2.1 一元二次方程的概念课件 2026-2027 学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及系数识别，通过复习一元一次方程的定义、列方程步骤和根的检验搭建旧知支架，结合矩形草坪面积等实际情境引导学生抽象方程，构建知识迁移脉络。 其亮点是以实际问题为载体培养数学眼光（抽象能力），对比一元一次方程归纳定义发展推理意识（数学思维），例2梯子问题用勾股定理建模并检验根的实际意义强化模型意识（数学语言）。学生能提升问题抽象与建模能力，教师可依托结构化流程高效教学。

苏科第二章 一元二次方程 2.1 一元二次方程的概念 2.1 一元二次方程的概念 教学目标： 1、能根据实际问题找出等量关系式，并列出相应的一元二次方方程。 2、了解一元二次方程的定义，能熟练判断一个方程是否是一元二次方程。 3、掌握一元二次方程一般形式 ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c为常数，a≠0)，会将一元二次方程整理成一般形式，能准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数． 4、理解方程根的含义，会检验数值是否为方程的根． 复习铺垫： 问题1、什么是一元一次方程？一般形式是什么？ 等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的整式方程，叫作一元一次方程．一般形式是 ax＋b＝0 (a≠0)． 问题2、列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？ 审题→设未知数→找等量关系→列方程 问题3、下面是方程 2x+ 6=0的根的是（ ） A、6 B、-3 C、3 D、 - 6 你有几种解法？ 可以代入验证，是否左边=右边也可以解这个方程。 B 复习铺垫： 情境引入： 问题、一个面积为15矩形草坪，长比宽多2m，若宽为x（m），则可列方程？ 解：x（x+2）=15 观察这个方程是一元一次方程吗？它与一元一次方程有什么共同点和不同点？ 答：不是一元一次方程。 共同点：等号两边都是整式，只含一个未知数。 不同点：一元一次方程未知数的最高次数是1次。 这个方程未知数的最高次数是2次。 情境引入： 像 x（x+2）=15 这样的方程叫什么呢？你能求出x的值吗？ 新课教学： 解：设正方形桌面的边长为x m， 由题意得： x2＝2． 根据下列问题，设未知数列方程： 1．面积为2m2的正方形桌面边长是多少？ 找出题目中的等量关系： 正方形面积 = 边长 × 边长 新课教学： 根据下列问题，设未知数列方程： 2．矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19 m，花圃的面积是24 m2，花圃垂直于墙的一边长是多少？ 找出题目中的等量关系： 矩形面积 = 长 × 宽 解：设花圃垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为（19-2x）m。 由题意得： x(19－2x)＝24． x x （19-2x） 新课教学： 根据下列问题，设未知数列方程： 3．我国在2020年底实现农村贫困人口全部脱贫．已知我国2017年农村贫困人口为3 046万人，2019年农村贫困人口为551万人，求我国2017—2019年农村贫困人口平均每年下降的百分率． 解：设人口平均每年下降的百分率为x， 找出题目中的等量关系： 降低前的量×（1-降低率）=降低后的量 由题意得： 3 046 (1－x)2＝551． 2017 2018 2019 3046 3046（1-x） 3046 新课教学： 对比一元一次方程，这三个方程共同点是什么？ x2＝2， x(19－2x)＝24， 3 046 (1－x)2＝551， ②方程中只含有一个未知数； ①方程的等号两边都是整式； ③未知数的最高次项次数是2。 等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数 是2的方程叫作一元二次方程。 一元二次方程的定义; 共同点： 新课教学： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都可以化为：ax2 ＋ bx ＋ c ＝0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，我们把这种形式称为一元二次方程的一般形式． 例如： x(19－2x)＝24 去括号，得 19x－2x2＝24 移项，得 －2x2＋19x－24＝0 方程的左边按 x 的降幂排列 方程的右边边是“0”。 新课教学： 一元二次方程的一般形式：ax2 ＋ bx ＋ c ＝0（a、b、c为常数，a≠0） 想一想： 这里为什么要求a≠0，而没要求b≠0、c≠0呢？ 答：因为 a=0，则ax2 =0，未知数的最高次数不再是2，而b、c为0，则不受影响。 新课教学： 把一元二次方程化成一般形式：ax2 ＋ bx ＋ c ＝0（a、b、c为常数，a≠0） 其中 ax2叫二次项 ，bx 叫一次项，c 叫常数项。 a是二次项系数，b是一次项系数。 试一试：说出方程－2x2＋19x－24＝0中的二次项、一次项和常数项及它们的各项系数． 答：二次项是－2x2，一次项是19x，常数项是－24，二次项 系数是－2 ，一次项系数19. 新知应用： 例1、判断下列方程是否是一元二次方程，若是一元二次方程，把方程化成一般式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。 解： 去括号： 移项得：0 0 此方程不是一元二次方程。 新知应用： 例1、判断下列方程是否是一元二次方程，若是一元二次方程，把方程化成一般式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。 解： 去括号： 0 合并同类项： 此方程是一元二次方程。 化成一般式为0 二次项系数是2、一次项系数是12，常数项是10. 新知应用： 例1、判断下列方程是否是一元二次方程，若是一元二次方程，把方程化成一般式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。 解： 移项得： 此方程是一元二次方程。 化成一般式为0 二次项系数是3、一次项系数是0，常数项是。 注意：当一般式中的一次项或常数项为“0”时，可省略不写。例如的一般式通常写成，但此时这一项的系数不是没有，而是为“0”。 新知应用： 强调：找出二次项，一次项，常数项，二次项 系数，一次项系数，一定要先把一元二次方程 化成一般形式。 例2 如图，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1 m． （1）设梯子顶端到地面的距离为x m，列出相应的方程． 解：梯子与墙面、地面围成一个直角三角形． 根据题意，得 x2＋(x＋1)2 ＝52． xm (x＋1)m 新知应用： 找出题目中的等量关系： 勾股定理+= 例2 如图，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1 m． （2）把所列方程化成一般形式是 ， 二次项是 ，二次项系数是 ，一次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 xm (x＋1)m 新知应用： 2 2 例2 如图，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1 m． （3）你能求出一元二次方程x2＋(x＋1)2 ＝52中x的值吗？ xm (x＋1)m 新知应用： 提示：3、4、5是一组勾股数+= x=3或x=-4能满足方程左边等于右边 因为+= 又 x>0 所以x=3 巩固练习： 1．根据题意列方程： (1) 一张面积是240 cm2的长方形彩纸，长比宽多 8cm．设它的宽为xcm，可得方程_______________； x (8＋x)＝240 (2) 如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为 1 cm 的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的 ．设圆的半径为x cm，可得方程____________． πx2＝9 巩固练习： 2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项 系数、一次项系数和常数项． (1) x2－x＝2； (2) 4x＋1＝x2； 解：(1) 将方程化成一般形式，得x2－x－2＝0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、－1、－2． (2) 将方程转化成一般形式，得x2－4x－1＝0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、－4、－1． 巩固练习： 2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项 系数、一次项系数和常数项． (3) 2x2＝－3x； (4) x(x＋3)＝－2． 解：(3) 将方程化成一般形式，得2x2＋3x＝0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是2、3、0． (4) 将方程转化成一般形式，得x2＋3x＋2＝0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、3、2． 巩固练习： 3、下面是方程 x2－3x＋2＝0根的有 。 ① x=2 ② x= 3 ③x=1 ④x=4 ① ③ 巩固练习： 4、（1）已知关于x的方程（m-1）＋3x－4＝0，是一元二次方程则m的取值范围是 。 （2）已知关于x的方程 ＋3x－4＝0，是一元二次方程 则m的值是 。 （3）已知关于x的方程（m-1）＋3x－4＝0，是一元 二次方程则m的值是 。 m1 m=1 m=－3 巩固练习： 利用一元二次方程的定义，求字母系数的取值或取值范围要注意什么？ 答：即要注意未知数的最高次数为“2”。 还要注意2次项系数不能为“0”。 一元二次方程的概念 1、一元二次方程定义→整式、一个未知数、未知数最高次数为2 2、一般形式→ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，会识别三项与对应系数 3、列方程步骤：审题→设未知数→找等量关系→列式 4、方程的根：即要满足等式左右相等，以要符合实际意义 课堂总结： 作业布置： 课后习题1、2、3题 下节课再见 $