第二章 有理数的运算（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦七年级上册第二章有理数运算，以《九章算术》、电商直播、三进制芯片等文化与现实情境为载体，通过基础-能力-创新三级梯度设计，全面考查抽象能力、运算能力与推理意识，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|倒数、科学记数法、数轴|第3题以脱贫攻坚数据考科学记数法，体现应用意识| |填空题|6/18|新定义运算、进制转化|15题结合《易经》结绳计数考五进制转化，渗透文化传承| |解答题|9/72|数形结合、分类讨论|24题设计“n格距点”问题，培养模型意识与推理能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数的运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数．的倒数是（    ） A． B． C． D．2026 2．下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 3．脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫；粮食年产量连续五年稳定在一万三千亿斤以上．5575万这个数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知四个数：，，，，其中正数的个数是 （   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 8．若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：_______ 12．若，则 ______． 13．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 14．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____． 15．《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 16．数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 19．对于有理数 a ，b 定义一种新运算，规定． (1)求的值； (2)求的值． 20．图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 21．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是________． (2)受（1）的启发，试求出的值． (3)进而计算：________． 22．在数轴上标出表示下列各数的点． 0，，3.75，，，， (1)在数轴上表示出以上各数，并用“＜”把下列各数连接起来． (2)将上述的有理数填入图中相应的圈内． (3) 23．探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 24．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 25．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】已知有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都为正数，即时， ； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， ． 综上所述，的值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，是不为的有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时，求的值； (3)已知，，是有理数，，，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章有理数的运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数.-2026的倒数是() A.2026 B.-2026 C.-2026 D.2026 2.下列各组数中，数值相等的是() A.（-2y和-2B.+(+2)和+(-2)C.(-2)和(+2)）D.(-2}和-2} 3.脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫；粮食年产量连续五年稳定在一万三千亿斤以 上.5575万这个数用科学记数法表示为() A.55.75×103 B.0.5575×10 C.5.575×108 D.5.575×107 4.下列计算正确的是（) A.（-3列+(-2)=-1 B.-2-23=-8 C.1-3×(-5)=16 22 5.有理数a4,b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是() -2b-10a1 A.a+b>0 B.a-b<0 C.ab0 D.a 6.已知四个数：()，上4，-(1.5)，3，其中正数的个数是《) A.1 B.2 C.3 D.4 7.有50张同样的卡片，上面分别写有1,2,3，···，49,50.从中随机抽取五张，并将它们正面向 下放置在桌上.如图，这五张卡片编号分别记为A,B,C,D,E,相邻两张卡片上的数的和如下表所示， 则卡片上的数最大的编号记为() 117 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A D a.c 卡片编号 A,B B,C C,D D,E A,E 两数的和 71 48 54 66 59 A.D B.C C.B D.A 8.若”r是一种数学运算符号，并且1=1,21=2x1,3别=3×2x1,41=4×3×2×1,,且公式C“的值 n(n-1)(n-2)(n-m+1 为 m! ,则C+C的值为() C A B C C. D. 9.“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效 10110, 率.二进制数的组成数字为0,1，二进制数转化为十进制数： 101102=1×24+0×2+1×22+1×2+0×2°=2 2.三进制数的组成数字为0.1,2，三进制数21山转化为十 2113=2×32+1×3+1×3°=22 1110 进制数： .将二进制数 “化为三进制数为() 1023 B101, c1, 1123 D. 10.定义一种对正整数n的“P'运算：①当n为奇数时，结果为3n+5;②当n为偶数时，结果为2，其 中k取使2为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取n=26时，则有： F② F① F② 26 13 44 第一次 第二次 第三次 ，将n=49进行2025次“P运算”的 217 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结果是() A.19 B.31 C.62 D.98 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.计算 卜8-(-2)= 12.若m-n++n-3=0 则m”= 13。定义一种新运算“※”：对于任意有理数“、b,都有 a※b=(a-b)2+ab 2※1=(2-1)2 ,例如： +2×1=3 (-5)※3 .则 的计算结果为」 1 14.如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，-2,3,3，a,b,相对面上的两个数互 为倒数，则ab= 1 3 -2 a 3 6 15.《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”·一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数， 如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的 绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1 得来.根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数 量为 条 16.数轴上点A表示的数为3，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点 C表示的数为 317 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.计算： 1-3+7x24 (1)八812月 a-(-26引 18.当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销。小明把自家种的柚子进行直播销售， 计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负.下表是小明第一周柚子的销 售情况： 星期 四 五 六 ◇ 与计划量的差值（单位：千克） +4 -3 -5 +12 -7 +12 +8 ()小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由 (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为3.4元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子 的收益一共多少元？ l9.对于有理数a,b定义一种新运算，规定a田b=a2-ab. 0求3)©2 “的值； 2求-2)(3®) 的值、 20.图是一个计算程序. 32 4 8 -61 ()按照顺序计算并填写其中的“”，并在下面横线上列出综合算式； 417 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合算式： (仅列算式无需计算)； ②四计第：5-8÷×-2 4 21.数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学 问题.如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片 面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推。 ② ③ ① 5 (1)阴影部分的面积是」 111 ②)受(1)的启发，试求出2十2+2++25的值。 111 1 (3)进而计算：2+27+2+…+ 2100 22.在数轴上标出表示下列各数的点. 0235,-13那（←.5号 (I)在数轴上表示出以上各数，并用，“<”把下列各数连接起来. 9876内4321012345> (2)将上述的有理数填入图中相应的圈内， (3) 。年年布布 年车年 负数集合 整数集合 正数集合 23.探究有规律分数的求和方法一一裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数)，6,2,20,30，…，尝试分析其规律并解决相关问题。 1 (1)根据规律，第8个数是一，156是第一个数： 517 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 =1- 1111111 (2)我们知道：1×212,2×323,3×434，…，那么：用含有加的式子表示你发现的规律 【方法应用】 1+1+1+1+1 x2T2×3+3x4+45+5=1-1±1-1+1-1士1-1+11 223344561-3 6。·这种方法叫“裂项相消”， 构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉。 11 (3)运用上述经验完成下面的计算：1x2十2×3十3x4++ 一十 2023×20242024×2025· 24.如图，数轴上点A表示的数是-2，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存 在一点P,使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n,则称点P为点A、B的“格距点”， 例如：在图1中，点P表示的数是-1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+4=5，则称点P 为点A、B的“5格距点”. B 43201245→ 图1 A B 42024→ 备用图 (1)若点P表示的数是2，则n的值为， (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有一个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的 “n格距点”，求点P表示的数及n的值. 25.在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思 想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题. 因yE 【提出问题】已知有理数x,y,z满足2>0，求xyz的值. 【解决问题】解：由题意，得x,y,z三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数. ①当x,y,z都为正数，即×>0，y>0,2>0时， 617 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y以+☒=x+y+2=1+1+1=3 x y Z x y Z ②当x,’,z中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设×>0，y<0,2<0, xy+区_+-y+2=1+(-1)+(-10=-1 x y z x y Z 因+凶+回 综上所述，xyz的值为3或-1. 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： ,bl_ (1)已知x,y是不为0的有理数，当=-y时，xy- x y Z (②)已知x,y,z是有理数，当z<0时，求闪的值： y++刘 (3)已知x,y,z是有理数，x+y+z=0,z<0,求xy的值. 717 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数的运算·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C D C A B D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．49 14．/ 15． 16．或或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解： ， ；............3分 （2）解： ．............6分 18．(1) 解：达到了 理由如下： （千克）． 因为，所以小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量．............3分 （2）解：小明本周销售量为：（千克） 本周总收益为：（元） 答：小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量，销售柚子的收益一共元．............6分 19． 【详解】（1）解：∵ ∴ ；............3分 （2）解： ．............6分 20． 【详解】（1）解：；；综合算式：............3分 （2）解： ．............6分 21． 【详解】（1）解：根据题意可得，阴影部分面积占总面积的比例为： ， 阴影部分的面积是：， 故答案为：；............2分 （2）解：根据题意可得： ；............5分 （3）解：根据题意可得： ， 故答案为：．............8分 22． 【详解】（1）解：在数轴上表示如图所示： ．............4分 （2）解：如图所示： ............4分 23． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， … 第8个数：； 是第个数， 故答案为：；．............2分 （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律：， 故答案为：．............5分 （3） ．............8分 24． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为2，点A表示的数是，点B表示的数是3， ∴点P到点A的距离为4，到点B的距离为1， ∴点P到点A的距离与点B到点的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5．............2分 （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段AB上， ∴整点P所表示的数是，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6．............4分 （3）解：∵点P到点B的距离为1， ∴点P表示的数为2或4， ①当点P表示的数为2时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； ②当点P表示的数为4时，点P到点A的距离为，到点B的距离为， 点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； 点P表示的数为2或4，或7．............8分 （4）解：①当P在之间时，，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，点P表示的数为：，此时． 点P表示的数为或，或15．............12分 25． 【详解】（1）解：∵，且，是不为0的有理数， ∴，即，异号， 不妨设，， ∴， 故答案为：0；............4分 （2）解：，且，，是有理数， ∴，，三个有理数均为负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当，，三个有理数均为负数时，即，，， ∴原式 ； ②当，，中一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， ∴原式 ； 综上所述，的值为1或；............8分 （3）解：∵，，且x，y，z是有理数， ∴x，y，z中一个为负数，另两个为正数， ； ①当x，y均为正数，即时， ∴原式＝ ②当x，y一正一负时，不妨设， 原式＝； 综上所述，的值为0或2．............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数的运算·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数．的倒数是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【详解】解： 的倒数是． 2．下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】注意乘方运算中括号对底数的影响，准确计算各选项数值． 【详解】解：A选项：，，数值相等，符合题意； B选项：，，数值不等，不符合题意； C选项：，，数值不等，不符合题意； D选项：，，数值不相等，不符合题意． 3．脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫；粮食年产量连续五年稳定在一万三千亿斤以上．5575万这个数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：5575万． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算. 根据运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的，逐一计算后判断即可. 【详解】解： A.，A错误； B.，B错误； C.，正确； D.，D错误； 故选：C. 5．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴确定有理数a、b的取值范围，再依据有理数的加减法、乘除法运算法则判断各式的正负性． 【详解】由数轴可知：，， ∴，，，， 综上所述，结论正确的是D． 6．已知四个数：，，，，其中正数的个数是 （   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方．根据乘方运算法则、绝对值性质、相反数的定义逐一计算，再根据正数大于0即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴是正数 ∵，， ∴是正数 ∵，， ∴是正数 ∵，， ∴是负数 ∴正数共有3个， 故选：C． 7．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【答案】A 【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可． 【详解】解：由题意得：，，，，， 将以上五式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，即， ∴卡片上的数最大的编号记为D． 8．若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意可得： = ． 9．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不同进制之间的转换，解题思路为先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数通过除3取余法转换为三进制数，即可得到结果 【详解】解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为 ∴将转换为十进制数得： 即对应的十进制数为14， 接下来将十进制数14转换为三进制，使用除3取余法： ，余数为2； ，余数为1； ，余数为1； 将所得余数倒序排列，得到三进制数为 10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：_______ 【答案】 【详解】解：． 12．若，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都为零，从而求出和的值，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得，， ， 故答案为：． 13．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 【答案】49 【详解】解：由题意得，． 14．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查倒数． 根据倒数的定义，可得1，，3，，，的乘积，即可得． 【详解】解：∵正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由图可得， ， ∴他一共捞得的鱼的数量为条， 故答案为：． 16．数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 【答案】或或 【分析】利用两点间的距离公式可以知道点表示的数为或，再由点C到点B距离为2（点C不在原点上），可得答案． 【详解】解：数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5， 点表示的数为或， 点C到点B距离为2（点C不在原点上）， 点C表示的数为（舍去）或或或． 综上，点C表示的数为或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据乘法分配律计算即可； （2）先算乘方，同时去绝对值，然后算乘法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 18．当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 【答案】(1) 解：达到了 理由如下： （千克）． 因为，所以小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量． (2)元 【分析】（1）计算，与０比较，求解即可； （2）根据总收益＝周销售量乘以每千克的净利润，求解即可； 【详解】（1）略； （2）解：小明本周销售量为：（千克） 本周总收益为：（元） 答：小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量，销售柚子的收益一共元． 19．对于有理数 a ，b 定义一种新运算，规定． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)15 (2)16 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，解题的关键是熟练掌握新定义． （ 1）根据新定义， 以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）首先根据新定义， 以及有理数的混合运算的运算方法，先求，再计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解： ． 20．图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 21．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是________． (2)受（1）的启发，试求出的值． (3)进而计算：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了乘方的应用，根据所给图形发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题意，阴影部分的面积占正方形总面积的，于是得解； （2）的和，可以看成是部分的面积总和，它等于总面积减去阴影部分面积，于是得解； （3）阴影部分面积占总面积的，总面积减去阴影部分面积，就等于，于是得解． 【详解】（1）解：根据题意可得，阴影部分面积占总面积的比例为： ， 阴影部分的面积是：， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ； （3）解：根据题意可得： ， 故答案为：． 22．在数轴上标出表示下列各数的点． 0，，3.75，，，， (1)在数轴上表示出以上各数，并用“＜”把下列各数连接起来． (2)将上述的有理数填入图中相应的圈内． (3) 【答案】(1)，数轴表示见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了有理数的分类，化简绝对值，有理数的乘方，有理数的大小比较，在数轴上表示有理数，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据有理数在数轴上对应的点，然后根据数轴即可比较大小； （2）根据正数、整数、负数的定义即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示如图所示： ． （2）解：如图所示： 23．探究有规律分数的求和方法——裂项相消应用 【规律探寻】 观察一组数，，，，，…，尝试分析其规律并解决相关问题． （1）根据规律，第8个数是______，是第______个数； （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律______； 【方法应用】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． （3）运用上述经验完成下面的计算：． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数四则混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）将分母写成两个连续整数的积的形式即可找出规律； （2）从前面几个式子中找出规律，用n表示即可； （3）利用拆项求求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， … 第8个数：； 是第个数， 故答案为：；． （2）我们知道：，，，…，那么：用含有n的式子表示你发现的规律：， 故答案为：． （3） ． 24．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)点P表示的数为2或4，或7 (4)点P表示的数为或，或15 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点P到点A的距离与点B到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点P在线段上，从而得出整点所表示的数； （3）由题意可求出点P表示的数是2或4，进而即可求出n的值； （4）分两种情况讨论：当P在之间时，，点P表示的数为，此时；当P在点A左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为2，点A表示的数是，点B表示的数是3， ∴点P到点A的距离为4，到点B的距离为1， ∴点P到点A的距离与点B到点的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5． （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段AB上， ∴整点P所表示的数是，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6． （3）解：∵点P到点B的距离为1， ∴点P表示的数为2或4， ①当点P表示的数为2时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； ②当点P表示的数为4时，点P到点A的距离为，到点B的距离为， 点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，此时； 点P表示的数为2或4，或7． （4）解：①当P在之间时，，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，点P表示的数为：，此时． 点P表示的数为或，或15． 25．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】已知有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都为正数，即时， ； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， ． 综上所述，的值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，是不为的有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时，求的值； (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)0 (2)1或 (3)0或2 【分析】（1）根据绝对值的意义及有理数乘法运算法则确定，异号，然后根据绝对值的意义进行化简即可； （2）根据有理数乘法运算法则判断，，的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论即可； （3）根据有理数加法和乘法运算法则判断，，的符号，然后根据绝对值的意义进行化简即可． 本题主要考查了绝对值的性质，有理数的混合运算，运用分类讨论的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，且，是不为0的有理数， ∴，即，异号， 不妨设，， ∴， 故答案为：0； （2）解：，且，，是有理数， ∴，，三个有理数均为负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当，，三个有理数均为负数时，即，，， ∴原式 ； ②当，，中一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， ∴原式 ； 综上所述，的值为1或； （3）解：∵，，且x，y，z是有理数， ∴x，y，z中一个为负数，另两个为正数， ； ①当x，y均为正数，即时， ∴原式＝ ②当x，y一正一负时，不妨设， 原式＝； 综上所述，的值为0或2． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $