3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦二次函数零点、一元二次方程根与不等式的核心知识点，构建从函数零点（方程根）概念出发，通过判别式Δ判断零点个数，再到“三个二次”内在联系及不等式解法（含a<0转化）的学习支架，形成完整知识脉络。 资料以表格梳理重难点（如“求根→看开口→写解集”策略），分知识点精练（基础零点求法到综合应用），结合实际问题（如矩形面积最值），培养学生几何直观（图象辅助理解）、推理能力（Δ逻辑判断）与模型意识（解集表达）。课中助力教师高效教学，课后便于学生巩固练习、查漏补缺。

3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 2026 年高中数学暑期同步讲义 · 苏教版必修一 【学习目标】 理解二次函数零点的概念，明确方程根、函数图象、函数零点三者之间的联系； 会利用判别式 Δ 判断二次函数零点个数； 理解一元二次不等式的概念，掌握“三个二次”的内在联系； 能借助二次函数图象求解一元二次不等式（含 a<0 的情形）； 会用函数观点解决简单的实际应用问题。 【重难点梳理】（表格） 类别 内容要点 突破策略 重点 二次函数零点与方程根的关系（Δ 判别） 先看 Δ，再想图象与 x 轴交点 重点 一元二次不等式的解法（三种 Δ 情形） 求根→看开口→写解集，借助图象 难点 a<0 时先化为正系数再求解 两边同乘 −1，不等号反向 难点 三个“二次”的综合转化 把不等式、方程、函数统一到同一条抛物线 易错 解集区间开闭与根处等号 >0 不含根，≥0 含根；Δ<0 全 R 或 ∅ 一、教材知识点盘点（请先独立填写，再对照第四节答案） 1. 二次函数与一元二次方程 一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的根，就是二次函数 y = ax² + bx + c 当函数值取___【1】___时自变量 x 的值。 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象与 x 轴交点的___【2】___，称为该二次函数的零点。 ▲ 图1：y = x² − 2x − 3 与 x 轴交于 (−1,0)、(3,0)，零点为 −1, 3 当 a > 0 时，判别式 Δ = b² − 4ac： Δ > 0 ⇔ 方程有两个___【3】___的实数根 ⇔ 函数有___【4】___个零点； Δ = 0 ⇔ 方程有两个___【5】___的实数根 ⇔ 函数有___【6】___个零点； Δ < 0 ⇔ 方程___【7】___实数根 ⇔ 函数___【8】___零点。 二次函数零点就是相应一元二次方程的___【9】___。 2. 一元二次不等式 只含一个未知数，并且未知数最高次数是 2 的整式不等式，叫作___【10】___。 解一元二次不等式，一般先求对应方程 ax² + bx + c = 0 的___【11】___，再结合二次函数图象确定解集。 当 a < 0 时，可先将不等式两边同乘___【12】___，化为二次项系数为正的情形。 对于 ax² + bx + c > 0（a > 0，Δ > 0，两根 x₁ < x₂），解集为 (−∞, x₁) ∪ (x₂, +∞)； 对于 ax² + bx + c < 0，解集为___【13】___。 当 Δ < 0 且 a > 0 时，ax² + bx + c > 0 的解集为___【14】___；ax² + bx + c < 0 的解集为___【15】___。 二次___【16】___、一元二次方程、一元二次不等式，三者联系紧密，可相互转化。 二、随堂练习 1. 求二次函数 y = x² − 2x − 3 的零点。 2. 解不等式 x² − 7x + 12 > 0。 3. 解不等式 −x² − 2x + 3 ≥ 0。 4. 解不等式 x² − 2x + 2 > 0。 5. 判断函数 y = x² − x + 1 是否有零点，并说明理由。 三、分知识点精练 知识点1：二次函数零点与方程根 1. 求二次函数 y = x² − x − 2 的零点。 2. 二次函数 y = 2x² + 3x − 7 的零点个数为（　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 3. 判断二次函数 y = x² − 2x − 1 在区间 (2, 3) 上是否存在零点，并说明理由。 ▲ 图2：y = x² − 2x − 1 在区间 (2,3) 内有一零点 4. 证明：函数 y = x² − x + 1 没有零点。 5. 若函数 y = x² − mx + 2 有且只有一个零点，求实数 m 的值。 6. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象与 x 轴有两个交点，则（　） A. Δ > 0 B. Δ = 0 C. Δ < 0 D. 以上都不对 7. 已知二次函数 y = x² + bx + c 的图象与 x 轴交于 (−1, 0)、(2, 0) 两点，求 b, c 的值。 知识点2：一元二次不等式的解法 8. 不等式 (x − 1)(x − 3) > 0 的解集为（　） A. {x | x < 1} B. {x | x > 3} C. {x | x < 1 或 x > 3} D. {x | 1 < x < 3} 9. 解不等式 −x² + 2x − 4 > 0。 10. 解不等式 x² + 4x − 12 > 0。 11. 解不等式 x² − x + 1 ≤ 0。 12. 解不等式 2x² − 5x + 3 < 0。 13. 解不等式 3x² − x − 4 > 0。 14. 解不等式 2x² + 4x + 3 > 0。 15. 解不等式 9x² − 6x + 1 ≤ 0。 ▲ 图3：x² − 7x + 12 > 0 的解集（Δ>0，两根之外） ▲ 图4：−x² − 2x + 3 ≥ 0 化为 x² + 2x − 3 ≤ 0 后的解集（两根之间） ▲ 图5：x² − 2x + 2 > 0（Δ<0，解集为全体实数） 知识点3：综合与应用 16. 解不等式 −6x² − x + 2 < 0。 17. 解不等式 1 − 4x² > 4x + 2。 18. 解不等式 1 − 3x < x²。 19. 解不等式 (x − 2)(x + 2) > 1。 20. 当 x 是什么实数时，函数 y = −x² + 5x + 14 的值分别为 0、正数、负数？ 21. 已知集合 M = {x | −4 ≤ x ≤ 7}，N = {x | x² − x − 6 > 0}，求 M ∩ N。 22. 用一根长为 100 m 的绳子能围成一个面积大于 600 m² 的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围矩形的面积最大？ 四、答案与解析 【教材知识点盘点·参考答案】 【1】 0（零）　　解析：方程的根就是函数值为 0 时对应的 x。 【2】 横坐标　　解析：图象与 x 轴交点 (x₀,0) 的横坐标 x₀ 就是零点。 【3】 不相等（相异）　　解析：Δ>0 时方程有两个不同的实数根。 【4】 2　　解析：对应抛物线与 x 轴有两个交点，即两个零点。 【5】 相等（重合）　　解析：Δ=0 时两根相同（重根）。 【6】 1　　解析：抛物线与 x 轴相切，只有一个交点。 【7】 没有（无）　　解析：方程无实根，图象与 x 轴没有交点。 【8】 没有（无）　　解析：此时函数没有零点。 【9】 根（实数根）　　解析：零点即方程实数根，二者本质相同。 【10】 一元二次不等式　　解析：含一个未知数且最高次数为 2 的整式不等式。 【11】 实数根（根）　　解析：先求根，再看图象在 x 轴上方还是下方。 【12】 −1（负一）　　解析：乘 −1 后二次项系数变正，同时不等号方向改变。 【13】 (x₁, x₂)　　解析：开口向上时，<0 的部分在两根之间。 【14】 R（全体实数）　　解析：Δ<0 且 a>0 时抛物线全在 x 轴上方，>0 恒成立。 【15】 ∅（空集）　　解析：同上，<0 时不等式无解，解集为空集。 【16】 函数（二次函数）　　解析：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式统称“三个二次”。 【随堂练习】 1. 解：令 x²−2x−3=0，即 (x−3)(x+1)=0，得 x=3 或 x=−1，故零点为 −1, 3。 2. 解：方程 x²−7x+12=0 的根为 x=3, 4；a>0 开口向上，>0 取两根之外， 解集 {x | x < 3 或 x > 4}。 3. 解：两边同乘 −1 得 x² + 2x − 3 ≤ 0；根为 x=−3, 1；≤0 取两根之间， 解集 {x | −3 ≤ x ≤ 1}。 4. 解：Δ = 4 − 8 = −4 < 0，方程无实根；a>0 抛物线全在 x 轴上方，故解集为 R。 5. 解：无零点。理由：Δ = 1 − 4 = −3 < 0，方程 x²−x+1=0 无实根，故函数无零点。 【分知识点精练】 1. 解：令 x²−x−2=0，即 (x−2)(x+1)=0，零点为 −1, 2。 2. C　　解析：Δ = 9 − 4·2·(−7) = 65 > 0，有两个不等实根，故两个零点。 3. 解：方程 x²−2x−1=0 的根为 x = 1±；1+ ≈ 2.41 ∈ (2,3)， 故函数在区间 (2,3) 上存在零点。 4. 证明：Δ = 1 − 4 = −3 < 0，方程无实根，所以函数没有零点。 5. 解：有且只有一个零点 ⇔ Δ = m² − 8 = 0 ⇒ m = ±2。 6. A　　解析：与 x 轴有两个交点 ⇔ 有两个不等实根 ⇔ Δ > 0。 7. 解：由交点知方程 x²+bx+c=0 的两根为 −1, 2， 由韦达定理 −b = −1+2 = 1 ⇒ b = −1；c = (−1)·2 = −2。故 b=−1, c=−2。 8. C　　解析：两根为 1, 3，>0 取两根之外：x<1 或 x>3。 9. 解：两边同乘 −1 得 x² − 2x + 4 < 0；Δ = 4 − 16 = −12 < 0，且 a>0， 抛物线恒在 x 轴上方，故原不等式解集为 ∅。 10. 解：方程 x²+4x−12=0 根为 x=2, −6；>0 取两根之外，解集 {x | x < −6 或 x > 2}。 11. 解：Δ = 1 − 4 = −3 < 0，a>0，x²−x+1 恒大于 0，故 ≤0 解集为 ∅。 12. 解：2x²−5x+3=0 根为 x=1, ；a>0，<0 取两根之间，解集 {x | 1 < x < }。 13. 解：3x²−x−4=0 根为 x=−1, ；>0 取两根之外，解集 {x | x < −1 或 x > }。 14. 解：Δ = 16 − 24 = −8 < 0，a>0，恒大于 0，解集为 R。 15. 解：9x²−6x+1 = (3x−1)² ≤ 0，仅当 3x−1=0 即 x= 时成立，解集 {}。 16. 解：两边同乘 −1 得 6x² + x − 2 > 0；根为 x=, −；>0 取两根之外， 解集 {x | x < − 或 x > }。 17. 解：移项得 1 − 4x² − 4x − 2 > 0 ⇒ −4x² − 4x − 1 > 0 ⇒ 4x² + 4x + 1 < 0 ⇒ (2x+1)² < 0，无解，解集 ∅。 18. 解：x² + 3x − 1 > 0；根为 x = ；>0 取两根之外， 解集 {x | x < 或 x > }。 19. 解：展开得 x² − 4 > 1 ⇒ x² > 5 ⇒ x < − 或 x > 。 20. 解：令 −x²+5x+14=0，即 x²−5x−14=0，根为 x=−2, 7。 (1) 值为 0：x=−2 或 7；(2) 值为正：−2 < x < 7；(3) 值为负：x < −2 或 x > 7。 21. 解：x²−x−6>0 ⇒ (x−3)(x+2)>0 ⇒ x<−2 或 x>3，故 N={x|x<−2或x>3}。 M∩N = {x | −4 ≤ x < −2 或 3 < x ≤ 7}。 22. 解：设一边长为 x m，则另一边长 (50−x) m。面积 S = x(50−x)。 令 x(50−x) > 600 ⇒ x²−50x+600 < 0 ⇒ 20 < x < 30，故能围成面积大于 600 m² 的矩形。 又 S = −(x−25)² + 625，当 x=25（正方形）时面积最大为 625 m²。 学科网（北京）股份有限公司 $