分层练 68 用样本估计总体-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦描述统计量与图表分析，覆盖概念辨析、计算应用及综合实践，构建从基础统计量到总体估计的逻辑链条 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|12题|含统计量计算（众数/方差）、图表分析（频率分布直方图）、概念辨析（离散程度统计量）|概念生成（统计量定义）→原理推导（性质与变换）→应用拓展（总体估计）| |能力提升|4题|综合应用（数据比较/实际决策）、跨情境问题（气温/利润估计）|统计量性质→图表信息提取→现实问题建模，体现数据意识与运算能力|

分层练 68 用样本估计总体 【A 级 基础巩固】 1. 给定一组数据5,5,4,3,3,3,2,2,2,1,则这组数据( ) A. 众数为 2 B. 平均数为 2.5 C. 方差为 1.6 D.标准差为 4 2. 演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分,在评定该选手的成绩时, 从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分, 得到 7 个有效评分. 7 个有效评分与 9 个原始评分相比,不变的数字特征是 ( ) A.中位数 B.平均数 C.方差 D. 极差 3. 某机构调查了 10 种食品的卡路里含量, 结果如下: 107,135,138,140,146,175,179,182,191,195. 则这组数据的第 25 百分位数和中位数分别是 ( ) A.138,160.5 B.138,146 C. 138,175 D.135,160.5 4. (多选)下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是 ( ) A. 样本 的标准差 B. 样本 的中位数 C. 样本 的极差 D. 样本 的平均数 5. 若数据 的平均数为 ,方差为 ,则 的平均数和标准差分别为 ( ) A. B. C. D. 6. 某大学共有 12000 名学生, 为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取 1000 名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(注:同一组数据用该组区间的中点值作为代表) ( ) A. 中位数为 6 B. 众数为 10 C. 平均数为 6.88 D. 该校读书不低于 8 本的人数约为 3600 7. (多选)为了解市民对冬奥会体育节目收视情况，随机抽取了 200 名观众进行调查，其中女性占 40%. 根据调查结果分别绘制出男、女观众收看冬奥会系列节目时长的频率分布直方图, 则下列说法正确的是 ( ) 男观众看冬奥会节目时长 女观众看冬奥会节目时长 A. B. 男性观众收看节目时长的众数为 8 小时 C. 女性观众收看节目的平均时长小于男性观众的平均时长 D. 收看节目达到 9 小时观众中的女性人数是男性人数的 8. 2025 年高考某题的第( 1 )问的得分情况如下: 其中得分的众数是_____. 得分(分) 0 1 2 3 4 百分率(%) 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2 9. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力, 随机抽查了 20 名工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图所示, 则: (1)这 20 名工人中一天生产该产品数量在 [55,75) 的人数是_____； (2)这 20 名工人中一天生产该产品数量的中位数为_____； (3)这 20 名工人中一天生产该产品数量的平均数为_____. 10. 某年级 120 名学生在一次百米测试中, 成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间. 将测试结果分成 5 组: [13, 14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图. 如果从左到右的 5 个小矩形的面积之比为 ,那么成绩的 分位数约为_____秒。 11. 自中国进入工业化进程以来,个人的文化水平往往影响或在某种程度上决定了个人的薪酬高低, 文化水平较高的人往往收入较高. 将个人的文化水平用数字表示，记“没有接受过系统学习或自学的成年人”为最低分 25 分，“顶级尖端人才”为最高分 95 分. 为了分析 市居民的受教育程度,从 市居民中随机抽取 1000 人的文化水平数据 ,将样本分成小学 ,初中 ,高中 ,专科[55,65),本科[65,75),硕士[75,85),博士[85, 95]七组,整理后得到如图所示的频率分布直方图. (1)求样本数据的众数和中位数(保留一位小数)； (2)请估计该市居民的平均文化水平. (同组中的每个数据用该组区间的中点值代替) 12. 一次数学知识竞赛中, 两组学生的成绩如下: 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 经计算, 两组的平均分都是 80 分, 请根据所学过的统计知识, 进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀,并说明理由. 【B 级 能力提升】 13. (多选)(2023 ・ 济南联考)球队统计了某篮球运动员在联赛前 9 轮比赛中的得分数据(9 个数据不全相同)，已知该运动员在第 10 轮比赛中的得分恰好为前 9 轮得分的平均数, 则该运动员前 10 轮比赛的得分数据与前 9 轮比赛的得分数据相比，下列说法正确的是 ( ) A. 极差一定不变 B. 平均数一定不变 C. 方差一定变小 D. 中位数一定不变 14. (多选)环境监测部门统计了甲、 乙两个城市去年每天的 AQI(空气质量指数)，数据按照 进行分组得到下面的频率分布直方图，已知 时空气质量等级为优, 则 ( ) 甲 乙 A. 甲、乙两城市 AQI 的中位数的估计值相等 B. 甲、乙两城市 AQI 的平均数的估计值相等 C. 甲城市，AQI 的方差比乙城市 AQI 的方差小 D. 甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多 15. 气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续 5 天的日平均温度均不低于 22 °C”， 现有甲、乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数): ①甲地:5 个数据的中位数为 24，众数为 22； ②乙地:5 个数据的中位数为 27 ，总体均值为 24； ③丙地:5个数据中有一个数据是 32，总体均值为 26，总体方差为10.8 . 则肯定进入夏季的地区的序号为_____. 16. 中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期. 其中宜纸是文房四宝的一种，宜纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宜州管辖，故因地得名宜纸. 宜纸按质量等级分为正牌(优等品)、副牌(合格品)、废品三等. 某公司生产的宜纸为纯手工制作，年产宜纸 10000 刀 (1 刀 张),该公司按照某种质量指标 给宜纸确定等级如下表所示: 的范围 (44,48]U (52,56) (48,52) [0,44]U (56,60] 质量等级 副牌 正牌 废品 在该公司所生产的宣纸中随机抽取了一刀进行检验,得到频率分布直方图如图所示,已知每张正牌宣纸的利润为 15 元,副牌宣纸的利润为 8 元,废品的利润为 -20 元. (1)试估计该公司的年利润； (2)市场上有一种售价为 100 万元的机器可以改进宣纸的生产工艺,但这种机器的使用寿命为一年,只能提高宣纸的质量,不能增加宣纸的年产量. 据调查这种机器生产的宣纸的质量指标 如下表所示: 的范围 频率 0.682 7 0.954 5 其中 为质量指标 的平均值,但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降 3 元/张，请问该公司是否购买这种机器,请你为公司提出合理建议,并说明理由. (同一组的数据用该组区间的中点值作代表). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1. C［由题中数据可得，众数为 2 和 3，故 A 错误；平均数为，故 B 错误；方差，标准差为，故 C 正确，D 错误。］ 2. A［中位数是将 9 个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉 1 个最高分和 1 个最低分，不变的是中位数，平均数、方差均受影响。］ 3. A［将 10 个数据从小到大排列，因为，所以第 25 百分位数为第 3 项 138；中位数为。］ 4. AC［由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选 AC。］ 5. C［因为，，所以，，，的平均数为，标准差为 6. C　[由图知，中位数在内，所以，解得，A错误； 由图知，众数在内，故众数为，B错误； 平均数为，C正确； 由图知，该校读书不低于本的频率之和为，所以该校读书不低于本的人数约为，D错误.] 7. ABC　[由男观众收看冬奥会节目时长的频率分布直方图，得，解得，故A正确； 由男观众收看冬奥会节目时长的频率分布直方图，得男性观众收看节目时长的众数为小时，故B正确； 女性观众收看节目的平均时长为(小时)，男性观众收看节目的平均时长为(小时)，女性观众收看节目的平均时长小于男性观众的平均时长，故正确； 收看节目达到小时观众中，女生人数为，男生人数为，故D错误.] 8. 　[根据众数的定义知，百分率最高的是.] 9. 　[在的人数为. 设中位数为，则，解得. ] 10. 　[设成绩的分位数为， 因为， ，所以， 所以，解得(秒).] 11. 解　 样本数据的众数为. 的频率为， 的频率为， 所以中位数在区间上，中位数为 平均文化水平 12. 解　从不同的角度分析如下： ①甲组成绩的众数为 90 分，乙组成绩的众数为 70 分，甲组成绩好一些，从成绩的众数这一角度看，甲组成绩较好。 ②，同理可得。 因为，所以甲组成绩比乙组的成绩稳定。 ③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是 80 分，其中甲组成绩在 80 分以上 (含 80 分) 的有 33 人，乙组成绩在 80 分以上 (含 80 分) 的有 26 人，从这一角度，甲组成绩总体较好。 ④从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于 90 分的有 20 人，乙组成绩大于或等于 90 分的有 24 人，所以乙组成绩在高分段的人数多，同时，乙组满分比甲组多 6 人，从这一角度看，乙组成绩较好。］ 13. ABC ［由题知，极差一定不变，平均数一定不变，故 A，B 正确； 设前 9 轮得分的方差为，则前 10 轮得分的方差为，所以方差一定变小，故 C 正确； 当且仅当前 9 轮得分的平均数等于中位数时，中位数一定不变，故 D 错误。］ 14. ABD ［A 中，根据两个频率分布直方图，甲、乙两个城市去年冬天的 AQI 的中位数均为125，A 正确；B 中，设甲、乙两城市频率分布直方图中小矩形的高度数值如图所示，则，即，同理，， 甲城市的 AQI 的平均数为，乙城市的 AQI 的平均数为，所以甲、乙两城市 AQI 的平均数估计值相等，B 正确；C 中，由图可知，乙城市 AQI 的数据更集中，即方差更小，C 错误；D 中，由图可知甲城市 AQI 在的频率大于乙城市 AQI 在的频率，甲城市空气质量为优的天数比乙城市空气质量为优的天数多，故 D 正确。］ 15. ①③ ［由统计知识，①甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22，可知①符合题意； ②乙地：5 个数据的中位数为 27，总体均值为 24，当 5 个数据为 19，20，27，27，27 可知其不满足连续 5 天的日平均温度不低于 22℃，所以②不符合题意； ③丙地：5 个数据中有一个数据是 32，总体均值为 26，总体方差为 10.8，若某一天的气温低于 22℃，则此时可取 21℃，总体方差就大于 10.8，所以满足题意。］ 16. 解　(1) 由频率分布直方图得，一刀宣纸有正品(张)，有副牌(张)，有废品(张)， 该公司一刀宣纸的利润的估计值为(元)， 估计该公司的年利润为 520 万元。 (2) 由频率分布直方图，得 。 这种机器生产的宣纸的质量指标如表所示： 的范围 频率 一刀宣纸中正牌的张数估计为， 废品的张数估计为， 副牌的张数为， 一刀宣纸的利润为(元)， 公司改进后该公司的年利润为(万元)。 ，建议该公司购买这种机器。］ $