专题01 与绝对值有关的化简问题（五大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级上册

**基本信息** 以绝对值四大核心（代数定义、零点分段、非负特性、数轴几何距离）为统领，构建从基础到压轴的系统化化简训练体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|明确两条底线原则（判定正负、分类不重漏）|从概念本质（绝对值定义）到通用法则，奠定方法基础| |题型归纳|5题型（每题型含2例+3变式）|数轴信息判断法、非负性求值法、方程分类解法、零点分段讨论法、几何距离转化法|按“具体情境→抽象应用→综合拓展”递进，形成“定义→性质→应用”逻辑链| |压轴挑战|12道综合题|多方法融合（如分类讨论+几何意义）|整合前序方法解决复杂问题，提升创新意识与应用能力|

专题01 与绝对值有关的化简问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用数轴信息化简绝对值 题型二、非负性化简绝对值 题型三、求解绝对值方程 题型四、分类讨论化简绝对值 题型五、借助绝对值几何意义求值化简 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 绝对值相关题型是初中代数重难点，所有题型均围绕绝对值代数定义、零点分段、非负特性、数轴几何距离四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是恒成立，去绝对值必须先判定内部代数式正负，二是分类讨论需覆盖全部零点区间，不重不漏 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用数轴信息化简绝对值 题型模版 1.特征：题干给出数轴图像，标注各字母对应点的位置、左右关系、距离原点远近，可直接判断字母正负、代数式加减的正负性，要求去掉绝对值符号并化简整式。 2.方法：先根据数轴位置判断绝对值内部式子的正负，右正左负、大数减小数为正、小数减大数为负；正数直接去掉绝对值，负数去绝对值后整体变相反数，最后去括号、合并同类项，全程核对符号避免出错。 【例1】已知数，在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；② ；③；④ ． A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ； ∵， ∴， ∴正确的有③④； 故选：B ． 【例2】有理数a，b，c在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴易得，，； 原式； ； ． 故选：A． 【变式1-1】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的值为（　　） A．c B． C．0 D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：，， ∴、、， ∴ ． 故选：A 【变式1-2】如图，数轴上的三点，，分别表示有理数，，，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：由数轴可知， 即， 所以 ． 故选：A． 【变式1-3】如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，且原点为，根据图中各点位置，则下列选项不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：根据数轴得，，，，， A、，所以，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意． D、，所以，所以，故本选项符合题意； 故选：D． 题型二、非负性化简绝对值 题型模版 1.特征：题干出现绝对值、平方、算术平方根两两或多个相加和为0的形式，利用非负数性质求出字母取值，再代入含绝对值的代数式进行化简求值。 2.方法：依据初中非负性核心结论，若干个非负数相加为0，则每一项均为0；依次列方程求出所有字母的值，代入目标式子后判断绝对值内正负，规范去绝对值化简，最终结果务必最简。 【例3】若a、b为整数，且，则的值有（   ）种可能的结果． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵a、b为整数，且，， ∴或， ∴或或或， ∴或或或； 故共有4种等可能的结果． 【例4】若，，且，则（   ） A．3 B．7 C． D．3或7 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，； 当时，； 故选：D． 【变式2-1】对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．当时，，则，故A选项不符合题意； B．当时，，故B选项不符合题意； C．，则，不可能为0，故C选项符合题意； D．当时，，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握任何数的绝对值都是非负数，两个非负数的和一定为非负数． 【变式2-2】如果，那么的值为 _____． 【答案】 【详解】， ， ，， 解得，， ． 故答案为：． 【变式2-3】 若点在数轴上对应的数分别为满足．求的值分别是多少？ 【答案】的值分别是，，． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，． 【点睛】此题考查了绝对值非负性，正确理解几个非负数的和等于，则每一个算式都等于进行列式是解题的关键． 题型三、求解绝对值方程 题型模版 1.特征：方程中含有单层或多层绝对值结构，未知数包含在绝对值内部，需要通过绝对值性质求解未知数的值，部分题目存在多解、无解情况。 2.方法：先将绝对值整体单独分离在等式一侧，根据绝对值定义：正数的绝对值有正负两解，0的绝对值仅有一解，负数无实数解；分类列出方程求解，所有解必须代入原方程检验，舍去增根。 【例5】方程的解是（    ） A． B．负整数 C．负数 D．非正数 【答案】D 【详解】解：∵，并且， ∴， 即， ∴方程的解为非正数， 故选：D． 【例6】已知，求的值． 【答案】的值为7或13 【详解】解：的几何意义是数轴上表示数m和2两点之间的距离． 当m在2的左侧，即时，，解得：， 此时； 当m在2的右侧，即时，，解得：， 此时； 综上所述，的值为7或13． 【变式3-1】若，那么x的值为（    ） A． B．7 C．或6 D．或7 【答案】D 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故选：D． 【变式3-2】若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴. 【变式3-3】若关于x的方程有三个整数解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】解：由题意得或， 即或， 因为方程有解，所以， 当时，， 故方程总有两个不同的解， 若原方程有三个整数解，则方程必须只有一个解，因此，解得， 将代入检验，解为，符合题意。 故选：C． 题型四、分类讨论化简绝对值 题型模版 1.特征：题干未给出数轴、未限定字母取值范围，绝对值内含含未知数的多项式，无法直接判断正负，必须分区间讨论才能去绝对值化简。 2.方法：先令绝对值内部代数式等于0，求出零点分界值；依据零点划分所有取值区间，在每个区间内判定式子正负，分段去绝对值化简，最后整合所有情况，做到分类不重不漏、结果完整。 【例7】已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 【答案】A 【详解】解：∵， ∴a、b、c有1个负数或3个负数． ∵， ∴a、b、c只有1个负数， ∴，，， 当时，，时， ， 当时，，时， ， 当时，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴， 即x的最大值与最小值的乘积为． 故选：A． 【例8】若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，或， 当，时，； 当，时，． 综上，的值是1或． 【变式4-1】如果a、b、c是非零实数，且，那么的值为_____． 【答案】 【详解】解：∵，a、b、c均不为0， ∴a、b、c两正一负或两负一正，，，， ∴． ①当a、b、c两正一负时， 原式； ②当a、b、c两负一正时， 原式； 综上，原式的值为． 【变式4-2】已知，那么______． 【答案】2或或0 【详解】解： ， 分四种情况讨论： ①当，时， ； ②当，时， ； ③当，时， ； ④当，时， ； 综上，的值为2或0或． 【变式4-3】规定：，，例如，，则式子的最小值是_____． 【答案】 【详解】∵， ∴， ∵可以看作数轴上表示数的点与表示数和之间的距离之和， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 题型五、借助绝对值几何意义求值化简 题型模版 1.特征：题干出现多个绝对值相加、求最值、求取值范围等复杂题型，常规代数化简计算量大，可利用数轴距离的几何意义快速解题。 2.方法：明确|x-a|表示数轴上点x到点a的距离，将绝对值代数式子转化为数轴上的距离问题；结合中点、区间最值规律判断取值情况，直接求出式子最值或对应未知数取值，最后代数验证结果正确性。 【例9】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点距离记作： (1)数轴上表示和3的两点和之间的距离是______；如果，那么为______； (2)当满足条件______时，取最小值，最小值是______； (3)当满足条件______时，取最小值，最小值是______； (4)的最小值是______； (5)的最小值是______． 【答案】(1)；5或 (2)；4 (3)；10 (4)4 (5) 【分析】 【详解】（1）解：， ， ， 或； 故答案为：；5或； （2）解：表示x到，3这两个数的距离的和， 当时，到这两个数的距离的和最小， 最小值为； 故答案为：；4； （3）解： 表示到，，3这三个数的距离的和， 当取中间数时，到三个数的距离的和最小， 最小值为； 故答案为：；10； （4） 同理（3）得：当时，取最小值4， （5）解： 同理（3）得：当时，， 即的最小值是． 【例10】材料一：我们知道，在数轴上，表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地来说，数轴上两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，那么A、B两点之间的距离为：． 材料二：若对于有理数x，a，b满足，则我们称x是关于a，b的“整十数”．例如：，∴5是关于2和的“整十数”． (1)若，则_________． (2)若m是关于2，6的“整十数”，则_________； (3)数轴上有两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，且它们在5的同侧，当5是关于a，b的“整十数”时，求的值． 【答案】(1)； (2)或9； (3)或； 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴，或（不符合题意舍去）， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵m是关于2，6的“整十数”， ∴， ①当时， ，解得：， ②当时， ，无解， ③当时， ，解得：， 故答案为：或9； （3）解：由题意可得， ， 当a，b在5的左边时， ，解得：， 当a，b在5的右边时， ，解得：， ∴的值是或； 【点睛】本题考查绝对值的运用，解题的关键是读懂题目中的新定义整十数． 【变式5-1】若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 【答案】 5或1 6 【分析】 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或， ∴或1； 故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 【变式5-2】如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______； (3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)6或2 (3)8， (4) 【分析】 【详解】（1）∵数轴上有两个点，分别表示有理数， ∴数轴上点到点的距离为； ∴数轴上到点的距离相等的点的位置表示的有理数为； 故答案为：； （2）根据题意， ， 解得：或 故答案为：6或2 （3）∵表示数轴上x到3两点之间的距离，表示数轴上x到两点之间的距离， 由图可知， 当或时，， 当时， ∴式子的最小值为8，此时x的取值范围为； 故答案为：8， （4）， 当式子的最小值为8时，有最大值； 此时 的最大值为 【变式5-3】在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． 【答案】(1)，3 (2)，8 【分析】 【详解】（1）解：表示在数轴上代表x的点到数字“”的距离， 表示在数轴上代表x的点到数字“2”的距离， 则表示在数轴上代表x的点到数字“”和“2”的距离之和， 所以，当代表x的点在数字“”和“2”之间， 即时，此距离之和最小，且最小值为3； 故答案为：，3； （2）解：∵看成数轴上数x到数a的距离， ∴式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小， ∴当时，有最小值8， 故答案为：，8． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知有理数a，b同号，则的值为（     ） A．0 B． C．或2 D．0或2 【答案】D 【详解】解：∵有理数同号， ∴分两种情况讨论：①当，时，，，， ∴； ②当，时，，，， ∴； 综上，原式的值为或． 2．如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】 【详解】解：根据绝对值的意义，当时，取得最小值，值为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 【答案】 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． 4．若，则________． 【答案】 【详解】解：∵， 而，，， ∴，，， 解得，，， ∴． 5．若，且，则的值为___________． 【答案】或 【详解】解：，， ，， ， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； 的值为或． 6．当______时，的最小值是______． 【答案】 【详解】根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 因此表示点到，，三点的距离之和， 将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小， 将代入原式． 7．已知x、y、z是非零有理数，有以下结论： ①的值为0或； ②当时，的值为； ③当，时，的值为或； ④当时，的值为0． 其中结论正确的是________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】 【详解】解：①当x和y同为正时，原式， 当x和y同为负时，原式， 当x和y为一正一负时，原式， 故结论正确； ②当时，则，x和y为一正一负， 若x正y负，， 若x负y正，， 故结论正确； ③当，时，则x，y，z中必有一负两正，可设z为负， ∵，，， ∴； 故结论错误； ④当时，则x，y，z为一正两负或一负两正， 当为一正两负时，可设z为正，， 当为一负两正时，可设z为负，， 故结论正确． 故答案为：①②④． 8．代数式的几何意义是“数轴上x所对应的点与 2所对应的点之间的距离，求的最小值是5，则__________ ． 【答案】或 【详解】解：代数式表示数轴上点x与点、点、点2之间的距离之和，当取点、点、点2中间点的时候，代数式有最小值， 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时，此方程无解； 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； 综上，a的值是或． 故答案为：或． 9．有理数、、在数轴上的位置如图所示，则化简 【答案】 【详解】解：由图可知，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ． 10．已知，且，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴a、b同号，则，或，， ∴或， 故的值为． 11．阅读理解：数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题． 数轴上，若A，B两点分别表示数a、b，那么A，B两点之间的距离与a，b两数的差有如下关系：或、如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离． 问题（1）数轴上表示1和的两点之间的距离是________， 问题（2）已知，则________； 问题（3）当a满足________时，则的值最小，最小值是________； 问题（4）若的最小值是5，求a的值． 问题（5）当________时，的最小值是________； 【答案】（1）；（2）或；（3）；8；（4）或；（5）2； 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：4； （2）解：由题意得，表示的是数轴上表示数a的点到表示数的点的距离为4， ∴当数a在数的左侧时，，当数a在数的右侧时，， ∴a的值为或， 故答案为：或； （3）解：设数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为，点C表示的数为3，则， ∵表示的是点A到点B和点A到点C的距离之和， ∴， 当点A在点B左侧时，， 当点A在点B和点C之间（包括点B，点C）时，则， 当点A在点C右侧时，则， ∴当点A在点B和点C之间（包括点B，点C）时，有最小值，最小值为8， ∴当时，的值最小，最小值为8， 故答案为：；8； （4）解：当时，由（3）可知，当时，有最小值，最小值为， ∵的最小值为5， ∴， ∴； 当时，由（3）可知，当时，有最小值，最小值为， ∵的最小值为5， ∴， ∴； 综上所述，a的值为或； （5）解：由（3）可得，当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当，即时，有最小值，最小值为0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为． 12．阅读下列解题过程并解答类似的题目． 解方程： 解：由，得 ①若，得 ②若，得 所以原方程的解是或 (1)解方程 (2)若方程的解也是方程的解，求m的值 【答案】(1)或 (2)m的值是或 【分析】 【详解】（1）解：由得， ①若，则； ②若，则 所以原方程的解是或． （2）解：由，得， ①若，则； ②若，则． 所以的解是或． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以m的值是或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与绝对值有关的化简问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用数轴信息化简绝对值 题型二、非负性化简绝对值 题型三、求解绝对值方程 题型四、分类讨论化简绝对值 题型五、借助绝对值几何意义求值化简 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 绝对值相关题型是初中代数重难点，所有题型均围绕绝对值代数定义、零点分段、非负特性、数轴几何距离四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是恒成立，去绝对值必须先判定内部代数式正负，二是分类讨论需覆盖全部零点区间，不重不漏 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用数轴信息化简绝对值 题型模版 1.特征：题干给出数轴图像，标注各字母对应点的位置、左右关系、距离原点远近，可直接判断字母正负、代数式加减的正负性，要求去掉绝对值符号并化简整式。 2.方法：先根据数轴位置判断绝对值内部式子的正负，右正左负、大数减小数为正、小数减大数为负；正数直接去掉绝对值，负数去绝对值后整体变相反数，最后去括号、合并同类项，全程核对符号避免出错。 【例1】已知数，在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；② ；③；④ ． A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【例2】有理数a，b，c在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的值为（　　） A．c B． C．0 D． 【变式1-2】如图，数轴上的三点，，分别表示有理数，，，化简（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，且原点为，根据图中各点位置，则下列选项不正确的是（     ） A． B． C． D． 题型二、非负性化简绝对值 题型模版 1.特征：题干出现绝对值、平方、算术平方根两两或多个相加和为0的形式，利用非负数性质求出字母取值，再代入含绝对值的代数式进行化简求值。 2.方法：依据初中非负性核心结论，若干个非负数相加为0，则每一项均为0；依次列方程求出所有字母的值，代入目标式子后判断绝对值内正负，规范去绝对值化简，最终结果务必最简。 【例3】若a、b为整数，且，则的值有（   ）种可能的结果． A．1 B．2 C．3 D．4 【例4】若，，且，则（   ） A．3 B．7 C． D．3或7 【变式2-1】对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如果，那么的值为 _____． 【变式2-3】 若点在数轴上对应的数分别为满足．求的值分别是多少？ 题型三、求解绝对值方程 题型模版 1.特征：方程中含有单层或多层绝对值结构，未知数包含在绝对值内部，需要通过绝对值性质求解未知数的值，部分题目存在多解、无解情况。 2.方法：先将绝对值整体单独分离在等式一侧，根据绝对值定义：正数的绝对值有正负两解，0的绝对值仅有一解，负数无实数解；分类列出方程求解，所有解必须代入原方程检验，舍去增根。 【例5】方程的解是（    ） A． B．负整数 C．负数 D．非正数 【例6】已知，求的值． 【变式3-1】若，那么x的值为（    ） A． B．7 C．或6 D．或7 【变式3-2】若，则_________． 【变式3-3】若关于x的方程有三个整数解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 题型四、分类讨论化简绝对值 题型模版 1.特征：题干未给出数轴、未限定字母取值范围，绝对值内含含未知数的多项式，无法直接判断正负，必须分区间讨论才能去绝对值化简。 2.方法：先令绝对值内部代数式等于0，求出零点分界值；依据零点划分所有取值区间，在每个区间内判定式子正负，分段去绝对值化简，最后整合所有情况，做到分类不重不漏、结果完整。 【例7】已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 【例8】若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 【变式4-1】如果a、b、c是非零实数，且，那么的值为_____． 【变式4-2】已知，那么______． 【变式4-3】规定：，，例如，，则式子的最小值是_____． 题型五、借助绝对值几何意义求值化简 题型模版 1.特征：题干出现多个绝对值相加、求最值、求取值范围等复杂题型，常规代数化简计算量大，可利用数轴距离的几何意义快速解题。 2.方法：明确|x-a|表示数轴上点x到点a的距离，将绝对值代数式子转化为数轴上的距离问题；结合中点、区间最值规律判断取值情况，直接求出式子最值或对应未知数取值，最后代数验证结果正确性。 【例9】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点距离记作： (1)数轴上表示和3的两点和之间的距离是______；如果，那么为______； (2)当满足条件______时，取最小值，最小值是______； (3)当满足条件______时，取最小值，最小值是______； (4)的最小值是______； (5)的最小值是______． 【例10】材料一：我们知道，在数轴上，表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地来说，数轴上两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，那么A、B两点之间的距离为：． 材料二：若对于有理数x，a，b满足，则我们称x是关于a，b的“整十数”．例如：，∴5是关于2和的“整十数”． (1)若，则_________． (2)若m是关于2，6的“整十数”，则_________； (3)数轴上有两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，且它们在5的同侧，当5是关于a，b的“整十数”时，求的值． 【变式5-1】若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 【变式5-2】如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______； (3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知有理数a，b同号，则的值为（     ） A．0 B． C．或2 D．0或2 2．如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 3．已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 4．若，则________． 5．若，且，则的值为___________． 6．当______时，的最小值是______． 7．已知x、y、z是非零有理数，有以下结论： ①的值为0或； ②当时，的值为； ③当，时，的值为或； ④当时，的值为0． 其中结论正确的是________（填序号）． 8．代数式的几何意义是“数轴上x所对应的点与 2所对应的点之间的距离，求的最小值是5，则__________ ． 9．有理数、、在数轴上的位置如图所示，则化简 10．已知，且，求的值． 11．阅读理解：数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题． 数轴上，若A，B两点分别表示数a、b，那么A，B两点之间的距离与a，b两数的差有如下关系：或、如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离． 问题（1）数轴上表示1和的两点之间的距离是________， 问题（2）已知，则________； 问题（3）当a满足________时，则的值最小，最小值是________； 问题（4）若的最小值是5，求a的值． 问题（5）当________时，的最小值是________； 12．阅读下列解题过程并解答类似的题目． 解方程： 解：由，得 ①若，得 ②若，得 所以原方程的解是或 (1)解方程 (2)若方程的解也是方程的解，求m的值 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $