面积为，内切圆半径为.易知. 由于，故. 设的内切圆面积为，则， 于是选项A符合题意. 故选：A. 【考点五 方法总结】 1. 焦点三角形的周长：若 为椭圆上一点， 为焦点，则 的周长为 . 2. 焦点三角形的面积：，其中 .当点 在短轴端点时， 取得最大值，此时面积取得最大值 . 3. 焦点三角形中的边角关系：常利用余弦定理 结合定义 进行整体代换. 考点六：椭圆中的距离与最值问题 考法23：利用代数法转化为函数求解距离最值 32.（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆上的动点，若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】设出点的坐标，利用两点间距离公式将距离转化为关于横坐标的二次函数，结合定义域求最值. 【解析】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 考法24：结合几何意义与椭圆定义求解距离和差最值 33.（2026·山东淄博·二模）椭圆的左右焦点分别为，点，为上一动点，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】利用椭圆定义将距离和转化为点到定点与到左焦点距离之差，结合三角形三边关系求最值. 【解析】由椭圆方程知，，左焦点，右焦点. 因为在椭圆上，由椭圆的定义知， 所以. 则. 由三角形两边之差小于第三边可知，， 当且仅当三点共线，且在线段上时等号成立. 因为点满足，所以点在椭圆内部， 射线交椭圆于点，此时取得最小值. 又， 所以的最小值为. 考法25：结合代数式与向量模长转化为距离最值 34.（2024·全国·检测）已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】利用角平分线和垂直条件构造全等三角形，结合中位线定理将线段长度转化为焦半径的表达式，进而求出范围. 【解析】如图所示，延长交的延长线于点， 点在椭圆上，由椭圆的性质可知， 因为分别是椭圆的左、右焦点， 所以点的坐标为、点的坐标为， 因为点是的角平分线上的一点， 所以， 又，则， 所以， 则，， 又因为点为线段的中点， 所以为的中位线， 即， 当点在椭圆右顶点时，取最大值，最大值为， 当点在椭圆左顶点时，取最小值，最小值为， 当点在椭圆上顶点或下顶点时，， 又因为点是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合， 则的取值范围为， 结合函数函数的性质可得，的取值范围是. 考法26：探究椭圆上动点到定点或弦中点的距离最值 35.（2026·河北八省八校·联考）已知椭圆内有点，，过点的直线交椭圆于点，若为的中点，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】利用点差法求出中点弦所在直线的斜率与中点坐标的关系，得到中点轨迹方程，再利用两点间距离公式转化为二次函数求最值. 【解析】设，，. 因为在椭圆上，所以，. 两式相减得. 因为为中点，所以，. 当直线的斜率存在时，设为，则. 代入上式得，即. 因为直线过点，所以. 代入得，整理得. 即. 当直线的斜率不存在时，的方程为，此时中点，也满足上式. 所以点的轨迹是椭圆. 设，，则，即. 此时在新坐标系下的坐标为. . 因为，所以，即. 二次函数的对称轴为. 因为，所以在上单调递减. 当时，取得最大值，最大值为. 所以的最大值为. 故选：B. 36.（2026·安徽临泉·二模）已知点是椭圆上的动点，若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】设出动点坐标，将距离的平方转化为关于横坐标的二次函数，结合横坐标的范围求最值. 【解析】. 由于在椭圆上，. . 二次函数对称轴. 因为，且，所以在定义域内. 当时，取得最小值： . 所以. 【考点六 方法总结】 1. 代数法：设出椭圆上动点的坐标，利用两点间距离公式将距离转化为关于某一个坐标变量的二次函数，结合该变量的取值范围求最值. 2. 几何法：在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题往往是考察我们定义.求解最值问题的过程中，如果发现动点 在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，将距离之和或差转化为点到定点或焦点的距离，利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）或三点共线求解. 考点七：椭圆定义的轨迹应用 考法27：利用椭圆第一定义求解动点轨迹方程 37.（2026·江西萍乡·二模）已知圆，圆，动圆与外切，与内切. （1） 求的轨迹的标准方程； 【答案】（1） 【思路】根据两圆相切的性质，将动圆圆心到两定圆圆心的距离之和转化为定值，利用椭圆定义求出轨迹方程. 【解析】（1） 由题知，圆的半径为，圆的半径为，设动圆的半径为， 则，，故， 故的轨迹是椭圆，焦点为，长轴长为， 故的轨迹的标准方程为； 【考点七 方法总结】 1. 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点 的轨迹方程，这时候要注意把动点 和满足焦点标志的定点连起来做判断. 2. 焦点往往有以下的特征：（1） 关于坐标轴对称的点；（2） 标记为 的点；（3） 圆心；（4） 题上提到的定点等等. 3. 当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断.注意在求解轨迹方程的题中，要注意 和 的取值范围，判断是否需要挖去某些点. 考点八：椭圆与数列综合问题 考法28：结合椭圆几何特征推导数列通项与不等式 38.（2026·江西南昌·二模）已知一系列椭圆的右焦点为，上顶点为，，是等腰三角形，. （1） 求椭圆的方程； （2） 求数列的通项公式； （3） 若数列的前项和为，若对任意的，都有，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【思路】根据等腰三角形和椭圆焦点、顶点的关系，推导出基本量的递推关系，求出通项公式，再利用裂项相消法求和并证明不等式. 【解析】（1） 因为，所以， 则， 因此， 所以椭圆的方程为； （2） 点，设，因为为等腰三角形， 所以，因此， 由题意知，所以， 所以， 所以，所以； （3） 因为 ， () 所以， 因此 ， 因为，所以， 所以的最大值为，的最小值为，的最小值为. 【考点八 方法总结】 1. 椭圆与数列的综合问题，通常需要根据椭圆的几何特征（如焦点、顶点、离心率等）推导出基本量的递推关系. 2. 将几何条件转化为代数关系，求出数列的通项公式，再利用数列的求和方法（如裂项相消法、错位相减法等）及不等式放缩技巧解决综合问题. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷·第16题）已知和为椭圆上两点. （1） 求的离心率； （2） 若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程. 【答案】（1） （2） 直线的方程为或. 【解析】（1） 由题意得，解得， 所以. （2） 法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解的或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 2.（2025·全国一卷·第18题）设椭圆的离心率为，下顶点为，右顶点为，. （1） 求椭圆的标准方程； （2） 已知动点不在轴上，点在射线上，且满足. （i） 设，求点的坐标（用，表示）； （ii） 设为坐标原点，是椭圆上的动点，直线的斜率为直线的斜率的倍，求的最大值. 【答案】（1） （2） （i） （ii） 【解析】（1） 由题可知，，所以，解得， 故椭圆的标准方程为； （2） （i） 设，易知， 法一：所以，故，且. 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. （ii） 因为，，由，可得 ，化简得，即， 所以点在以为圆心，为半径的圆上（除去两个点）， 为到圆心的距离加上半径， 法一：设，所以 ，当且仅当时取等号， 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号， 故. 3.（2026·全国一卷·第18题）已知椭圆的左焦点为，离心率为. （1） 求的方程； （2） 设为坐标原点，过且斜率大于的动直线与交于，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为. （i） 若的面积是的面积的倍，求的方程； （ii） 求的最小值. 【答案】（1） （2） （i） ；（ii） 【解析】（1） 已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，， 因此椭圆方程为. （2） 解法一： 设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i） 由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ， 由于，得，即， 令，由与，得， 代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii） 直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二： （i） 如图所示，设直线的方程为，其中斜率， 设点，点，且， 根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以， 由于，所以， ， ， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii） 由题意，即为直线与直线的夹角， 直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $