25.1 一元二次方程的概念 一课一练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 同步练聚焦一元二次方程概念，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到灵活应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义、一般形式、系数确定|单选1-4直接考查概念辨析，填空8-10强化系数符号与特殊形式| |中档|根的意义、代数式求值|单选5-7结合表格分析根的应用，填空11-12通过根构造方程| |提升|综合应用、分类讨论|解答13-16融合化简求值与阅读材料，培养运算能力与模型意识|

25.1 一元二次方程的概念 一课一练2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 4．方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（    ） A．2，，4 B．4，2， C．2，， D．2，4， 5．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B．2 C． D．4 7．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 二、填空题 8．一元二次方程的一次项系数是______． 9．）一元二次方程的特殊形式： _______ _______ _______ 【注意】 （1）将一元二次方程化为一般形式，如果二次项系数为负数，一般将方程两边同乘以－1，将二次项系数a化为_______； （2）找一元二次方程各项的系数时，首先要将一元二次方程_______，再找二次项系数、一次项系数和常数项，并且要带上前面的_______； （3）若方程中没有出现一次项 或常数项，则该项的系数为_______； 10．一元二次方程化成一般形式为________． 11．已知是方程的一个根，则代数式的值为_________. 12．写出一个二次项系数为，且一根为的一元二次方程是_______． 三、解答题 13．先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 14．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 15．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 16．阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D C C D B A 1．【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得，， 故选：A． 2．【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 3．【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 4．【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．先将已知方程转化为一般形式，然后求方程的二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由已知方程得到：， 所以方程的二次项系数是2，一次项系数是，常数项是． 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 使方程左、右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．将代入一元二次方程求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故选：B； 7．【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 8．【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程一般形式的定义．根据一元二次方程一般形式的定义，一次项系数是方程中一次项的系数，进行作答即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 9．【答案】 正数 化为一般形式 符号 0 【知识点】一元二次方程的一般形式、一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得： （1）将一元二次方程化为一般形式，如果二次项系数为负数，一般将方程两边同乘以－1，将二次项系数a化为正数； （2）找一元二次方程各项的系数时，首先要将一元二次方程化为一般形式，再找二次项系数、一次项系数和常数项，并且要带上前面的符号； （3）若方程中没有出现一次项 或常数项，则该项的系数为0； 故答案为：；；；（1）正数；（2）化为一般形式，符号；（3）0； 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握形如（），其中a、b、c为常数的方程叫做一元二次方程是解题的关键． 10．【答案】或 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程左边展开，然后移项使所有项位于左边，右边为0，最后合并同类项得到一般形式． 【详解】解：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 方程两边同除以2，得 ， 故答案为：或． 11．【答案】8 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值等知识点，熟练掌握整体代入法求值是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，即，然后将变形为，再将代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 12．【答案】（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键．根据一元二次方程的一般形式写出符合题意的方程即可． 【详解】解：由题意知二次项系数为，且一根为的一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 13．【答案】， 【知识点】分式化简求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：                      ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 14．【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 15．【答案】(1) ，方程的根为 (2)，二次项系数为，一次项系数为-(，常数项为 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的一般形式、一元一次方程的定义、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的相关概念；掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．是解决本题的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，即可求出k的值； （2）根据一元二次方程的定义得出，则，根据一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项的定义，即可解答． 【详解】（1）解：∵原方程为一元一次方程， ∴， 解得：．把代入原方程，得解得： （2）解：∵原方程为一元二次方程， ∴， 解得：， 该方程的二次项系数为，一次项系数为-(，常数项为． 16．【答案】(1) (2) 【知识点】分式化简求值、通过对完全平方公式变形求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可． 【详解】（1）解：， 两边同时除以x（），得 ， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵m是方程的根， ∴， 两边同时除以（），得 ， ∴， ∴， ∴ ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $