第三章函数的概念与性质单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版必修一第三章函数的概念与性质单元卷，适用于单元复习，覆盖幂函数、定义域、单调性等核心知识点，通过基础巩固与能力提升题梯度设计，培养抽象能力、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选题|8|幂函数定义（1）、定义域（2,8）、函数图像识别（6）|基础概念辨析，强化抽象能力| |多选题|3|偶函数单调性（10）、函数性质综合（9）|多维度性质判断，发展推理意识| |填空题|3|单调区间（12）、幂函数求值（13）|简洁考查关键能力，提升应用意识| |解答题|5|单调性证明（15,17）、函数解析式求解（16,19）|过程性评价，深化逻辑推理与数学表达|

高中数学人教A版必修一第三章函数的概念与性质 一、单选题 1．下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 2．函数的定义域为（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．函数在上的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 5．若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 7．已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 8．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．且， B．函数在定义域内是减函数 C．当时，的值域为 D．的图象关于对称 10．已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（   ） A． B． C． D． 11．已知函数的图象经过点，，则（    ） A． B． C．曲线关于轴对称 D．不等式的解集为 三、填空题 12．函数的单调递减区间是______． 13．若函数是幂函数，且，则______． 14．已知函数，若，则______． 四、解答题 15．已知. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 16．求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 17．已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 18．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若，用定义法证明函数在上单调递增． 19．求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知为二次函数，且，求． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一第三章函数的概念与性质 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B D B D D AC BC 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 2．D 【分析】根据题意得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得或， 则其定义域为或. 故选：D. 3．D 【分析】根据已知条件求出的解析式，利用幂函数的单调性即可判断选项. 【详解】由于点在幂函数的图象上，所以在上单调递减． 由于，所以， 又，所以， 所以，即 故选：D 4．B 【分析】由对勾函数的单调性求解. 【详解】由对勾函数的单调性知, 函数在上单调递增， 所以． 故选：B 5．D 【分析】利用函数奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以，所以是奇函数． 由， 可知函数在定义域上单调递减． 又即，即， 则，解得． 故选：D. 6．B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 7．D 【分析】利用配凑法，用解析式中的换成，可求的解析式. 【详解】因为函数满足， 所以. 故选：D. 8．D 【详解】根据函数的解析式有意义需满足的条件，解不等式组，即得答案． 函数要有意义，需满足， 解得且，即函数的定义域是， 故选：D． 9．AC 【分析】对于A，直接验算即可；对于B，由复合函数单调性即可判断；对于C，由函数单调性即可验算最值；对于D，根据函数平移变换法则结合反比例函数的对称中心即可验算. 【详解】A，函数中，若且，则，正确； B，函数在上单调递减，在定义域内不单调，错误； C，由选项B知，当时，，即，正确； D，函数的图象可以由的图象向左平移1个单位长度， 再向下平移1个单位长度得到， 函数图象的对称中心为，因此的图象关于对称． 故选：AC. 10．BC 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：，是偶函数，定义域为， 因为幂函数，由于幂指数，所以在上单调递减，A不满足题意； 选项B：，是偶函数，定义域为， 由二次函数的图象与性质得在上单调递增，B正确； 选项C：，是偶函数，定义域为， 当时，，则在上单调递增，C正确； 选项D：，则定义域为，不是偶函数，D不满足题意； 故选：BC 11．AC 【分析】代入点坐标，解方程组可得函数解析式，再利用定义法可判断函数的奇偶性，再根据复合函数单调性的判断方式可判断函数单调性，进而可判断各选项. 【详解】由题意可得，，解得，故选项A正确，选项B错误； 由前面计算可知，其定义域为关于原点对称， 且， 为偶函数，即曲线关于轴对称，故选项C正确； 由复合函数单调性可知在区间上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得，解得，故选项D错误； 故选：AC. 12． 【分析】根据绝对值的性质作出函数图象，即可得函数单调区间. 【详解】函数的图象即为的图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变， 据此可得函数的图象，如图所示： 由图可知函数的单调递减区间是. 故答案为：. 13．64 【分析】由题意求得，代入即可得解. 【详解】设，由，得，解得，所以，所以． 故答案为：64. 14．0 【分析】根据求得的值，再代入求值即可. 【详解】因为，所以，解得，则， 所以. 故答案为：0. 15．(1)增函数，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数的单调性，即可得到最值. 【详解】（1）在上是增函数.证明如下： 任取，且， ， ， ， 函数在上是增函数. （2）由（1）知函数在上是增函数. 所以最大值为，最小值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用换元法进行求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）已知，， 令，，则，代入上式得， 即. （2）设， 由，得， 由， 得， 整理得， 所以，所以， 所以. 17．(1)证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 18．(1)实数的值为 (2)证明:任取， 则有， 因为，所以， 所以，即. 故函数在上单调递增. 【分析】（1）由偶函数的性质可得，代入化简后即可求解. （2）由函数单调性的定义，设，通过作差证明，即可得证. 【详解】（1）由已知函数在上是偶函数， 则有，即， 即，即， 又时均成立，解得. 于是实数的值为. （2）由已知得，解出，则. 证明如下： 任取， 则有， 因为，所以， 所以，即. 故函数在上单调递增. 19．(1) (2)． 【分析】（1）令，求出后代入即可得； （2）设，代入已知等式，由恒等式知识求解． 【详解】（1）令，则， 于是有，所以； （2）设， 所以，解得，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $