3.4 圆周角 课时3 圆内接四边形 课件 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“圆内接四边形”核心内容，通过温故知新回顾圆周角定理、特殊四边形性质，结合情境提问引导学生探究内角关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以推理能力和几何直观为核心，通过弧度数推导“对角互补”“外角等于内对角”性质，结合例题（如证明圆内接平行四边形是矩形）和思考探究（圆内接菱形是正方形）培养数学思维。分层练习助力学生巩固，教师可利用系统资源提升教学效率。

第三章 圆 3.4 圆周角 3.4.3 圆内接四边形 学习目标 过程与方法 知识与技能 掌握圆内接四边形的性质：对角互补 能运用圆内接四边形的性质进行证明和计算 能判断圆内接特殊四边形的形状（平行四边形→矩形，菱形→正方形，梯形→等腰梯形） 经历观察、猜想、证明的过程，体会从一般到特殊的推理方法 02 01 课前自主·知识预习奠基 圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半 弧的度数：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 特殊四边形的性质：平行四边形对角相等；矩形四个角都是直角；菱形四边相等；等腰梯形两腰相等、同一底上的两角相等 思考：圆内接四边形的内角之间有什么特殊关系？ 温故知新 情境导入 思考：四边形ABCD是的内接四边形，它的内角之间有什么样的数量关系？ 新知讲解：圆内接四边形的性质 定义回顾：如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形 性质探究： ∠A所对的弧为（即的度数为2∠A） ∠C所对的弧为（即的度数为2∠C） ∵ 和的度数之和为360° ∴ 2∠A + 2∠C = 360°，即∠A + ∠C = 180° 同理：∠B + ∠D = 180° 结论：圆内接四边形的对角互补 新知讲解：圆内接四边形的外角 如图，∠CBE是圆内接四边形ABCD的一个外角 ∵ ∠ABC + ∠CBE = 180°（邻补角定义） 又∵ ∠ABC + ∠D = 180°（圆内接四边形对角互补） ∴ ∠CBE = ∠D 结论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角 例题 1 已知：如图，是的内接四边形。 求证：四边形ABCD是矩形。 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A = ∠C（平行四边形对角相等）。 ∵ 四边形ABCD是的内接四边形， ∴ ∠A + ∠C = 180°（圆内接四边形的性质）。 ∴ ∠A = ∠C = 90°。 同理可得∠B = ∠D = 90°。 ∴ 四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。 思考探究 问题1：圆的内接菱形一定是正方形吗？ 是。菱形四边相等，对角相等，圆内接四边形对角互补，可推出每个角都是90°，所以是正方形。 问题2：圆的内接梯形一定是等腰梯形吗？ 是。梯形一组对边平行，同旁内角互补，结合圆内接四边形对角互补，可推出两腰相等，所以是等腰梯形。 例题 2 如图，四边形ABCD是的内接四边形，判断∠BOD与∠BCD的数量关系。 ∵ 的度数 = 2∠BCD， ∠BOD是（优弧）所对的圆心角， ∴ ∠BOD = 360° − 2∠BCD。 也可表示为∠BOD + 2∠BCD = 360°。 · 或更简洁： 圆内接四边形的性质是“对角互补”（），不是“对角相等” 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，这个性质常用于角度计算 圆的内接平行四边形→矩形；圆的内接菱形→正方形；圆的内接梯形→等腰梯形，这些结论可以直接使用 圆内接四边形对角互补的前提是四个顶点都在同一个圆上 易错提醒 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1. 如图，四边形 ABCD 内接于 ，M 为边 CB 延长线上一点. 若 ，则 的度数是（ ） A. B. C. D. A 【解析】由圆周角定理得 . 四边形 ABCD 内接于 ，. ， 基础过关练 2. 如图，AB 为 的直径，C 为 上一点，，AD 交 于点 D，连接 AC，CD. 设 ，，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. A 【解析】连接 BC，如图. 是 的直径，. 四边形 ADCB 是圆的内接四边形，. ，. ，，. 基础过关练 3. 如图， 是 的外接圆，，弦 BD 平分 并交 AC 于点 E，弦 ，连接 DA，DC，则 的半径是（ ） A. 2 B. C. D. A 基础过关练 【解析】 如图，连接 DO 并延长，交 AC 于 H，连接 OA. 四边形 ABCD 为 的内接四边形，，. 平分 ，，， 为等边三角形，，，， 由勾股定理得 . 设 的半径为 r，则 . 在 中，，即 ，解得 ，即 的半径为 2，故选 A. 基础过关练 4. 如图，四边形 ABCD 是 的内接四边形，BC 是 的直径，，则 的度数是 _____°. 120 【解析】如图，连接 OD. 是 的直径， 为等边三角形， 四边形 ABCD 是 的内接四边形，，故答案为 120. 基础过关练 5. 在利用量角器测量 的度数时，小文同学放错了位置，将角的顶点放到了量角器的弧线上（如图），爱思考的李涛同学忽然发现，这样测量也能得到 的度数. 通过仔细观察，李涛同学发现射线 CA, CB 与量角器的交点 A 和 B 对应的刻度分别是 和 ，则 的度数为 . 130° 基础过关练 【解析】根据题意构造，在下半圆上取点 D，连接 OA，OB，DA，DB，设 的直径为 EF，如图. 由题意可知， 点 A, B, C, D 均在 上，. 课后测评·学业效果巩固 1. 如图，四边形 ABCD 是 的内接四边形，BE 是 的直径，连接 BD. 若 ，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 课后测评 A 【解析】 连接 DE，如图. 四边形 ABCD 是 的内接四边形，是 的直径，， 在 中，. 故选 A. 2. 如图，点 D, E, F 分别在 的三边上，，下列结论正确的是（ ） A. BD 可求，BE 不可求 B. BD 不可求，BE 可求 C. BD, BE 均可求 D. BD, BE 均不可求 课后测评 A 课后测评 【解析】 连接 四点共圆， 点 D 固定，即 BD 可求. 当 绕点 D 旋转时， 不变，则 A, E, D, F 四点共圆不变， 依旧不变，即点 E 可以在 AB 上任何地方， 不可求. 综上可得，BD 可求，BE 不可求. 3. 如图，四边形 ABCD 是 的内接四边形，，则 AD 的长为（ ） A. B. C. D. 3 课后测评 C 课后测评 【解析】 如图，延长 AB, DC 交于点 E. 四边形 ABCD 是 的内接四边形， 设 ，则 ， 由勾股定理易得 ，解得 ，故选 C. 4. 如图，圆内接四边形 ，连接 ，则四边形 ABCD 的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 课后测评 D 课后测评 【解析】如图，将 绕点 A 逆时针旋转 得到 ，过点 A 作 于点 点 G 与点 D 重合， 四边形 ABCD 的面积为 . 四边形 ABCD 内接于圆， 三点共线， 为等边三角形， 四边形 ABCD 的面积为. 5. 如图，四边形 ABCD 内接于 ，点 P, M, N 分别是 AB, AD, DC 的中点. 若 的半径为 2，则 PM+MN 的最大值是 . 课后测评 课后测评 【解析】连接 ，如图. 四边形 ABCD 内接于 . 过点 O 作 于点 H，则 点 P, M 分别是 AB, AD 的中点，，同理 当 BD 最大时，PM+MN 的值最大. 为 的弦， 当 BD 为的直径时，BD 的值最大，为 4， 当 BD=4 时，PM+MN 的值最大，最大值为. 6. 如图， 的半径为 4， 的顶点 A, B 在 上，，AC, BC 分别与 交于 D, E 两点，且 BE=DE，则 的面积为 . 课后测评 课后测评 【解析】 连接 AE，如图. ，点 A, B, E 都在 上， 为 的直径， 为直径，. 7. 如图，四边形 ABCD 是 的内接四边形，点 F 是 CD 延长线上的一点，且 DA 平分 交 CD 延长线于点 E. (1) 求证：AB=AC. (2) 若 BD=11，DE=2，求 CD 的长. 课后测评 7. 如图，四边形 ABCD 是 的内接四边形，点 F 是 CD 延长线上的一点，且 DA 平分 交 CD 延长线于点 E. (1) 求证：AB=AC. 课后测评 【证明】 平分 . 7. 如图，四边形 ABCD 是 的内接四边形，点 F 是 CD 延长线上的一点，且 DA 平分 交 CD 延长线于点 E. (2) 若 BD=11，DE=2，求 CD 的长. 课后测评 【解】如图，过点 A 作 ，垂足为 平分 . 在 和 中，. 在 和 中，. 8. 如图，四边形 ABCD 内接于 是 上一点，且 ，连接 CF 并延长交 AD 的延长线于点 E，连接 AC. (1) 若 ，，求 的度数； (2) 若 的半径为 6，且 ，求 AC 的长. 课后测评 8. 如图，四边形 ABCD 内接于 是 上一点，且 ，连接 CF 并延长交 AD 的延长线于点 E，连接 AC. (1) 若 ，，求 的度数； 课后测评 【解】 四边形 ABCD 内接于 . 8. 如图，四边形 ABCD 内接于 是 上一点，且 ，连接 CF 并延长交 AD 的延长线于点 E，连接 AC. (2) 若 的半径为 6，且 ，求 AC 的长. 课后测评 【解】如图，连接 AO, CO，过 O 作 于点 H，则 四边形 ABCD 内接于 ，由勾股定理得 . 课堂小结 第三章 圆 3.4 圆周角 3.4.3 圆内接四边形 $