专题01 绝对值的化简问题5大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题01 绝对值的化简问题 目录 典例讲解 类型一、利用数轴化简绝对值 类型二、非负性化简绝对值 类型三、求解绝对值方程 类型四、分类讨论化简绝对值 类型五、几何意义化简绝对值 压轴专练 类型一、利用数轴化简绝对值 处理方式：在利用数轴化简绝对值时，先依据数轴上点的位置判断绝对值内式子的正负，若为正，去掉绝对值符号后式子不变；若为负，去掉绝对值符号后变为其相反数；若为零，去掉绝对值符号后仍为零，最后再进行整式的化简合并。 【例1】数轴上表示数a，b，c的点如图所示，．    (1)在数轴上点的上方，将数a，b，c分别标在恰当的位置上； (2)化简：． 【例2】已知有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图，O表示原点． (1)请在数轴上表示出数对应的点的位置； (2)请按从小到大的顺序排列的大小； (3)化简：． 【变式1-1】如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且． (1)原点在第_________部分（填序号）； (2)化简式子：； (3)若，且，求点B表示的数． 【变式1-2】有理数a、b在数轴上如图， (1)在数轴上表示、； (2)用>、=或<填空：___________a，___________b； (3)化简，． 【变式1-3】有理数 a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图：    (1)在数轴上表示； (2)化简： ； (3)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0； 化简：． 类型二、非负性化简绝对值 【例3】若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【例4】若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 【变式2-1】若a、b、c是整数，且，则 ． 【变式2-2】已知整数满足，则的值为 ． 【变式2-3】满足的所有整数对有 对． 类型三、求解绝对值方程 处理方式：先将方程变形为的标准形式，若则方程无解；当时，直接解； 当时，转化为两个方程和分别求解，最后检验解是否满足原方程。 【例5】方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【例6】关于x的方程有整数解，则整数a的所有可能取值的乘积为（    ） A．9 B． C．1 D．3 【变式3-1】方程的解有（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3-2】若关于的方程有两个解，无解，只有一个解，则的大小关系是 用“”连接）． 【变式3-3】先阅读下列解题过程，再解答问题：解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)若的最小值为，求的值． 类型四、分类讨论化简绝对值 处理方式：先找出绝对值内式子等于0时未知数的取值，以此为分界点划分区间，再分别讨论各区间内绝对值内式子的正负性，正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数，零的绝对值为零，进而去掉绝对值符号进行化简，最后综合各区间结果得出答案。 【例7】若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 【例8】若，，且异号，则的值为（   ） A．7或3 B．3或 C．3 D．7 【变式4-1】若，则的值为（   ） A．0或1 B．或 C． D． 【变式4-2】若，且，则的值为（    ） A． B．或5 C．1或7 D．或 【变式4-3】已知，，，且，则 ． 类型五、几何意义化简绝对值 绝对值的几何意义：的几何意义是到原点的距离；的几何意义是a到b的距离. 【例9】用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 【例10】【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1) ； (2)在数轴上，有理数2与所对应的两点之间的距离为 ； (3)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则 ； (4)利用数轴分析，若x是整数，且满足，求出满足条件的所有x的值的和是多少？ 【变式5-1】求的最小值． 【变式5-2】【知识呈现】： 我们都知道，表示与的差的绝对值，也可以理解为数轴上m，n对应的两个点之间的距离.如5与在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为，又如任意一个数与数3在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为． 【学以致用】： （1）在数轴上8和对应的两个点之间的距离是_____； （2）借助数轴解答问题：若，则的值为_____． 【用以致学】： （3）借助数轴，求得的最小值为_____． （4）借助数轴，求得的最大值为_____． 【变式5-3】同学们都知道，表示a与b的差的绝对值，也可以理解为数轴上对应的两个点之间的距离．如4与在数轴上对应的两点之间的距离表示为，任意一个数x与数2在数轴上对应的两点之间的距离可表示为．试利用数轴探索： （1）______；若，x的值为_______； 建立模型： 表示数轴上有理数x所对应的点到3和所对应的两点距离之和，结合数轴： 模型应用： （2）若，则x的值为_______． （3）的最小值为_______． 延申拓展： （4）的最小值为_______． 一、单选题 1．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．当，则a的值是（    ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 4．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 6．使成立的条件是（    ）． A．为任意数 B． C． D． 二、填空题 7．如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 8．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 9．已知非零有理数，，满足，则 ． 10．数轴上，点A、点B分别表示有理数a、b，则表示点A和点B之间的距离．若有理数a、b、c满足，，则 ． 11．如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 三、解答题 12．同学们，我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记作 ，如果这两点之间的距离为2，那么x为 ； (3)找出所有符合条件的整数x，使得|，这样的整数是 ． 13．阅读材料：由绝对值的意义可知：当时，__________；当时，__________．利用这一特性，可以帮助我们解含有绝对值的方程．比如：方程，当时，原方程可化为3，解得；当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)请补全题目中横线上的结论； (2)仿照上面的例题，解方程：； (3)若方程有解，则应满足的条件是__________． 14．阅读下列材料：，即当时，．应用这个结论解决下面问题： (1)已知a，b是有理数， ①当，时，则______； ②当，时，则______； ③当，时，则______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 15．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数的点位于与5之间，则______． (4)当______时，的值最小，最小值是______． 16．阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值的化简问题 目录 典例讲解 类型一、利用数轴化简绝对值 类型二、非负性化简绝对值 类型三、求解绝对值方程 类型四、分类讨论化简绝对值 类型五、几何意义化简绝对值 压轴专练 类型一、利用数轴化简绝对值 处理方式： 在利用数轴化简绝对值时，先依据数轴上点的位置判断绝对值内式子的正负，若为正，去掉绝对值符号后式子不变；若为负，去掉绝对值符号后变为其相反数；若为零，去掉绝对值符号后仍为零，最后再进行整式的化简合并。 【例1】数轴上表示数a，b，c的点如图所示，．    (1)在数轴上点的上方，将数a，b，c分别标在恰当的位置上； (2)化简：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵， 由绝对值的意义可知，距离原点最近，距离原点最远， 作图如下：    （2）解：由题意知，， ∴， ∴． 【例2】已知有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图，O表示原点． (1)请在数轴上表示出数对应的点的位置； (2)请按从小到大的顺序排列的大小； (3)化简：． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：对应的点的位置如图所示： （2）解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得： ． （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数大小比较，掌握数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． 【变式1-1】如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且． (1)原点在第_________部分（填序号）； (2)化简式子：； (3)若，且，求点B表示的数． 【答案】(1)② (2) (3)点B表示的数为 【详解】（1）解：∵点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且， ∴，， ∴原点在点A和点B之间， 又∵从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分， ∴原点在第②部分； 故答案为：② （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵B对应的数是b，， ∴，， 又∵， ∴，即， 解得：， ∴点B表示的数为． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值的意义、绝对值和平方的非负性、整式的加减法、数轴上两点之间的距离，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答． 【变式1-2】有理数a、b在数轴上如图， (1)在数轴上表示、； (2)用>、=或<填空：___________a，___________b； (3)化简，． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【详解】（1）解：与a，与b都是关于原点对称的， 所以、在数轴上如图所示； （2）由图可知：， 故答案是：； （3）由图可知：，， = =． 【点睛】此题考查了数轴、绝对值的意义、有理数大小比较、相反数的意义、数形结合等知识，熟练掌握绝对值的意义、相反数的意义与有理数的大小比较方法是解此题的关键． 【变式1-3】有理数 a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图：    (1)在数轴上表示； (2)化简： ； (3)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0； 化简：． 【答案】(1)见解析； (2) (3)，，；0 【详解】（1）解：如图所示，    （2）解：由图可得：， ∴、、、， ∴ 故答案为：； （3）解：∵， ，，； ∴ 故答案为：，，． 【点睛】本题考查利用数轴判断式子的符号，整式的加减，以及化简绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键． 类型二、非负性化简绝对值 【例3】若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 【例4】若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 【答案】 【详解】解：∵与b互为相反数， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-1】若a、b、c是整数，且，则 ． 【答案】1 【详解】解：a、b、c是整数， ，是整数， ， 又， 时，则或时，则， 当时， 则， ； 当时， 则， ； 当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：， 故答案为：1． 【变式2-2】已知整数满足，则的值为 ． 【答案】0或 【详解】∵，且整数， ∴或，或 ∴； 或； 或； 综上，的值为0或． 故答案为：0或． 【变式2-3】满足的所有整数对有 对． 【答案】4 【详解】解：， ， 或， 所以有或或或，共4对， 故答案为：4． 类型三、求解绝对值方程 处理方式： 先将方程变形为的标准形式，若则方程无解；当时，直接解； 当时，转化为两个方程和分别求解，最后检验解是否满足原方程。 【例5】方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， 故选：C． 【例6】关于x的方程有整数解，则整数a的所有可能取值的乘积为（    ） A．9 B． C．1 D．3 【答案】A 【详解】解：当时，原方程可化为， ∴， ∵原方程有解∴， ∴， ∵原方程有整数解x，a为整数，∴或5， ∴或， 当时，原方程可化为， ∴， ∵原方程有解∴， ∴， ∵原方程有整数解x，a为整数， ∴或5， ∴或3， 综上所述，a的取值为、， ∴整数a的所有可能取值的乘积为9， 故选：A． 【变式3-1】方程的解有（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：， 或（舍）， ， 故答案为：C. 【变式3-2】若关于的方程有两个解，无解，只有一个解，则的大小关系是 用“”连接）． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程有两个解， ∴， ∵无解， ∴， ∵只有一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含绝对值的一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解题关键． 【变式3-3】先阅读下列解题过程，再解答问题：解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)若的最小值为，求的值． 【答案】(1)或； (2)或． 【详解】（1）解：， 移项，得， 当，即时，原方程可化为：，解得：， 当，即时，原方程可化为：，解得． ∴原方程的解是：或． （2）解：的最小值为， 表示的点与表示的点的距离为， ，， 或． 类型四、分类讨论化简绝对值 处理方式： 先找出绝对值内式子等于0时未知数的取值，以此为分界点划分区间，再分别讨论各区间内绝对值内式子的正负性，正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数，零的绝对值为零，进而去掉绝对值符号进行化简，最后综合各区间结果得出答案。 【例7】若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴若都为正数，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若都为负数，则， 则， ∴的值可能是或或， 故选：． 【例8】若，，且异号，则的值为（   ） A．7或3 B．3或 C．3 D．7 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，， ∵m，n异号， ∴，，或，， ∴或； 故选：D． 【变式4-1】若，则的值为（   ） A．0或1 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 分两种情况： 当时，则， 当时，则， 综上所述，的值为或， 故选：B． 【变式4-2】若，且，则的值为（    ） A． B．或5 C．1或7 D．或 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴或 ∴或1 故选：C 【变式4-3】已知，，，且，则 ． 【答案】6或10或 【详解】解：，，， ，， 当，，时，， ； 当，，时，， ； 当，，时，， ； 当，，时，，不符合题意； 综上所述，的值为：6或10或； 故答案为：6或10或． 类型五、几何意义化简绝对值 绝对值的几何意义：的几何意义是到原点的距离；的几何意义是a到b的距离. 【例9】用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 【答案】(1)小；1；大；5 (2)1；小；2 (3)3；大；9 (4) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴有最小值1， ∵ ∴ ∴有最大值5 故答案为：小；1；大；5． （2）解：∵ ∴， ∴当时，有最小值2， 故答案为：1；小；2． （3）解：∵ ∴ ∴当时，有最大值9， 故答案为：3；大；9． （4）解：∵ ∴，， 解得：，， ∴． 【例10】【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1) ； (2)在数轴上，有理数2与所对应的两点之间的距离为 ； (3)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则 ； (4)利用数轴分析，若x是整数，且满足，求出满足条件的所有x的值的和是多少？ 【答案】(1)5； (2)5； (3)4或； (4)4． 【详解】（1）解：， 故答案为：5； （2）解：有理数2与所对应的两点之间的距离为， 故答案为：5； （3）解：由题意得表示x对应的点到所对应的点的距离是3， 当x对应的点在1所对应的点的左侧时，， 当x对应的点在所对应的点的右侧时，， 综上所述，或4， 故答案为：4或； （4）解：表示在数轴上，x对应的点到所对应的点的距离和到4所对应的点的距离之和为7， ∵， ∴所对应的点到4所对应的点的距离为7， ∴观察数轴可知，所有符合条件的整数是， ∴满足条件的所有x的值的和为：． 【变式5-1】求的最小值． 【答案】 【详解】解：∵ ， ∴表示x到1的距离，2倍x到的距离，3倍x到的距离，，99倍x到的距离之和， ∵（偶数）， ∴当为第2475、2476项所对应的数时，有最小值． 经计算：且， ∴当取得最小值， 原式 ． 【变式5-2】【知识呈现】： 我们都知道，表示与的差的绝对值，也可以理解为数轴上m，n对应的两个点之间的距离.如5与在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为，又如任意一个数与数3在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为． 【学以致用】： （1）在数轴上8和对应的两个点之间的距离是_____； （2）借助数轴解答问题：若，则的值为_____． 【用以致学】： （3）借助数轴，求得的最小值为_____． （4）借助数轴，求得的最大值为_____． 【答案】（1）；（2）6或；（3）5；（4） 【详解】解：（1）∵5与在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为， ∴在数轴上8和对应的两个点之间的距离是， 故答案为：． （2）∵表示与的差的绝对值，即数轴上m，n对应的两个点之间的距离， ∴表示到的距离为， 即 ∴， 故答案为：6或． （3）∵表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， ∴在和之间时，距离之和最小， 即最小值为， 故答案为：． （4）∵表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之差， ∴当或时，距离之差最大， 即最大值为数轴上表示和的点之间的距离， 故答案为：． 【变式5-3】同学们都知道，表示a与b的差的绝对值，也可以理解为数轴上对应的两个点之间的距离．如4与在数轴上对应的两点之间的距离表示为，任意一个数x与数2在数轴上对应的两点之间的距离可表示为．试利用数轴探索： （1）______；若，x的值为_______； 建立模型： 表示数轴上有理数x所对应的点到3和所对应的两点距离之和，结合数轴： 模型应用： （2）若，则x的值为_______． （3）的最小值为_______． 延申拓展： （4）的最小值为_______． 【答案】（1）6；或6；（2）4.5或5.5；（3）5；（4）4 【详解】解：（1）； ∵表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是4， ∴或6， 故答案为：6；或6； （2）对于， 当时，，即，解得； 当时，，x不存在，舍去； 当时，，即，解得， 综上，x的值为4.5或5.5； （3）∵3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，又表示数x与和3两数在数轴上所对应的两点之间的距离和， ∴当数x在和3两数之间时，有最小值，又， 故的最小值为5， 故答案为：5； （4）对于， 当时，； 当时，，则； 当时，； 当时，， 综上，的最小值为4． 一、单选题 1．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故选：C． 2．有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：①根据题意可以得出：， 最后输出的结果是2，故①正确； ②对于2，3，6，9，可得：， 全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确； ③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0， 可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025， 根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确； 所以说法正确的个数是3， 故选：D． 3．当，则a的值是（    ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 4．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 5．若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【答案】B 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 6．使成立的条件是（    ）． A．为任意数 B． C． D． 【答案】D 【详解】当时， ，， 等式化为：， 成立； 当时， ，， 等式化为：， 解得：， 不符合题意； 当时， ，， 等式化为：， 矛盾． 故使成立的条件是：． 故选：D． 二、填空题 7．如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】由绝对值的几何意义可知，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离． 所以表示点到A，B，C，D四个点的距离之和． 因为a，b，c，d是四个相邻的整数，当点在线段上（包括端点B，C）时，距离之和最小． 不妨设（为整数)，当在与之间时， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 8．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 【答案】 【详解】， 由表示的含义可得： 当时，有最小值，最小值为， ， 当时，的最小值为， 当时，有最小值为， 故答案为：； 9．已知非零有理数，，满足，则 ． 【答案】或/或 【详解】解：∵非零有理数，，满足， ∴，或，， 当，时， ， 当，时， ， 故答案为：或． 10．数轴上，点A、点B分别表示有理数a、b，则表示点A和点B之间的距离．若有理数a、b、c满足，，则 ． 【答案】8或4/4或8 【详解】解：∵，， ∴， 当点C和点B在点A同一侧时，则，则， 当点C和点B在点A两侧时，则，则； 综上所述，或， 故答案为：8或4． 11．如图，数轴上点，，所对应的数分别为，，且都不为0，．若，则 （用含，的式子表示）． 【答案】/ 【详解】解：， ， ， ∴ ， ，，， ，，， ， ． 故答案为： 三、解答题 12．同学们，我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记作 ，如果这两点之间的距离为2，那么x为 ； (3)找出所有符合条件的整数x，使得|，这样的整数是 ． 【答案】(1)5，4； (2)，1或； (3) 【详解】（1）解：， 故答案为：5，4； （2）， ∵这两点之间的距离为2， ， ， 故答案为：，1或； （3）所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是， 故答案为：． 13．阅读材料：由绝对值的意义可知：当时，__________；当时，__________．利用这一特性，可以帮助我们解含有绝对值的方程．比如：方程，当时，原方程可化为3，解得；当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)请补全题目中横线上的结论； (2)仿照上面的例题，解方程：； (3)若方程有解，则应满足的条件是__________． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：，； （2）解：原方程化为， 当时，方程可化为， 解得：， 当时，方程可化为， 解得：， 所以原方程的解是或； （3）解：∵方程有解， ∴， 故答案为：． 14．阅读下列材料：，即当时，．应用这个结论解决下面问题： (1)已知a，b是有理数， ①当，时，则______； ②当，时，则______； ③当，时，则______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)①2；②0；③ (2)或1 【详解】（1）解：①∵时， ∴，， ∴ ， 故答案为：2； ②当时， ∴，， ∴ ， 故答案为：0； ③当，时， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：当时，都小于0，或中一个小于0，另外两个都大于0， 即分两种情况讨论： ①当，，时， ， ②当中一个小于0，另外两个都大于0时，不妨设， ， 综上所述：或1． 15．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数的点位于与5之间，则______． (4)当______时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)； (2)或 (3) (4)； 【详解】（1）解：∵数轴上表示数和数的两点之间的距离等于， ∴数轴上表示3和2的两点之间的距离是，表示和1两点之间的距离是， 故答案为：；． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：或． （3）解：∵数的点位于与5之间， ∴表示数到的距离 ∴， 故答案为：． （4）解：∵表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离， ∴结合数轴可知：表示数轴上表示数的点与点、、之间的距离之和， 当时，最小，最小值是， 故答案为：；． 16．阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 【答案】(1)，（写成也可） (2)或 (3)，，，，， (4)或 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； 数轴上表示与的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：， ， 或， 或； （3）解：当时， ， ， 整理得：， 解得：， ， 不在取值范围之内，故不符合题意； 当时， 可得：， 整理得：， 即当时，恒成立， 在之间的整数有、、、、、； 当时，， 解得：，不在取值范围之内，故不符合题意； （4）解：代数式表示到和的距离之和， 当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间，且和的距离是， 即， ， 解得：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$