5.4.2 角平分线的性质定理的逆定理应用 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角平分线性质定理及逆定理，通过任务导入（如EF⊥CD、EF⊥AB，M为EF中点，添加条件证CM、AM为角平分线）引导学生理解定理，构建从性质到逆定理应用的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是采用问题驱动与分层练习（如建中转站到三条公路距离相等、证AB=AD+BE等），培养几何直观与推理意识，通过逻辑推理和实际应用问题提升应用意识。学生能强化定理运用与推理能力，教师可借助系统资源优化教学。

新湘教版八年级上册数学 第5章 直角三角形 5.4.2 角平分线的性质定理的逆定理应用 学习目标 1.理解角的平分线的性质及逆定理，并能熟练运用； 2.能够利用角平分线的性质解决实际问题，通过逻辑推理和数学计算，解决与角平分线相关的数学问题； 3.掌握三角形的内心及图形语言. 任务导入 角平分线性质定理 角平分线性质定理的逆定理 任务导入 如图， 已知EF⊥CD于点 E，EF⊥AB于点 F，MN⊥AC 于点 N，M是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使 CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？ A B C D E F M N 任务导入 如图， 已知EF⊥CD于点 E，EF⊥AB于点 F，MN⊥AC 于点 N，M是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使 CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？ A B C D E F M N ∵ ME⊥CD， MN⊥CA，MN =ME 同理可得AM是∠CAB的平分线. 可以添加条件MN =ME ∴ M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线 又∵M是EF 的中点 ∴MF = ME = MN 添加条件 MN = MF 可以吗？ 应用提升 例1 如图,在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P， 作PE⊥DB,PF ⊥ AC,垂足分别为点E,F.试探索BE + PF与PB的大小关系. A B C F E D P 解： ∵ AP是∠DAC的平分线 又∵PE⊥DB， PF⊥AC ∴ PE=PF 在△EBP中，BE+PE>PB ∴ BE+PF>PB F E D 应用提升 如图，在△ABC内部找一点P，使其到三边的距离相等. A B C 分别作∠BAC与∠ABC的平分线, 它们交于点P P 过点P作 PD ⊥ AB，PE ⊥ AC， PF ⊥BC，垂足分别为点D，E，F. ∵ AP是∠BAC的平分线 又∵PD⊥AB，PE⊥AC ∴ PD = PE ∵BP是∠ABC的平分线 又∵PD⊥AB，PF⊥BC ∴ PD = PF 从而PD = PE = PF 因此P为所求作的点 1. 如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C， ED⊥ OB 于点D， 求证： (1)∠ECD = ∠EDC； (2) OC = OD. 应用提升 A C O B D E ∴ ∠ECD=∠EDC 从而△EDC 是个等腰三角形. ∴ ED =EC 证: (1)∵ 点E在∠BOA的平分线上 又∵EC⊥AO，ED⊥OB (2)在Rt△OED和Rt△OEC中 ED = EC OE= OE ∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL) 从而 OD=OC 课堂练习 应用提升 课堂练习 2. 如图，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB = AD + BE. 证: 作CM⊥AB于点M. A B D E C M ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE ∴ CD = CM，CE = CM 在Rt△ACD 和Rt△ACM中 CD = CM AC = AC ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM(HL) 从而 AD = AM 同理， BE = BM ∵AB=AM+BM ∴ AB=AD+BE 3．在正方形网格中，∠ACB的位置如图所示，则到∠ACB两边距离相等的点是(　 　) A．点M B．点N C．点P D．点Q 应用提升 课堂练习 D 4.如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 应用提升 课堂练习 D A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 应用提升 课堂练习 5.如图，直线 a，b，c 表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 (  ) D 6．如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠C＝60°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N.若OM＝ON，则∠BOM的度数是________． 75° 应用提升 课堂练习 7.如图，小明将两把完全相同的长方形直尺（单位：cm）如图放置在∠AOB 上，两把直尺的接触点为 P，边 OA 与其中一把直尺边缘的交点为 C，点 C,P 在这把直尺上的刻度读数分别是 2 cm 和 5 cm，则 OC 的长度是________. 应用提升 课堂练习 8．如图①，把△ABC剪成三部分，将边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l，如图②所示．在△ABC中，若∠BOC＝115°，则∠BAC的度数为________． 50° 应用提升 课堂练习 9. 如图，△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，过 点P作PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E，G，F，若AB＝8，AC＝6，BC＝7，则AE＝______． 3.5 应用提升 课堂练习 【点拨】因为△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，且PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，所以PE＝PF，PF＝PG.所以PE＝PG.在Rt△BEP和Rt△BFP中，PE＝PF，BP＝BP，所以Rt△BEP≌Rt△BFP，所以BE＝BF， 同理得CF＝CG，AE＝AG.设AE＝x(x＞0)，则AE＝AG＝x，因为AB＝8，AC＝6，所以BF＝BE＝8－x，CF＝CG＝6－x.因为BC＝BF＋CF＝7，所以8－x＋6－x＝7，解得x＝3.5，所以AE＝3.5. 10．如图，OM，ON是两条公路，A，B两处是两个居民小区，现要在两条公路之间的空地处建活动中心P，使得活动中心P到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何利用尺规作图确定活动中心P的位置？(不写作法，保留作图痕迹) 【解】如图． 应用提升 课堂练习 11.如图，四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线恰相交于一点P(A，P，C三点不共线)，记△APD，△APB，△BPC，△DPC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则有(　　) A．S1＋S3＝S2＋S4 B．S1＋S2＝S3＋S4 C．S1＋S4＝S2＋S3 D．S1＝S3 A 应用提升 课堂练习 课堂小结 角平分线的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的内角平分线相交于内部一点 下 课 $