分层练70 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦分类加法与分步乘法计数原理，通过分层训练构建“原理理解-情境应用-综合拓展”的方法体系，培养数学推理与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题|分类加法（数字和为偶数的两类取法）、分步乘法（门票分法三步）、路径分步计算|从原理直接应用到简单情境（交通方式选择、数字取法），构建概念应用基础| |B级能力提升|4题|综合分类分步（小组选负责人）、复杂情境建模（钢琴和弦计算）|从单一原理到多原理综合，结合实际情境（涂色、小组问题）提升应用能力|

分层练70分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【A级基础巩固】 1. 每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地,则其出行方案共有( ) A.22种 B.33种 C.300种 D.3600种 2. 将3张不同的冬奥会门票分给10名同学中的3人，每人1张，不同的分法种数为( ) A.720 B.240 C.120 D.60 3. 如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A.24 B.18 C.12 D.9 4. 从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为( ) A.30 B.20 C.10 D.6 5. 从集合中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 6. 如图所示,某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛,每座桥只能连通两个小岛,且每个小岛最多有两座桥连接,则设计方案的种数最多是( ) A.8 B.12 C.16 D.24 7. 如图所示,积木拼盘由,五块积木组成,若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色(如:与为相邻区域，与为不相邻区域)，现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是( ) A.780 B.840 C.900 D.960 8. 将“福”、“禄”、“寿”填入到如图所示的小方格内,每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有( ) A.288种 B.144种 C.576种 D.96种 9. 从集合中任取两个互不相等的数组成复数，其中虚数的个数是_____. 10. 乘积展开后的项数为_____. 11. .4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成_____个不同的三位数. 12. 如图，在一个正六边形的六个区域中涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻的两个区域(有公共边)涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方案有_____种. 【B级能力提升】 13. (多选)现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人，则下列说法正确的是( ) A.选1人为负责人的选法种数为34 B.每组选1名组长的选法种数为5400 C.若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为420 D.若另有3名学生加入这4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有37种 14. 如图,将钢琴上的12个键依次记为.设.若且,则称为原位大三和弦;若且3，则称，，为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( ) A.5 B.8 C.10 D.15 15. 设,若以为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形、则这样的三角形有_____个. 16. 用红、黄、蓝、绿4种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻2个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂2个圆，则不同的涂色方案种数为_____. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1.B［从甲地到乙地不同的方案数为.］ 2.A［可分三步：第一步，第1张门票有10种不同的分法；第二步，第2张门票有9种不同的分法；第三步，第3张门票有8种不同的分法，由分步乘法计数原理，共有种不同分法.］ 3.　[分两步，第一步，从，有条可以选择的最短路径；第二步，从，有条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有条可以选择的最短路径.] 4.　[从这六个数字中任取两个不同的数字的和为偶数可分为两类：第一类，取出的两个数都是偶数，有和，和，和，共种不同的取法；第二类，取出的两个数都是奇数，有和，和，和，共种不同的取法.由分类加法计数原理得，共有种不同的取法.] 5.　[以为首项的等比数列为；；以为首项的等比数列为；以为首项的等比数列为；把这个数列的顺序颠倒，又得到另外的个数列，所求的数列共有(个).] 6.　[四个人工小岛分别记为，对分有一座桥相连和两座桥相连两种情况，用“”表示桥. ①当只有一座桥相连时，有，，，，，，共种方法； ②当有两座桥相连时，有，，，，，，共种方法.故设计方案最多有(种).] 7.　[先涂，则有种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有种涂法，同理有种涂法，有种涂法，有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为.] 8.　[第一步，先从个格子中任选一格放一个汉字有种方法， 第二步，任意的两个汉字既不同行也不同列，剩下的只有个格子可以放，有种方法， 第三步，第三个汉字只有个格子可以放，有种方法，由分步乘法计数原理知共有(种).] 9.　[因为为虚数，所以，即有种取法，有种取法，由分步乘法计数原理知可以组成个虚数.] 10.　[从第一个括号中选一个字母有种方法，从第二个括号中选一个字母有种方法，从第三个括号中选一个字母有种方法，故根据分步乘法计数原理可知共有(项).] 11.　[要组成三位数，根据百位、十位、个位应分三步： 第一步：百位可放个数；第二步：十位可放个数；第三步：个位可放个数. 故由分步乘法计数原理，得共可组成(个)不同的三位数.] 12.4100　[若三个区域用种颜色，则有种涂色方案； 若三个区域用种颜色，则有种涂色方案； 若三个区域用种颜色，则有种涂色方案. 所以共有种涂色方案.] 13.　[对于A，个数学课外兴趣小组共有(人)，故选人为负责人的选法共有$34$种，A正确； 对于B，分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选名组长，所以不同的选法共有(种)，B错误； 对于C，分六类：从第一、二组中各选人，有种不同的选法； 从第一、三组中各选人，有种不同的选法；从第一、四组中各选人，有种不同的选法；从第二、三组中各选人，有种不同的选法；从第二、四组中各选人，有种不同的选法；从第三、四组中各选人，有种不同的选法. 所以不同的选法共有(种)，C错误； 对于D，若不考虑限制条件，每个人都有种选法，共有(种)选法，其中第一组没有人选，每个人都有种选法，共有(种)选法，所以不同的选法有(种)，D正确.] 14.　[满足条件，且的有，，，，，共个； 满足条件，且的有，，，，，共个.所以一共有个.] 15.　[先考虑等边的情况，，有个.再考虑等腰的情况， 若，，此时与等边重复；若，，则，有个；若，，则，有个；若，，则，有个；若，，则，有个；若，，则，有个；故一共有个.] 16.　[根据题意，知红色至少要涂个圆，则红色可以涂个圆或个圆，分种情况讨论： ①若红色涂个圆，则红色只能涂第个圆，此时有种涂法； ②红色涂个圆时，若红色涂第个圆，则有种涂法，若红色涂第个圆，则有种涂法，若红色涂第个圆，则有种涂法，若红色涂第个圆，则有种涂法，若红色涂第个圆，则有种涂法，若红色涂第个圆，则有种涂法，此时共有种涂法. 综上，共有种涂法.] $