第02讲 成对数据的统计分析（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦成对数据的统计分析，涵盖回归分析（相关关系、相关系数、线性/非线性回归、残差分析）和独立性检验（列联表、卡方检验）核心考点，按“概念辨析-方法应用-真题验证”逻辑架构知识体系，通过知识解构、题型破译（含8类题型及方法技巧）、真题溯源等环节，帮助学生系统突破统计计算与规范表述难点。 讲义突出“问题情境-数学建模-数据分析”教学路径，如非线性回归通过换元转化为线性模型，培养学生数学思维与模型意识。设置分层练习（自主检测、变式题）和核心素养对标训练，确保高效突破高频考点，为教师提供精准复习节奏把控方案，助力学生提升统计问题解决能力。

第02讲 成对数据的统计分析 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 回归分析 知识点2 独立性检验 题型破译 (含超链接） 题型1相关关系与函数关系的辨析 【方法技巧】定义区分法 题型2相关系数的计算与应用 题型3样本中心点的应用 【方法技巧】中心点代入求值法 题型4残差分析与相关指数 【方法技巧】残差、R2拟合判定法 题型5线性回归分析 题型6非线性回归分析 【方法技巧】换元线性转化法 题型7独立性检验的概念理解 题型8独立性检验的应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 独立性检验 —— 全国一卷T15（15分） 全国甲卷T17（12分） 考情分析 近三年考情显示，该部分内容考察较稳定，小题常考相关系数正负、样本中心点基础判断；解答题也有涉及，高频考查线性回归求解、2×2列联表与卡方独立性检验，偶尔涉及换元型非线性回归、残差拟合分析。命题均结合生活、经济真实情境，整体难度中等，侧重公式运算与统计结论规范表述，计算量适中，是稳定拿分的中档题型。 复习目标 1.能区分相关关系与函数关系，借助相关系数判断相关程度，掌握样本中心点相关计算。 2.熟练求解线性回归方程，会换元处理非线性回归，能用残差、相关指数评判拟合效果。 3.会整理 2×2 列联表，准确计算卡方统计量，依据临界值规范完成独立性检验。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 回归分析 一、相关关系 1.相关关系定义 两个变量存在关联，但无法通过一个变量精准计算出另一个变量，这类不确定的依存关系叫做相关关系。 2.相关关系两种分类 （1）依据增减变化趋势分为正相关、负相关 ①正相关：一个变量增大，另一变量整体同步增大； ②负相关：一个变量增大，另一变量整体随之减小。 （2）依据图像特征分为线性相关、非线性相关 ①线性相关：数据散点集中分布在某条直线两侧； ②非线性相关（曲线相关）：变量具备相关性，但散点无直线分布特征。 二、相关关系的刻画 1.散点图 将每组成对数据作为平面直角坐标系内的点，全部点构成的统计图即为散点图，可直观观察变量变化趋势。 2.样本相关系数 （1）作用：精准量化两组成对数据线性相关的强弱程度； （2）取值范围： ①，变量为正相关；，变量为负相关； ②越靠近1，线性相关程度越强；越靠近0，线性相关程度越弱。 三、一元线性回归模型 为关于的一元线性回归模型。 是因变量（响应变量），是自变量（解释变量）；为截距参数，为斜率参数；代表随机误差。若，与满足确定一次函数关系。 四、最小二乘法 称作经验回归方程，对应直线为经验回归直线。 通过最小二乘法求解，二者分别是参数的最小二乘估计，配套对应计算公式。 五、残差与残差分析 1.残差概念 响应变量实际测量得到的数值为观测值，代入回归方程算出的数值为预测值；观测值减去预测值的结果叫做残差。 2.残差分析 残差可以估算随机误差，借助残差能够判断回归模型贴合数据的效果，同时排查原始数据里的异常可疑值，整套分析流程为残差分析。 自主检测 1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，并分别求得样本相关系数如表： 甲 乙 丙 丁 0.82 0.68 0.69 0.85 则试验结果体现两变量具有更强的线性相关性的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】由表格知，相关系数绝对值最大的是丁，故试验结果体现两变量具有更强的线性相关性的是丁. 2．现有下表所示的一组观测数据（；），若与的线性回归方程为，则对应的离差为（   ） A．11.6 B．8.4 C．7.4 D．1.6 【答案】D 【详解】由观测数据可知，当 时，， 而对应计算回归预测值，可得， 因此根据离差定义. 知识点2 独立性检验 一、分类变量 用于区分不同现象、不同属性的特殊随机变量称为分类变量，分类变量的各类取值可以用数字简单代替表示。 二、2×2列联表 1.作用：记录两组分类变量交叉统计得到的频数数据； 2.标准表格结构 设分类变量，统计表格形式如下： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 三、独立性检验 1.定义：借助卡方统计量判断两个分类变量是否相互独立，该方法叫独立性检验； 2.卡方公式：，总样本量； 3.完整解题步骤 （1）提出零假设：变量相互独立，结合题意说明含义； （2）根据统计数据搭建2×2列联表，计算数值，和给定临界值对比； （3）对照检验标准，给出独立性相关推断结论； （4）若判定变量不独立，可对比各组频率，分析变量间的影响规律。 自主检测 3．某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据制作列联表，提出原假设：“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系，计算得，由此可知（     ）．（显著性水平取0.05，） A．接受原假设，没有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C．接受原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系 【答案】B 【详解】由于且，故拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系. 4．秦腔是陕西最具代表性的戏曲艺术，2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产名录.为研究是否喜爱秦腔与年龄之间的关系，并为传统文化保护提供数据支持，某文化调研队在西安市随机抽取了200名当地居民进行调查，得到如下列联表： 单位：人 秦腔 年龄 合计 40岁以下 40岁及以上 喜爱 45 45 90 不喜爱 75 35 110 合计 120 80 200 (1)年龄在40岁及以上的当地居民中，喜爱秦腔的概率为，求的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜爱秦腔与年龄有关？ 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：. 【答案】(1). (2)可以认为是否喜爱秦腔与年龄有关. 【分析】 【详解】（1）用样本频率估计总体概率，因为年龄在40岁及以上的当地居民喜爱秦腔的频率为， 所以的估计值为. （2）假设 ：是否喜爱秦腔与年龄无关， 题意可知， 因为，所以假设不成立， 即在犯错误的概率不超过的条件下，可以认为是否喜爱秦腔与年龄有关. 题●型●破●译 题型1 相关关系与函数关系的辨析 例1-1（2025·黑龙江黑河·模拟预测）观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系系数为，图2两个变量的相关关系系数为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①分析图的相关系数：观察图1，散点图中的点大致分布在从左上到右下的带状区域内， 随着的增大，总体呈减小趋势，根据相关系数的定义，两个变量呈负相关，故； ②分析图的相关系数：观察图2，散点图中的点大致分布在从左下到右上的带状区域内， 随着的增大，总体呈增大趋势，根据相关系数的定义，两个变量呈正相关，故； 此外，观察图中点的分布比图1更紧密地围绕在一条直线附近，说明图的线性相关性更强，即， 对于A，，，且，所以，A正确； 对于B，，，所以，B错误； 对于CD，，，所以，CD错误． 例1-2（2025·黑龙江双鸭山·一模）有下列关系； ①炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③柑橘的产量与气温之间的关系； ④森林的同一种树木，其横断面积直径与高度之间的关系． 其中具有相关关系的是__________．（填序号） 【答案】①③④ 【详解】相关关系是变量间不确定的依存关系，非函数关系. ①炼钢时钢水含碳量与冶炼时间，存在不确定依存，是相关关系； ②曲线上点与坐标是一一对应函数关系，不是相关关系； ③柑橘产量与气温，存在不确定依存，是相关关系； ④树木横断面直径与高度，存在不确定依存，是相关关系. 故答案为：①③④ 方法技巧 定义区分法 区分核心依据是变量间是否存在唯一确定对应关系。函数关系是确定性关系，给定自变量能算出唯一因变量；相关关系是非确定性关系，变量有变化趋势但无精准计算公式。 结合生活实例辅助判断，身高与体重、气温与销量属于相关关系；正方形边长与面积、路程与匀速时间属于函数关系，做题先判断有无精确表达式。 【变式1-1】（2026·四川南充·二模）如下四个散点图中，负相关的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】负相关，即随一个量增大另外一个量减少， A为正相关，BD不相关，C负相关. 【变式1-2】（2026·甘肃天水·二模）在下列两个量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．正n边形的边数与内角度数之和 【答案】C 【详解】A、D是函数关系；B是不相关关系，也不是函数关系； C是相关关系，一般来说，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多. 【变式1-3】（2026·山东淄博·模拟预测）（多选）对于样本相关系数，下列说法正确的是（    ） A．的正负可以反映成对样本数据是正相关还是负相关 B．的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度 C．的值越大，成对样本数据之间线性相关的程度越强 D．的取值范围是 【答案】AB 【详解】对于A项，当时，称成对样本数据正相关，当时，称成对样本数据负相关，故A项正确； 对于B，C两项，当越接近1时，成对样本数据之间线性相关的程度越强， 当越接近0时，成对样本数据之间线性相关的程度越弱，故B项正确，C项错误； 对于D项，的取值范围是，故D项错误． 题型2 相关系数的计算与应用 例2-1（2026·福建南平·模拟预测）样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，所有样本点都落在直线上，则这组样本数据的相关系数为（     ） A．1 B． C． D．-1 【答案】A 【详解】所有样本点都落在直线上,斜率,所以这组样本数据正相关且相关系数为1. 例2-2（2026·湖北黄冈·模拟预测）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x（单位：年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限x（单位：年） 1 2 3 4 5 6 7 失效费y（单位：万元） 2.90 3.30 3.60 4.40 4.80 5.20 5.90 由上表数据可知，y与x的相关系数为______. （精确到0.01，参考公式和数据：，，，） 【答案】0.99 【详解】由题意，知， ， . 所以. 所以y与x的相关系数近似为0.99. 故答案为：0.99. 【变式2-1】（2025·四川自贡·三模）某田径协会开展竞走的步长和步时之间的关系的课题研究，得到相应的实验数据： 步时x（单位：s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长y（单位：） 90 95 99 103 117 则该课题研究竞走的实验数据中的步长和步时之间的相关系数为________．（精确到0.01） 参考公式：相关系数；参考数据：，，，． 【答案】0.95 【详解】由参考数据可知，， 所以. 【变式2-2】（2026·四川攀枝花·模拟预测）某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________．（结果保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：） 【答案】 【详解】由题意得，，，，， 故. 【变式2-3】大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 零件的横截面积 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52 耗材量 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.9 并计算得，． (1)估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量； (2)求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）． 附：相关系数；． 【答案】(1)横截面积为，耗材量为． (2)0.94 【分析】 【详解】（1）解：样本中10个这种零件的横截面积的平均值， 样本中10个这种零件的耗材量的平均值， 由此可估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积为，平均一个零件的耗材量为． （2）解：由表格中的参考数据和相关系数的公式，可得 ， 所以这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数. 题型3 样本中心点的应用 例3-1（2025·山东青岛·一模）一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则_______． 9 9.5 10 10.5 11 11 10 6 5 【答案】8 【详解】根据表中数据可知， ， 因为回归方程经过样本中心点， 代入回归直线方程可得，解得. 例3-2（2025·山东济宁·一模）（多选）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．在研究树高（单位：）与胸径（单位：）之间的关系时，某同学收集了某种树的组观测数据（如下表），假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则（     ） 胸径 树高 A．树高与胸径正相关 B．胸径每增加，树高一定增加 C． D．当胸径时，树高的残差为 【答案】ACD 【详解】对于A：经验回归方程斜率为正，树高与胸径正相关，A正确； 对于B：胸径每增加1cm，树高是平均增加1.32m，并非一定增加，不符合回归分析的统计意义，B错误； 对于C：计算得样本均值，回归直线过样本中心点， 代入回归方程得， 所以，解得，C正确； 对于D：时预测值，残差为，D正确， 方法技巧 中心点代入求值法 样本中心点是所有样本数据横、纵坐标平均值，核心结论：经验回归直线一定经过该点，是解题核心突破口。 已知斜率求截距，直接代入中心点公式计算；缺少均值时先根据已知样本数据求出、。 【变式3-1】（2026·河南平顶山·一模）(多选题）为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了几台型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间（单位：年）与当年所需要支出的维修费用（单位：千元）有如下统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到经验回归方程为，则下列错误的是（    ） A．与的样本相关系数 B． C．表中维修费用的第60百分位数为6 D．该型跑步机已投入使用的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38千元 【答案】AD 【详解】对于选项A：由经验回归方程得与正相关， 故样本相关系数，A错误； 对于选项B： ， 由经验回归直线过样本中心点，得 ，B正确； 对于选项C：样本量为5，，故第60百分位数为 ，C正确； 对于选项D：由，当时，，但经验回归方程是预测模型，当年维修费用约为12.38千元，并非一定，D错误. 【变式3-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集的数据如下表所示．根据最小二乘法，得到的经验回归方程为，则（    ） 零件数（个） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间（） 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 A．变量与正相关 B．回归直线一定过点 C． D．预测该车间用时可加工零件约217个 【答案】ACD 【详解】A：由表格中的数据可知：随着变量的增加，变量也增加，因此变量与正相关，所以本选项说法正确； B：因为， ， 所以回归直线一定过点，因此本选项说法不正确； C：把代入中，得，所以本选项正确； D：把代入中，得，解得，所以本选项正确. 【变式3-3】（2025·陕西榆林·一模）某学习小组对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数______. 【答案】/ 【详解】由题意可得，假设甲输入的为， 则，则， 且，则， 则改为正确数据时，，即， ，即， 所以正确的样本中心点为， 将点代入回归直线方程，得. 题型4 残差分析与相关指数 例4-1（2026·广东广州·二模）已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加两个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为，所以，因为经验回归方程过点， 所以，所以增加两个数据后的，， 修正后的回归直线为，而修正后的回归直线过点，即 ， 所以，解得，所以修正后的回归直线为 ， 所以数据 相对于修正后的回归直线的残差为 ． 例4-2（2026·四川达州·二模）根据变量和的成对样本数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，模型误差（   ） A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．不满足一元线性回归模型的的假设 C．不满足一元线性回归模型的的假设 D．不满足一元线性回归模型的和的假设 【答案】C 【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为，方差为的随机变量的观测值， 在残差图中显示应均匀分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内． 根据对应的残差图，残差的均值可能成立， 但明显残差随着的增大偏差增大，不满足一元线性回归模型的假设. 方法技巧 残差、拟合判定法 明确残差=观测值预测值，残差越接近0，回归模型拟合效果越好；残差图均匀分布在横轴两侧无规律波动，说明模型合适。 相关指数刻画拟合精度，，数值越靠近1，模型对数据解释能力越强，拟合效果越好。 【变式4-1】（2025·江西宜春·一模）某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量，之间的相关关系，统计样本数据得到如下表格：由表格中的数据可以得到与的经验回归方程大致为，据此计算，取时的残差为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由表格数据知：，， ，经验回归方程为； 时，观测值为，预测值为， 所以取时的残差为. 【变式4-2】（2025·广东梅州·二模）（多选）根据儿子的身高与父亲的身高相关关系研究中的一组数据，作出如图所示的散点图，对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加该点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（   ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数变大 D．相关系数变小 【答案】AD 【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差； 选项A，决定系数越接近1，拟合效果越好，所以拟合效果变差后决定系数变小，A正确； 选项B，残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大，B错误； 选项C，越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小，C错误，D正确 【变式4-3】（2026·黑龙江鹤岗·二模）（多选）一组样本数据，．其中，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，，分布如图所示，且，则（    ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 【答案】ABD 【详解】由经验回归方程中斜率，可知样本负相关，故A正确； 因为样本均值分别为， 由样本中心在经验回归直线上，代入经验回归方程：， 解得，故B正确； 由残差分布图可知，图1中残差的分布比较分散，波动较大；图2中残差的分布比较集中，波动较小. 因为方差反映数据的离散程度（波动大小），所以 ,故C错误； 决定系数用于刻画回归模型的拟合效果，越大，拟合效果越好. 由图可知，处理后的残差波动更小，说明残差平方和更小，模型拟合效果更好，因此决定系数变大，故D正确。 题型5 线性回归分析 例5-1（2025·江苏南通·三模）立足“天地之中、华夏之源、功夫郑州”城市文旅品牌，依托少林寺、只有河南·戏剧幻城等核心景区，郑州精心打造功夫玩偶、考古盲盒、姓氏书签、文物冰箱贴等一系列具有中原文化底蕴的文创产品．某重点景区统计发现：景区日均客流量越大，文创产品日均销售额越高，数据如下： 景区日均客流x（万人次） 2 3 4 5 6 文创产品日均销售额y（万元） 8 11 14 16 19 (1)求出y关于x的线性回归方程； (2)若该景区日均客流达到7万人次，预测文创产品日均销售额． 参考公式：， 【答案】(1) (2)万元 【分析】 【详解】（1），， ， ， 则，， 所以 （2）令得， 故预测文创产品日均销售额为万元. 例5-2（2026·辽宁阜新·一模）百色市某村为实现乡村振兴，开发本地资源办企业，最近研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，特对不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据做了统计： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 已知，． (1)求和的值； (2)求y关于x的一元线性回归方程；（参考公式：，） (3)如价格定为15元，预测网上月销量大约是多少万件？ 【答案】(1)， (2) (3)5.5万件 【分析】 【详解】（1），； （2）因为，，，， 所以， 又， 所以y关于x的一元线性回归方程； （3）当时，， 所以价格定为15元，预测网上月销量大约是5.5万件. 【变式5-1】（2025·浙江温州·二模）由下表中的成对样本数据得到经验回归方程为，则（     ） x 1 2 3 4 5 y 2 4 5 6 8 附：①经验回归方程中，，； ②参考数据：，． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ，， 则，， 得． 【变式5-2】（2025·广东江门·三模）某商家为了解某种新产品的广告费投入（单位：万元）与该产品的销售量（单位：万件）之间的相关关系，收集了近5个月的相关数据如下表： 广告费投入/万元 2 4 5 6 8 销售量/万件 3 4 6 5 7 (1)求关于的经验回归方程； (2)根据（1）中的回归方程预测，若该商家希望下个月该产品的销售量达到8.25万件，大约需要投入多少万元的广告费？ 附：回归方程中，，． 【答案】(1) (2)10 【详解】（1）由表中数据可求得，， 所以， 所以关于的经验回归方程为； （2）由（1）得，，解得， 所以该商家希望下个月该产品的销售量达到8.25万件，大约需要投入10万元广告费． 【变式5-3】（2025·辽宁盘锦·一模）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表： x（年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 y（脂肪含量/%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 数据经初步处理得，，，． (1)计算样本相关系数r（精确到0.01），并说明该成对样本数据的线性相关程度； (2)若y关于x的线性回归方程为，求y关于x的线性回归方程（精确到0.01），并计算当年龄为60岁时的残差． 附：（1）参考公式：相关系数，一组数据的回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，； （2）参考数据：，． 【答案】(1)0.98，推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强 (2)，1.24 【分析】 【详解】（1），          ，                         ，                      由相关系数，推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强； （2）由回归方程可知， 因为回归直线过样本点的中心，即，解得，           所以y关于x的线性回归方程为，           将代入上式可得，     所以年龄为60岁时的残差为． 题型6 非线性回归分析 例6-1（2025·广东阳江·二模）某图书馆统计了二月份到六月份线上预约入馆的人次，x表示月份，y表示每月线上预约入馆的人次（单位：千人次）．已知变量y与变量x的关系可以用模型拟合，设，变换后得到一组数据如下： x 2 3 4 5 6 z 1.0 1.4 1.5 1.7 1.9 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对拟合模型两边同时取自然对数，可得， 由，可得线性变换后的回归方程为； 计算样本中心点： ， ， 由于线性回归直线必过样本中心点，将其代入线性回归方程得： ， 计算得，因此，故. 例6-2（2026·四川资阳·二模）脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换，埃隆马斯克宣布，该试验可以实现意念控制手机和电脑，未来10到20 年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量(单位：亿元)与研发人员增量(单位：人)的10组数据，现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图： 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 . 7.5 2.25 82.50 4.50 11.55 3.24 (1)根据残差图，判断哪个更适合作为回归模型？(给出判断即可，不必说明理由 (2)根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程； （ii）预测要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？(结果精确到 1) 附:对于一组具有线性相关关系的数据 ，其经验回归直线 的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为: 【答案】(1)模型② (2)（i）；（ii）9人 【分析】 【详解】（1）选择模型②，理由如下 由残差图可知，模型②的残差点比较均匀地落在水平带状区域中，且带状区域宽度比模型①窄，说明模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故模型②比较合适. （2）（i）根据模型②，令，则与可用线性回归来拟合，有. 由表中数据可知，，，， ，则， ， 所以与的经验回归方程为， 即与的经验回归方程为. （ii）由题意，要使年收益增量超过8亿元，则，即， 整理得，，即，解得， 因为为研发人员增量，需为正整数，所以，故预测要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少9人. 方法技巧 换元线性转化法 核心思路为换元转化，对指数、二次、反比例等曲线模型，设新变量替换原变量，把非线性式子转化为标准一元线性回归方程。 换元后按照线性回归步骤计算新变量的回归系数，得到线性方程后再代回原变量，还原出原始非线性回归模型。 【变式6-1】（2025·浙江湖州·三模）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型______比较合适？ （2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程是______．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】 ① 【分析】 【详解】（1）模型①更合适，理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适； （2）令，则， 由所给的参考数据可得，， 所以， 所以关于的线性回归方程为，即， 所以产卵数关于温度的回归方程为， 故答案为：①；． 【变式6-2】（2025·山东枣庄·模拟预测）现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 【答案】(1)分布列见解析，； (2). 【分析】 【详解】（1）由题意可知： 第1轮：盒子中共有3个小球（2白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第2轮：盒子中共有4个小球（3白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第3轮：是否成功都会停止，且只有前两轮失败，就会进行第3轮； 所以，，， 所以的分布列如下： 所以 （2）设，则回归方程为， 因为，，，，， 且， 所以， 所以． 所以回归方程为， 又因为， 所以回归方程为. 【变式6-3】（2025·江苏无锡·一模）近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧．某机构为研究汽油价格x（单位：元/升）与新能源汽车的月销售量y（单位：万辆）之间的关系，收集整理得到如下数据： x 6 6.5 7 7.5 8 y 1.5 2 3 4.5 6.8 (1)若用模型模拟x与y之间关系，求出回归方程； (2)根据建立的回归方程，预测当汽油价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量； (3)假设当汽油价格为9元/升时，实际销量超过预测值的概率为0.6．现进行5次独立观测，记这5次观测中销量超过预测值的次数为，求的数学期望． 参考数据和公式：．，． 令，，，． 对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 【答案】(1) (2)约为万辆 (3)3 【分析】 【详解】（1）因为，则， 又，， 由得，，解得， 所以回归方程为． （2）当时，代入回归方程可得 ， 价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量约为万辆． （3）由题知，，所以，即的数学期望为3． 题型7 独立性检验的概念理解 例7-1（2025·吉林四平·一模）为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验，其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行评估，结果如下表： 新方法学习 传统方法学习 合计 数学成绩优秀 50 70 120 数学成绩不优秀 50 30 80 已知其中，且.根据小概率值的独立性检验，则（    ） A．新的学习方法与数学成绩有关 B．新的学习方法与数学成绩无关 C．新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 D．新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】B 【详解】零假设：新的学习方法与数学成绩无关， 因为， 所以，根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为新的学习方法与数学成绩无关，AC选项错误，B选项正确； 临界值用于判断小概率值是否足够小以至于拒绝零假设，D选项错误． 例7-2（2025·山西阳泉·三模）某外卖平台为响应“绿色餐饮”的号召，研究顾客备注“无需餐具”与订单是否获得好评之间的关联，根据样本数据进行独立性检验，计算得．若将原列联表中的所有数据均扩大为原来的倍，则在相同检验标准下重新计算，得到的的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设原列联表对应数据为，样本容量， 则原卡方统计量满足： ， 将所有数据扩大为原来的 倍后， 新数据为 ，新样本容量 ，代入卡方公式得： ， 由 ，可知： 选项A的1.96、选项D的0.212均小于2.12，不符合要求，错误， 选项C的2.12对应，与的约束矛盾，排除，错误 选项B的 ，对应，满足所有约束条件，正确. 【变式7-1】（2025·广东河源·一模）根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得，依据的独立性检验，结论为（    ）参考值： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A．x与y不独立 B．x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C． x与y独立 D．x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 【答案】C 【详解】零假设为：x与y独立， 由，依据的独立性检验，可得成立， 故可以认为x与y独立. 故选：C. 【变式7-2】（2025·湖南益阳·三模）某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表： 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 162 283 患慢性气管炎者 13 43 56 总计 134 205 339 假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（     ） ①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于； ②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关； ③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：因为，且， 所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关， 即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于， 故①②正确； 分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. 故③正确； 故选：D 【变式7-3】（2025·吉林通化·模拟预测）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 50 未服用 50 合计 80 20 100 取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则()的最小值为___________． (参考公式：；参考值：） 【答案】 【详解】由题意可知， 则， 解得或，而， 故m的最小值为44. 故答案为：44. 题型8 独立性检验的应用 例8-1（2025·云南曲靖·三模）为了解某大型企业员工的性别、年龄构成，对该企业员工按性别、年龄比例抽取500人作为样本，其中女员工有200人，女员工年龄结构的频率分布直方图如下，已知这200名女员工年龄的样本中位数为38.5岁. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)已知35岁以下为青年员工，35岁以上为资深员工，根据等高堆积条形图和频率分布直方图数据，完善列联表. 依据小概率值的独立性检验，能否认为样本中员工的年龄构成与性别有关联？ 男 女 合计 资深员工 青年员工 合计 200 500 ，其中. 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2) 男 女 合计 资深员工 165 135 300 青年员工 135 65 200 合计 300 200 500 不能 【分析】 【详解】（1）女员工样本中位数为，落在内，结合频率分布直方图可得 ，解得. （2）已知抽取了200名女员工 ，则有300名男员工，由频率分布直方图可得 青年女员工有名 ， 则女资深员工有名， 由等高堆积条形图可得青年男员工有 名 ， 则男资深员工有名，依此可画出列联表. 因为  ， 所以依据小概率值的独立性检验， 不能认为样本中员工的年龄构成与性别有关联. 例8-2（2025·河北廊坊·二模）某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； (2)根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） (3)请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 【答案】(1)有关联，女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． (2)无关联，实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立. (3)不一致，原因：A同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况， 若总体中确实存在关联，则其结论可靠； B同学仅从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本， 样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大， 当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性. 【分析】 【详解】（1）有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm的比例明显高于男生， 而男生中身高不低于170 cm的比例明显高于女生， 故该中学高三年级学生的性别与身高有关联．具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm． （2）由题意得，零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联， 由列联表可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联， 实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立. （3）略 【变式8-1】（2026·辽宁丹东·二模）某兴趣小组对当地家庭的收入情况与消费情况量化并进行建模，最终得到收支情况良好与较差的两类情况，统计结果如下： 收支情况良好 收支情况较差 M类家庭 80 20 N类家庭 75 25 这里家庭种类与恩格尔系数相关． (1)用频率估计概率，从收支情况良好的家庭中任选一家，求其为M类家庭的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析收支情况是否与家庭种类相关． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)收支情况与家庭种类无关 【详解】（1）记事件A：收支情况良好，事件B：家庭种类为M， ， （2）零假设为：收支情况与家庭种类无关， ， 所以根据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即收支情况与家庭种类无关． 【变式8-2】（2025·河南驻马店·模拟预测）为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. (1)求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； (2)根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，下四分位数 (2)有关 【分析】 【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为， 因此：，解得：， 下四分位数即第百分位数，计算累计频率 频率，累计；频率，累计； 频率，累计；频率，累计。 ，因此第百分位数在区间内， 计算得：下四分位数 （2）零假设：认真完成作业与成绩无关 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 ，因为， 依据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即认真完成作业与成绩有关， 该判断出错概率不超过0.001， 认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4， 不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1， 可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4倍，差异显著. 【变式8-3】（2025·广东潮州·模拟预测）机器人技术的迅猛发展，已成为我国现代科技发展的标志性成就，现对100名青年（男青年50名，女青年50名）进行调研．统计结果显示：有60%的男青年希望拥有一个机器人助手，有30%的女青年希望拥有一个机器人助手，整理得到如下列联表． 拥有一个机器人助手意愿 性别 合计 男青年 女青年 希望拥有一个机器人助手 不希望拥有一个机器人助手 合计 50 50 100 (1)求，的值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析拥有一个机器人助手的意愿是否与性别有关． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)， (2)有关 【分析】 【详解】（1）因为有60%的男青年希望拥有一个机器人助手， 所以，． 因为有30%的女青年希望拥有一个机器人助手， 所以，． 所以 ， ，如图， （2）由题意完成列联表： 拥有一个机器人助手意愿 性别 合计 男青年 女青年 希望拥有一个机器人助手 30 15 45 不希望拥有一个机器人助手 20 35 55 合计 50 50 100 零假设为：拥有一个机器人助手的意愿与性别无关． 由（1）可得，，，，． 根据列联表中的数据，经计算得到 ． 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为拥有一个机器人助手的意愿与性别有关． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 【答案】A 【详解】因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域， 所以y与x负相关，所以A正确，D错误； 当时，，所以约为， 所以B，C错误. 2．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 【答案】B 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 3．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有关 【分析】 【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 4．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：         时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 【答案】(1) (2) (3)有 【分析】 【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比， 则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为． （2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为 ． 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. （3）由题列联表如下： 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关． 其中． ． 则零假设不成立， 即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，所得数据如下： 航空公司编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 航班正点率/% 81.8 76.8 76.6 75.7 73.8 72.2 71.2 70.8 91.4 68.5 顾客投诉/次 21 58 85 68 74 93 72 122 18 125 顾客投诉次数和航班正点率之间是否呈现出线性相关关系？它们之间的相关程度如何？变化趋势有何特征？ 【答案】线性相关；；相关程度高， 变化趋势是正点率提高一个百分点顾客投诉次数少约为. 【详解】设顾客投诉次数为，正点率为， ，， 设回归方程， ， ， 将代入回归直线方程：可得， 所以线性回归方程为：， 相关系数， 的绝对值越接近，相关性越强，所以相关程度高. 变化趋势是正点率提高一个百分点顾客投诉次数少约为. 2．从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下： 单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 212 61 273 优秀 54 73 127 合计 266 134 400 依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ 【答案】依据的独立性检验，能认为数学成绩与语文成绩有关联 【详解】解：因为, 所以依据的独立性检验，能认为数学成绩与语文成绩有关联. 3．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下表所示. 零件数x个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间ymin 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)画出散点图； (2)建立加工时间关于零件数的一元线性回归模型（精确到0.001）； (3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？ 【答案】(1) 散点图如下图所示： (2) (3)每多加工个零件，需要增加分钟加工时间. 【分析】 【详解】（1）略   （2）， ， ， 所以. （3）根据回归直线方程可知：每多加工个零件，需要增加分钟加工时间. 4．某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名．试根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好． 【答案】两种疗法效果没有差异． 【详解】假设：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异． 将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，如下表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 根据列联表中的数据，经计算得到． 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， ∴可以认为假设成立，即两种疗法效果没有差异． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 成对数据的统计分析 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 回归分析 知识点2 独立性检验 题型破译 (含超链接） 题型1相关关系与函数关系的辨析 【方法技巧】定义区分法 题型2相关系数的计算与应用 题型3样本中心点的应用 【方法技巧】中心点代入求值法 题型4残差分析与相关指数 【方法技巧】残差、R2拟合判定法 题型5线性回归分析 题型6非线性回归分析 【方法技巧】换元线性转化法 题型7独立性检验的概念理解 题型8独立性检验的应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 独立性检验 —— 全国一卷T15（15分） 全国甲卷T17（12分） 考情分析 近三年考情显示，该部分内容考察较稳定，小题常考相关系数正负、样本中心点基础判断；解答题也有涉及，高频考查线性回归求解、2×2列联表与卡方独立性检验，偶尔涉及换元型非线性回归、残差拟合分析。命题均结合生活、经济真实情境，整体难度中等，侧重公式运算与统计结论规范表述，计算量适中，是稳定拿分的中档题型。 复习目标 1.能区分相关关系与函数关系，借助相关系数判断相关程度，掌握样本中心点相关计算。 2.熟练求解线性回归方程，会换元处理非线性回归，能用残差、相关指数评判拟合效果。 3.会整理 2×2 列联表，准确计算卡方统计量，依据临界值规范完成独立性检验。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 回归分析 一、相关关系 1.相关关系定义 两个变量存在关联，但无法通过一个变量精准计算出另一个变量，这类不确定的依存关系叫做相关关系。 2.相关关系两种分类 （1）依据增减变化趋势分为正相关、负相关 ①正相关：一个变量增大，另一变量整体同步_________； ②负相关：一个变量增大，另一变量整体随之_________。 （2）依据图像特征分为线性相关、非线性相关 ①线性相关：数据散点集中分布在某条_________两侧； ②非线性相关（曲线相关）：变量具备相关性，但散点无直线分布特征。 二、相关关系的刻画 1.散点图 将每组成对数据作为平面直角坐标系内的点，全部点构成的统计图即为散点图，可直观观察变量变化趋势。 2.样本相关系数 （1）作用：精准量化两组成对数据_________的强弱程度； （2）取值范围：_________ ①，变量为_________；，变量为_________； ②越靠近1，线性相关程度越_________；越靠近0，线性相关程度越_________。 三、一元线性回归模型 为关于的一元线性回归模型。 是因变量（响应变量），是自变量（解释变量）；为截距参数，为斜率参数；代表随机_________。若，与满足确定_________关系。 四、最小二乘法 称作经验回归方程，对应直线为经验回归直线。 通过最小二乘法求解，二者分别是参数的最小二乘估计，配套对应计算公式。 五、残差与残差分析 1.残差概念 响应变量实际测量得到的数值为观测值，代入回归方程算出的数值为预测值；_________减去_________的结果叫做残差。 2.残差分析 残差可以估算随机误差，借助残差能够判断回归模型贴合数据的效果，同时排查原始数据里的异常可疑值，整套分析流程为残差分析。 自主检测 1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，并分别求得样本相关系数如表： 甲 乙 丙 丁 0.82 0.68 0.69 0.85 则试验结果体现两变量具有更强的线性相关性的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．现有下表所示的一组观测数据（；），若与的线性回归方程为，则对应的离差为（   ） A．11.6 B．8.4 C．7.4 D．1.6 知识点2 独立性检验 一、分类变量 用于区分不同现象、不同属性的特殊随机变量称为分类变量，分类变量的各类取值可以用数字简单代替表示。 二、2×2列联表 1.作用：记录两组分类变量交叉统计得到的频数数据； 2.标准表格结构 设分类变量，统计表格形式如下： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 三、独立性检验 1.定义：借助卡方统计量判断两个分类变量是否相互_________，该方法叫独立性检验； 2.卡方公式：，总样本量； 3.完整解题步骤 （1）提出零假设：变量相互_________，结合题意说明含义； （2）根据统计数据搭建2×2列联表，计算数值，和给定临界值对比； （3）对照检验标准，给出独立性相关推断结论； （4）若判定变量不独立，可对比各组频率，分析变量间的影响规律。 自主检测 3．某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据制作列联表，提出原假设：“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系，计算得，由此可知（     ）．（显著性水平取0.05，） A．接受原假设，没有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C．接受原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D．拒绝原假设，有的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系 4．秦腔是陕西最具代表性的戏曲艺术，2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产名录.为研究是否喜爱秦腔与年龄之间的关系，并为传统文化保护提供数据支持，某文化调研队在西安市随机抽取了200名当地居民进行调查，得到如下列联表： 单位：人 秦腔 年龄 合计 40岁以下 40岁及以上 喜爱 45 45 90 不喜爱 75 35 110 合计 120 80 200 (1)年龄在40岁及以上的当地居民中，喜爱秦腔的概率为，求的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜爱秦腔与年龄有关？ 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：. 题●型●破●译 题型1 相关关系与函数关系的辨析 例1-1（2025·黑龙江黑河·模拟预测）观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系系数为，图2两个变量的相关关系系数为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 例1-2（2025·黑龙江双鸭山·一模）有下列关系； ①炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③柑橘的产量与气温之间的关系； ④森林的同一种树木，其横断面积直径与高度之间的关系． 其中具有相关关系的是__________．（填序号） 方法技巧 定义区分法 区分核心依据是变量间是否存在唯一确定对应关系。函数关系是确定性关系，给定自变量能算出唯一因变量；相关关系是非确定性关系，变量有变化趋势但无精准计算公式。 结合生活实例辅助判断，身高与体重、气温与销量属于相关关系；正方形边长与面积、路程与匀速时间属于函数关系，做题先判断有无精确表达式。 【变式1-1】（2026·四川南充·二模）如下四个散点图中，负相关的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·甘肃天水·二模）在下列两个量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．正n边形的边数与内角度数之和 【变式1-3】（2026·山东淄博·模拟预测）（多选）对于样本相关系数，下列说法正确的是（    ） A．的正负可以反映成对样本数据是正相关还是负相关 B．的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度 C．的值越大，成对样本数据之间线性相关的程度越强 D．的取值范围是 题型2 相关系数的计算与应用 例2-1（2026·福建南平·模拟预测）样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，所有样本点都落在直线上，则这组样本数据的相关系数为（     ） A．1 B． C． D．-1 例2-2（2026·湖北黄冈·模拟预测）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x（单位：年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限x（单位：年） 1 2 3 4 5 6 7 失效费y（单位：万元） 2.90 3.30 3.60 4.40 4.80 5.20 5.90 由上表数据可知，y与x的相关系数为______. （精确到0.01，参考公式和数据：，，，） 【变式2-1】（2025·四川自贡·三模）某田径协会开展竞走的步长和步时之间的关系的课题研究，得到相应的实验数据： 步时x（单位：s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长y（单位：） 90 95 99 103 117 则该课题研究竞走的实验数据中的步长和步时之间的相关系数为________．（精确到0.01） 参考公式：相关系数；参考数据：，，，． 【变式2-2】（2026·四川攀枝花·模拟预测）某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________．（结果保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：） 【变式2-3】大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作的某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 零件的横截面积 0.03 0.05 0.04 0.07 0.07 0.04 0.05 0.06 0.06 0.05 0.52 耗材量 0.24 0.40 0.23 0.55 0.50 0.34 0.35 0.45 0.43 0.41 3.9 并计算得，． (1)估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量； (2)求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）． 附：相关系数；． 题型3 样本中心点的应用 例3-1（2025·山东青岛·一模）一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则_______． 9 9.5 10 10.5 11 11 10 6 5 例3-2（2025·山东济宁·一模）（多选）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．在研究树高（单位：）与胸径（单位：）之间的关系时，某同学收集了某种树的组观测数据（如下表），假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则（     ） 胸径 树高 A．树高与胸径正相关 B．胸径每增加，树高一定增加 C． D．当胸径时，树高的残差为 方法技巧 中心点代入求值法 样本中心点是所有样本数据横、纵坐标平均值，核心结论：经验回归直线一定经过该点，是解题核心突破口。 已知斜率求截距，直接代入中心点公式计算；缺少均值时先根据已知样本数据求出、。 【变式3-1】（2026·河南平顶山·一模）(多选题）为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了几台型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间（单位：年）与当年所需要支出的维修费用（单位：千元）有如下统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到经验回归方程为，则下列错误的是（    ） A．与的样本相关系数 B． C．表中维修费用的第60百分位数为6 D．该型跑步机已投入使用的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38千元 【变式3-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集的数据如下表所示．根据最小二乘法，得到的经验回归方程为，则（    ） 零件数（个） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间（） 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 A．变量与正相关 B．回归直线一定过点 C． D．预测该车间用时可加工零件约217个 【变式3-3】（2025·陕西榆林·一模）某学习小组对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数______. 题型4 残差分析与相关指数 例4-1（2026·广东广州·二模）已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加两个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 例4-2（2026·四川达州·二模）根据变量和的成对样本数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，模型误差（   ） A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．不满足一元线性回归模型的的假设 C．不满足一元线性回归模型的的假设 D．不满足一元线性回归模型的和的假设 方法技巧 残差、拟合判定法 明确残差=观测值预测值，残差越接近0，回归模型拟合效果越好；残差图均匀分布在横轴两侧无规律波动，说明模型合适。 相关指数刻画拟合精度，，数值越靠近1，模型对数据解释能力越强，拟合效果越好。 【变式4-1】（2025·江西宜春·一模）某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量，之间的相关关系，统计样本数据得到如下表格：由表格中的数据可以得到与的经验回归方程大致为，据此计算，取时的残差为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·广东梅州·二模）（多选）根据儿子的身高与父亲的身高相关关系研究中的一组数据，作出如图所示的散点图，对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加该点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（   ） A．决定系数变小 B．残差平方和变小 C．相关系数变大 D．相关系数变小 【变式4-3】（2026·黑龙江鹤岗·二模）（多选）一组样本数据，．其中，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，，分布如图所示，且，则（    ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 题型5 线性回归分析 例5-1（2025·江苏南通·三模）立足“天地之中、华夏之源、功夫郑州”城市文旅品牌，依托少林寺、只有河南·戏剧幻城等核心景区，郑州精心打造功夫玩偶、考古盲盒、姓氏书签、文物冰箱贴等一系列具有中原文化底蕴的文创产品．某重点景区统计发现：景区日均客流量越大，文创产品日均销售额越高，数据如下： 景区日均客流x（万人次） 2 3 4 5 6 文创产品日均销售额y（万元） 8 11 14 16 19 (1)求出y关于x的线性回归方程； (2)若该景区日均客流达到7万人次，预测文创产品日均销售额． 参考公式：， 例5-2（2026·辽宁阜新·一模）百色市某村为实现乡村振兴，开发本地资源办企业，最近研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，特对不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据做了统计： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 已知，． (1)求和的值； (2)求y关于x的一元线性回归方程；（参考公式：，） (3)如价格定为15元，预测网上月销量大约是多少万件？ 【变式5-1】（2025·浙江温州·二模）由下表中的成对样本数据得到经验回归方程为，则（     ） x 1 2 3 4 5 y 2 4 5 6 8 附：①经验回归方程中，，； ②参考数据：，． A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·广东江门·三模）某商家为了解某种新产品的广告费投入（单位：万元）与该产品的销售量（单位：万件）之间的相关关系，收集了近5个月的相关数据如下表： 广告费投入/万元 2 4 5 6 8 销售量/万件 3 4 6 5 7 (1)求关于的经验回归方程； (2)根据（1）中的回归方程预测，若该商家希望下个月该产品的销售量达到8.25万件，大约需要投入多少万元的广告费？ 附：回归方程中，，． 【变式5-3】（2025·辽宁盘锦·一模）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表： x（年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 y（脂肪含量/%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 数据经初步处理得，，，． (1)计算样本相关系数r（精确到0.01），并说明该成对样本数据的线性相关程度； (2)若y关于x的线性回归方程为，求y关于x的线性回归方程（精确到0.01），并计算当年龄为60岁时的残差． 附：（1）参考公式：相关系数，一组数据的回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，； （2）参考数据：，． 题型6 非线性回归分析 例6-1（2025·广东阳江·二模）某图书馆统计了二月份到六月份线上预约入馆的人次，x表示月份，y表示每月线上预约入馆的人次（单位：千人次）．已知变量y与变量x的关系可以用模型拟合，设，变换后得到一组数据如下： x 2 3 4 5 6 z 1.0 1.4 1.5 1.7 1.9 则（    ） A． B． C． D． 例6-2（2026·四川资阳·二模）脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换，埃隆马斯克宣布，该试验可以实现意念控制手机和电脑，未来10到20 年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量(单位：亿元)与研发人员增量(单位：人)的10组数据，现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图： 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 . 7.5 2.25 82.50 4.50 11.55 3.24 (1)根据残差图，判断哪个更适合作为回归模型？(给出判断即可，不必说明理由 (2)根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程； （ii）预测要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？(结果精确到 1) 附:对于一组具有线性相关关系的数据 ，其经验回归直线 的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为: 方法技巧 换元线性转化法 核心思路为换元转化，对指数、二次、反比例等曲线模型，设新变量替换原变量，把非线性式子转化为标准一元线性回归方程。 换元后按照线性回归步骤计算新变量的回归系数，得到线性方程后再代回原变量，还原出原始非线性回归模型。 【变式6-1】（2025·浙江湖州·三模）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型______比较合适？ （2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程是______．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【变式6-2】（2025·山东枣庄·模拟预测）现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 【变式6-3】（2025·江苏无锡·一模）近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧．某机构为研究汽油价格x（单位：元/升）与新能源汽车的月销售量y（单位：万辆）之间的关系，收集整理得到如下数据： x 6 6.5 7 7.5 8 y 1.5 2 3 4.5 6.8 (1)若用模型模拟x与y之间关系，求出回归方程； (2)根据建立的回归方程，预测当汽油价格上涨至9元/升时，新能源汽车的销量； (3)假设当汽油价格为9元/升时，实际销量超过预测值的概率为0.6．现进行5次独立观测，记这5次观测中销量超过预测值的次数为，求的数学期望． 参考数据和公式：．，． 令，，，． 对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 题型7 独立性检验的概念理解 例7-1（2025·吉林四平·一模）为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验，其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行评估，结果如下表： 新方法学习 传统方法学习 合计 数学成绩优秀 50 70 120 数学成绩不优秀 50 30 80 已知其中，且.根据小概率值的独立性检验，则（    ） A．新的学习方法与数学成绩有关 B．新的学习方法与数学成绩无关 C．新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 D．新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 例7-2（2025·山西阳泉·三模）某外卖平台为响应“绿色餐饮”的号召，研究顾客备注“无需餐具”与订单是否获得好评之间的关联，根据样本数据进行独立性检验，计算得．若将原列联表中的所有数据均扩大为原来的倍，则在相同检验标准下重新计算，得到的的值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·广东河源·一模）根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得，依据的独立性检验，结论为（    ）参考值： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A．x与y不独立 B．x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C． x与y独立 D．x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 【变式7-2】（2025·湖南益阳·三模）某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表： 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 162 283 患慢性气管炎者 13 43 56 总计 134 205 339 假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（     ） ①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于； ②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关； ③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. A．个 B．个 C．个 D．个 【变式7-3】（2025·吉林通化·模拟预测）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 50 未服用 50 合计 80 20 100 取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则()的最小值为___________． (参考公式：；参考值：） 题型8 独立性检验的应用 例8-1（2025·云南曲靖·三模）为了解某大型企业员工的性别、年龄构成，对该企业员工按性别、年龄比例抽取500人作为样本，其中女员工有200人，女员工年龄结构的频率分布直方图如下，已知这200名女员工年龄的样本中位数为38.5岁. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)已知35岁以下为青年员工，35岁以上为资深员工，根据等高堆积条形图和频率分布直方图数据，完善列联表. 依据小概率值的独立性检验，能否认为样本中员工的年龄构成与性别有关联？ 男 女 合计 资深员工 青年员工 合计 200 500 ，其中. 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 例8-2（2025·河北廊坊·二模）某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）. 表（一）单位：人 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响； (2)根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义； （参考公式及数据：，临界值） (3)请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因. 【变式8-1】（2026·辽宁丹东·二模）某兴趣小组对当地家庭的收入情况与消费情况量化并进行建模，最终得到收支情况良好与较差的两类情况，统计结果如下： 收支情况良好 收支情况较差 M类家庭 80 20 N类家庭 75 25 这里家庭种类与恩格尔系数相关． (1)用频率估计概率，从收支情况良好的家庭中任选一家，求其为M类家庭的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析收支情况是否与家庭种类相关． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【变式8-2】（2025·河南驻马店·模拟预测）为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. (1)求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； (2)根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【变式8-3】（2025·广东潮州·模拟预测）机器人技术的迅猛发展，已成为我国现代科技发展的标志性成就，现对100名青年（男青年50名，女青年50名）进行调研．统计结果显示：有60%的男青年希望拥有一个机器人助手，有30%的女青年希望拥有一个机器人助手，整理得到如下列联表． 拥有一个机器人助手意愿 性别 合计 男青年 女青年 希望拥有一个机器人助手 不希望拥有一个机器人助手 合计 50 50 100 (1)求，的值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析拥有一个机器人助手的意愿是否与性别有关． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 2．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 3．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 4．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：         时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，所得数据如下： 航空公司编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 航班正点率/% 81.8 76.8 76.6 75.7 73.8 72.2 71.2 70.8 91.4 68.5 顾客投诉/次 21 58 85 68 74 93 72 122 18 125 顾客投诉次数和航班正点率之间是否呈现出线性相关关系？它们之间的相关程度如何？变化趋势有何特征？ 2．从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下： 单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 212 61 273 优秀 54 73 127 合计 266 134 400 依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ 3．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下表所示. 零件数x个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间ymin 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)画出散点图； (2)建立加工时间关于零件数的一元线性回归模型（精确到0.001）； (3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？ 4．某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名．试根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $