第02讲 两条直线的位置关系（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等核心考点，按知识解构（位置关系、交点、距离、对称）与题型破译（平行、垂直、最值等9类题型）的逻辑层次系统整合，通过命题透视、知识精讲、题型突破、真题溯源四环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 资料创新采用“知识-题型-方法”三维联动教学法，如在对称问题中总结点线对称模型及光线反射转化策略，培养学生数学思维与空间观念。设置分层变式训练（基础到综合）和课本典例迁移练习，配合真题考向分析，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第02讲 两条直线的位置关系 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 两条直线的位置关系 知识点2直线的交点与方程组解的关系 知识点3 距离公式 知识点4对称问题 题型破译 (含超链接） 题型1 两直线平行及其应用 题型2 两直线垂直及其应用 题型3 直线的交点及其应用 【方法技巧】三种常见的直线系 题型4 点到直线的距离公式 【方法技巧】利用距离公式的关注点 题型5 两条平行直线间的距离 题型6 与距离有关的最值问题 题型7 点、直线的对称问题 题型8 对称中的最值问题 题型9 光线反射问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 两条直线的位置关系 全国二卷T11（6分） 全国一卷T7（5分） 北京卷T3（5分） 考情分析 两直线的位置关系以选择题、填空题基础题为主，常融合圆、圆锥曲线综合考查 近三年考情显示，高考对两条直线的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这两个考点． 复习目标 1.两条直线的位置关系 2.直线的交点与方程组解的关系 3.距离公式 4.对称问题 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 垂直 v1⊥v2 相交 v1与v2不共线 必记结论 (1)两条直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. (2)两条直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 自主检测判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： （1）， ； （2）， ； （3）， ； 知识点2 直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 直线l1与l2的公共点的个数 一个 零个 直线l1与l2的位置关系 重合 必记结论 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0， λ∈R，但不包括直线l2. 自主检测过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为_____________. 知识点3 距离公式 （1）两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ . 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ （2）点到直线的距离公式. 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ （3）两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝ 自主检测（1）已知点，则过点且与原点的距离为2的直线l的方程为 . （2）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为___________. 知识点4 对称问题 （1）点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′ （2）设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. 必记结论 (1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y). (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y). (3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=- x的对称点为(-y,-x). (4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). (5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k). 自主检测（1）直线关于点对称的直线方程是（     ） A． B． C． D． （2）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 两条直线平行及其应用 例1-1（2026·重庆渝中·模拟）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 例1-2已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 【变式训练1-1】（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【变式训练1-2】（2026·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练1-3】（经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4·变载体】（2026·北京朝阳·二模）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则（   ） A． B． C．2 D．4 题型2 两条直线垂直及其应用 例2-1设直线，，则是的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 例2-2（2026·重庆万州·三模）若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 例2-3已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2·变载体】已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3·变考法】将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4·变考法】（多选）（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 题型3 直线的交点及其应用 例3-1直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 例3-2过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 例3-3【新思维】（2026高三·全国·专题练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练3-1】直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2·变载体】过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3·变角度】（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【变式训练3-4】已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 方法技巧 三种常见的直线系 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0； (3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 题型4 点到直线的距离公式 例4-1已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 例4-2已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 方法技巧 利用距离公式的关注点 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|. (2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等. 【变式训练4-1】若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【变式训练4-2】过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练4-3】点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式训练4-4】（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（   ） A． B．2 C． D．3 题型5 两条平行直线间的距离 例5-1（2026·吉林白山·一模）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 例5-2（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 例5-3【新思维】（25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练5-2】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3·变角度】已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型6 与距离有关的最值问题 例6-1若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　) A．3 B．4 C．2 D．6 例6-2【新思维】直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【变式训练6-1】点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A．1 B. C. D．2 【变式训练6-2】已知在直线上，则的最小值为 ． 【变式训练6-3·变载体】点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 【变式训练6-4·变考法】若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-5·变载体】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型7 点、直线的对称问题 例7-1点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 例7-2直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 例7-3已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【变式训练7-3】（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式训练7-4变考法】在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 . 题型8 对称中的最值问题 例8（多选）【新思维】已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【变式训练8-1·】已知直线和两点，若直线上存在点P使得最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为_________． 题型9 光线反射问题 例9-1已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 例9-2在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【变式训练9-1】一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 3．(2021·高考全国卷乙(文)，T14)双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________． 4．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求满足下列条件的直线的方程． （1）经过两条直线和交点，且垂直于直线； （2）经过两条直线和的交点，且平行于直线； 2.（1）求在x轴上与点A(5，12)的距离为13的点的坐标. （2）已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1，5)间的距离等于10，求点P的纵坐标. 3．的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是与，过的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l，求l与CD所在直线的距离． 4．已知点到直线的距离d分别为下列各值： （1）； （2）．求a的值． 5．已知ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． (1)求顶点C的坐标； (2)求直线BC的方程． 6．已知点到直线的距离相等，求的值． 7．的四条边所在直线的方程分别是，，，，求的面积． 8．已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？ 9．已知，． （1）求证：，并求使等式成立的条件． （2）说明上述不等式的几何意义． 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 两条直线的位置关系 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 两条直线的位置关系 知识点2直线的交点与方程组解的关系 知识点3 距离公式 知识点4对称问题 题型破译 (含超链接） 题型1 两直线平行及其应用 题型2 两直线垂直及其应用 题型3 直线的交点及其应用 【方法技巧】三种常见的直线系 题型4 点到直线的距离公式 【方法技巧】利用距离公式的关注点 题型5 两条平行直线间的距离 题型6 与距离有关的最值问题 题型7 点、直线的对称问题 题型8 对称中的最值问题 题型9 光线反射问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 两条直线的位置关系 全国二卷T11（6分） 全国一卷T7（5分） 北京卷T3（5分） 考情分析 两直线的位置关系以选择题、填空题基础题为主，常融合圆、圆锥曲线综合考查 近三年考情显示，高考对两条直线的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这两个考点． 复习目标 1.两条直线的位置关系 2.直线的交点与方程组解的关系 3.距离公式 4.对称问题 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 必记结论 (1)两条直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. (2)两条直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 自主检测判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： （1）， ； （2）， ； （3）， ； 【答案】（1）两直线相交，交点；（2）平行；（3）重合 【详解】（1）， ，，此时，所以两直线相交， ，解得，，所以两直线的交点为. （2），，，，所以，所以两直线平行； （3），，， 且可化为，故两直线重合. 知识点2 直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 必记结论 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0， λ∈R，但不包括直线l2. 自主检测过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为_____________. 【答案】 【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】联立与可得，故交点为，倾斜角为，所以斜率为1，故直线方程为，即. 故答案为： 知识点3 距离公式 （1）两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝. 自主检测（1）已知点，则过点且与原点的距离为2的直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】对直线的斜率分类讨论，再利用点到直线的距离公式及其点斜式即可得出答案. 【详解】①当的斜率不存在时显然成立，此时的方程为． ②当的斜率存在时，设，即，由点到直线的距离公式得，，解得，．故所求的方程为或． 故答案为：或． （2）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为___________. 【答案】. 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离，即所求为. 故答案为： 知识点4 对称问题 （1）点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). （2）设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. 必记结论 (1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y). (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y). (3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=- x的对称点为(-y,-x). (4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). (5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k). 自主检测（1）直线关于点对称的直线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上，所以即. 故选：D. （2）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解. 【详解】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为，整理为：. 故选：A 题●型●破●译 题型1 两条直线平行及其应用 例1-1（2026·重庆渝中·模拟）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 例1-2已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设出直线的方程，利用待定系数法求出方程. 【详解】由直线与直线平行，设直线的方程为， 由直线经过点，得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为： 【变式训练1-1】（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【答案】A 【详解】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 【变式训练1-2】（2026·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C 【变式训练1-3】（经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ，因此，所求直线方程为：。 【变式训练1-4·变载体】（2026·北京朝阳·二模）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】已知双曲线方程为，其渐近线方程为. 直线可化为.因为一条渐近线与该直线平行，所以它们的斜率相等，即，两边同乘得， 解得（舍去，因），所以. 题型2 两条直线垂直及其应用 例2-1设直线，，则是的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，直线，， 此时，则，所以，故充分性成立； 当时，，解得或，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 例2-2（2026·重庆万州·三模）若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的充要条件求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得. 故选：A. 例2-3已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解. 【详解】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点，则由点斜式方程可得直线的方程为， 即， 故选：A. 【变式训练2-1】以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于，据此即可求出线段垂直平分线方程. 【详解】因为则，所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即，所以线段中垂线方程为：，即. 故选：C． 【变式训练2-2·变载体】已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【详解】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得. 故选：D. 【变式训练2-3·变考法】将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，所得直线与直线垂直，可得出所求直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知，所得直线与直线垂直，即所求直线的斜率为， 因此，所求直线的方程为，即. 故选：C. 【变式训练2-4·变考法】（多选）（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 题型3 直线的交点及其应用 例3-1直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二元一次方程组即得交点坐标. 【详解】解方程组，得，所以所求交点坐标为. 故选：B 例3-2过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出两条直线的交点，设出所求直线的方程，并求出待定系数即得. 【详解】由，解得，则所求方程的直线过点， 设所求直线方程为，于是，解得， 所以所求直线方程为. 故选：D 例3-3【新思维】（2026高三·全国·专题练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果. 【详解】解：设直线方程为，即 令，得，令，得.由，得或. 所以直线方程为或. 故选：C. 【变式训练3-1】直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直，求出值，代入方程，联立即可求得交点. 【详解】由直线与互相垂直，可得，解得， 将代入直线，得到， 联立方程组，解得，交点坐标为. 故选：C 【变式训练3-2·变载体】过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出交点的坐标，再利用直线的方向向量求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程写出直线的方程即可求解. 【详解】联立，得交点坐标为，因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即. 故选：A. 【变式训练3-3·变角度】（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 【变式训练3-4】已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程； （2）利用，求得直线的方程，与直线方程联立方程组求解即可. 【详解】（1）因为边所在直线过点，，所以    因为为菱形，所以，所以，       又，所以，整理得. （2）因为，，所以.因为为菱形，所以，所以       因为，，所以中点坐标为，所以           联立方程组，解得，所以. 方法技巧 三种常见的直线系 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0； (3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 题型4 点到直线的距离公式 例4-1已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可. 【详解】易知直线的斜率为，又过点， 所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为. 故选：C 例4-2已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 方法技巧 利用距离公式的关注点 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|. (2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等. 【变式训练4-1】若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得；若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得． 故选：C 【变式训练4-2】过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】就直线与平行或过的中点可求直线的方程. 【详解】若过的直线与平行，因为， 故直线的方程为：即. 若过的直线过的中点，因为的中点为，此时， 故直线的方程为：即. 故选：D. 【变式训练4-3】点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】法一：写出点到直线的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；法二：利用几何法即可求出最值. 【详解】法一：点到直线的距离为，， 令，当时，，当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以， 所以. 法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 故选：C. 【变式训练4-4】（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 题型5 两条平行直线间的距离 例5-1（2026·吉林白山·一模）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】将变形为，故两直线的距离为， 故选：B 例5-2（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）．． 例5-3【新思维】（25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线，间的距离，即可求解. 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 【变式训练5-1】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线平行得到方程，求出，利用两平行线距离公式得到答案. 【详解】直线与直线平行，则，解得， 直线，即，与的距离为. 故选：B 【变式训练5-2】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离，即所求为. 故选：B. 【变式训练5-3·变角度】已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行，的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 题型6 与距离有关的最值问题 例6-1若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　) A．3 B．4 C．2 D．6 【答案】　B 【解】由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1,0)距离的平方， 得其最小值为点(1,0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝＝4. 例6-2【新思维】直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线和直线互相平行，故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离，且两条直线间的距离：. 故答案为：. 【变式训练6-1】点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A．1 B. C. D．2 【答案】　B 【详解】由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1,0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，即为|AP|＝. 【变式训练6-2】已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 【变式训练6-3·变载体】点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 【答案】D 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 【变式训练6-4·变考法】若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【解答过程】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 【变式训练6-5·变载体】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点为直线上的动点， 由可看作与的距离和与的距离之和， 设点则点为点关于直线的对称点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时，取等号，所以的最小值为. 故选：C 题型7 点、直线的对称问题 例7-1点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 例7-2直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上，所以即. 故选：D. 例7-3已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【详解】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 【变式训练7-1】已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 【变式训练7-2】（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 【变式训练7-3】（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解； 【详解】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得，解得． 则点到直线：的距离为． 故选：C． 【变式训练7-4变考法】在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 . 【答案】6x－8y＋1＝0 【详解】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根据对称解得b＝，计算得到答案.由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b， 则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2 即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ， ∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b 取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ， ，解得b＝. ∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0. 故答案为：6x－8y＋1＝0 题型8 对称中的最值问题 例8（多选）【新思维】已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 【变式训练8-1·】已知直线和两点，若直线上存在点P使得最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断与直线的位置关系为在直线同侧，故先求出点关于直线的对称点的坐标，此时求出直线的方程，则直线与的交点即为点位置. 【详解】 由图可判断在直线的同侧，设点关于的对称点的坐标为， 则有，解得.所以直线的方程为，直线与的交点即为， 由平面几何知识可知此时最小. 故选：B. 【变式训练8-2】已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】首先找到点关于直线的对称点，然后结合两点之间线段最短即可求解. 【详解】如图所示：    设点A于直线的对称点为， 则解得则，因为， 所以的最小值为． 故答案为： 题型9 光线反射问题 例9-1已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：B. 例9-2在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【变式训练9-1】一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 【变式训练9-2】如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， 所以光线所经过的路程为. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意，在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 2．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】/0.6 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 3．(2021·高考全国卷乙(文)，T14)双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________． 【答案】 【详解】由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝＝. 故答案为： 4．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得，解得. 故答案为：0 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求满足下列条件的直线的方程． （1）经过两条直线和交点，且垂直于直线； （2）经过两条直线和的交点，且平行于直线； 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）联立，解得， 所以，两条直线和的交点为， 又直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）联立，解得， 所以，两条直线和的交点坐标为， 又直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. 2.（1）求在x轴上与点A(5，12)的距离为13的点的坐标. （2）已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1，5)间的距离等于10，求点P的纵坐标. 【答案】（1）或；（2）或11. 【详解】（1）设x轴上点的坐标为，由距离公式可得，解得或，所以所求点的坐标为或； （2）设点P的纵坐标为y，由距离公式可得，解得或， 所以点P的纵坐标为或11. 3．的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是与，过的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l，求l与CD所在直线的距离． 【答案】 【详解】由题意，设平行四边形ABCD两对角线的交点为点O. 由平行四边形性质，点O到这组对边AB和CD所在直线的距离相同， 则过点O且与AB所在直线平行的直线l方程为: 即;所以由两平行线距离公式可得直线l与CD所在直线的距离为:， 综上，直线l与CD所在直线的距离为. 4．已知点到直线的距离d分别为下列各值： （1）； （2）．求a的值． 【答案】（1）a＝2或a；（2）a或a<2 【详解】（1）直线方程可化为3x﹣4y﹣2＝0， 由点到直线的距离公式可得4，解得a＝2或a； （2）由点到直线的距离公式可得4，解得a或a<2 5．已知ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． (1)求顶点C的坐标； (2)求直线BC的方程． 【答案】 (1) (2) 【详解】（1）解：设，∵AB边上的中线CM所在直线方程为， AC边上的高BH所在直线方程为． ∴，解得．∴． （2）设，则，解得． ∴．∴． ∴直线BC的方程为，即为． 6．已知点到直线的距离相等，求的值． 【答案】 【详解】利用点到直线距离公式列出关于a的方程求解即可．∵点到直线l的距离相等， 7．的四条边所在直线的方程分别是，，，，求的面积． 【答案】9 【详解】由，，联立求得交点，由，，联立得交点，由，联立得交点， 由点到的距离，， 故. 8．已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？ 【答案】直线，过定点 【详解】因为方程化简得： 为任意实数，方程表示直线.因为， 所以当，直线恒成立，故直线过定点. 9．已知，． （1）求证：，并求使等式成立的条件． （2）说明上述不等式的几何意义． 【答案】（1）证明见解析；（2）边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和. 【详解】（1）证明：∵0＜x＜1，0＜y＜1，设P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如图： 则|PO|，|PA|，|PB|，|PC|， ∵|PO|+|PB|≥|BO|，|PA|+|PC|≥|AC| ∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥ （当且仅当点P为正方形的对角线AC与OB的交点是取等号）， 即x＝y时取等号． ∴． （2）对于（1）中不等式，它的几何意义是：边长为1的正方形内任意一点到四个顶点的距离的和不小于两条对角线的和. 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $