暑假预习：数字类规律探索、图形类规律探索专项训练-2026年小升初暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦数字与图形规律探索，通过分层例题与变式训练，系统培养抽象能力与推理意识，构建从具体到抽象的规律探究路径。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字类规律探索|9题（5例+4变式）|涵盖数列、图表、等式规律，涉及幂运算与递推关系|从具体数字排列到符号化表达，渗透函数思想与归纳推理| |图形类规律探索|8题（4例+4变式）|包含图案计数、几何排列、汉诺塔问题，结合空间图形|从图形直观到数量关系建模，培养几何直观与空间观念|

暑假预习：数字类规律探索、图形类规律探索专项训练 暑假预习：数字类规律探索、图形类规律探索专项训练 考点目录 数字类规律探索 图形类规律探索 考点一 数字类规律探索 例1．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次计算次操作后剩余坐着的人数，再用总人数减去剩余坐着的人数，得到总站着的人数． 【详解】解：初始人数为， 第一次剩余：（人）， 第二次剩余：（人）， 第三次剩余：（人）， 第四次剩余：（人）， 第五次剩余：（人）， 则站着的总人数为：（人）． 例2．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知，右上角的数左下角的数，左下角的数左上角的数，根据右上角的数求的值，再判断出右下角的数左下角的数与右上角的数的积左上角的数，得到，即可求解． 【详解】如图， ∵左下角的数依次为，右上角的数依次为， ∴右上角的数左下角的数，即，解得：， ∵左上角的数依次为，左下角的数依次为， ∴左下角的数左上角的数，即，解得：， ∵根据()可得：， 根据()可得：， 根据()可得：， ∴推出第()个式子为：， ∴． 例3．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）观察下列各式： ； ； ； ； …… 探索其中规律并计算：_______．（结果保留幂的形式） 【答案】 【分析】先观察给出的等式，归纳总结出一般规律，再将所求式子变形，结合规律计算得到结果. 【详解】解：观察已知各式，可得到一般规律：， ∴． 例4．（25-26七年级上·广东汕头·期末）根据图中数的规律，的值是______． 2 5 12 4 17 72 6 37 228 8 x y 【答案】593 【分析】观察数组，总结数字的变化规律，分别计算得到x和y的值，进而求出的值． 【详解】解：观察已知数组可得规律： 每组左下角的数等于本组最上方数的平方加1， 因此， 每组右下角的数等于本组最上方数乘本组左下角的数再加本组最上方数， 因此， 所以． 例5．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）观察下列等式，找出其中的规律，并完成下列问题． ， ， ， ， …… (1)请你根据以上规律，直接写出第5个等式：__________，第个等式：__________； (2)利用以上规律计算． 【答案】(1)第5个等式：，第个等式： (2) 【分析】（1）先观察已知等式，总结各部分和序号的变化规律，推导得到第个等式的通用形式； （2）利用（1）中推导得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：由规律得，第5个等式为：，第个等式为：． （2）解： ． 变式1．（25-26七年级上·重庆·期中）正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为1和0，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与对应的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，找到四个顶点对应数的规律，与对应的点是，与对应的点是，与对应的点是，与对应的点是（其中为正方形纸板翻转的圈数），计算即可． 【详解】解：由题可知，与对应的点是；与对应的点是；与对应的点是；与对应的点是；与对应的点是；；与对应的点是；与对应的点是；与对应的点是；与对应的点是（其中为正方形纸板翻转的圈数）； ， 在数轴上与对应的点是点． 变式2．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）观察等式：；；；…．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类变化规律，正确得出是解题关键．观察已知等式总结出，将所求式子转化为两个符合该规律的和的差，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵；；；…， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴原式． 故选：B． 变式3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）现有一列数：，，若，且，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据已知的递推公式，结合和的值，逐步计算出，进而求出的值． 【详解】解：∵， ∴当时， ，即， 又∵， ∴， 当时， ，即， 又∵， ∴， 当时， ，即， 又∵， ∴， 当时， ，即， 又∵， ∴． 变式4．（24-25八年级上·云南德宏·期末）观察下列等式： ， ， ， 按照以上规律，请写出__________． 【答案】 【分析】观察已知等式，归纳总结得到此类运算的规律，再将代入规律计算即可得到结果． 【详解】解：观察所给等式可知，若两位数的十位数字为，个位数字为，则该数自乘满足规律：， ∴． 考点二 图形类规律探索 例1．（25-26七年级上·山西晋中·期末）如图，一种圆环的外圆直径为，环宽，若把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则当时，的值为（   ） A．12148 B．12150 C．12154 D．12158 【答案】D 【分析】根据题意写出相应的关系式，然后代入数值计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， …… ∴， 当时，． 例2．（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，…，依此规律，第个图案需要（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】第1个图案基础图形的个数为， 第2个图案基础图形的个数为， 第3个图案基础图形的个数为， ， ∴第个图案基础图形的个数为． 例3．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形个数是______． 【答案】41 【分析】根据题意可得第一个图案是大正方形内有涂有阴影的正方形有5个，第二个图案是两个这样的大正方形，但需减去重合的一个涂有阴影的小正方形，依次观察可以写出第n个图案的涂有阴影的小正方形的个数，据此可得答案． 【详解】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为， …， 第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为． 当时，， 即第10个图案中有41个涂有阴影的小正方形． 例4．（25-26七年级上·广东佛山·期末）汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上；（1）每次只能移动1个碟片．（2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面．如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则________次． 【答案】63 【分析】本题考查了图形规律，根据题意得到，把代入计算即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，小盘，大盘，小盘，完成，则， 当时，小盘，中盘，小盘从，大盘，小盘从，中盘从，小盘从，完成，则， ， ∴， ∴当时，， 故答案为：63 ． 变式1．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是一组有规律的图形，它们均由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2026个图形中涂有阴影的小正方形的个数是（    ） A．4046 B．6076 C．4049 D．6079 【答案】D 【分析】本题考查了探究规律—图形．由图形得第个图涂有阴影的小正方形的个数是，据此计算即可求解． 【详解】解：第个图涂有阴影的小正方形的个数：， 第个图涂有阴影的小正方形的个数：， 第个图涂有阴影的小正方形的个数：， 第个图涂有阴影的小正方形的个数：， 当时， ； 故选：D． 变式2．（25-26七年级上·江西宜春·期末）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，则第100个图形有小圆（    ）个． A．104 B．9904 C．10100 D．10104 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律的探索，解题的关键是根据前面几个图形找到数字的规律． 分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16；第4个图形中小圆的个数为24；则知第n个图形中小圆的个数为，据此可得． 【详解】解：由题意可知第1个图形有小圆个； 第2个图形有小圆个； 第3个图形有小圆个； 第4个图形有小圆个； ……， ∴第n个图形有小圆个， ∴第100个图形有小圆个． 故选：D 变式3．（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图所示的是一组用“”组成的图案，每个图案的的总数用S来表示，当时；当时，；当时，······，当时，_____． 【答案】676 【分析】根据已知的图形中点的个数得出变化规律进而求出即可． 【详解】解：∵时图中有个点， 时图中有个点， 时图中有个点， 时图中有个点， …， ∴第n个图形中有个点， 即：， 当时，，解得：． 变式4．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下面是某位同学在地面用石子摆成的小房子图案，观察图形变化规律，则第10个小房子用了______颗小石子． 【答案】 【分析】根据图示，可得：第1个小房子用的石子的数量是：，第2个小房子用的石子的数量是：，第3个小房子用的石子的数量是：，…，据此求出第10个小房子用了多少颗石子即可． 【详解】解：第1个小房子用的石子的数量是：， 第2个小房子用的石子的数量是：， 第3个小房子用的石子的数量是：， …， 第n个小房子用的石子的数量是：， 第10个小房子用的石子的数量是： 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：数字类规律探索、图形类规律探索专项训练 暑假预习：数字类规律探索、图形类规律探索专项训练 考点目录 数字类规律探索 图形类规律探索 考点一 数字类规律探索 例1．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 例2．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 例3．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）观察下列各式： ； ； ； ； …… 探索其中规律并计算：_______．（结果保留幂的形式） 例4．（25-26七年级上·广东汕头·期末）根据图中数的规律，的值是______． 2 5 12 4 17 72 6 37 228 8 x y 例5．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）观察下列等式，找出其中的规律，并完成下列问题． ， ， ， ， …… (1)请你根据以上规律，直接写出第5个等式：__________，第个等式：__________； (2)利用以上规律计算． 变式1．（25-26七年级上·重庆·期中）正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为1和0，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与对应的点是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）观察等式：；；；…．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）现有一列数：，，若，且，则的值为_________． 变式4．（24-25八年级上·云南德宏·期末）观察下列等式： ， ， ， 按照以上规律，请写出__________． 考点二 图形类规律探索 例1．（25-26七年级上·山西晋中·期末）如图，一种圆环的外圆直径为，环宽，若把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则当时，的值为（   ） A．12148 B．12150 C．12154 D．12158 例2．（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，…，依此规律，第个图案需要（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形个数是______． 例4．（25-26七年级上·广东佛山·期末）汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上；（1）每次只能移动1个碟片．（2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面．如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则________次． 变式1．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是一组有规律的图形，它们均由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2026个图形中涂有阴影的小正方形的个数是（    ） A．4046 B．6076 C．4049 D．6079 变式2．（25-26七年级上·江西宜春·期末）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，则第100个图形有小圆（    ）个． A．104 B．9904 C．10100 D．10104 变式3．（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图所示的是一组用“”组成的图案，每个图案的的总数用S来表示，当时；当时，；当时，······，当时，_____． 变式4．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下面是某位同学在地面用石子摆成的小房子图案，观察图形变化规律，则第10个小房子用了______颗小石子． 2 学科网（北京）股份有限公司 $