辽宁省2026-2027学年高三上学期数学开学模拟卷02

**基本信息** 辽宁省2026-2027高三开学数学模拟卷，覆盖选择性必修三及三角函数图像性质，融合多地区期末真题，基础巩固与能力提升梯度清晰，注重数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、函数单调性、数列、三角函数|单选基础（如集合运算），多选综合（如等差数列性质），考查抽象能力与推理意识| |填空题|3/15|函数单调性、奇偶性|聚焦函数性质应用，强化数学眼光中的几何直观| |解答题|5/77|数列递推、导数应用、三角函数图像、实际应用|如销售收入问题（15题）体现模型观念，导数单调性（18题）考查运算能力，综合题注重数学语言表达|

辽宁省2026-2027年高三数学上学期开学模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册全册+一轮复习至三角函数图像性质。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东潍坊·期末）函数，的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）命题，的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高二下·广东肇庆·期末）记为等比数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．13 5．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知等差数列的通项公式为，在中每相邻两项之间都插入2个数，组成一个新的等差数列，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为的零点，为的对称轴，且在单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 7．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·山东青岛·期末）设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（    ） A． B．当且仅当时，取最小值 C．数列是等比数列 D． 10．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期末）已知函数，将其图象向右平移个单位后得到的图象，的最小正周期为，则下列选项正确的是（    ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 D．若且，则 11．（25-26高二下·山东济南·期末）已知函数，则（     ） A．当时，存在唯一极大值点 B．存在，使得与的图象仅有一对关于对称的点 C．存在，使得直线是曲线的切线也是曲线的切线 D．若对任意，存在，使得成立，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·河北保定·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为______． 13．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知为偶函数，则实数________． 14．（25-26高二下·天津津南·期末）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·湖北十堰·期末）某工艺品销售店为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况调研，发现销售收入与时间关系因销售方式不同而不同.该工艺品在过去一个月（以30天计）内网上销售日收入（单位：元）与时间（单位：天）满足关系式；线下门店销售日收入（单位：元）与时间t（单位：天）满足关系式：，两种销售方式互不干扰，同时销售. (1)求过去一个月内有多少天销售日收入不低于6000元； (2)求这一个月内该工艺品在哪一天销售日收入最大，最大值是多少? 16．（25-26高三上·江西赣州·阶段检测）已知函数的图象经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)方程在区间上有三个解，求t的取值范围. 17．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知数列满足：，，设． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．（25-26高二下·河北·期末）已知函数，，. (1)若在x=1处取得极值，求a的值； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)若在上存在单调递减区间，求a的取值范围. 19．（25-26高二下·山东临沂·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026-2027年高三数学上学期开学模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册全册+一轮复习至三角函数图像性质。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合=， =， 所以. 2．（25-26高三上·山东潍坊·期末）函数，的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正弦函数的性质，令， 所以，又， 所以函数在内的单调递减区间为. 3．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）命题，的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题“，”的否定为“”. 4．（25-26高二下·广东肇庆·期末）记为等比数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．13 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质可知成等比数列，由此列式计算即可. 【详解】由题意得：成等比数列， 所以， 所以，化简整理得：， 所以， 所以或， 又，所以， 所以， 所以. 5．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知等差数列的通项公式为，在中每相邻两项之间都插入2个数，组成一个新的等差数列，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【详解】由的通项公式，得首项，公差， 则等差数列的首项，设其公差为， 由于相邻两项之间插入2个数，故，则， 根据等差数列通项公式，， 因此. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为的零点，为的对称轴，且在单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得，为正奇数且.结合为的零点，为图像的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值. 【详解】因为为的零点，为图象的对称轴， 所以,即，所以,即为正奇数. 因为在上单调，则，即， 解得：，当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 所以当时，单增；当时，单减， 即在不单调，不满足题意； 当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 此时在单调递减，符合题意； 故的最大值为9. 7．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式的两个分母整体设为新变量，通过解方程组用新变量表示，代入原式化简后结合基本不等式即可求解最值. 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 8．（25-26高二下·山东青岛·期末）设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得 ，把零点个数问题转化为求解函数的图象与直线的交点个数问题. 【详解】令可得 当时，，联立方程可得，解得， 此时仅一个交点； 当时，，联立方程解得， 此时仅一个交点； 当时，，由图象可知仅有一个交点， 综上所述，函数的图象与直线有3个交点. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（    ） A． B．当且仅当时，取最小值 C．数列是等比数列 D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件列方程组求出和，根据等差数列通项公式判断A选项；令得到中的负项和非负项，再根据判断B选项；利用等比数列定义判断C选项；根据中的负项和非负项去绝对值，再利用等差数列的求和公式求和即可判断D选项. 【详解】选项A，由得， 因为，所以解得或（舍）， 所以，A选项正确； 选项B，令，解得，因为，所以当或时，取最小值，B选项错误； 选项C，，所以，因为，首项， 所以数列是首项为，公比为4的等比数列，C选项正确； 选项D，由B知，当时，，当时，， 所以， 由得，所以，D选项正确. 10．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·期末）已知函数，将其图象向右平移个单位后得到的图象，的最小正周期为，则下列选项正确的是（    ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 D．若且，则 【答案】AD 【分析】先利用辅助角公式化简，结合平移规则和周期求出，得到和的解析式，再根据三角函数的对称性、图象变化、函数值求解逐一判断选项即可. 【详解】因为， 将其图象向右平移个单位后得， 由的最小正周期为，得，即， 因此，. 对于A：因为，为的最大值， 故的图象关于对称，A正确； 对于B：因为， 故不是的对称中心，B错误； 对于C：将的图象向右平移个单位， 得到，故C错误； 对于D：令，即， 当时，，所以或， 对应，，所以，故D正确. 11．（25-26高二下·山东济南·期末）已知函数，则（     ） A．当时，存在唯一极大值点 B．存在，使得与的图象仅有一对关于对称的点 C．存在，使得直线是曲线的切线也是曲线的切线 D．若对任意，存在，使得成立，则 【答案】ABC 【分析】利用函数导数与单调性和函数极值点的定义，反函数的性质，函数导数的几何意义以及不等式恒成立转化求最值，以及利用函数导数与单调性求最值，逐项分析求解. 【详解】对于A，由，则， 因为函数的定义域为， 所以， 当时，令， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数存在唯一极大值点，故A正确； 选项B，若函数与的图象仅有一对关于对称的点， 则函数与的反函数仅有一个交点， 即方程仅一个解， 令，则， 由，当时，， 即函数在上单调递增， 当时，，当时，， 所以函数只有一个零点， 即存在，使得与的图象仅有一对关于对称的点，故B正确； 选项C，设与的切点为：， 由得：，则切线的斜率为：， 所以切线方程为：，即， 设与的切点为：， 由，则，此时切线的斜率为：， 所以切线方程为：，即， 由题意知两条切线为同一条直线，所以， 由代入， 化简得：，解得：或， 当时，，当时，，故C正确； 对于D，若对任意，存在，使得成立， 等价于在上的最小值大于在上的最小值， 令，则， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以， 令， 则，由， 当时，，此时函数在上单调递减， 所以， 由题意得：， 又，所以， 当时，，此时函数在上单调递增， 所以，不满足题意， 当时，令， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上递减， 所以， 若时，不满足题意， 若，则有即， 又，所以此时， 综上所述：，不一定得出，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·河北保定·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】由题知在上恒成立， 设，因为，，所以， 则， 在上恒成立，等价于在恒成立， 即在时恒成立，所以，即． 13．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知为偶函数，则实数________． 【答案】 【分析】利用偶函数定义构造关于的恒等式，结合对数性质化简后，通过对比系数法求出参数并代入检验. 【详解】由题意得，即， 若，该等式恒成立， 若，则有， 即，可得， 即，整理得， 则，解得， 此时， 要使对数有意义，需满足，解得， 定义域关于原点对称，满足题意，故. 14．（25-26高二下·天津津南·期末）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据分段函数单调递增的性质，分别分析各段函数单调性及分段点处函数值大小关系，进而确定实数的取值范围. 【详解】由题意可得：分段函数在上单调递增， 所以函数满足每一段单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值， 当时，，是增函数，所以系数， 当时，，， 令，则，即：， 在时的最小值为，因此，解得， 分段点时，左段在时，， 右段在时，，又因为单调递增， 所以，，即，综上，实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·湖北十堰·期末）某工艺品销售店为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况调研，发现销售收入与时间关系因销售方式不同而不同.该工艺品在过去一个月（以30天计）内网上销售日收入（单位：元）与时间（单位：天）满足关系式；线下门店销售日收入（单位：元）与时间t（单位：天）满足关系式：，两种销售方式互不干扰，同时销售. (1)求过去一个月内有多少天销售日收入不低于6000元； (2)求这一个月内该工艺品在哪一天销售日收入最大，最大值是多少? 【答案】(1)27 (2)，最大值为6900元 【分析】（1）由解不等式即可求解； （2）由和分别计算最值即可求解. 【详解】（1）依题意有， ∴ ∴当时，，解得； ∴当时，，即， 又在单调递减，在单调递增， 当时，， 当时，， 即当时，恒成立， ∴. 综上有，共27天高于6000元. （2）由（1）知当时， ∵时取最小值，∴时取最大值，. 当时， 当且仅当时，取得最大值6900， 综上可知：当时有最大值，最大值为6900元. 16．（25-26高三上·江西赣州·阶段检测）已知函数的图象经过点，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)方程在区间上有三个解，求t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据函数最值差、相邻零点距离求出和，再代入已知点坐标求得得到函数解析式； （2）通过分析给定区间内函数的图像特征，数形结合求得方程有三个解时的取值范围. 【详解】（1）由题可知，，所以， 所以， 又函数图象经过点，所以， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以； （2）因为，所以， 所以，，画出对应的函数图象， ， 方程在区间上有三个解等价于直线与图象有三个不同的交点， 由图可知，所以t的取值范围为 17．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知数列满足：，，设． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的递推公式求得数列的递推公式，从而求得数列的通项公式； （2）由（1）得到数列中的通项公式，结合数列的递推公式求得的通项公式，从而求得数列的通项公式.然后讨论的奇偶性，通过分组求和求得数列的前项和． 【详解】（1）因为，所以，则， 因为为奇数，为偶数，所以， 所以， 即数列是首项为12，公比为4的等比数列， 所以. （2）由（1）可知，，所以，为奇数， 则，所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，为偶数，， 综上所述，. 18．（25-26高二下·河北·期末）已知函数，，. (1)若在x=1处取得极值，求a的值； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)若在上存在单调递减区间，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先对函数求导，利用极值点处导数为求出参数，再通过导数正负判断函数单调性，进而得到单调区间； （2）方法一：对求导，将导数恒非负的不等式分离参数，构造函数求其在对应区间的最大值得到的范围；方法二：根据单调递增函数的性质，让区间最小值满足不等式，直接解出的取值范围； （3）方法一：将不等式分离参数，结合构造函数在区间的单调性求出最大值，得到的上限；方法二：利用函数单调性求出区间最小值，令最小值小于 解出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，则，得， 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极值，故. （2），则， 由题意得，在上恒成立，即在上恒成立. （方法一）整理得在上恒成立， 所以， 因为在上单调递减，最大值为，所以， 即的取值范围是. （方法二）因为，，所以函数在上单调递增， 所以， 所以，即， 即的取值范围是. （3）由题意得在上有解. （方法一）需在上有解. 因为在上单调递减， 所以， 所以，即的取值范围为. （方法二）函数在上单调递增，所以， 在上有解，所以， 所以，即的取值范围为. 19．（25-26高二下·山东临沂·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）先求出导函数，再得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性； （3）先化简应用参数分离，再构造函数应用导函数结合隐零点得出最大值即可求解. 【详解】（1）当时，，， ，． 在处的切线方程为． （2）， ， 令，则，在上单调递增， 令，则，在上单调递减， 的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）恒成立， ，即， 令，则， 令，则在恒成立， 在单调递减， 知，， ∴存在唯一零点，使得， 即，易得，即， 令（）， ，在单调递增， ，， 即， 时，，即，单调递增， 时，，即，单调递减， ， ，即的取值范围为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $