2.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式、解的含义及实际应用，通过温故知新复习一元一次方程，结合正方形面积、矩形花圃等情境问题抽象方程，类比迁移搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以实际问题为载体，培养数学眼光、思维与语言。如充电桩增长率问题引导用数学眼光发现数量关系，例题1通过方程整理辨析强化推理意识，课后测评击掌次数问题提升模型观念。结构化梳理和分层练习助力学生发展抽象能力与应用意识，为教师提供落实核心素养的清晰教学路径。

第二章 一元二次方程 2.1 一元二次方程的概念 学习目标 过程与方法 知识与技能 理解一元二次方程的概念，能判断一个方程是否为一元二次方程 掌握一元二次方程的一般形式，能准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数 理解一元二次方程的解（根）的含义，能检验一个数是否为方程的根 能根据实际问题列出一元二次方程并化为一般形式 经历从实际问题中抽象出一元二次方程模型的过程，体会建模思想，提升类比归纳能力。 02 01 课前自主·知识预习奠基 一元一次方程的概念： 只含有 1 个未知数，未知数的最高次数是 1 的整式方程。 一元一次方程的一般形式：ax + b = 0 ( a ≠ 0 ) 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 思考：如果未知数的最高次数是 2，这样的方程会是什么形式？生活中哪些问题会用到这类方程？ 温故知新 根据下列问题，设未知数列方程： 1. 面积为 2 m2 的正方形桌面的边长是多少？ 2. 矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是 19 m，花圃的面积是 24m2 ，花圃垂直于墙的一边长是多少？ 3. 我国大力建设新能源充电网络，截至 2023 年底，全国充电桩保有量为 1200 万台，到 2025 年底，充电桩保有量达到 2009 万台。求 2023—2025 年全国充电桩数量平均每年的增长率. 情境导入 在问题 1 中，设正方形桌面的边长是 x m，可得方程 在问题 2 中，设花圃垂直于墙的一边是 x m ,可得方程 在问题 3 中，设充电桩数量平均每年的增长率为 x，可得方程 情境导入  观察与思考：这三个方程有什么共同特征？ 只含 1 个未知数 未知数的最高次数是 2 都是整式方程 一元二次方程的定义 像方程 这样，等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2 的方程叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）. 一元二次方程的解通常也称为一元二次方程的根 . 一元二次方程的一般形式 关于 x 的一元二次方程的一般形式是： 二次项，a 是二次项系数 一次项，b是一次项系数 常数项 注意： 任何一元二次方程都可以通过整理化为一般形式 二次项系数 a ≠ 0 是定义的重要组成部分，若 a = 0，方程就不是二次方程了 判断下列方程是否为一元二次方程，是的写出二次项系数、一次项系数和常数项： （1） （2） （3） （4） 例 1 （1）整理得 ，是一元二次方程 二次项系数：1；一次项系数：5；常数项：−6 （2）整理得 ，是一元二次方程 二次项系数：3；一次项系数：−4；常数项：1 （3）整理得 ，不是一元二次方程（最高次数为1） （4）分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程 例 1·解析 长 5 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多 1 m . 设梯子顶端到地面的距离为 x m，列出相应的方程 . 例题 2 【解】梯子与墙面、地面围成一个直角三角形，根据题意，得 化简，得 由 ，对照勾股数3，4，5 可以发现， 都满足这个方程。我们称这个一元二次方程有两个实数根 ，在例题中，因为 x 表示距离，所以其中一个根 不符合题意 . 一元二次方程的解（根） 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 已知关于 x 的一元二次方程 的一个根为 ，求 m 的值。 例题 3 【解】把 代入方程，得 解得 判断概念时，必须先整理成一般形式，不能只看表面形式 二次项系数不为 0 是一元二次方程的前提，求参数范围时不能遗漏 项和系数都包含前面的符号，例如 3x2 − 4x + 1 = 0的一次项系数是 −4，不是 4 分式方程、无理方程都不是一元二次方程 易错提醒 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. 2x + 1 = 0 B. x2 + y = 2 C. x2 − 3x + 2 = 0 D. x + = 1 2. 一元二次方程 2x2 − 3x + 5 = 0 的一次项系数是（ ） A. 2 B. −3 C. 5 D. 3 3. 方程 x(x−1) = x2 + 2 是一元二次方程。（ ） C B × 基础过关练 4. 将方程 化为一般形式为 . 5. 若是方程 的一个根，则 k 的值为 . 6. 关于 x 的方程 是一元二次方程，则 m 的值为 . 1 -2 课后测评·学业效果巩固 1. 下列关于x的方程：①②③④⑤，其中一元二次方程的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 课后测评 A 【解析】①当 不是一元二次方程；②是分式方程，不是一元二次方程；③是一元二次方程；④ 是一元二次方程；⑤ ，整理后不含 x 的二次项，不是一元二次方程. 故选 A . 2. 已知关于 x 的方程 是一元二次方程，则n的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 0 课后测评 B 【解析】∵ 是一元二次方程， ∴ ，， ∴ . 3. 将一元二次方程 化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 课后测评 A 【解析】∵ ， ∴ ， ∴ . 4. 若 m 是方程 2x2 − 3x − 1 = 0 的一个根，则 6m2 − 9m + 2025 的值为 . 课后测评 2028 【解析】∵ m 是方程2x2 − 3x − 1 = 0 的一个根， ∴ ， ∴ . ∴ 5. 已知 x = 2 是方程 的一个解，则一次函数 的图象不经过第 象限 课后测评 二 【解析】把 代入方程 ，得 ，解得 a = 3. 由于 所以一次函数 的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限. 故答案为二. 6. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式（二次项系数化为1）： (1) 用一根长 30 cm的铁丝折成一个斜边长为 13 cm的直角三角形，求这个直角三角形的直角边长（设这个直角三角形其中一条直角边长为 x cm）； (2) 某班同学之间为了相互鼓励，每两人之间进行一次击掌，共击掌 595 次，求本班有多少名同学（设本班有 x 名同学）. 课后测评 【解析】（1）根据题意得 ，化为一般形式为 . （2）根据题意得 ，化为一般形式为 7. 根据下已知关于 x 的一元二次方程 的一个解是 0，求 m 的值. 课后测评 【解析】把 x = 0代入原方程，得 m2 − 4 = 0 解得 m = 2 或 m = −2 ∵ 方程是一元二次方程，二次项系数 m + 2 ≠ 0，即 m ≠ −2 ∴ m = 2 8. 已知下面三个关于关于 x 的一元二次方程 恰好有一个相同的实数根 a，值 的值为 . 课后测评 【解析】把 x = a代入 ，得 ，③ ①+②+③得∴ ∵ ，∴ ，故答案为 0. 0 9. 如图所示，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是Rt△ABC 和Rt△BED 的边长，易知 ，这时我们把关于 x 的形如 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解决下列问题： (1)试判断方程 是否为“勾系一元二次方程”. (2)若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是 12，求 △ABC 的面积. 课后测评 课后测评 【解析】(1) 根据定义， 方程 ∵ ∴ 方程 是“勾系一元二次方程”. (2) ∵ 是“勾系一元二次方程” 的一个根，∴ ，∴ . ∵四边形 ACDE 的周长是 12 ，所以 ，∴，∴ ，∴ ∵ ，∴ ，∴，∴. 故△ABC 的面积为 2. 课堂小结 第二章 一元二次方程 2.1 一元二次方程的概念 $