2.1命题定理定义 讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

本高中数学讲义聚焦命题、定理、定义核心知识点，构建“概念理解—结构分析—应用拓展”学习支架。先明确命题是可判断真假的陈述句，再掌握“若p则q”形式改写及条件结论分离，最后理解定理（已证真命题）和定义（本质属性描述）在推理中的作用。 资料通过“重难点梳理+分知识点精练”设计，突出数学思维与语言表达。如用反例判断假命题培养推理意识，改写“若p则q”形式强化数学语言规范性。课中助力教师突破复杂语句分析等难点，课后学生可通过分层练习查漏补缺，提升严谨表达与有理有据的思维习惯。

2.1 命题、定理、定义 2026 年高中数学暑期同步讲义 · 苏教版必修一 【学习目标】 理解命题的概念，能判断一个语句是否为命题； 能判断简单命题的真假，会用举反例的方法说明命题为假； 能把命题改写成“若 p，则 q”的形式，并准确指出条件与结论； 了解定理、定义的含义，体会它们在数学推理中的作用； 初步养成严谨表达、有理有据的数学思维习惯。 【重难点梳理】 类别 内容要点 突破策略 重点 命题的概念与真假判断 紧扣“陈述句”与“可判断真假”两个要件 重点 改写为“若 p，则 q”的形式 先定结论再定条件，补全省略成分 难点 复杂语句中条件与结论的分离 还原为“如果……那么……”句式 难点 用反例否定一个命题 只需举出一个反例即可判定为假 一、教材知识点盘点 1. 命题的概念 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以___【1】___的___【2】___叫做命题。 其中判断为真的语句叫做___【3】___，判断为假的语句叫做___【4】___。 判断一个语句是不是命题，要抓住两点：①它必须是___【5】___；②它必须能够___【6】___。 注意：疑问句、祈使句、感叹句都___【7】___命题；含有变量而未指明取值范围、无法判断真假的语句也不是命题。 ▲ 图1：陈述句与命题的关系 2. 命题的结构 数学中许多命题可以表示为“若 p，则 q”的形式，其中 p 叫做命题的___【8】___，q 叫做命题的___【9】___。 ▲ 图2：“若 p，则 q”的结构 有些命题表面上不是“若 p，则 q”的形式，但可以改写。例如：“同位角相等，两直线平行”可改写为___【10】___。 改写时要注意：①补全省略的条件；②不能改变原命题的含义；③条件与结论都要写成完整的陈述。 3. 定理 在数学中，有些命题已经被证明是___【11】___，并且可以作为进一步推理的依据直接使用，这样的真命题叫做___【12】___。 例如：勾股定理、平行线的判定定理等，都是我们进行推理论证时可以直接引用的依据。 4. 定义 在数学中，对一个数学对象的___【13】___属性的准确描述叫做___【14】___。 定义是数学推理的起点。例如：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”就是平行四边形的定义。 ▲ 图3：定义、定理与推理的关系 二、随堂练习 1. 判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假： （1）3 是质数； （2）请把门关上！ （3）x + 2 > 5； （4）今天天气真好啊！ （5）对任意实数 x，都有 x² ≥ 0； （6）你今年多大了？ 2. 把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并指出条件与结论： （1）偶数能被 2 整除； （2）等腰三角形的两个底角相等； （3）相似三角形的对应角相等。 3. 判断下列命题的真假，若为假命题请举出反例： （1）若 a > b，则 a² > b²； （2）若两个角是对顶角，则这两个角相等； （3）若 x² = 4，则 x = 2。 4. 下列语句中，是命题的有______个。 ① 一条直线上有两个点；② √2 是有理数；③ 画一条线段 AB；④ 若 x ∈ R，则 x² + 1 > 0。 5. 指出下列各语句中哪个是定义，哪个是定理： （1）三角形内角和等于 180°； （2）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 三、分知识点精练 知识点1：命题的判断 1. 下列语句中是命题的是（　） A. 这道题好难啊！ B. 明天会下雨吗？ C. 所有的正方形都是矩形 D. 请认真听讲 2. 下列语句中，不是命题的是（　） A. 2026 是偶数 B. π 是无理数 C. x + 1 = 3 D. 若 a = b，则 a² = b² 3. 下列四个语句中，是命题的个数为（　） ① 空集是任何集合的子集；② 求证 是无理数；③ 若 x > 1，则 x² > 1；④ 这个数比那个数大。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 判断下列语句是否为命题，并说明理由： （1）一个数不是正数就是负数； （2）梯形是不是平行四边形？ （3）当 x = 2 时，x² － 4 = 0； （4）2x + 3 < 0。 知识点2：命题真假的判断 5. 下列命题中，真命题是（　） A. 若 a > b，则 ac > bc B. 若 a² = b²，则 a = b C. 若 a > 0 且 b > 0，则 a + b > 0 D. 若 x > y，则 < 6. 下列命题中，假命题是（　） A. 所有的菱形都是平行四边形 B. 所有的质数都是奇数 C. 0 是自然数 D. 两点确定一条直线 7. 判断下列命题的真假，假命题请举反例： （1）若 ab = 0，则 a = 0； （2）若一个四边形的四条边相等，则它是正方形； （3）若 x 是整数，则 x² 是非负整数； （4）若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等。 8. 已知命题：“若 a > 1，则 a² > a”。判断其真假并给出证明或反例。 9. 判断命题“若 m > 0，则方程 x² + x － m = 0 有实数根”的真假，并说明理由。 10. 判断下列命题的真假： （1）若 a、b 是实数，且 a + b > 0，则 a > 0 且 b > 0； （2）若一个整数的各位数字之和能被 3 整除，则这个整数能被 3 整除； （3）若 |a| = |b|，则 a = b。 知识点3：改写为若 p 则 q 的形式 11. 命题“负数的平方是正数”改写为“若 p，则 q”的形式是（　） A. 若一个数是负数，则它的平方是正数 B. 若一个数的平方是正数，则它是负数 C. 负数的平方是正数 D. 若一个数不是负数，则它的平方不是正数 12. 把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并指出条件 p 与结论 q： （1）能被 6 整除的数一定能被 3 整除； （2）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对角线互相垂直平分的四边形是菱形； （4）末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除。 13. 已知命题“若 x² － 3x + 2 = 0，则 x = 1 或 x = 2”，指出条件与结论，并判断真假。 14. 将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写为“若 p，则 q”的形式。 知识点4：定理、定义与综合应用 15. 下列说法正确的是（　） A. 定义一定是真命题 B. 定理可能是假命题 C. 所有真命题都是定理 D. 命题改写成“若 p，则 q”的形式后一定唯一 16. 指出下列语句中哪些是定义，哪些是定理： （1）三边相等的三角形叫做等边三角形； （2）等边三角形的三个内角都等于 60°； （3）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； （4）由一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 17. 已知命题：“若关于 x 的方程 x² + 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m < 1”。判断该命题的真假，并写出推理过程。 18. 命题“若 a、b 都是偶数，则 a + b 是偶数”是真命题。请写出它的条件 p 和结论 q，并给出证明。 19. 举出一个例子说明：“若 p，则 q”为真命题，但把条件与结论互换后得到的语句为假命题。 20. 已知命题：“若 x > 0，则 x + ≥ 2”。判断真假并证明。 四、答案与解析 教材知识点盘点·参考答案： 【1】判断真假　　解析：命题的两个要件之一是“可以判断真假”，即真假必须是确定的。 【2】陈述句　　解析：命题的载体只能是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。 【3】真命题　　解析：判断为真的语句称为真命题。 【4】假命题　　解析：判断为假的语句称为假命题；假命题仍然是命题。 【5】陈述句　　解析：这是对命题“形式”的要求，与【2】呼应。 【6】判断真假　　解析：这是对命题“内容”的要求，与【1】呼应。两个要件缺一不可。 【7】不是　　解析：疑问句没有作出判断，祈使句是要求，感叹句是抒情，都无真假可言。 【8】条件　　解析：“若 p，则 q”中，p 是使结论成立的前提，称为条件（题设）。 【9】结论　　解析：q 是由条件 p 推出的结果，称为结论。 【10】若两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则这两条直线平行　　解析：改写时必须把省略的大前提“两条直线被第三条直线所截”补全，否则命题含义不完整。 【11】真命题　　解析：定理首先必须是真命题，且已经过严格证明。 【12】定理　　解析：定理可作为后续推理的依据直接引用，这是它区别于一般真命题的用途。 【13】本质　　解析：定义抓住的是对象区别于其他对象的本质属性，而非一般性质。 【14】定义　　解析：定义是数学推理的起点，本身不需要证明，且总可以“反过来说”。 随堂练习： 1. （1）是命题，真；（2）不是命题，祈使句；（3）不是命题，x 未确定，无法判断真假；（4）不是命题，感叹句；（5）是命题，真；（6）不是命题，疑问句。 2. （1）若一个数是偶数，则它能被 2 整除。条件：一个数是偶数；结论：它能被 2 整除。 （2）若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等。 （3）若两个三角形相似，则它们的对应角相等。 3. （1）假命题。反例：a = 1，b = －2，此时 a > b，但 a² = 1 < 4 = b²。 （2）真命题。 （3）假命题。反例：x = －2 时 x² = 4，但 x ≠ 2。 4. 3 个。解析：①②④ 是命题（① 为假，② 为假，④ 为真），③ 是祈使句，不是命题。 5. （1）是定理（三角形内角和定理）；（2）是定义（直角三角形的定义）。 分知识点精练： 1. C　解析：A 是感叹句，B 是疑问句，D 是祈使句，均不是命题；C 是可判断真假的陈述句。 2. C　解析：x + 1 = 3 中 x 未指定取值，无法判断真假，不是命题。 3. B　解析：① 是命题（真），③ 是命题（真）；② 是祈使句；④ 中所指对象不确定，无法判断真假。故共 2 个。 4. （1）是命题，且为假命题（0 既不是正数也不是负数）；（2）不是命题，疑问句；（3）是命题，真；（4）不是命题，x 不确定。 5. C　解析：A 错，c ≤ 0 时不成立；B 错，如 a = 1，b = －1；D 错，如 x = 1，y = －1 时 = 1 > = －1；C 正确。 6. B　解析：2 是质数但不是奇数，故 B 为假命题。 7. （1）假。反例：a = 3，b = 0，ab = 0 但 a ≠ 0。 （2）假。反例：菱形四边相等但不一定是正方形。 （3）真。 （4）假。反例：底为 4 高为 3 的三角形与底为 6 高为 2 的三角形面积都是 6，但不全等。 8. 真命题。证明：因为 a > 1，所以 a － 1 > 0，且 a > 0， 故 a² － a = a(a － 1) > 0，即 a² > a。 9. 真命题。理由：Δ = 1² － 4 × 1 × (－m) = 1 + 4m。因为 m > 0，所以 Δ = 1 + 4m > 1 > 0，方程有两个不相等的实数根。 10. （1）假。反例：a = 3，b = －1，a + b = 2 > 0，但 b < 0。 （2）真（能被 3 整除的判定方法）。 （3）假。反例：a = 2，b = －2，|a| = |b| 但 a ≠ b。 11. A　解析：条件是“一个数是负数”，结论是“它的平方是正数”。 12. （1）若一个数能被 6 整除，则它能被 3 整除。p：一个数能被 6 整除；q：它能被 3 整除。 （2）若两条平行直线被第三条直线所截，则同旁内角互补。 （3）若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形。 （4）若一个整数的末位数字是 0 或 5，则这个整数能被 5 整除。 13. 条件 p：x² － 3x + 2 = 0；结论 q：x = 1 或 x = 2。该命题为真命题，因为方程可分解为 (x － 1)(x － 2) = 0。 14. 若一个三角形是直角三角形，则它斜边上的中线等于斜边的一半。 15. A　解析：定义都是真命题；定理必须是已被证明的真命题，B 错；真命题不一定都被称为定理，C 错；同一命题的改写形式可能不唯一，D 错。 16. 定义：（1）（4）；定理：（2）（3）。 17. 真命题。推理：方程有两个不相等实根，等价于 Δ > 0，即 Δ = 2² － 4m = 4 － 4m > 0，解得 m < 1。故命题成立。 18. p：a、b 都是偶数；q：a + b 是偶数。 证明：设 a = 2m，b = 2n（m、n ∈ Z），则 a + b = 2m + 2n = 2(m + n)。 因为 m + n ∈ Z，所以 a + b 是偶数。 19. 示例：命题“若 x = 2，则 x² = 4”为真命题；互换条件与结论得“若 x² = 4，则 x = 2”，当 x = －2 时结论不成立，故为假命题。（答案不唯一） 20. 真命题。证明：因为 x > 0，所以 x + － 2 = = (x － 1)²/x ≥ 0， 所以 x + ≥ 2，当且仅当 x = 1 时取等号。 学科网（北京）股份有限公司 $