3.1.1二次根式的概念及性质（课件）2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件围绕二次根式的概念、有意义条件、双重非负性及性质展开，通过“思考”环节从算术平方根导入，搭建新旧知识支架，帮助学生衔接已学内容，系统梳理核心知识点。 其亮点在于结合中考真题与变式题，通过分层练习培养应用意识，易错总结强化运算能力和推理意识，如双重非负性应用及√a²化简题。学生能巩固基础应对中考，教师可高效开展教学。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第3章 二次根式 3.1.1二次根式的概念及性质 2026年8月8日 湘教版数学八年级上册3.1.1二次根式的概念及性质练习题 核心知识点梳理 1. 二次根式的定义：形如$$\sqrt{a}$$（$$a\geq0$$）的式子叫做二次根式，其中$$a$$为被开方数，“$$\sqrt{\ \ }$$”为二次根号。2. 二次根式有意义的条件：被开方数非负，即$$a\geq0$$，若被开方数为负数，二次根式无意义。3. 二次根式的双重非负性：$$\sqrt{a}\geq0$$且$$a\geq0$$，是解题常用隐含条件。4. 基本性质：①$$(\sqrt{a})^2=a\ (a\geq0)$$；②$$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a & (a\geq0) \\ -a & (a<0)\end{cases}$$。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列式子一定是二次根式的是（） A. $$\sqrt{-2}$$ B. $$\sqrt{x}$$ C. $$\sqrt{3}$$ D. $$\sqrt[3]{4}$$ 2. 二次根式$$\sqrt{x-3}$$有意义，则x的取值范围是（） A. $$x>3$$ B. $$x\geq3$$ C. $$x<3$$ D. $$x\leq3$$ 3. 计算$$(\sqrt{5})^2$$的结果是（） A. 5 B. $$\sqrt{5}$$ C. 25 D. $$\pm5$$ 4. 化简$$\sqrt{(-4)^2}$$的结果是（） A. -4 B. 4 C. $$\pm4$$ D. 16 5. 若$$\sqrt{a+2}=0$$，则a的值为（） A. 2 B. -2 C. 0 D. $$\pm2$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 二次根式$$\sqrt{2x-4}$$有意义，则x的取值范围是________。 7. 化简：$$\sqrt{3^2}=$$________。 8. 若$$\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$$有意义，则$$x=$$________。 9. 计算：$$(\sqrt{0.3})^2=$$________。 10. 化简$$\sqrt{(3-\pi)^2}=$$________。 三、解答题（每题12分，共60分） 11. 判断下列式子是否为二次根式：（1）$$\sqrt{10}$$ （2）$$\sqrt{-5}$$ （3）$$\sqrt{x^2+1}$$ （4）$$\sqrt[2]{6}$$ 12. 求下列二次根式有意义的x的取值范围：（1）$$\sqrt{5-x}$$ （2）$$\sqrt{2x+6}$$ 13. 利用二次根式性质计算：（1）$$(\sqrt{11})^2$$ （2）$$\sqrt{(-7)^2}$$ 14. 化简：（1）$$\sqrt{(x+1)^2}\ (x\geq-1)$$ （2）$$\sqrt{(m-2)^2}\ (m<2)$$ 15. 已知$$\sqrt{x-2}+(y+3)^2=0$$，求$$x、y$$的值。 参考答案及解析 选择题：1.C（被开方数为非负数且根指数为2） 2.B（$$x-3\geq0$$） 3.A（$$(\sqrt{a})^2=a$$） 4.B（$$\sqrt{a^2}=|a|$$） 5.B（算术平方根为0则被开方数为0） 填空题：6.$$x\geq2$$ 7.3 8.1（同时满足$$x-1\geq0$$和$$1-x\geq0$$） 9.0.3 10.$$\pi-3$$（$$3-\pi<0$$，去绝对值变号） 解答题：11.二次根式：（1）（3）；不是二次根式：（2）被开方数为负无意义、（4）书写不规范，二次根式无需标注根指数2。12.（1）由$$5-x\geq0$$得$$x\leq5$$；（2）由$$2x+6\geq0$$得$$x\geq-3$$。13.（1）原式$$=11$$；（2）原式$$=|-7|=7$$。14.（1）$$x\geq-1$$，原式$$=x+1$$；（2）$$m<2$$，原式$$=2-m$$。15.由双重非负性得$$x-2=0，y+3=0$$，解得$$x=2，y=-3$$。 易错总结：高频易错点：混淆$$(\sqrt{a})^2$$与$$\sqrt{a^2}$$的用法；忽略二次根式被开方数非负的前提；化简$$\sqrt{a^2}$$不分类讨论、直接去根号出错；不会利用双重非负性解题。解题牢记：有根号先判范围，平方直接还原，开平方先加绝对值。 (1) 2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的? 思考 二次根式的概念及有意义的条件 1 2，3，5 的算术平方根分别为 我们知道：每一个正实数 a 有且只有两个平方根，分别为 和 ，其中 称为 a 的算术平方根. 同时，在实数范围内，负实数没有平方根， 因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 一般地，形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 知识要点 知识点1 二次根式的概念及有意义的条件 1.下列各式中，是二次根式的是( ) A A. B. C.2 D. 返回 举一反三 4 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a 为被开方数或式，为保证其有意义，可知 a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数(或式)非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 归纳总结 5 2.［2024常州中考］若二次根式有意义，则 可取的值是( ) D A. B.0 C.1 D.2 返回 举一反三 6 3.［2024烟台中考］若代数式在实数范围内有意义，则 的取值范围 为______. 返回 举一反三 7 例1 当 x 是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由 x - 1≥0，得 x≥1. 当 x≥1 时， 在实数范围内有意义. 【变式题】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得 x - 1＞0， 所以 x＞1. 典例精析 解：因为被开方数需大于或等于零， 所以 3 + x≥0，所以 x≥-3. 因为分母不能等于零， 所以 x - 1≠0，所以 x≠1. 所以 x≥-3 且 x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零. 归纳 (2)多个二次根式相加：如 有意义的条件： (1)单个二次根式：如 有意义的条件：A≥0； (3)二次根式作为分式的分母：如 有意义的条件： A＞0； (4)二次根式与分式的和：如 有意义的条件： A≥0且B≠0. 归纳总结 对于非负实数a，由于 是 a 的一个平方根，因此 ＝a (a≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件. （a≥0）的性质 2 例2 计算： 解： (2)可以用到幂的哪条基本性质呢？ 积的乘方： (ab)2 = a2b2 典例精析 知识点2 4.式子 成立的条件是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 13 5.计算： （1） ___； （2） __； （3） ___. 6 5 返回 举一反三 14 的性质 2 做一做 填空： (1) ＝ ； (2) ＝ ； (3) ＝ ； (4) ＝ . 由于 a 的平方等于 a²，因此 a 是 a² 的一个平方根，当 a≥0 时，根据算术平方根的意义，有 = a，由此得出： = a ( a≥0). 2 1.2 2 1.2 由于 －a 的平方等于 a²，因此 －a 是 a² 的一个平方根，当 a＜0 时，－a＞0，根据算术平方根的意义，可以得到： = = －a ( a＜0). a (a≥0)， a (a＜0). 综上可得： 即任意一个实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 6.［教材 例2变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 举一反三 17 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 返回 举一反三 18 例3 计算： 解： ，而3.14＜π，要注意 a 的正负性. 注意 例4 计算： (1) ； (2) . 解：(1) ＝|3－π|＝π－3. (2) ＝||＝. 例5 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简： 解：由数轴可知 a＜0，b＞0，a - b＜0， 所以原式= | a | - | b | + | a - b | = - a - b - (a - b) = -2a. a b 知识点3 7.［2024德阳中考］化简： ___. 3 返回 举一反三 21 8.下列计算正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 22 9.如果，那么 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 23 10.［教材 例3变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 举一反三 24 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 返回 举一反三 11.［2024绵阳中考］若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围为 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 26 12.下列式子一定是二次根式的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 27 13.实数，， 在数轴上的对应点的位置如图所示，试化简： . 解：由数轴可知，,, ， 所以原式 . 返回 举一反三 28 14.已知 . 解：由题意,得，，解得，所以 . （1）求式子 的值； [答案] . （2）求式子 的值. [答案] . 返回 举一反三 29 二次根式 二次根式的概念 二次根式的表示 二次根式有意义的条件 被开方数≥0 → 性质 应用 课堂小结 谢谢观看 THANKS $