4.1.1三角形的有关概念及三边关系（课件）2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件围绕三角形的定义、按边分类及三边关系展开，通过金字塔、飞机机翼、水分子结构等现实实例导入，引导学生观察生活中的三角形，建立数学与现实世界的联系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，通过“做一做”“议一议”活动引导学生自主探究三边关系，发展数学思维，分层练习题从基础填空到拓展化简，培养数学语言表达能力。学生能夯实基础提升解题能力，教师可利用梯度化资源高效教学。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第4章 三角形 4.1.1三角形的有关概念及三边关系 2026年8月8日 湘教版数学八年级上册4.1.1三角形的有关概念及三边关系同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。三角形有三条边、三个内角、三个顶点，是最基础的平面封闭图形之一。 2. 三角形的分类：按边的长短分类，可分为不等边三角形、等腰三角形（包含等边三角形）。其中等边三角形是特殊的等腰三角形，三条边长度全部相等。 3. 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。该定理是判断三条线段能否组成三角形的核心依据，缺一不可。 4. 解题核心技巧：判断三边能否构成三角形时，只需验证最短两条线段的和大于最长线段即可，可简化运算；已知三角形两边长度，可利用三边关系确定第三边的取值范围。 二、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 由三条________的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。 2. 已知三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边x的取值范围是________。 3. 一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为________cm。 4. 长度为2、3、4的三条线段________组成三角形（填“能”或“不能”）。 5. 已知三角形三边长为整数2、5、a，则a的可能取值有________个。 三、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm B. 2cm，3cm，5cm C. 3cm，4cm，5cm D. 3cm，4cm，7cm 2. 三角形的两边长分别为5和7，则第三边的长不可能是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 3. 等腰三角形的两边长为3和6，则周长为（ ） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 18 4. 下列关于三角形的说法正确的是（ ） A. 三条线段一定能组成三角形 B. 三角形任意两边之差大于第三边 C. 等边三角形一定是等腰三角形 D. 三角形至少有一条边大于另外两边 5. 已知三条线段的比为①1:2:3 ②2:3:4 ③3:4:5 ④2:2:3，其中能构成三角形的有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 四、计算题与解答题（每题8分，共32分） 1. 判断长度分别为5cm、6cm、10cm的三条线段能否组成三角形，并说明理由。 2. 已知三角形两边长为4cm和9cm，若第三边长为整数，求第三边的所有可能长度。 3. 已知一个等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，求另外两边的长。 4. 已知三角形三边长分别为x、2、3，求x的取值范围。 五、应用题（14分） 一个农户打算用篱笆围成一个等腰三角形的菜园，其中两条边的长度分别为5米和11米，求围成菜园的篱笆总长度。 六、拓展提升题（14分） 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：$$|a+b-c|+|a-b-c|$$。 七、参考答案与详细解析 （一）填空题答案 1. 不在同一直线上 解析：依据三角形的定义，三条线段必须不共线才能围成三角形。 2. $$2\mathrm{cm}<x<8\mathrm{cm}$$ 解析：由三边关系可得$$5-3<x<5+3$$，即$$2<x<8$$。 3. 20 解析：若腰长为4，4+4=8，无法构成三角形；故腰长为8，周长=8+8+4=20cm。 4. 能 解析：最短两边2+3>4，满足三边关系，可以组成三角形。 5. 3 解析：由三边关系得3<a<7，整数a可取4、5、6，共3个。 （二）选择题答案 1.C 解析：ABD选项均存在两边之和等于或小于第三边的情况，无法构成三角形。 2.D 解析：第三边范围为$$2<x<12$$，12不在取值范围内。 3.B 解析：腰长为3时，3+3=6，不能构成三角形；腰长为6，周长=6+6+3=15。 4.C 解析：共线的三条线段不能组成三角形，A错误；两边之差小于第三边，B错误；D说法无依据，错误。 5.C 解析：①中1+2=3，不能构成三角形；②③④均可构成，共3组。 （三）解答题解析 1. 解：能组成三角形。理由：$$5+6>10$$，满足三角形最短两边之和大于最长边的三边关系，因此可以组成三角形。 2. 解：由三边关系得$$9-4<x<9+4$$，即$$5<x<13$$，整数解为6、7、8、9、10、11、12。 3. 解：①若底边长为6cm，腰长=(20-6)÷2=7cm，三边长为7、7、6，符合三边关系；②若腰长为6cm，底边长=20-6-6=8cm，三边长为6、6、8，符合三边关系。综上，另外两边为7cm、7cm或6cm、8cm。 4. 解：根据三角形三边关系，$$3-2<x<3+2$$，即x的取值范围是$$1<x<5$$。 （四）应用题解析 解：分情况讨论：①腰长5米，5+5=10<11，无法构成三角形；②腰长11米，三边长为11、11、5，满足三边关系。篱笆总长=11+11+5=27米。答：篱笆总长度为27米。 （五）拓展题解析 解：由三角形三边关系得$$a+b-c&gt;0$$，$$a-b-c<0$$。原式$$=(a+b-c)-(a-b-c)=a+b-c-a+b+c=2b$$。 本节习题围绕三角形的基本概念与三边关系展开，覆盖概念辨析、三边取值判断、等腰三角形周长计算、绝对值化简等核心考点，题型梯度分明，贴合湘教版教材重难点，能够有效夯实学生三角形基础知识点，提升几何基础解题能力。 水分子结构示意图 飞机机翼 问题： （1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑 物到微小的分子结构，都有什么样的形象？ （2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例. 有三条线段，三个角 边：线段 AB，BC，CA 是三角形的边. 顶点：点 A，B，C 是三角形的顶点. 角：∠A,∠B,∠C 叫作三角形的内角，简称三角形的角. 问题1：观察三角形的形成过程，说一说什么叫三角形? 定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形. 问题2：三角形中有几条线段? 有几个角? A B C 三角形的相关概念 1 4 记法：三角形 ABC 用符号表示为________. 边的表示：三角形 ABC 的边 AB、AC 和 BC 可用小写 字母分别表示为________. △ABC c，b，a 边 c 边 b 边 a 顶点 C 角 角 角 顶点 A 顶点 B B C A 在△ABC 中， AB 边所对的角是： ∠A 所对的边是： ∠C BC 再说几个对边与对角的关系试试. 三角形的对边与对角： 知识点1 三角形及其相关概念 1.下列由线段组成的图形是三角形的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 7 2.如图，在中，边所对的角是_______， 所对的边是___； 在中，边所对的角是_______， 所对的边是____；以 为内角的三角形有________________________. ，， （第2题） 返回 举一反三 8 ①位置关系：不在同一直线上；②连接方式：首尾相接. 三角形应满足以下两个条件： 表示方法： 三角形用符号“△”表示，如三角形 ABC 可记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”，此外 △ABC 还可记作 △BCA，△CAB，△ACB 等. 要点提醒 找一找：（1）图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． A B C D E 5 个，分别是△ABE，△ABC，△BCE，△BCD，△ECD. （2）以 AB 为边的三角形有哪些？ △ABC，△ABE. （3）以 E 为顶点的三角形有哪些？ △ABE，△BCE，△CDE. （4）以∠D 为角的三角形有哪些？ △BCD，△DEC. （5）说出△BCD 的三个角和三个顶点所对的边. △BCD 的三个角是 ∠BCD、∠D 和 ∠CBD. A B C D E 顶点 B 所对的边为 DC， 顶点 C 所对的边为 BD， 顶点 D 所对的边为 BC. 问题1：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？ 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 三角形的分类 2 腰 三边各不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 底边 顶角 底角 问题2：你能找出下列三角形的三边长的特点吗？ 三边均不相等 有两条边相等 三条边均相等 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形； 三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形)． 思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？ 总结归纳 三角形按边分类 三边各不相等的三角形 等腰三角形 我们可以把三角形按照三边情况进行分类： 腰和底不相等的等腰三角形 等边三角形（三边都相等 的三角形） 等边三角形是特殊的等腰三角形—腰和底边相等的等腰三角形． 知识点2 三角形按边分类 （第3题） 3.如图是三角形按边的相等关系进行的分类，则图中 ， 分别表示的三角形是( ) B A.等边三角形、等腰三角形 B.等腰三角形、等边三角形 C.锐角三角形、等腰三角形 D.等腰三角形、锐角三角形 返回 举一反三 16 4.如图，， ，找出图中的等腰三角形和 等边三角形. 解：等腰三角形有，，， ，等边三角形有 . 返回 举一反三 17 5.等腰三角形的周长为，底边 ，求腰长. 解：由题意知, , 所以 . 故腰长为 . 返回 举一反三 18 做一做 如图，在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择了 A B 的路线，而不选择 A C B 的路线，难道小狗也懂数学？ C A B AC + CB ＞ AB（两点之间线段最短） 三角形的三边关系 3 A B C 路线1：从 A 到 C 再到 B 的路线走； 路线2：沿线段 AB 走. 请问：路线 1、路线 2哪条路程较短？你能说出根据吗？ 解：路线 2 较短； 两点之间线段最短. 由此，你能得出什么结论？ 议一议 三角形的任意两边之和大于第三边. A B C 总结归纳 利用不等式的基本性质，对上面的不等式进行移项变形，还可以得到： 三角形的任意两边之差小于第三边 AB－BC＜AC AC－BC＜AB BC－AB＜AC 例1 下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3 cm、8 cm、4 cm；（2）5 cm、6 cm、11 cm； （3）5 cm、6 cm、10 cm. 判断三条线段是否可以组成三角形，只需判断两条较短线段长之和是否大于第三条线段长即可. 解：（1）不能，因为 3 cm + 4 cm < 8 cm． （2）不能，因为 5 cm + 6 cm = 11 cm． （3）能，因为 5 cm + 6 cm > 10 cm． 归纳 典例精析 例2 如图，D 是△ABC 的边 AC 上一点，AD = BD，试判断 AC 与 BC 的大小. 在△BDC 中，BD + DC > BC (三角形的任意两边之和大于第三边). 又 AD = BD， 则 AC = BD + DC. 所以 AC > BC. 解：因为 AC = AD + DC， 例3 用一条长为 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形. (1) 如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少？ (2) 能围成有一边的长是 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？ 解：(1) 设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm， x + 2x + 2x = 18. 解得 x = 3.6. 所以三边长分别为 3.6 cm、7.2 cm、7.2 cm. (2) 因为长为 4 cm 的边可能是腰，也可能是底边， 所以需要分情况讨论. ①若底边长为 4 cm，设腰长为 x cm，则有 4 + 2x = 18. 解得 x = 7. ②若腰长为 4 cm，设底边长为 x cm，则有 2×4 + x = 18. 解得 x = 10. 因为 4 + 4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边， 所以不能围成腰长是 4 cm 的等腰三角形. 综上可知，可以围成底边长是 4 cm 的等腰三角形. 知识点3 三角形的三边关系 6.［2025长沙期末］长度为下列各组数值的线段中，能组成三角形的是 ( ) A A.2，3，4 B.4，4，8 C.5，4，10 D.6，7，14 返回 举一反三 26 7.［2024淮安中考］用一根小木棒与两根长度分别为， 的小木 棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 27 8.使用, 两根直铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示，若需要将其 中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是( ) B A.只有 B.只有 C.,都可以 D., 都不可以 返回 举一反三 28 9.如图，为估计池塘岸边， 两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点 ， 测得，，，间最大的整数距离是____ . 17 返回 举一反三 29 10.若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为___. 4 返回 举一反三 30 11.若，，是的三边长，且，，满足 ， 则 的形状为( ) A A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法判断 返回 举一反三 31 12.［2025北京东城区期中］已知三角形的三边长分别为2，9，，若 为偶数，则满足要求的三角形的个数为( ) C A.4 B.3 C.2 D.1 返回 举一反三 32 13.用螺丝将五根不能弯曲的木棒围成一个五边形木框，木棒的长度如 图所示，如果在不破坏木框的前提下，任意改变木框的内角大小，那么 其中两顶点之间能达到的最大距离是( ) C A.12 B.11 C.9 D.8 返回 举一反三 33 14.［教材习题变式］若的三边长分别为，， ，则 的值为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 34 15. 如图，过，，，， 五个点中的任意三个画三 角形. （1）以 为一边可以画出___个三角形； （2）以 为一个顶点可以画出___个三角形. 3 6 返回 举一反三 35 16.若三个数3，， 在数轴上对应的点从左到右依次排列，且 以这三个数为边长能构成三角形，则 的取值范围为_____________. 返回 举一反三 36 17.一个等腰三角形的周长为 . （1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长； 解：设底边长为，则腰长为 ， 所以，所以，所以 ， 所以等腰三角形的三边长分别为,, . （2）已知其中一边的长为 ，求其他两边的长. 解：①若底边长为，则腰长为 ，能构成三 角形，所以其他两边的长分别为，；②若腰长为 ， 则底边长为 ，不能构成三角形.因此其他两边的长 分别为， . 返回 举一反三 37 18. 在平面内，分别用3根、5根、6根火柴棒首尾依次 相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下. 火柴棒根数 3 5 6 示意图 __________________________ ___________________ _________________________________ 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 举一反三 38 问： （1）4根火柴棒能搭成三角形吗？ 解：4根火柴棒不能搭成三角形. 举一反三 39 （2）8根、12根火柴棒能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示 意图. 解：8根火柴棒能搭成一种三角形 ，如图①所示； 12根火柴棒能搭成3种不同形状的 三角形（4，4，4；5，5，2；3，4， 5），如图②所示. 返回 举一反三 40 三角形的概念及三边关系 三角形 按边分类 三边各不相等的三角形 等腰三角形(包括等边三角形) 三角形的三边关系 任意两边之和大于第三边 三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形 任意两边之差小于第三边 课堂小结 谢谢观看 THANKS $