专题31 一元一次不等式组实际应用（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

专题31 一元一次不等式组实际应用 （题型突破·举一反三） 题型01 盈不足问题 题型02 行程问题 题型03 工程问题 题型04 方案设计问题 题型05 最值问题 题型06 阶梯收费问题 题型07 销售问题 ▌题型01 盈不足问题 1. 题型特征 经典分配题型：把物品分给若干人，出现分多了剩余（盈）、分少了不够分（不足），给出两组分配方案，利用物品总数不变，列不等式组求解人数、物品数量。 关键词：剩余、多出、不够、还差、不足、最少、最多。 2. 设人数为x，物品总数固定 （1）按第一种分配：总数量=每人分得数量盈余数量 （2）按第二种分配：总数量=每人分得数量不足数量 结合实际：第二种分配时，每人分这么多，总数不够分，即物品数＜单人数量×人数；同时第一种分配分完还有剩，物品数＞单人数量×人数，列出不等式组。 3. 解题步骤 （1） 设未知数：优先设分配的人数/组数为（整数） （2）用含代数式表示出物品总数量 （3）根据“有余、不足”列出不等式组： ①多分则不够：总数<分配量 ②少分则有剩：总数>分配量 （4）解不等式组，算出取值范围 （5）人数、物件必须是正整数，取整数解，回代算出物品数量。 【典例1】文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有x名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026春•滨城区期末）若干个苹果分给x个小孩，如果每人分3个，那么余7个；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果不足5个，则x满足的不等式组为（　　） A．0≤（3x+7）﹣5x＜5 B．0＜（3x+7）﹣5x＜5 C．0≤（3x+7）﹣5（x﹣1）＜5 D．0＜（3x+7）﹣5（x﹣1）＜5 【变式1-2】（2026春•红河州期末）绿植进教室，书香伴成长．为了美化学习环境，某班级购进了一批多肉盆栽，班主任准备分发给几名同学养护，如果每人分3盆，剩余8盆；如果前面每名同学分5盆，最后一人分到盆栽，但不足3盆，则分发给（　　）名同学养护 A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-3】（2026春•徐汇区校级期中）位育初级中学七年级某社团计划将全部同学分成若干小组，开展探究活动，如果每个小组8人，则还余3人，如果每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该社团的人数是　 　 ． ▌题型02 行程问题 1. 题型特征 结合路程、速度、时间三者关系：路程=速度×时间，题干出现提前到达、迟到、限定时长、快慢追赶、往返行程，给出多个约束条件，列不等式组求解速度、时间的取值范围。 常见关键词：不少于、至多、不早于、不能超过、提前多久、迟到多久。 2. 两类常见题型 题型1：规定时间内赶路 固定总路程，限定： （1）速度太小，会迟到（用时＞规定时间） （2）速度足够大，会提前抵达（用时＜规定时间） 联立不等式组求合理速度范围。 题型2：追及、相遇行程约束 两人同向/相向行走，结合距离限制、先后到达条件列不等式组。 3. 通用解题五步 （1）设未知数：设行驶速度或行驶时间； （2）利用路程公式写出对应用时； （3）根据「迟到/提前/距离限制」列出不等式组； （4） 求解不等式组，算出取值区间； （5）结合实际：速度、时间大于0，取舍不合理解集，作答。 【典例1】绿波路段是城市交通管理的一项重要措施，它能够有效地解决交通拥堵问题，提高交通效率，为城市的可持续发展做出贡献，如图是绿波路段的一部分，该路段限速60千米/小时，AB间的距离为1000米，在路口B处绿灯时间为30秒，小车过路口A后，以36千米/小时的速度匀速行驶1分钟后，B路口小车通行方向变绿灯，若小车要在这个绿灯能顺利通过B路口，求小车行驶速度v的取值范围为 　 　． 【变式1-1】一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50km，要在12：00之前驶过A地，道路最高限速100km/h，该车速度v应满足的条件是 　 　． 【变式1-2】小华在公园的环形跑道（周长大于1km）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前4km的记录如图所示．小华一共跑了21km且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 　 　 ． 【变式1-3】（2026春•安远县校级期末）如图（1），A，B两地间的公路长360km，其中有一段长10km的施工道路MN，M距离A地200km．甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发20min．在非施工道路（其限速情况如图（2）所示），甲车始终以100km/h的速度行驶，乙车始终以Vkm/h的速度行驶；在施工道路，两车均以40km/h的速度行驶． （1）若V＝90． ①甲车出发2h时，甲车行至　 　处，乙车行至　 　处；（填“M”“N”或“MN的中点”） ②甲车行至MN的中点时，乙车行驶的时间为　 　 h． （2）已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上（P不与M，N重合），直接写出V的取值范围． ▌题型03 工程问题 1. 题型特征 核心公式：工作总量=工作效率×工作时间，常设总工程量为单位1； 题干关键词：按期完工、提前做完、工期延后、工程量至少/至多、多人分工、分段施工，依靠工期约束列不 等式组求效率、人数、施工天数范围。 2. 解题五步 （1）  设未知数：设人数、每日工作量、施工天数； （2） 表示单日效率，写出分段完成的总工程量 ； （3） 根据题意列不等式组 - 要按期完工：总工程量任务总量 - 工期不能超时：总耗时规定天数 （4） 求解不等式组 ； （5） 人数、天数为正整数，筛选整数解作答。 【典例1】实施乡村振兴战略，打造乡村美丽家园．为解决某镇乡村灌溉问题，县政府部门招标一工程队，负责完成在某村山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知4台A型和2台B型挖掘机同时施工一小时挖土150立方米；3台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土195立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． （1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【变式1-1】某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． （1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【变式1-2】（2025春•都昌县期中）为全力助推金溪建设，某公司拟派A，B两个工程队共同建设某区域的绿化带；已知A工程队每人每天能完成80米绿化带的建设，A工程队的5人与B工程队的6人合作每天能完成700米绿化带的建设．（假设同一个工程队的工人的工作效率相同） （1）求B工程队每人每天能完成多少米绿化带的建设； （2）该公司决定派A，B两个工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人，则该公司有哪几种安排方案？ 【变式1-3】为全力助推句容建设，大力发展句容旅游，某公司拟派A、B两个工程队共同建设某区域的绿化带．已知A工程队2人与B工程队3人每天共完成310米绿化带，A工程队的5人与B工程队的6人每天共完成700米绿化带． （1）求A队每人每天和B队每人每天各完成多少米绿化带； （2）该公司决定派A、B工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带总量不少于1480米，且B工程至少派出2人，则有哪几种人事安排方案？ ▌题型04 方案设计问题 1. 解题思路 （1）找出两个约束条件：总量上限、总量下限；总预算最多花多少、最少需要多少 （2）设其中一种物品数量为，用总数量表示出另一种物品数量 （3）根据限制条件列出一元一次不等式组 （4）解出取值范围，为正整数，筛选出全部整数解，对应一套就是一种方案。 2. 解题流程 （1）审题，锁定两个不等约束 （2）设未知数：设类数量，类用含式子表达 （3）列不等式组（数量约束+金额约束） （4） 求解不等式组，得到自变量取值区间 （5）取区间内所有正整数，逐条列举全部可行方案。 【典例1】（2026春•抚宁区期末）滨海小城计划建设一些共享单车租赁点．已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若小城计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？ 【变式1-1】（2026春•福州校级期末）家委会计划用班费购买A，B两种相册共45本作为学生的毕业礼品，已知购买2本A种相册，3本B种相册需要110元，购买4本A种相册，5本B种相册需要200元． （1）求A，B两种相册的售价分别是多少元？ （2）若要求购买的A种相册的数量要不少于B种相册数量的，且购买总金额不超过1000元，则家委会有多少种不同的购买方案？ 【变式1-2】（2026春•黄山期末）随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元． （1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？ （2）该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司投入的购车资金不超过340万元．假设每辆A型汽车的售价为32万元，每辆B型汽车的售价为15万元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元，该经销商共有哪几种购车方案？ 【变式1-3】（2026春•红谷滩区校级期末）根据以下素材，探索完成任务． 设计烟花采购方案 五一假期即将到来，为了吸引更多的游客，某乡镇决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长． 素材1 已知一箱A型烟花比一箱B型烟花少100元，购买20箱A型和10箱B型烟花需要5500元． 素材2 某烟花厂提供产品信息如下： （1）A型烟花每箱12发，B型烟花每箱20发． （2）本厂生产的所有型号烟花每发间隔5秒，且一发燃放完后另一发立即开始燃放． （3）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间． （1）求A、B型烟花每箱多少元？ （2）若该乡镇决定采购这两种型号的烟花共50箱，且购入的资金不少于8500元又不多于8800，则该乡镇共有几种购买方案？ （3）若该乡镇准备支出9000元（全部用完）购买这两种型号的烟花，可以燃放多少秒？ ▌题型05 最值问题 1. 解题思路 （1）找出两个约束条件：总量上限、总量下限；总预算最多花多少、最少需要多少 （2）设其中一种物品数量为，用总数量表示出另一种物品数量 （3）根据限制条件列出一元一次不等式组 （4）解出取值范围，为正整数，筛选出全部整数解，对应一套就是一种方案 （5）分别核算每种方案成本或利润，对比选出最优方案。 2. 解题流程 （1）审题，锁定两个不等约束 （2）设未知数：设类数量，类用含式子表达 （3）列不等式组（数量约束+金额约束） （4） 求解不等式组，得到自变量取值区间 （5）取区间内所有正整数，逐条列举全部可行方案 （6）列式计算各方案总费用，比较大小确定最优方案。 【典例1】（2026春•武安市期末）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求 A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进 A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买 A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？ 【变式1-1】（2026春•玉泉区期末）“天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况： 销售时间 釉色A销售数量 釉色B销售数量 总售价 第1个月 7套 6套 6530元 第2个月 9套 5套 6550元 （1）求釉色A，B两款瓷器每套的售价分别为多少元？ （2）若釉色A瓷器的进价为300元，釉色B瓷器的进价为600元，现专卖店计划用不超过8500元购进釉色A，B两款瓷器一共20套，且釉色B瓷器的数量不少于釉色A瓷器数量的一半，请你帮忙计算有哪几种进货方案？（瓷器数量为整数） （3）在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润． 【变式1-2】（2026春•广元期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）该汽车销售公司计划购进这两种型号的汽车共20辆，用于拓展市场业务．该销售公司投入的购车资金不超过380万元，且为了保证销售时有足够的车型选择，规定购进的B型汽车数量不少于A型汽车数量的3倍．假设每辆A型汽车的售价为30万元，每辆B型汽车的售价为14万元，若要使销售完这两种汽车后的利润不少于83万元．该经销商共有几种购车方案？哪种方案的利润最高？ 【变式1-3】（2025春•平凉校级期末）崆峒旅游节期间，为了抓住旅游节带来的商机，某商店决定定制甲、乙两种旅游节纪念品．若定制甲种纪念品7件，乙种纪念品4件，需要900元；若定制甲种纪念品3件，乙种纪念品8件，需要700元． （1）求定制甲、乙两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定定制这两种纪念品共50件，考虑市场需求和资金周转，用于定制这50件纪念品的资金不少于3700元，但不超过3800元，那么该商店共有几种定制方案？ （3）若销售每件甲种纪念品可获利润10元，每件乙种纪念品可获利润20元，在第（2）问的各种定制方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ ▌题型06 阶梯收费问题 1. 题型特征 水费、电费、燃气费、打车费、话费、快递运费，分段定价，用量不同单价不一样；给出总费用范围，列不等式组求使用量区间。 关键词：分段计价、第几阶梯、超出部分另算、总费用不少于/不超过。 核心逻辑：总价=每一档基础费用+超出档位部分×高阶单价。 2. 解题核心思路 （1）划分收费区间，熟记每一档用量界限、对应单价； （2）设总使用量为，先判断落在第几阶梯； （3）分情况列出对应计价代数式； （4）结合总费用的上下限制，列出一元一次不等式组； （5）求解解集，结合分段区间取舍，得出最终取值范围。 3. 解题步骤 （1）审题划出各阶梯用量、对应单价； （2）设用水量/里程/用气数量为未知数； （3）分段写出不同区间的收费计算公式； （4）根据总费用范围列不等式组； （5）联立区间范围，取公共解集作答。 【典例1】（2025秋•天台县期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二：▲ 2.5 ▲ 阶段二：▲ 1 ▲ 本期实付金额（大写） ▲ （注：居民生活用水水费＝自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． （1）设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； （2）该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； （3）若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【变式1-1】小丽星期天晚上打电话向老师请教数学问题，本地固定电话的收费标准是前3min0.2元（不足3min按3min计算），以后0.1元/min（不足1min按1min计算）．通过查询费用得知，本次通话产生话费为1.5元，则本次通话时间可能是（　　） A．15min B．15min C．16min D．13min 【变式1-2】（2026春•杨浦区校级月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程x满足（　　） A．x＝8.5 B．7≤x＜8 C．7≤x≤8 D．7＜x≤8 【变式1-3】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 （1）某户5月份交水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？ （2）要使月所缴水费控制在20元至30元之间，则该户的月用水量应该控制在什么范围内？ ▌题型7 销售问题 （1）设价列式：设进价、售价或数量为未知数，根据销售额、利润、利润率等公式建立不等式（组）。 （2）双量关系：常见两个等量关系，如“总进价=进价×数量”与“总利润=（售价-进价）×数量”组合。 （3）理清公式：熟记利润=售价-进价、利润率=利润/进价×100%等基本关系。 （4）单位统一：涉及折扣时，先将折扣价表示为原价的十分之几（如六折=0.6倍）。 【典例1】（2026•科尔沁区校级模拟）为推广内蒙古特色美食，某食品店推出传统奶豆腐和即食奶片两种包装产品．已知购进4盒传统奶豆腐与购进7盒即食奶片的费用相同，每盒传统奶豆腐的进价比每盒即食奶片的进价高6元． （1）求每盒传统奶豆腐和每盒即食奶片的进价各是多少元？ （2）为迎接“草原旅游节”，该店计划用不超过3000元的资金购进这两种产品共240盒．若传统奶豆腐每盒售价为20元，即食奶片每盒售价为12元，且全部售出后利润不低于1280元，则最多可购进传统奶豆腐多少盒？ 【变式1-1】（2026春•合肥校级期中）新情景：（地方特色）利用以下素材解决问题． 素材1 “中国第一水乡”周庄，不仅有小桥流水的古韵，更藏着许多手工制作、传承百年的江南特色小吃，如袜底酥、青团、万三蹄等特色小吃，其中，万三蹄因明代富商沈万三而得名． 素材2 周庄古镇内某商店销售万三蹄，成本价是15元/个，分为线上，线下两种方式，都是整个出售，其中，线上1个和线下2个的售价共100元，线上2个和线下1个的售价共95元，五一小长假即将到来，预计今年5月1号到5号这五天的线上销售个数不多于1002个，两种方式的总销售个数达到4000个，总销售金额不多于135000元． （1）求万三蹄线上，线下的售价分别是每个多少元． （2）预计今年五一小长假万三蹄的线上销售个数可能有多少个？ （3）若万三蹄线上售价上涨m元/个，线下售价不变，则预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，请直接写出m的值． 【变式1-2】（2026春•江北区校级月考）某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 【变式1-3】（2026•渠县校级模拟）在北京进行的2022年冬季奥运会和冬季残奥会备受世界人士关注．吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具随之大卖，购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元． （1）分别求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的销售单价． （2）若每个“冰墩墩”玩具制作成本为60元，每个“雪容融”玩具成本为40元，准备制作两种吉祥物玩具共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次吉祥物玩具，利润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题31 一元一次不等式组实际应用 （题型突破·举一反三） ▌题型01 盈不足问题 【典例1】A． 【变式1-1】C． 【变式1-2】A． 【变式1-3】51或59． ▌题型02 行程问题 【典例1】48km/h≤v≤60km/h． 【变式1-1】75km/h＜v≤100km/h． 【变式1-2】15． 【变式1-3】 【解答】解：（1）①∵依题意，MA＝200km，MN＝10km，AB＝360km， ∴NB＝150km， ∵甲车从A地出发，始终以100km/h的速度行驶， ∴甲车2小时共行驶了2×100＝200（km）， ∴甲车出发2小时，行至M处， ∵乙车从B地出发，比甲车晚出发20min小时，以90km/h的速度行驶， ∴乙车共行驶了90×（2）＝150（km）， ∴乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至MN的中点时，所用时间为：（h）， 此时乙车行驶所用时间：（h）， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为（h）， 此时乙车所用时间为（h）， ∴乙车的速度为V＝150（km/h）； ②P在非施工道路上（P不与M，N重合）， 若P在AM上，设甲的行驶时间为t，则0＜t＜2， 此时甲行驶路程为100t，乙行驶的路程为150+10+V（t）， ∴100t+150+10+V（t）＝360， ∴t， ∴02， 解得V， ∵限速为60≤V≤120， ∴V≤120， 若P在NB上，设甲的行驶时间为t，则t， 此时甲行驶路程为200+10+100（t），乙行驶的路程为V（t）， ∴200+10+100（t）+V（t）＝360， ∴t， ∴， 解得0＜V， ∵限速为60≤V≤120， ∴60≤V， 综上所述60≤V或V≤120． ▌题型03 工程问题 【典例1】 【解答】解：（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米， 依题意得：， 解得：． 答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米． （2）设调配m台A型挖掘机，则调配（12﹣m）台B型挖掘机， 依题意得：， 解得：6≤m≤9． 又∵m为正整数， ∴m可以为6，7，8，9， ∴施工时共有4种调配方案， 方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机； 方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机； 方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机； 方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机． 【变式1-1】 【解答】解：（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米， 根据题意得：， 解得：． 答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米； （2）设调配m台A型挖掘机，则调配（12﹣m）台B型挖掘机， 根据题意得：， 解得：6≤m≤9， 又∵m为正整数， ∴m可以为6，7，8，9， ∴施工时有4种调配方案， 方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机； 方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机； 方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机； 方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机． 【变式1-2】 【解答】解：（1）根据题意可得： （700﹣5×80）÷6＝50（米）， 答：B工程队每人每天能完成50米绿化带的建设． （2）设A工程队派出x人，则B工程队派出（20﹣x）人， ， 解得：17≤x≤19， ∵x为整数， ∴x＝17，18，19， ∴该公司有3种方案： 方案1：A工程队17人，B工程队3人； 方案2：A工程队18人，B工程队2人； 方案3：A工程队19人，B工程队1人． 【变式1-3】 【解答】解：（1）设A队平均每天完成x米绿化带，B队平均每天完成y米绿化带，依题意有 ， 解得． 故A队平均每天完成80米绿化带，B队平均每天完成50米绿化带； （2）设该公司决定派A工程队共a人参与建设绿化带，依题意有 ， 解得16≤a≤18， 故人事安排方案为：A：16，B：4或A：17，B：3或A：18，B：2． ▌题型04 方案设计问题 【典例1】 【解答】解：设建设x个大型租赁点，则建设（8﹣x）个小型租赁点． 根据题意，得， 解得， 又因为x为正整数，所以x可以取1，2，3． 因此，共有3种建设方案： ①建设1个大型租赁点，7个小型租赁点； ②建设2个大型租赁点，6个小型租赁点； ③建设3个大型租赁点，5个小型租赁点． 【变式1-1】 【解答】解：（1）设A种相册的售价是x元，B种相册的售价是y元，购买2本A种相册，3本B种相册需要110元，购买4本A种相册，5本B种相册需要200元． 则， 解得， 答：A种相册的售价是25元，B种相册的售价是20元； （2）设购买的A种相册的数量为m本， 解得15≤m≤20 ∵m为正整数， ∴m可取15，16，17，18，19，20， ∴家委会共有6种不同的购买方案，具体如下： 方案1：购买A种相册15本，B种相册30本； 方案2：购买A种相册16本，B种相册29本； 方案3：购买A种相册17本，B种相册28本； 方案4：购买A种相册18本，B种相册27本； 方案5：购买A种相册19本，B种相册26本； 方案6：购买A种相册20本，B种相册25本． 【变式1-2】 【解答】解：（1）设每辆A型新能源汽车的进价是x万元，每辆B型新能源汽车的进价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型新能源汽车的进价是24万元，每辆B型新能源汽车的进价是12万元； （2）设购进m辆A型新能源汽车，则购进（20﹣m）辆B型新能源汽车， 根据题意得：， 解得：6≤m， 又∵m为正整数， ∴m可以为6，7，8， ∴该经销商共有3种购车方案， 方案1：购进6辆A型新能源汽车，14辆B型新能源汽车； 方案2：购进7辆A型新能源汽车，13辆B型新能源汽车； 方案3：购进8辆A型新能源汽车，12辆B型新能源汽车． 【变式1-3】 【解答】解：（1）设A型烟花每箱x元，则B型烟花每箱（x+100）元， 依题意得20x+10（x+100）＝5500， 解得x＝150， 则x+100＝250， 答：A型烟花每箱150元，则B型烟花每箱250元； （2）设采购A型烟花m箱，则采购B型烟花（50﹣m）箱， 依题意得， 解得37≤m≤40， ∴m＝37或38或39或40， 答：该乡镇共有四种购买方案； （3）解：设分别购买A，B型烟花a，b箱， ∴150a+250b＝9000， 整理得，3a+5b＝180， ∴燃放时长：（12a+20b）×5＝（3a+5b）×4×5＝3600秒． 答：若仅购买A，B型烟花，可以燃放3600秒． ▌题型05 最值问题 【典例1】 【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）设购买m个B种品牌的足球， ， ∴23≤m≤25， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，（50﹣4）×25+80×0.8×25＝2750（元）． 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，（50﹣4）×26+80×0.8×24＝2732（元）； 方案3：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，（50﹣4）×27+80×0.8×23＝2714（元）； ∵2714＜2732＜2750， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，总费用为2714元． 【变式1-1】 【解答】解：（1）设釉色A款瓷器每套的售价为a元，釉色B款瓷器每套的售价为b元， 由题意得：， 解得：， 答：釉色A款瓷器每套的售价为350元，釉色B款瓷器每套的售价为680元； （2）设购进釉色A款瓷器为m套，则釉色B款瓷器为（20﹣m）套， 由题意得：， 解得：11m≤13， ∵m为整数， ∴m的值为12或13， ∴有两种进货方案： ①购进釉色A瓷器12套，釉色B瓷器8套； ②购进釉色A瓷器13套，釉色B瓷器7套； （3）按方案①进货时，其利润为：（350﹣300）×12+（680﹣600）×8＝1240（元）， 按方案②进货时，其利润为：（350﹣300）×13+（680﹣600）×7＝1210（元）， ∵1210＜1240， ∴该商店卖出这些瓷器的最大利润是1240元． 【变式1-2】 【解答】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元； （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车（20﹣m）辆． 根据题意列一元一次不等式组得，， 解得3≤m≤5， ∵m为整数， ∴m的值为3或4或5； ∴共有三种购买方案，利润为（30﹣25）m+（14﹣10）（20﹣m）＝（80+m）万元， 当m＝3时，利润为80+m＝80+3＝83（万元）； 当m＝4时，利润为80+m＝80+4＝84（万元）； 当m＝5时，利润为80+m＝80+5＝85（万元）； 答：共有3种购车方案，购进5辆A型、15辆B型时利润最高． 【变式1-3】 【解答】解：（1）设甲种纪念品每件需x元，乙种纪念品每件需y元， ， 解得：， 故：甲种纪念品每件需100元，乙种纪念品每件需50元； （2）设定制甲种纪念品m件， 3700≤100m+50（50﹣m）≤3800， 24≤m≤26， ∵m为整数， ∴m＝24，25，26， 故有3种方案； （3）由（2）知：三种方案的费用分别为： 当m＝25时，费用为10×25+20×（50﹣25）＝750元； 当m＝24时，费用为10×24+20×（50﹣24）＝760元； 当m＝26时，费用为10×26+20×（50﹣26）＝740元， ∵760＞750＞740， ∴在第（2）问的各种定制方案中，定制甲24件，乙26件时获利最大，最大利润为760元． ▌题型06 阶梯收费问题 【典例1】 【解答】解：（1）设该居民7月份的用水量为xm3，则该居民6月份的用水量为（42﹣x）m3， 根据题意得：， 解得：21＜x≤28． 答：x的取值范围为21＜x≤28； （2）根据题意得：2×17+2.5×（28﹣17）+1×28 ＝2×17+2.5×11+1×28 ＝34+27.5+28 ＝89.5（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）当21＜x＜25时，[2×17+2.5（x﹣17）+x]﹣[2×17+2.5（42﹣x﹣17）+（42﹣x）]＝130≠41，不符合题意，舍去； 当25≤x≤28时，[2×17+2.5（x﹣17）+x]﹣[2（42﹣x）+（42﹣x）]＝41， 解得：x＝27． 答：该居民7月份的用水量为27m3． 【变式1-1】 【解答】解：设本次通话时间为xmin． 由题意，得， 解不等式组，得15＜x≤16． 分析各选项，只有选项B符合题意． 故选：B． 【变式1-2】 【解答】解：根据题意得：， 解得：7＜x≤8， ∴甲地到乙地路程x满足7＜x≤8． 故选：D． 【变式1-3】 【解答】（1）设该用户5月份的用水量为x吨，根据题意得： 12×2+6×2.5+3（x﹣18）＝45， 解得x＝20， 答：该用户5月份的用水量为20吨． （2）设该用户月用水量为x吨， 若x＞18时，12×2+2.5×6＝39＞30（元），所以只能x＜18． 若x＜12，则由2x＝20，得x＝10； 若12＜x＜18，则由24+2.5（x﹣12）＜30，得x＜14.4， 所以10＜x＜14.4， 答：该户的月用水量应该控制在10吨到14.4吨之间． ▌题型7 销售问题 【典例1】 【解答】解：（1）设每盒即食奶片的进价为x元， 由题意，得4（x+6）＝7x， 解得x＝8， 传统奶豆腐的进价为8+6＝14（元）， 答：每盒传统奶豆腐进价为14元，每盒即食奶片进价为8元． （2）设购进传统奶豆腐m盒， 由题意，得， 解得160≤m≤180． 答：最多可购进传统奶豆腐180盒． 【变式1-1】 【解答】解：（1）设线上售价x元/个，线下售价y元/个 根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：线上30元/个，线下35元/个； （2）设线上销售a个， 根据题意列一元一次不等式组得：， 解得1000≤a≤1002， ∵a为整数， ∴a＝1000、1001、1002， ∴线上销售个数可能有1000个或1001个或1002个； （3）根据题意列式得：利润＝（30+m﹣15）a+（35﹣15）（4000﹣a）＝80000+（m﹣5）a， ∵预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值， ∴m﹣5＝0， 解得m＝5． 【变式1-2】 【解答】解：（1）设甲款服装x件，则乙款服装（300﹣x）件， 由题意列一元一次方程得：700x+800（300﹣x）＝230000， 整理得，100x＝10000， 解得x＝100， ∴300﹣x＝300﹣100＝200； 答：可以生产甲款服装100件，乙款服装200件； （2）设甲款服装m件， 根据题意列一元一次不等式组得： ， 解得， ∵m是正整数， ∴m的取值为334或335； 答：共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件． 【变式1-3】 【解答】解：（1）设“冰墩墩”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价为y元， 依题意得：， 解得：， 答：“冰墩墩”的销售单价为90元，“雪容融”的销售单价为60元． （2）设制作m个“冰墩墩”，则制作（100﹣m）个“雪容融”， 依题意得：， 解得：48≤m≤50， ∵m为正整数， ∴m的值为48、49、50， ∴有3种制作方案： ①制作48个“冰墩墩”，52个“雪容融”； ②制作49个“冰墩墩”，51个“雪容融”； ③制作50个“冰墩墩”，50个“雪容融”． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题31 一元一次不等式组实际应用 （题型突破·举一反三） 题型01 盈不足问题 题型02 行程问题 题型03 工程问题 题型04 方案设计问题 题型05 最值问题 题型06 阶梯收费问题 题型07 销售问题 ▌题型01 盈不足问题 1. 题型特征 经典分配题型：把物品分给若干人，出现分多了剩余（盈）、分少了不够分（不足），给出两组分配方案，利用物品总数不变，列不等式组求解人数、物品数量。 关键词：剩余、多出、不够、还差、不足、最少、最多。 2. 设人数为x，物品总数固定 （1）按第一种分配：总数量=每人分得数量盈余数量 （2）按第二种分配：总数量=每人分得数量不足数量 结合实际：第二种分配时，每人分这么多，总数不够分，即物品数＜单人数量×人数；同时第一种分配分完还有剩，物品数＞单人数量×人数，列出不等式组。 3. 解题步骤 （1） 设未知数：优先设分配的人数/组数为（整数） （2）用含代数式表示出物品总数量 （3）根据“有余、不足”列出不等式组： ①多分则不够：总数<分配量 ②少分则有剩：总数>分配量 （4）解不等式组，算出取值范围 （5）人数、物件必须是正整数，取整数解，回代算出物品数量。 【典例1】文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有x名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据每人送4本，则还余9本，即本数比学生数的4倍多9，如果每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足2本，即最后一人的本书大于等于0且小于2，据此即可得到结论． 【解答】解：根据题意，得， 故选：A． 【变式1-1】（2026春•滨城区期末）若干个苹果分给x个小孩，如果每人分3个，那么余7个；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果不足5个，则x满足的不等式组为（　　） A．0≤（3x+7）﹣5x＜5 B．0＜（3x+7）﹣5x＜5 C．0≤（3x+7）﹣5（x﹣1）＜5 D．0＜（3x+7）﹣5（x﹣1）＜5 【分析】先根据题意求出苹果总数，再表示出最后一人分得的苹果数，根据苹果数非负且最后一人分到的苹果不足5个，列出不等式组即可． 【解答】解：根据题意可得：0≤（3x+7）﹣5（x﹣1）＜5． 故选：C． 【变式1-2】（2026春•红河州期末）绿植进教室，书香伴成长．为了美化学习环境，某班级购进了一批多肉盆栽，班主任准备分发给几名同学养护，如果每人分3盆，剩余8盆；如果前面每名同学分5盆，最后一人分到盆栽，但不足3盆，则分发给（　　）名同学养护 A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】设同学人数为x，表示出多肉总数和最后一名同学分得的多肉数量，根据题干条件列出不等式组，求解后取正整数解即可得到结果． 【解答】解：设分发给x名同学养护，由题意可得： ， 由①得x＜6.5， 由②得x＞5， 因此不等式组解集为 5＜x＜6.5， ∴x＝6， 故选：A． 【变式1-3】（2026春•徐汇区校级期中）位育初级中学七年级某社团计划将全部同学分成若干小组，开展探究活动，如果每个小组8人，则还余3人，如果每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该社团的人数是　51或59　 ． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式组，然后根据组数为整数，即可计算出该社团人数． 【解答】解：设该社团有分了x组， ∵每个小组8人，则还余3人，如果每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人， ∴4＜（8x+3）﹣9（x﹣1）＜7， 解得5＜x＜8， ∵x为整数， ∴x＝6或7， 当x＝6时，该社团人数为8×6+3＝51；当x＝7时，该社团人数为8×7+3＝59； 故答案为：51或59． ▌题型02 行程问题 1. 题型特征 结合路程、速度、时间三者关系：路程=速度×时间，题干出现提前到达、迟到、限定时长、快慢追赶、往返行程，给出多个约束条件，列不等式组求解速度、时间的取值范围。 常见关键词：不少于、至多、不早于、不能超过、提前多久、迟到多久。 2. 两类常见题型 题型1：规定时间内赶路 固定总路程，限定： （1）速度太小，会迟到（用时＞规定时间） （2）速度足够大，会提前抵达（用时＜规定时间） 联立不等式组求合理速度范围。 题型2：追及、相遇行程约束 两人同向/相向行走，结合距离限制、先后到达条件列不等式组。 3. 通用解题五步 （1）设未知数：设行驶速度或行驶时间； （2）利用路程公式写出对应用时； （3）根据「迟到/提前/距离限制」列出不等式组； （4） 求解不等式组，算出取值区间； （5）结合实际：速度、时间大于0，取舍不合理解集，作答。 【典例1】绿波路段是城市交通管理的一项重要措施，它能够有效地解决交通拥堵问题，提高交通效率，为城市的可持续发展做出贡献，如图是绿波路段的一部分，该路段限速60千米/小时，AB间的距离为1000米，在路口B处绿灯时间为30秒，小车过路口A后，以36千米/小时的速度匀速行驶1分钟后，B路口小车通行方向变绿灯，若小车要在这个绿灯能顺利通过B路口，求小车行驶速度v的取值范围为 　48km/h≤v≤60km/h ． 【分析】利用路程＝速度×时间，结合AB间的距离及该路段的限速，可列出关于v的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：， 解得：48≤v≤60， ∴小车行驶速度v的取值范围为48km/h≤v≤60km/h． 故答案为：48km/h≤v≤60km/h． 【变式1-1】一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50km，要在12：00之前驶过A地，道路最高限速100km/h，该车速度v应满足的条件是 　75km/h＜v≤100km/h ． 【分析】根据题意得出行驶的时间，利用总路程÷总时间＝平均速度进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：11：20到12：00点是小时， 则， 解得75km/h＜v≤100km/h． 故答案为：75km/h＜v≤100km/h． 【变式1-2】小华在公园的环形跑道（周长大于1km）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前4km的记录如图所示．小华一共跑了21km且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 　15　 ． 【分析】可假设一圈的周长为lkm，根据四次记录的位置，得出关于l的不等式组，进而得出l的取值范围，再假设跑21km时，一共跑了x圈，根据x，l的等量关系可得出x的取值范围，最后根据x为正整数即可解决问题． 【解答】解：设环形跑道的周长为lkm， 则根据四次记录的位置可知， ， 解得， 所以． 假设小华跑21km时，一共跑了x圈， 则xl＝21， 所以x， 则， 因为x为正整数， 所以x＝15， 即小华一共跑了15圈． 故答案为：15． 【变式1-3】（2026春•安远县校级期末）如图（1），A，B两地间的公路长360km，其中有一段长10km的施工道路MN，M距离A地200km．甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发20min．在非施工道路（其限速情况如图（2）所示），甲车始终以100km/h的速度行驶，乙车始终以Vkm/h的速度行驶；在施工道路，两车均以40km/h的速度行驶． （1）若V＝90． ①甲车出发2h时，甲车行至M 处，乙车行至N 处；（填“M”“N”或“MN的中点”） ②甲车行至MN的中点时，乙车行驶的时间为　　 h． （2）已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上（P不与M，N重合），直接写出V的取值范围． 【分析】（1）①根据题意，分别得到MA＝200km，MN＝10km，NB＝150km，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在AM段和MN段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发20min，得到乙车所用时间； （2）①两车在P处相遇（P与N重合），分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在AM，NB上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为360km，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 【解答】解：（1）①∵依题意，MA＝200km，MN＝10km，AB＝360km， ∴NB＝150km， ∵甲车从A地出发，始终以100km/h的速度行驶， ∴甲车2小时共行驶了2×100＝200（km）， ∴甲车出发2小时，行至M处， ∵乙车从B地出发，比甲车晚出发20min小时，以90km/h的速度行驶， ∴乙车共行驶了90×（2）＝150（km）， ∴乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至MN的中点时，所用时间为：（h）， 此时乙车行驶所用时间：（h）， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为（h）， 此时乙车所用时间为（h）， ∴乙车的速度为V＝150（km/h）； ②P在非施工道路上（P不与M，N重合）， 若P在AM上，设甲的行驶时间为t，则0＜t＜2， 此时甲行驶路程为100t，乙行驶的路程为150+10+V（t）， ∴100t+150+10+V（t）＝360， ∴t， ∴02， 解得V， ∵限速为60≤V≤120， ∴V≤120， 若P在NB上，设甲的行驶时间为t，则t， 此时甲行驶路程为200+10+100（t），乙行驶的路程为V（t）， ∴200+10+100（t）+V（t）＝360， ∴t， ∴， 解得0＜V， ∵限速为60≤V≤120， ∴60≤V， 综上所述60≤V或V≤120． ▌题型03 工程问题 1. 题型特征 核心公式：工作总量=工作效率×工作时间，常设总工程量为单位1； 题干关键词：按期完工、提前做完、工期延后、工程量至少/至多、多人分工、分段施工，依靠工期约束列不 等式组求效率、人数、施工天数范围。 2. 解题五步 （1）  设未知数：设人数、每日工作量、施工天数； （2） 表示单日效率，写出分段完成的总工程量 ； （3） 根据题意列不等式组 - 要按期完工：总工程量任务总量 - 工期不能超时：总耗时规定天数 （4） 求解不等式组 ； （5） 人数、天数为正整数，筛选整数解作答。 【典例1】实施乡村振兴战略，打造乡村美丽家园．为解决某镇乡村灌溉问题，县政府部门招标一工程队，负责完成在某村山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知4台A型和2台B型挖掘机同时施工一小时挖土150立方米；3台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土195立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． （1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【分析】（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米，根据“4台A型和2台B型挖掘机同时施工一小时挖土150立方米；3台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土195立方米”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设调配m台A型挖掘机，则调配（12﹣m）台B型挖掘机，根据“12台挖掘机同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各调配方案． 【解答】解：（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米， 依题意得：， 解得：． 答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米． （2）设调配m台A型挖掘机，则调配（12﹣m）台B型挖掘机， 依题意得：， 解得：6≤m≤9． 又∵m为正整数， ∴m可以为6，7，8，9， ∴施工时共有4种调配方案， 方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机； 方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机； 方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机； 方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机． 【变式1-1】某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． （1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【分析】（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米，根据“3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设调配m台A型挖掘机，则调配（12﹣m）台B型挖掘机，根据“不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各调配方案． 【解答】解：（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米， 根据题意得：， 解得：． 答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米； （2）设调配m台A型挖掘机，则调配（12﹣m）台B型挖掘机， 根据题意得：， 解得：6≤m≤9， 又∵m为正整数， ∴m可以为6，7，8，9， ∴施工时有4种调配方案， 方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机； 方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机； 方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机； 方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机． 【变式1-2】（2025春•都昌县期中）为全力助推金溪建设，某公司拟派A，B两个工程队共同建设某区域的绿化带；已知A工程队每人每天能完成80米绿化带的建设，A工程队的5人与B工程队的6人合作每天能完成700米绿化带的建设．（假设同一个工程队的工人的工作效率相同） （1）求B工程队每人每天能完成多少米绿化带的建设； （2）该公司决定派A，B两个工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人，则该公司有哪几种安排方案？ 【分析】（1）用两工程队合作工作总量减去A工程队工作总量，再除以B工程队人数即可解答； （2）设A工程队派出x人，则B工程队派出（20﹣x）人，根据“每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人”列出不等式组，即可解答． 【解答】解：（1）根据题意可得： （700﹣5×80）÷6＝50（米）， 答：B工程队每人每天能完成50米绿化带的建设． （2）设A工程队派出x人，则B工程队派出（20﹣x）人， ， 解得：17≤x≤19， ∵x为整数， ∴x＝17，18，19， ∴该公司有3种方案： 方案1：A工程队17人，B工程队3人； 方案2：A工程队18人，B工程队2人； 方案3：A工程队19人，B工程队1人． 【变式1-3】为全力助推句容建设，大力发展句容旅游，某公司拟派A、B两个工程队共同建设某区域的绿化带．已知A工程队2人与B工程队3人每天共完成310米绿化带，A工程队的5人与B工程队的6人每天共完成700米绿化带． （1）求A队每人每天和B队每人每天各完成多少米绿化带； （2）该公司决定派A、B工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带总量不少于1480米，且B工程至少派出2人，则有哪几种人事安排方案？ 【分析】（1）设A队平均每天完成x米绿化带，B队平均每天完成y米绿化带，则依据等量关系：A工程队2人与B工程队3人每天共完成310米绿化带，A工程队的5人与B工程队的6人每天共完成700米绿化带，列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可以列出相应的不等关系式，从而可以求得有几种方案． 【解答】解：（1）设A队平均每天完成x米绿化带，B队平均每天完成y米绿化带，依题意有 ， 解得． 故A队平均每天完成80米绿化带，B队平均每天完成50米绿化带； （2）设该公司决定派A工程队共a人参与建设绿化带，依题意有 ， 解得16≤a≤18， 故人事安排方案为：A：16，B：4或A：17，B：3或A：18，B：2． ▌题型04 方案设计问题 1. 解题思路 （1）找出两个约束条件：总量上限、总量下限；总预算最多花多少、最少需要多少 （2）设其中一种物品数量为，用总数量表示出另一种物品数量 （3）根据限制条件列出一元一次不等式组 （4）解出取值范围，为正整数，筛选出全部整数解，对应一套就是一种方案。 2. 解题流程 （1）审题，锁定两个不等约束 （2）设未知数：设类数量，类用含式子表达 （3）列不等式组（数量约束+金额约束） （4） 求解不等式组，得到自变量取值区间 （5）取区间内所有正整数，逐条列举全部可行方案。 【典例1】（2026春•抚宁区期末）滨海小城计划建设一些共享单车租赁点．已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若小城计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？ 【分析】设建设x个大型租赁点，则建设（8﹣x）个小型租赁点，根据题意列不等式求出x范围，找出其中的正整数解即可求解． 【解答】解：设建设x个大型租赁点，则建设（8﹣x）个小型租赁点． 根据题意，得， 解得， 又因为x为正整数，所以x可以取1，2，3． 因此，共有3种建设方案： ①建设1个大型租赁点，7个小型租赁点； ②建设2个大型租赁点，6个小型租赁点； ③建设3个大型租赁点，5个小型租赁点． 【变式1-1】（2026春•福州校级期末）家委会计划用班费购买A，B两种相册共45本作为学生的毕业礼品，已知购买2本A种相册，3本B种相册需要110元，购买4本A种相册，5本B种相册需要200元． （1）求A，B两种相册的售价分别是多少元？ （2）若要求购买的A种相册的数量要不少于B种相册数量的，且购买总金额不超过1000元，则家委会有多少种不同的购买方案？ 【分析】（1）设A种相册的售价是x元，B种相册的售价是y元，购买2本A种相册，3本B种相册需要110元，购买4本A种相册，5本B种相册需要200元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购买的A种相册的数量为m本，则购买的B种相册的数量为（45﹣m）本，要求购买的A种相册的数量要不少于B种相册数量的，且购买总金额不超过1000元，据此列出不等式组并解不等式组即可． 【解答】解：（1）设A种相册的售价是x元，B种相册的售价是y元，购买2本A种相册，3本B种相册需要110元，购买4本A种相册，5本B种相册需要200元． 则， 解得， 答：A种相册的售价是25元，B种相册的售价是20元； （2）设购买的A种相册的数量为m本， 解得15≤m≤20 ∵m为正整数， ∴m可取15，16，17，18，19，20， ∴家委会共有6种不同的购买方案，具体如下： 方案1：购买A种相册15本，B种相册30本； 方案2：购买A种相册16本，B种相册29本； 方案3：购买A种相册17本，B种相册28本； 方案4：购买A种相册18本，B种相册27本； 方案5：购买A种相册19本，B种相册26本； 方案6：购买A种相册20本，B种相册25本． 【变式1-2】（2026春•黄山期末）随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元． （1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？ （2）该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司投入的购车资金不超过340万元．假设每辆A型汽车的售价为32万元，每辆B型汽车的售价为15万元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元，该经销商共有哪几种购车方案？ 【分析】（1）设每辆A型新能源汽车的进价是x万元，每辆B型新能源汽车的进价是y万元，根据“2辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计84万元；3辆A型新能源汽车和2辆B型新能源汽车的进价共计96万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型新能源汽车，则购进（20﹣m）辆B型新能源汽车，根据“公司投入的购车资金不超过340万元，且销售完这批汽车后获得的利润不少于90万元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购车方案． 【解答】解：（1）设每辆A型新能源汽车的进价是x万元，每辆B型新能源汽车的进价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型新能源汽车的进价是24万元，每辆B型新能源汽车的进价是12万元； （2）设购进m辆A型新能源汽车，则购进（20﹣m）辆B型新能源汽车， 根据题意得：， 解得：6≤m， 又∵m为正整数， ∴m可以为6，7，8， ∴该经销商共有3种购车方案， 方案1：购进6辆A型新能源汽车，14辆B型新能源汽车； 方案2：购进7辆A型新能源汽车，13辆B型新能源汽车； 方案3：购进8辆A型新能源汽车，12辆B型新能源汽车． 【变式1-3】（2026春•红谷滩区校级期末）根据以下素材，探索完成任务． 设计烟花采购方案 五一假期即将到来，为了吸引更多的游客，某乡镇决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长． 素材1 已知一箱A型烟花比一箱B型烟花少100元，购买20箱A型和10箱B型烟花需要5500元． 素材2 某烟花厂提供产品信息如下： （1）A型烟花每箱12发，B型烟花每箱20发． （2）本厂生产的所有型号烟花每发间隔5秒，且一发燃放完后另一发立即开始燃放． （3）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间． （1）求A、B型烟花每箱多少元？ （2）若该乡镇决定采购这两种型号的烟花共50箱，且购入的资金不少于8500元又不多于8800，则该乡镇共有几种购买方案？ （3）若该乡镇准备支出9000元（全部用完）购买这两种型号的烟花，可以燃放多少秒？ 【分析】（1）设A型烟花每箱x元，则B型烟花每箱（x+100）元，根据“购买20箱A型和10箱B型烟花需要5500元”列出一元一次方程即可解决； （2）设采购A型烟花m箱，则采购B型烟花（50﹣m）箱，根据“资金不少于8500元又不多于8800”列出一元一次不等式组即可解决； （3）设分别购买A，B型烟花a，b箱，根据“支出9000元购买烟花”这一条件得到一个二元一次方程，对方程整理化简，再用a，b表示出烟花的燃放时间，整体代入即可求出燃放时间． 【解答】解：（1）设A型烟花每箱x元，则B型烟花每箱（x+100）元， 依题意得20x+10（x+100）＝5500， 解得x＝150， 则x+100＝250， 答：A型烟花每箱150元，则B型烟花每箱250元； （2）设采购A型烟花m箱，则采购B型烟花（50﹣m）箱， 依题意得， 解得37≤m≤40， ∴m＝37或38或39或40， 答：该乡镇共有四种购买方案； （3）解：设分别购买A，B型烟花a，b箱， ∴150a+250b＝9000， 整理得，3a+5b＝180， ∴燃放时长：（12a+20b）×5＝（3a+5b）×4×5＝3600秒． 答：若仅购买A，B型烟花，可以燃放3600秒． ▌题型05 最值问题 1. 解题思路 （1）找出两个约束条件：总量上限、总量下限；总预算最多花多少、最少需要多少 （2）设其中一种物品数量为，用总数量表示出另一种物品数量 （3）根据限制条件列出一元一次不等式组 （4）解出取值范围，为正整数，筛选出全部整数解，对应一套就是一种方案 （5）分别核算每种方案成本或利润，对比选出最优方案。 2. 解题流程 （1）审题，锁定两个不等约束 （2）设未知数：设类数量，类用含式子表达 （3）列不等式组（数量约束+金额约束） （4） 求解不等式组，得到自变量取值区间 （5）取区间内所有正整数，逐条列举全部可行方案 （6）列式计算各方案总费用，比较大小确定最优方案。 【典例1】（2026春•武安市期末）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求 A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进 A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买 A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？ 【分析】（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买（50﹣m）个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）设购买m个B种品牌的足球， ， ∴23≤m≤25， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，（50﹣4）×25+80×0.8×25＝2750（元）． 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，（50﹣4）×26+80×0.8×24＝2732（元）； 方案3：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，（50﹣4）×27+80×0.8×23＝2714（元）； ∵2714＜2732＜2750， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，总费用为2714元． 【变式1-1】（2026春•玉泉区期末）“天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况： 销售时间 釉色A销售数量 釉色B销售数量 总售价 第1个月 7套 6套 6530元 第2个月 9套 5套 6550元 （1）求釉色A，B两款瓷器每套的售价分别为多少元？ （2）若釉色A瓷器的进价为300元，釉色B瓷器的进价为600元，现专卖店计划用不超过8500元购进釉色A，B两款瓷器一共20套，且釉色B瓷器的数量不少于釉色A瓷器数量的一半，请你帮忙计算有哪几种进货方案？（瓷器数量为整数） （3）在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润． 【分析】（1）设釉色A瓷器每套的售价为a元，釉色B瓷器每套的售价为b元，根据瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进釉色A瓷器为m套，则釉色B瓷器为（20﹣m）套，根据釉色A瓷器的进价为300元，釉色B瓷器的进价为600元，现专卖店计划用不超过8500元购进釉色A，B两款瓷器一共20套，且釉色B瓷器的数量不少于釉色A瓷器数量的一半，列出一元一次不等式组，解不等式组即可； （3）分别计算出每种进货方案的利润，进行比较即可． 【解答】解：（1）设釉色A款瓷器每套的售价为a元，釉色B款瓷器每套的售价为b元， 由题意得：， 解得：， 答：釉色A款瓷器每套的售价为350元，釉色B款瓷器每套的售价为680元； （2）设购进釉色A款瓷器为m套，则釉色B款瓷器为（20﹣m）套， 由题意得：， 解得：11m≤13， ∵m为整数， ∴m的值为12或13， ∴有两种进货方案： ①购进釉色A瓷器12套，釉色B瓷器8套； ②购进釉色A瓷器13套，釉色B瓷器7套； （3）按方案①进货时，其利润为：（350﹣300）×12+（680﹣600）×8＝1240（元）， 按方案②进货时，其利润为：（350﹣300）×13+（680﹣600）×7＝1210（元）， ∵1210＜1240， ∴该商店卖出这些瓷器的最大利润是1240元． 【变式1-2】（2026春•广元期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）该汽车销售公司计划购进这两种型号的汽车共20辆，用于拓展市场业务．该销售公司投入的购车资金不超过380万元，且为了保证销售时有足够的车型选择，规定购进的B型汽车数量不少于A型汽车数量的3倍．假设每辆A型汽车的售价为30万元，每辆B型汽车的售价为14万元，若要使销售完这两种汽车后的利润不少于83万元．该经销商共有几种购车方案？哪种方案的利润最高？ 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元建立方程组求解即可； （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车（20﹣m）辆，根据购车资金不超过380万元，购进的B型汽车数量不少于A型汽车数量的3倍且销售完这两种汽车后的利润不少于83万元建立不等式组求解即可． 【解答】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元； （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车（20﹣m）辆． 根据题意列一元一次不等式组得，， 解得3≤m≤5， ∵m为整数， ∴m的值为3或4或5； ∴共有三种购买方案，利润为（30﹣25）m+（14﹣10）（20﹣m）＝（80+m）万元， 当m＝3时，利润为80+m＝80+3＝83（万元）； 当m＝4时，利润为80+m＝80+4＝84（万元）； 当m＝5时，利润为80+m＝80+5＝85（万元）； 答：共有3种购车方案，购进5辆A型、15辆B型时利润最高． 【变式1-3】（2025春•平凉校级期末）崆峒旅游节期间，为了抓住旅游节带来的商机，某商店决定定制甲、乙两种旅游节纪念品．若定制甲种纪念品7件，乙种纪念品4件，需要900元；若定制甲种纪念品3件，乙种纪念品8件，需要700元． （1）求定制甲、乙两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定定制这两种纪念品共50件，考虑市场需求和资金周转，用于定制这50件纪念品的资金不少于3700元，但不超过3800元，那么该商店共有几种定制方案？ （3）若销售每件甲种纪念品可获利润10元，每件乙种纪念品可获利润20元，在第（2）问的各种定制方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设甲种纪念品每件需x元，乙种纪念品每件需y元，根据题意找到等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）设定制甲种纪念品m件，则乙种纪念品为（50﹣m）件，根据题意定制资金不少于3700元，但不超过3800元，列出一元一次不等式组求解，再根据m只能是整数得出方案数即可； （3）分别求出（2）中三种方案的费用，然后比较，即可求解． 【解答】解：（1）设甲种纪念品每件需x元，乙种纪念品每件需y元， ， 解得：， 故：甲种纪念品每件需100元，乙种纪念品每件需50元； （2）设定制甲种纪念品m件， 3700≤100m+50（50﹣m）≤3800， 24≤m≤26， ∵m为整数， ∴m＝24，25，26， 故有3种方案； （3）由（2）知：三种方案的费用分别为： 当m＝25时，费用为10×25+20×（50﹣25）＝750元； 当m＝24时，费用为10×24+20×（50﹣24）＝760元； 当m＝26时，费用为10×26+20×（50﹣26）＝740元， ∵760＞750＞740， ∴在第（2）问的各种定制方案中，定制甲24件，乙26件时获利最大，最大利润为760元． ▌题型06 阶梯收费问题 1. 题型特征 水费、电费、燃气费、打车费、话费、快递运费，分段定价，用量不同单价不一样；给出总费用范围，列不等式组求使用量区间。 关键词：分段计价、第几阶梯、超出部分另算、总费用不少于/不超过。 核心逻辑：总价=每一档基础费用+超出档位部分×高阶单价。 2. 解题核心思路 （1）划分收费区间，熟记每一档用量界限、对应单价； （2）设总使用量为，先判断落在第几阶梯； （3）分情况列出对应计价代数式； （4）结合总费用的上下限制，列出一元一次不等式组； （5）求解解集，结合分段区间取舍，得出最终取值范围。 3. 解题步骤 （1）审题划出各阶梯用量、对应单价； （2）设用水量/里程/用气数量为未知数； （3）分段写出不同区间的收费计算公式； （4）根据总费用范围列不等式组； （5）联立区间范围，取公共解集作答。 【典例1】（2025秋•天台县期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二：▲ 2.5 ▲ 阶段二：▲ 1 ▲ 本期实付金额（大写） ▲ （注：居民生活用水水费＝自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． （1）设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； （2）该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； （3）若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【分析】（1）设该居民7月份的用水量为xm3，则该居民6月份的用水量为（42﹣x）m3，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2）求出当7月份用水量是28m3时的水费即可； （3）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该居民7月份的用水量为xm3，则该居民6月份的用水量为（42﹣x）m3， 根据题意得：， 解得：21＜x≤28． 答：x的取值范围为21＜x≤28； （2）根据题意得：2×17+2.5×（28﹣17）+1×28 ＝2×17+2.5×11+1×28 ＝34+27.5+28 ＝89.5（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）当21＜x＜25时，[2×17+2.5（x﹣17）+x]﹣[2×17+2.5（42﹣x﹣17）+（42﹣x）]＝130≠41，不符合题意，舍去； 当25≤x≤28时，[2×17+2.5（x﹣17）+x]﹣[2（42﹣x）+（42﹣x）]＝41， 解得：x＝27． 答：该居民7月份的用水量为27m3． 【变式1-1】小丽星期天晚上打电话向老师请教数学问题，本地固定电话的收费标准是前3min0.2元（不足3min按3min计算），以后0.1元/min（不足1min按1min计算）．通过查询费用得知，本次通话产生话费为1.5元，则本次通话时间可能是（　　） A．15min B．15min C．16min D．13min 【分析】由于1.5元＞0.2元，可知本次通过时间超过3min，通话产生的话费＝3min以内的费用+超出3min部分的费用，设本次通话时间为xmin，根据通话xmin的费用大于（1.5﹣0.1）元且不大于1.5元列不等式组求解． 【解答】解：设本次通话时间为xmin． 由题意，得， 解不等式组，得15＜x≤16． 分析各选项，只有选项B符合题意． 故选：B． 【变式1-2】（2026春•杨浦区校级月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程x满足（　　） A．x＝8.5 B．7≤x＜8 C．7≤x≤8 D．7＜x≤8 【分析】根据某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，结合计费标准，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：， 解得：7＜x≤8， ∴甲地到乙地路程x满足7＜x≤8． 故选：D． 【变式1-3】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 （1）某户5月份交水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？ （2）要使月所缴水费控制在20元至30元之间，则该户的月用水量应该控制在什么范围内？ 【分析】（1）易得用水量超过了12吨，那么等量关系为：12吨的水费+超过12吨的水费＝45，把相关数值代入计算即可； （2）若水费为20元，则用水吨数为10吨，易得所用水的吨数在12吨﹣18吨之间，进而让12吨的水费+超过12吨的水费≤30可得能用水吨数的最大值． 【解答】（1）设该用户5月份的用水量为x吨，根据题意得： 12×2+6×2.5+3（x﹣18）＝45， 解得x＝20， 答：该用户5月份的用水量为20吨． （2）设该用户月用水量为x吨， 若x＞18时，12×2+2.5×6＝39＞30（元），所以只能x＜18． 若x＜12，则由2x＝20，得x＝10； 若12＜x＜18，则由24+2.5（x﹣12）＜30，得x＜14.4， 所以10＜x＜14.4， 答：该户的月用水量应该控制在10吨到14.4吨之间． ▌题型7 销售问题 （1）设价列式：设进价、售价或数量为未知数，根据销售额、利润、利润率等公式建立不等式（组）。 （2）双量关系：常见两个等量关系，如“总进价=进价×数量”与“总利润=（售价-进价）×数量”组合。 （3）理清公式：熟记利润=售价-进价、利润率=利润/进价×100%等基本关系。 （4）单位统一：涉及折扣时，先将折扣价表示为原价的十分之几（如六折=0.6倍）。 【典例1】（2026•科尔沁区校级模拟）为推广内蒙古特色美食，某食品店推出传统奶豆腐和即食奶片两种包装产品．已知购进4盒传统奶豆腐与购进7盒即食奶片的费用相同，每盒传统奶豆腐的进价比每盒即食奶片的进价高6元． （1）求每盒传统奶豆腐和每盒即食奶片的进价各是多少元？ （2）为迎接“草原旅游节”，该店计划用不超过3000元的资金购进这两种产品共240盒．若传统奶豆腐每盒售价为20元，即食奶片每盒售价为12元，且全部售出后利润不低于1280元，则最多可购进传统奶豆腐多少盒？ 【分析】（1）设每盒即食奶片的进价为x元，则每盒传统奶豆腐的进价为（x+6）元，根据“购进4盒传统奶豆腐与购进7盒即食奶片的费用相同”列方程求解即可； （2）设购进传统奶豆腐m盒，则购进即食奶片（240﹣m）盒，根据题意列不等式组求解即可． 【解答】解：（1）设每盒即食奶片的进价为x元， 由题意，得4（x+6）＝7x， 解得x＝8， 传统奶豆腐的进价为8+6＝14（元）， 答：每盒传统奶豆腐进价为14元，每盒即食奶片进价为8元． （2）设购进传统奶豆腐m盒， 由题意，得， 解得160≤m≤180． 答：最多可购进传统奶豆腐180盒． 【变式1-1】（2026春•合肥校级期中）新情景：（地方特色）利用以下素材解决问题． 素材1 “中国第一水乡”周庄，不仅有小桥流水的古韵，更藏着许多手工制作、传承百年的江南特色小吃，如袜底酥、青团、万三蹄等特色小吃，其中，万三蹄因明代富商沈万三而得名． 素材2 周庄古镇内某商店销售万三蹄，成本价是15元/个，分为线上，线下两种方式，都是整个出售，其中，线上1个和线下2个的售价共100元，线上2个和线下1个的售价共95元，五一小长假即将到来，预计今年5月1号到5号这五天的线上销售个数不多于1002个，两种方式的总销售个数达到4000个，总销售金额不多于135000元． （1）求万三蹄线上，线下的售价分别是每个多少元． （2）预计今年五一小长假万三蹄的线上销售个数可能有多少个？ （3）若万三蹄线上售价上涨m元/个，线下售价不变，则预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，请直接写出m的值． 【分析】（1）设线上售价x元/个，线下售价y元/个，根据题意列出方程组求解即可； （2）设线上销售a个，线下销售（4000﹣a）个，根据题意列出不等式组即可求解； （3）根据题意列出代数式，然后化简即可． 【解答】解：（1）设线上售价x元/个，线下售价y元/个 根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：线上30元/个，线下35元/个； （2）设线上销售a个， 根据题意列一元一次不等式组得：， 解得1000≤a≤1002， ∵a为整数， ∴a＝1000、1001、1002， ∴线上销售个数可能有1000个或1001个或1002个； （3）根据题意列式得：利润＝（30+m﹣15）a+（35﹣15）（4000﹣a）＝80000+（m﹣5）a， ∵预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值， ∴m﹣5＝0， 解得m＝5． 【变式1-2】（2026春•江北区校级月考）某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： （1）若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 【分析】（1）设甲款服装x件，则乙款服装（300﹣x）件，然后根据题意可得方程700x+800（300﹣x）＝230000，进而求解即可； （2）设甲款服装m件，则乙款服装（500﹣m）件，由题意可列出不等式组，进而求解即可． 【解答】解：（1）设甲款服装x件，则乙款服装（300﹣x）件， 由题意列一元一次方程得：700x+800（300﹣x）＝230000， 整理得，100x＝10000， 解得x＝100， ∴300﹣x＝300﹣100＝200； 答：可以生产甲款服装100件，乙款服装200件； （2）设甲款服装m件， 根据题意列一元一次不等式组得： ， 解得， ∵m是正整数， ∴m的取值为334或335； 答：共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件． 【变式1-3】（2026•渠县校级模拟）在北京进行的2022年冬季奥运会和冬季残奥会备受世界人士关注．吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具随之大卖，购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元． （1）分别求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的销售单价． （2）若每个“冰墩墩”玩具制作成本为60元，每个“雪容融”玩具成本为40元，准备制作两种吉祥物玩具共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次吉祥物玩具，利润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？ 【分析】（1）设“冰墩墩”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价为y元，由题意：购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”共需1020元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设制作m个“冰墩墩”，则制作（100﹣m）个“雪容融”，由题意：总成本不超过5000元，且销售完该批次吉祥物，利润不低于2480元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【解答】解：（1）设“冰墩墩”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价为y元， 依题意得：， 解得：， 答：“冰墩墩”的销售单价为90元，“雪容融”的销售单价为60元． （2）设制作m个“冰墩墩”，则制作（100﹣m）个“雪容融”， 依题意得：， 解得：48≤m≤50， ∵m为正整数， ∴m的值为48、49、50， ∴有3种制作方案： ①制作48个“冰墩墩”，52个“雪容融”； ②制作49个“冰墩墩”，51个“雪容融”； ③制作50个“冰墩墩”，50个“雪容融”． 1 / 2 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