2.3全称量词命题与存在量词命题讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦全称量词命题与存在量词命题核心知识点，从理解量词意义及符号∀∃入手，梳理命题识别、真假判断（全称找反例、存在找实例）、否定（改量词否结论）到恒成立与存在性问题（转化为函数最值）的完整知识脉络，搭建递进式学习支架。 资料以重难点表格梳理、图表直观呈现（如二次函数图象判断命题真假）和分知识点精练为特色，通过符号语言表达培养抽象能力，真假判断与否定训练推理意识，恒成立问题转化体现模型观念。课中助力教师突出关键，课后便于学生强化练习，弥补知识盲点。

2.3 全称量词命题与存在量词命题 2026 年高中数学暑期同步讲义 · 苏教版必修一 【学习目标】 理解全称量词与存在量词的意义，认识符号 ∀ 与 ∃； 能识别全称量词命题与存在量词命题，并用符号语言准确表示； 掌握两类量词命题真假的判断方法（全称找反例，存在找实例）； 会正确写出全称量词命题与存在量词命题的否定； 能借助函数图象处理恒成立问题与存在性问题。 【重难点梳理】 类别 内容要点 突破策略 重点 两类量词命题的识别与符号表示 抓关键词：所有 / 任意 与 存在 / 至少有一个 重点 量词命题真假的判断 全称为假只需一个反例，存在为真只需一个实例 难点 量词命题的否定 口诀：改量词、否结论，量词与结论同时变 难点 恒成立与存在性问题的转化 转化为函数最值：恒成立看最值，存在性看值域 一、教材知识点盘点 1. 全称量词与全称量词命题 短语“所有的”“任意一个”“每一个”在逻辑中通常叫做___【1】___，用符号___【2】___表示。 含有全称量词的命题叫做___【3】___，其一般形式记作：___【4】___，读作“对 M 中任意一个 x，p(x) 成立”。 2. 存在量词与存在量词命题 短语“存在一个”“至少有一个”“有些”在逻辑中通常叫做___【5】___，用符号___【6】___表示。 含有存在量词的命题叫做___【7】___，其一般形式记作：___【8】___，读作“存在 M 中的元素 x，使 p(x) 成立”。 ▲ 图1：全称量词命题与存在量词命题的直观理解 3. 两类量词命题真假的判断 命题类型 为真的判断依据 为假的判断依据 全称量词命题 ∀x∈M, p(x) 需证明 M 中___【9】___元素都使 p(x) 成立 只需找出___【10】___个 x₀∈M 使 p(x₀) 不成立 存在量词命题 ∃x∈M, p(x) 只需找出___【11】___个 x₀∈M 使 p(x₀) 成立 需证明 M 中___【12】___元素都使 p(x) 不成立 ▲ 图2：∀x∈R，x² － 2x + 2 > 0 为真（图象恒在 x 轴上方） ▲ 图3：∃x∈R，x² － 2x － 3 < 0 为真（存在图象落在 x 轴下方的部分） 4. 量词命题的否定 全称量词命题 p：∀x∈M, p(x)，它的否定 ¬p 为：___【13】___。 存在量词命题 p：∃x∈M, p(x)，它的否定 ¬p 为：___【14】___。 结论：全称量词命题的否定是___【15】___量词命题；存在量词命题的否定是___【16】___量词命题。 一个命题与它的否定，必有___【17】___个为真、___【18】___个为假。 ▲ 图4：两类量词命题的否定关系 常见结论的否定对照：“=”的否定是___【19】___；“>”的否定是___【20】___；“都是”的否定是___【21】___；“至少有一个”的否定是___【22】___。 5. 恒成立问题与存在性问题 （1）∀x∈D，f(x) > 0 恒成立 ⟺ f(x) 在 D 上的___【23】___ > 0。 （2）∃x∈D，f(x) > 0 成立 ⟺ f(x) 在 D 上的___【24】___ > 0。 （3）对二次函数 f(x) = ax² + bx + c（a > 0），∀x∈R，f(x) > 0 ⟺ Δ___【25】___0。 ▲ 图5：判别式 Δ 与二次函数图象位置的关系 二、随堂练习 1. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假： （1）所有的素数都是奇数； （2）∃x∈R，x² + 1 = 0； （3）∀x∈R，|x| ≥ 0； （4）有些平行四边形是矩形。 2. 用符号 ∀ 或 ∃ 表示下列命题： （1）任意一个实数的平方都不小于 0； （2）存在一个整数 x，使 2x + 1 = 5； （3）每一个三角形的内角和都等于 180°。 3. 写出下列命题的否定： （1）∀x∈R，x² + 2x + 1 ≥ 0； （2）∃x∈Z，x² = 2； （3）所有的矩形都是正方形； （4）至少有一个实数 x，使 x³ + 1 = 0。 4. 判断下列命题的真假，并写出其否定： （1）∀x∈R，x² > 0； （2）∃x∈N，x² ≤ x。 5. 若命题“∀x∈R，x² + 2x + m > 0”为真命题，求实数 m 的取值范围。 三、分知识点精练 知识点1：量词命题的识别与符号表示 1. 下列命题中，是全称量词命题的是（　） A. 存在一个实数 x，使 x² < 0 B. 所有的正方形都是菱形 C. 有些三角形是直角三角形 D. 至少有一个偶数是质数 2. 命题“存在一个实数 x，使 x² + x － 6 = 0”用符号表示为（　） A. ∀x∈R，x² + x － 6 = 0 B. ∃x∈R，x² + x － 6 = 0 C. ∀x∈R，x² + x － 6 ≠ 0 D. ∃x∈R，x² + x － 6 ≠ 0 3. 将下列命题用符号语言表示： （1）任何一个实数除以 1 都等于它本身； （2）存在一个自然数，它既是偶数又是质数； （3）对任意正实数 x，都有 x + ≥ 2。 4. 把下列符号语言翻译成文字语言： （1）∀x∈Z，2x 是偶数； （2）∃x∈R，x² － 3x + 2 = 0。 知识点2：量词命题真假的判断 5. 下列命题中，真命题是（　） A. ∀x∈R，x² > 0 B. ∀x∈N，x ≥ 1 C. ∃x∈R，x² + 1 < 0 D. ∃x∈Z，x² － 3x + 2 = 0 6. 下列命题中，假命题是（　） A. ∀x∈R，x² + 1 > 0 B. ∃x∈R，x² = x C. ∀x∈N*，x² ≥ x D. ∃x∈Q，x² = 3 7. 判断下列命题的真假，并说明理由： （1）∀x∈R，x² － x + 1 > 0； （2）∃x∈R，x² + 2x + 3 = 0； （3）∀x∈N，x² ≥ x； （4）∃x∈R，使 x 既是奇数又是偶数。 8. 已知命题 p：∀x∈[1, 3]，x² － a ≥ 0 为真命题，求 a 的取值范围。 9. 判断命题“∃x∈R，使 x² + 2x + 3 < 0”的真假，并借助二次函数图象说明理由。 知识点3：量词命题的否定 10. 命题“∀x∈R，x² ≥ 0”的否定是（　） A. ∀x∈R，x² < 0 B. ∃x∈R，x² ≥ 0 C. ∃x∈R，x² < 0 D. ∃x∈R，x² ≤ 0 11. 命题“∃x∈R，x² + 2x + 2 ≤ 0”的否定是（　） A. ∃x∈R，x² + 2x + 2 > 0 B. ∀x∈R，x² + 2x + 2 > 0 C. ∀x∈R，x² + 2x + 2 ≤ 0 D. ∃x∈R，x² + 2x + 2 < 0 12. 命题“所有的偶数都能被 4 整除”的否定是____________________，原命题为______命题，其否定为______命题。 13. 写出下列命题的否定，并判断否定的真假： （1）∀x∈R，x³ + 1 ≠ 0； （2）∃x∈R，x 是方程 x² － 1 = 0 的根； （3）每一个二次函数的图象都与 x 轴有交点； （4）存在一个三角形，它的三个内角都是锐角。 14. 已知命题 p：∃x∈R，x² + 2ax + a ≤ 0。若 ¬p 为真命题，求实数 a 的取值范围。 知识点4：恒成立与存在性问题 15. 若命题“∀x∈R，x² － 2x + a > 0”为真命题，则实数 a 的取值范围是（　） A. a > 1 B. a ≥ 1 C. a < 1 D. a ≤ 1 16. 若命题“∃x∈R，x² + 2x + a = 0”为真命题，则实数 a 的取值范围是（　） A. a > 1 B. a ≥ 1 C. a < 1 D. a ≤ 1 17. 已知命题 p：∀x∈[1, 2]，x² － a ≥ 0；命题 q：∃x∈R，x² + 2ax + 2 － a = 0。若 p 与 q 都是真命题，求 a 的取值范围。 18. 若对任意 x∈[2, 3]，不等式 x² － 2x － a ≤ 0 恒成立，求 a 的取值范围。 19. 若存在 x∈[1, 4]，使不等式 x² － 4x + m < 0 成立，求 m 的取值范围。 20. 已知函数 f(x) = x² － 2x + 3，x∈[0, 3]。 （1）若 ∀x∈[0, 3]，f(x) ≥ m 恒成立，求 m 的最大值； （2）若 ∃x∈[0, 3]，f(x) ≤ m 成立，求 m 的最小值。 21. 已知命题 p：∀x∈R，ax² + ax + 1 > 0 为真命题，求实数 a 的取值范围。 四、答案与解析 教材知识点盘点·参考答案： 【1】全称量词　　解析：“所有的”“任意一个”“每一个”都表示对范围内全体对象作出判断。 【2】∀　　解析：符号 ∀ 由英文 All 的首字母倒写而来，读作“对任意”。 【3】全称量词命题　　解析：含有全称量词的命题即为全称量词命题。 【4】∀x∈M, p(x)　　解析：书写时必须写明变量的取值范围 M，否则命题不完整。 【5】存在量词　　解析：“存在一个”“至少有一个”“有些”都只对部分对象作出判断。 【6】∃　　解析：符号 ∃ 由英文 Exist 的首字母反写而来，读作“存在”。 【7】存在量词命题　　解析：含有存在量词的命题即为存在量词命题。 【8】∃x∈M, p(x)　　解析：只要能找到 M 中一个元素使 p(x) 成立，该命题即为真。 【9】每一个　　解析：证明全称量词命题为真必须对范围内所有元素都验证，通常要用推理证明。 【10】一　　解析：否定全称量词命题只需一个反例，这是“举反例”法的理论依据。 【11】一　　解析：证明存在量词命题为真只需举出一个满足条件的实例。 【12】每一个　　解析：说明存在量词命题为假需证明范围内没有任何元素满足条件。 【13】∃x∈M, ¬p(x)　　解析：否定时“改量词、否结论”，范围 M 保持不变。 【14】∀x∈M, ¬p(x)　　解析：同样是量词互换、结论取反，切勿把 M 也一起否定。 【15】存在　　解析：∀ 的否定为 ∃，即全称量词命题的否定是存在量词命题。 【16】全称　　解析：∃ 的否定为 ∀，两类命题的否定互为对方。 【17】一　　解析：命题与它的否定构成对立关系，二者真假必然相反。 【18】一　　解析：不可能同真，也不可能同假，故一真一假。 【19】≠　　解析：“等于”的反面是“不等于”。 【20】≤　　解析：“大于”的否定是“小于或等于”，容易漏掉等号，这是常见失分点。 【21】不都是　　解析：“都是”的否定是“不都是”（即至少有一个不是），而不是“都不是”。 【22】一个也没有　　解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”（即不存在）。 【23】最小值　　解析：f(x) 恒大于 0，等价于 f(x) 的最小值大于 0，把恒成立问题转化为最值问题。 【24】最大值　　解析：只要最大值大于 0，就存在 x 使 f(x) > 0，注意与【23】的区别。 【25】<　　解析：a > 0 且 Δ < 0 时抛物线开口向上且与 x 轴无交点，图象恒在 x 轴上方。 随堂练习： 1. （1）全称量词命题，假（2 是素数但不是奇数）；（2）存在量词命题，假； （3）全称量词命题，真；（4）存在量词命题，真。 2. （1）∀x∈R，x² ≥ 0；（2）∃x∈Z，2x + 1 = 5；（3）∀ 三角形，其内角和 = 180°。 3. （1）∃x∈R，x² + 2x + 1 < 0；（2）∀x∈Z，x² ≠ 2； （3）存在一个矩形不是正方形；（4）∀x∈R，x³ + 1 ≠ 0。 4. （1）假命题（x = 0 时 x² = 0）。否定：∃x∈R，x² ≤ 0，为真命题。 （2）真命题（x = 0 或 1 时成立）。否定：∀x∈N，x² > x，为假命题。 5. 解：命题为真即二次函数 y = x² + 2x + m 的图象恒在 x 轴上方， 故 Δ = 4 － 4m < 0，解得 m > 1。 分知识点精练： 1. B　解析：A、C、D 均含存在量词，只有 B 含全称量词“所有的”。 2. B 3. （1）∀x∈R，x ÷ 1 = x；（2）∃x∈N，x 既是偶数又是质数；（3）∀x > 0，x + ≥ 2。 4. （1）对任意整数 x，2x 都是偶数；（2）存在实数 x，使 x² － 3x + 2 = 0。 5. D　解析：A 错（x = 0）；B 错（x = 0∈N）；C 错（x² + 1 ≥ 1 > 0）；D 对（x = 1 或 2）。 6. D　解析：√3 是无理数，不存在有理数 x 使 x² = 3，故 D 为假命题。 7. （1）真。因为 x² － x + 1 = (x － )² + ≥ > 0。 （2）假。Δ = 4 － 12 = －8 < 0，方程无实根。 （3）真。x∈N 时，x² － x = x(x － 1) ≥ 0。 （4）假。任何整数不可能既是奇数又是偶数。 8. 解：∀x∈[1, 3]，x² ≥ a 恒成立，等价于 a ≤ (x²)ₘᵢₙ。 x∈[1, 3] 时 x² 的最小值为 1，故 a ≤ 1。 9. 假命题。理由：x² + 2x + 3 = (x + 1)² + 2 ≥ 2 > 0， 该二次函数图象开口向上且顶点纵坐标为 2，图象恒在 x 轴上方，故不存在 x 使其小于 0。 10. C　解析：全称改存在，结论取反。 11. B　解析：存在改全称，≤ 的否定是 >。 12. 否定：存在一个偶数不能被 4 整除。原命题为假命题（如 6），其否定为真命题。 13. （1）否定：∃x∈R，x³ + 1 = 0。真（x = －1）。 （2）否定：∀x∈R，x 不是方程 x² － 1 = 0 的根。假（x = 1 是根）。 （3）否定：存在一个二次函数的图象与 x 轴没有交点。真（如 y = x² + 1）。 （4）否定：所有三角形的三个内角都不全是锐角。假（存在锐角三角形）。 14. 解：¬p 为“∀x∈R，x² + 2ax + a > 0”，为真命题。 故 Δ = 4a² － 4a < 0，即 a(a － 1) < 0，解得 0 < a < 1。 15. A　解析：Δ = 4 － 4a < 0 ⇒ a > 1。 16. D　解析：方程有实根需 Δ = 4 － 4a ≥ 0 ⇒ a ≤ 1。 17. 解：p 为真：a ≤ (x²)ₘᵢₙ = 1（x∈[1, 2]），即 a ≤ 1。 q 为真：Δ = 4a² － 4(2 － a) ≥ 0，即 a² + a － 2 ≥ 0，(a + 2)(a － 1) ≥ 0， 解得 a ≤ －2 或 a ≥ 1。 取交集得：a ≤ －2 或 a = 1。 18. 解：a ≥ x² － 2x 对任意 x∈[2, 3] 恒成立，即 a ≥ (x² － 2x)ₘₐₓ。 设 g(x) = x² － 2x = (x － 1)² － 1，在 [2, 3] 上单调递增，最大值 g(3) = 3。 故 a ≥ 3。 19. 解：存在 x∈[1, 4] 使 m < －x² + 4x 成立，即 m < (－x² + 4x)ₘₐₓ。 设 h(x) = －x² + 4x = －(x － 2)² + 4，在 [1, 4] 上最大值为 h(2) = 4。 故 m < 4。 20. 解：f(x) = (x － 1)² + 2，x∈[0, 3]。 最小值 f(1) = 2，最大值 f(3) = 6。 （1）恒成立需 m ≤ fₘᵢₙ = 2，故 m 的最大值为 2。 （2）存在性需 m ≥ fₘᵢₙ = 2，故 m 的最小值为 2。 21. 解：分类讨论。 当 a = 0 时，不等式化为 1 > 0，对任意 x 恒成立，符合； 当 a ≠ 0 时，需 a > 0 且 Δ = a² － 4a < 0，解得 0 < a < 4。 综上，0 ≤ a < 4。 学科网（北京）股份有限公司 $