动能定理 专题强化讲义 -2027届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦动能定理、机械能守恒、功能关系等核心考点，按专题强化从基础应用到综合问题的逻辑架构，通过知识梳理、方法指导、真题演练等环节，帮助学生构建能量问题分析框架，突破变力做功、多过程运动等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以科学思维培养为核心，采用微元法分析摩擦力做功、图像法解读功能关系等创新策略，设计分层练习（基础巩固、能力提升）和模型建构活动（如机车启动两种模型），助力学生在有限时间内掌握解题技巧，同时为教师提供清晰的复习节奏把控方案，有效提升学生应考能力。

专题强化　动能定理的应用(一) 一、应用动能定理求变力做功 知识梳理与总结 1．变力做的功 在某些问题中，由于力F的大小、方向变化，不能用W＝Flcos α求出变力做的功，此时可用动能定理W＝ΔEk求功。 2．用动能定理求解变力做功的方法 (1)分析物体的受力情况，确定做功过程中的哪些力是恒力，哪些力是变力。如果是恒力，写出恒力做功的表达式；如果是变力，用相应功的符号表示出变力做的功。 (2)分析物体的运动过程，确定其初、末状态的动能。 (3)运用动能定理列式求解。 例题 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一质量为m的小球向右滑行，并冲上固定在水平地面上的斜面。设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，则从A到C的过程中弹簧弹力做的功是(　　) A．mgh－mv2 B.mv2－mgh C．－mgh D．－(mgh＋mv2) 答案　A 解析　由A到C的过程运用动能定理可得－mgh＋W＝0－mv2，所以W＝mgh－mv2，故A正确。 例题 一名运动员的某次训练过程中，转盘滑雪机绕垂直于盘面的固定转轴以角速度ω＝0.5 rad/s顺时针匀速转动，质量为60 kg的运动员(含滑雪板)在盘面上离转轴10 m半径上滑行，滑行方向与转盘转动方向相反，在最低点的速度大小为10 m/s，滑行半周到最高点的速度大小为8 m/s，该过程中，运动员所做的功为6 500 J，已知盘面与水平面夹角为18°，g取10 m/s2，sin 18°＝0.31，cos 18°＝0.95，则该过程中运动员克服阻力做的功为(　　) A．4 240 J B．3 740 J C．3 860 J D．2 300 J 答案　C 解析　运动员在最低点的对地速度为10 m/s，在最高点的对地速度为8 m/s，根据动能定理可得W－mg·2rsin 18°－W克＝mv2－mv02，又W＝6 500 J，解得W克＝3 860 J，故选C。 例题 如图所示，运输机器人水平推着小车沿水平地面从静止开始运动，机器人对小车和货物做功的功率恒为40 W，已知小车和货物的总质量为20 kg，小车受到的阻力为小车和货物重力的，小车向前运动了18 m时达到最大速度，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)小车运动的最大速度的大小； (2)机器人在这段时间对小车和货物做的功； (3)小车发生这段位移所用时间t。 答案　(1)2 m/s　(2)400 J　(3)10 s 解析　(1)当牵引力等于阻力时小车的速度达到最大，vm＝＝2 m/s。 (2)根据动能定理得W－Ff·x＝mvm2 解得W＝400 J (3)由W＝Pt，得t＝10 s，所以小车发生这段位移所用时间为10 s。 二、动能定理在图像问题中的应用 知识梳理与总结 1．首先看清楚图像的种类(如v－t图像、F－x图像、Ek－x图像等)。 2．挖掘图像的隐含条件，求出所需物理量，如利用v－t图像与t轴所包围“面积”求位移，利用F－x图像与x轴所包围“面积”求功，利用Ek－x图像的斜率求合力等。 3．再分析还有哪些力做功，根据动能定理列方程，求出相应的物理量。 例题 (多选)在平直的公路上，汽车由静止开始做匀加速运动。当速度达到vm后，立即关闭发动机滑行直至停止。v－t图像如图所示，汽车的牵引力大小为F1，摩擦力大小为F2，全过程中，牵引力做的功为W1，克服摩擦力做的功为W2。以下关系式正确的是(　　) A．F1∶F2＝1∶3 B．F1∶F2＝4∶3 C．W1∶W2＝1∶1 D．W1∶W2＝1∶3 答案　BC 解析　对全过程由动能定理可知W1－W2＝0，故W1∶W2＝1∶1，故C正确，D错误；W1＝F1s，W2＝F2s′，由题图可知s∶s′＝3∶4，所以F1∶F2＝4∶3，故A错误，B正确。 例题 (多选)(2022·上海复旦中学高一期末)质量为2 kg的物体以50 J的初动能在粗糙的水平面上滑行，其动能的变化与位移的关系如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．物体运动的初速度大小为10 m/s B．物体所受的摩擦力大小为5 N C．物体运动的加速度大小为2.5 m/s2 D．物体运动的时间为2 s 答案　BCD 解析　由题图图像知末动能Ek2＝0，初动能Ek1＝50 J，根据动能定理得Ffx＝Ek2－Ek1，解得Ff＝－5 N，又Ek1＝mv2＝50 J，解得v＝5 m/s，由牛顿第二定律得，物体的加速度为a＝＝－2.5 m/s2，则物体的运动时间t＝＝ s＝2 s，故选B、C、D。 专题强化　动能定理的应用(二) 一、应用动能定理解决多过程问题 知识梳理与总结 对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理。 1．分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，最后联立求解。 2．全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。 3．当题目已知量和所求量不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、更方便。 4．在分段分析时，有些过程可以用牛顿运动定律，也可利用动能定理，动能定理往往比牛顿运动定律解题更简单方便，我们可优先采用动能定理解决问题。 例题 如图所示，将物体从倾角为θ的固定斜面上由静止释放，开始向下滑动，到达斜面底端与挡板相碰后，原速率弹回。已知物体开始时距底端高度为h，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，求物体从开始到停止通过的路程。 答案　 解析　物体最终会停在挡板处，选从开始运动到停止全过程，由动能定理得 mgh－μmgscos θ＝0 解得物体从开始到停止通过的路程s＝。 总结提升 1．物体做往复运动时，如果用运动学、动力学观点去分析运动过程，会十分烦琐，甚至无法确定往复运动的具体过程和终态。这时就体现出动能定理的优势了。由于动能定理解题的优越性，求解多过程往复运动问题时，一般应用动能定理。 2．在有摩擦力做功的往复运动过程中，注意两种力做功的区别： (1)重力做功只与初、末位置有关，而与路径无关； (2)滑动摩擦力做功与路径有关，克服摩擦力做的功W克f＝Ffs(s为路程)。 二、动能定理在平抛、圆周运动中的应用 动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意： (1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量。 (2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件： ①可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为vmin＝0。 ②不可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为只有重力提供向心力，mg＝，vmin＝。 例题 2022年2月，我国成功举办了第24届“冬奥会”，冬奥会让冰雪运动走向大众，让更多人认识冰雪，爱上冰雪。如图甲所示为滑雪大跳台，将其简化为如图乙所示模型：AB段和CD段是长度均为L＝50 m的倾斜滑道，倾角均为37°；BC段是半径R＝20 m的一段圆弧轨道，圆心角为37°，与AB段平滑连接；DE段为结束区。一滑雪爱好者连同装备总质量为m＝60 kg，从A点由静止出发沿着滑道AB、BC下滑，从C点水平抛出落到斜面CD上的N点，点N到C的距离d＝48 m。该爱好者可看作质点，将C到N的运动简化为平抛运动处理。忽略其运动过程中所受的空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)该爱好者运动到C点时对滑道的压力大小； (2)从开始运动到落至N点的过程中摩擦阻力做的功。 答案　(1)1 368 N　(2)－12 720 J 解析　(1)从C处做平抛运动，竖直方向有 dsin 37°＝gt2 水平方向有dcos 37°＝vCt 解得vC＝16 m/s 在C处，根据牛顿第二定律有 FN－mg＝m 解得滑道对人的支持力大小为 FN＝1 368 N 据牛顿第三定律，人运动到C点时对滑道的压力大小与FN大小相等，为1 368 N。 (2)从A到C由动能定理得 mg[Lsin 37°＋R(1－cos 37°)]＋Wf＝mvC2 解得Wf＝－12 720 J。 专题强化　动能定理和机械能守恒定律的综合应用 一、动能定理和机械能守恒定律的比较 知识梳理与总结 规律 比较 机械能守恒定律 动能定理 表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk 使用范围 只有重力或弹力做功 无条件限制 研究对象 物体与地球组成的系统 质点 物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合外力做的功是动能变化的量度 应用角度 守恒条件及初、末状态机械能的形式和大小 动能的变化及合外力做功情况 选用原则 (1)无论直线运动还是曲线运动，条件合适时，两规律都可以应用，都只考虑初、末状态，不需要考虑所经历过程的细节 (2)能用机械能守恒定律解决的问题都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定能用机械能守恒定律解决 (3)动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍 例题 如图所示水平轨道BC，左端与半径为R的四分之一圆轨道AB连接，右端与半径为r的四分之三圆轨道CDEF连接，圆心分别为O1、O2，质量为m的过山车从高为R的A处由静止滑下，恰好能够通过右侧圆轨道最高点E，重力加速度为g，不计一切摩擦阻力，求： (1)过山车在B点时的速度大小； (2)过山车在C点时对轨道的压力大小。 答案　(1)　(2)6mg 解析　方法一　运用动能定理 (1)根据动能定理mgR＝mvB2， 解得vB＝。 (2)过山车在E点时由牛顿第二定律有mg＝m， 从C点到E点，由动能定理有－mg·2r＝mvE2－mvC2 又FC－mg＝m， 由牛顿第三定律，过山车对轨道的压力大小FC′＝FC＝6mg。 方法二　运用机械能守恒定律 (1)A到B，选地面为参考平面，对过山车由机械能守恒定律得mgR＋0＝0＋mvB2， 解得vB＝。 (2)过山车在E点时有mg＝m， 从C到E，由机械能守恒定律得mg·2r＋mvE2＝0＋mvC2， 过山车过C点时，受到轨道的支持力大小为FC，FC－mg＝m， 由牛顿第三定律，过山车对轨道的压力大小为FC′＝FC＝6mg。 二、动能定理和机械能守恒定律的综合应用 知识梳理与总结 动能定理和机械能守恒定律，都可以用来求能量或速度，但侧重点不同，动能定理解决物体运动，尤其计算对该物体的做功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程。 例题 如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形轨道在B点平滑连接，轨道半径为R，一个质量为m的小球将弹簧压缩至A处。小球从A处由静止释放被弹开后，经过B点进入轨道的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能沿轨道运动到C点，重力加速度为g，求： (1)小球在最高点C的速度大小vC； (2)小球在最低点B的速度大小vB； (3)释放小球前弹簧的弹性势能； (4)小球由B到C克服阻力做的功。 答案　(1)　(2)　(3)mgR　(4)mgR 解析　(1)在最高点C时，根据牛顿第二定律有m＝mg，解得vC＝ (2)根据牛顿第三定律可知，小球在最低点B时所受支持力大小为FN＝8mg 根据牛顿第二定律有FN－mg＝m，解得vB＝ (3)根据机械能守恒定律可得释放小球前弹簧的弹性势能为Ep＝mvB2＝mgR (4)设小球由B到C克服阻力做的功为W，根据动能定理有－2mgR－W＝mvC2－mvB2 解得W＝mgR。 专题强化　多物体组成的系统机械能守恒问题 一、多物体组成的系统机械能守恒问题 知识梳理与总结 1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移时，系统的机械能守恒。 一般选系统为研究对象来列机械能守恒方程。含弹簧的系统，要注意与弹簧接触的物体往往机械能不守恒，而是含有弹簧和物体的整个系统机械能守恒。常见情景如图所示： 2．机械能守恒定律表达式的选取技巧 (1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解。 (2)当研究对象为两个物体组成的系统时： ①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。 ②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。 ③从机械能的转化角度来看，系统中某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝E增来列式。 3．对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系。 例题 如图所示，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的轻质定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静止于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好被拉紧。从静止开始释放b球，则当b球刚落地时a球的速度为(不计空气阻力，重力加速度为g)(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　a、b两球组成的系统机械能守恒，设b球刚落地时的速度大小为v，则整个过程中系统动能增加量Ek增＝(m＋3m)v2＝2mv2，系统重力势能的减少量Ep减＝3mgh－mgh＝2mgh，由机械能守恒定律得Ek增＝Ep减，所以2mv2＝2mgh，v＝，A正确。 二、非质点类物体的机械能守恒问题 知识梳理与总结 1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。 2．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 例题 如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，不计滑轮大小，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其A端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？(重力加速度为g) 答案　 解析　方法一　取整个铁链为研究对象： 设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量为：ΔEp＝mg·L 由机械能守恒得：mv2＝mg·L，则v＝。 方法二　将铁链看成两段： 铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置，如图所示。 重力势能减少量为 ΔEp＝mg· 由机械能守恒得：mv2＝mg· 则v＝。 专题强化　功能关系及其应用 一、几种典型的功能关系 知识梳理与总结 功能关系 表达式 物理意义 正功、负功含义 重力做功等于重力势能减少量 WG＝－ΔEp 重力做功是重力势能变化的原因 WG>0 重力势能减少 WG<0 重力势能增加 WG＝0 重力势能不变 弹簧弹力做功等于弹性势能减少量 W弹＝－ΔEp 弹力做功是弹性势能变化的原因 W弹>0 弹性势能减少 W弹<0 弹性势能增加 W弹＝0 弹性势能不变 合外力做功等于动能变化 W合＝ΔEk 合力做功是物体动能变化的原因 W合>0 动能增加 W合<0 动能减少 W合＝0 动能不变 机械能的变化 W其他＝ΔE机 除重力或系统内弹力外其他力做功是机械能变化的原因 W其他>0 机械能增加 W其他<0 机械能减少 W其他＝0 机械能守恒 一对滑动摩擦力做功与内能增加量 Ffl相对＝Q(l相对指相对路程) 滑动摩擦力与相对路程的乘积等于产生的热量 二、热量的产生与摩擦力做功 例题 如图，质量为M、长为l0的木板静止放置于光滑地面上，一质量为m的物块以速度v0从左端冲上木板，物块和木板间的滑动摩擦力大小为Ff。当物块滑至木板最右端时，两者恰好达到共同速度v，且此时木板位移为l。 (1)此过程中物块的位移大小为多少？对物块列出动能定理表达式。 (2)对木板列出动能定理的表达式。 (3)一对摩擦力对系统做的功为多少？(用Ff、l0表示)；系统动能变化量为多少？(用M、m、v0、v表示)；系统摩擦力做功的过程中产生的热量是多少？(用M、m、v0、v表示)，产生的热量与一对滑动摩擦力对系统做功的大小相等吗？这说明什么？ 答案　(1)物块位移大小x＝l＋l0，由动能定理－Ff(l＋l0)＝mv2－mv02① (2)Ffl＝Mv2② (3)由①②式相加 －Ff(l＋l0)＋Ffl＝mv2＋Mv2－mv02③ 即－Ffl0＝mv2＋Mv2－mv02④ 摩擦力对系统做功代数和为－Ffl0 系统动能变化量为mv2＋Mv2－mv02 系统摩擦过程中产生的热量 Q＝mv02－(mv2＋Mv2) 由④式知，摩擦产生的热量与一对滑动摩擦力对系统做功的大小相等，故有Ffl相对＝Q(l相对指相对路程)。 例题 (多选)如图所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑水平面上，质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速直线运动。小物块和小车之间的滑动摩擦力为Ff，小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x。此过程中，以下结论正确的是(　　) A．小物块到达小车最右端时具有的动能为(F－Ff)(L＋x) B．小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为Ffx C．小物块和小车组成的系统因摩擦产生的热量为Ff(L＋x) D．小物块和小车增加的机械能为F(x＋L)－FfL 答案　ABD 解析　小物块水平方向受到拉力F和摩擦力Ff的作用，根据动能定理得(F－Ff)(L＋x)＝mv2－0，即小物块到达小车最右端时具有的动能为(F－Ff)(L＋x)，故A正确；小车相对地面的位移为x，水平方向仅受小物块对小车的摩擦力作用，根据动能定理得Ffx＝Mv′2，故B正确；小物块相对小车的位移为L，则产生的热量为Q＝FfL，故C错误；外力做的功转化为了系统的机械能还有摩擦产生的内能，所以小物块和小车增加的机械能为ΔE＝F(L＋x)－FfL，故D正确。 专题强化　机车的两种启动方式 一、以恒定功率启动 例题 一汽车在水平路面上以恒定功率P从静止开始加速运动，运动过程中受到的阻力大小为Ff： (1)机车功率指的是合力做功的功率(总功率)还是牵引力做功的功率？ (2)汽车在启动过程中速度v、加速度a怎么变化？汽车的最大速度是多大？ (3)试在图中定性画出此过程中的v－t图像。 答案　(1)机车功率指的是发动机的功率，即牵引力做功的功率。 (2) (3)如图所示： 例题 一列火车总质量m＝500 t，机车发动机的额定功率P＝1.2×106 W，在水平轨道上行驶时，轨道对列车的阻力Ff是车重力的0.01倍，g＝10 m/s2，求： (1)列车在水平轨道上行驶的最大速度； (2)在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v1＝10 m/s时，列车的瞬时加速度大小a1； (3)在水平轨道上以36 km/h的速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′； (4)若火车从静止开始，额定功率保持不变启动时，当加速度a＝0.5 m/s2时，列车的速度为多大。 答案　(1)24 m/s　(2)0.14 m/s2　(3)5×105 W　(4)4 m/s 解析　(1)列车以额定功率工作，当牵引力等于阻力，即F＝Ff＝kmg时列车的加速度为零，速度最大，则vm＝＝＝24 m/s (2)v1＝10 m/s<vm，此时列车做加速运动，F1＝＝1.2×105 N，由牛顿第二定律可知F1－Ff＝ma1 解得a1＝0.14 m/s2 (3)当v＝36 km/h＝10 m/s时，列车匀速运动，F′＝Ff，则发动机的实际功率P′＝Ffv＝5×105 W (4)根据牛顿第二定律得，牵引力F″＝Ff＋ma＝3×105 N，所以额定功率下的速度大小为v′＝＝4 m/s。 二、以恒定的加速度(牵引力)启动 例题 若一汽车在水平路面上以恒定加速度开始启动，额定功率为P额，运动过程中受到的阻力大小为Ff。 (1)汽车匀加速运动过程中，牵引力如何变化？汽车的实际功率如何变化？ (2)当汽车的实际功率达到额定功率P额时，汽车的速度是多大？此时汽车的速度是否为最大速度？之后功率将如何变化？ (3)分析整个运动过程并画出汽车运动的v－t图像。 (4)画出整个过程中汽车运动的P－t图像。 (5)求出整个过程中汽车的最大速度。 答案　(1)由题意知a不变，Ff不变，由F－Ff＝ma知，F也不变，由P＝Fv知，此过程汽车的实际功率P增大。 (2)刚达到额定功率时，F－Ff＝ma P额＝Fv1，得v1＝，此时速度不是最大速度。 此后汽车功率不变，速度继续增大，牵引力减小，做加速度减小的加速运动，最终a＝0时做匀速直线运动。 (3)如图所示： 汽车先做匀加速直线运动，当功率达到额定功率后做加速度减小的加速运动，最终做匀速直线运动。 (4)如图所示： (5)。 例题 在水平路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受到的阻力大小恒为5×103 N，求： (1)汽车所能达到的最大速度的大小； (2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长的时间； (3)若汽车以额定功率启动，则汽车的车速为v1＝2 m/s时的加速度多大； (4)若汽车以v2＝6 m/s的速度匀速行驶，汽车的实际功率多大。 答案　(1)12 m/s　(2)16 s　(3)5 m/s2　(4)3×104 W 解析　(1)当汽车速度达到最大时，牵引力F＝Ff，则由P＝Fv得汽车所能达到的最大速度为vmax＝＝12 m/s； (2)汽车以恒定的加速度a做匀加速直线运动，能够达到的最大速度为v， 则有－Ff＝ma 得v＝＝8 m/s 由v＝at得这一过程维持的时间为t＝16 s； (3)当汽车以额定功率启动达到2 m/s的速度时，牵引力为F′＝＝3×104 N 由牛顿第二定律得汽车的加速度大小为a′＝＝5 m/s2； (4)P′＝Ffv2＝3×104 W。 总结提升 机车启动问题中几个物理量的求法 分析机车启动问题，要抓住两个核心公式：牛顿第二定律方程F－Ff＝ma，联系着力和加速度；P＝Fv，联系着力和速度。结合v－t图像进行分析。 (1)机车的最大速度vm的求法 机车最终匀速前进时速度最大，此时a＝0，牵引力F大小等于阻力大小Ff，故vm＝＝。 (2)匀加速启动持续时间的求法 牵引力F＝ma＋Ff，匀加速阶段的末速度vm′＝，时间t＝。 (3)瞬时加速度的求法 根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。 专题强化　摩擦力做功问题　变力做功的计算 一、摩擦力做功 知识梳理与总结 1．不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，都可以是动力也可以是阻力，也可能与位移方向垂直，所以不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，既可能对物体做正功，也可能对物体做负功，还可能不对物体做功。 2．一对相互作用的静摩擦力等大反向且物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零。 3．一对相互作用的滑动摩擦力等大反向但物体之间相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零，且两力做功的总和一定为负值。 例题 (多选)如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为F，则(　　) A．F对木块做功为Fl B．F对木块做功为F(l＋d) C．F对子弹做功为－Fd D．F对子弹做功为－F(l＋d) 答案　AD 解析　木块的位移为l，由W＝Flcos α得F对木块做功为Fl，子弹的位移为l＋d，木块对子弹的摩擦力的方向与位移方向相反，故木块对子弹的摩擦力做负功，W＝－F(l＋d)，故A、D正确。 例题 如图所示，同一物体分别沿斜面AO、BO、CO自斜面顶点由静止开始下滑，该物体与各斜面间的动摩擦因数均相同，在滑行过程中克服摩擦力做功分别为WA、WB和WC，则(　　) A．WA>WB>WC B．WA＝WB>WC C．WA>WB＝WC D．WA＝WB＝WC 答案　D 解析　设斜面的倾角为θ，O、D间的水平距离为x，则物体下滑过程中克服摩擦力做功为W＝＝μmgx，与斜面的倾角大小无关，所以有WA＝WB＝WC，D正确。 二、求变力做功的方法 知识梳理与总结 1．将变力做功转化为恒力做功 (1)平均值法 当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出力在这段位移内的平均值＝，再由W＝lcos α计算功，如弹簧弹力做的功。 (2)微元法 功的公式只能计算恒力做功，若一个力的大小不变，只改变方向时，可将运动过程分成很多小段，每一小段内F可看成恒力，求出每一小段内力F做的功，然后累加起来得到整个过程中变力所做的功。 例如物体在水平面上做曲线运动，所受摩擦力大小为μmg，路程为s，采用微元法求摩擦力做的功： W1＝－μmgΔs1 W2＝－μmgΔs2 W3＝－μmgΔs3 … W＝W1＋W2＋W3＋…＝－μmg(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…)＝－μmgs (3)转换研究对象法 如图所示，人站在水平地面上以恒力拉绳，绳对小车的拉力是个变力(大小不变，方向改变)，但人拉绳的力是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子所做的功来求绳子对小车所做的功。 2．用图像法求功 若已知F－x图像和P－t图像，则图像中图线与x轴或t轴所围的面积表示功。如图甲所示，在位移x0内力F做的功W＝x0。在图乙中，0～t0时间内做功W＝·t0。 3．用W＝Pt求功 当牵引力为变力，且发动机的功率一定时，由功率的定义式P＝，可得W＝Pt。 例题 如图所示，在西部的偏远山区，人们至今还通过“驴拉磨”的方式把小麦颗粒加工成粗面来食用。假设驴拉磨的平均拉力大小F＝300 N，驴做圆周运动的等效半径r＝1.5 m，则驴拉磨转动一周所做的功约为(　　) A．0 B．300 J C．1 400 J D．2 800 J 答案　D 解析　利用微元法，将全过程分为很多段累加得驴拉磨转动一周所做的功W＝Fl＝2πrF＝2 826 J。故选D。 总结提升 当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，力F做的功与路程有关，W＝Fs或W＝－Fs，其中s为物体通过的路程。 学科网（北京）股份有限公司 $