第3章 圆的基本性质 3.1-3.4 常考题型归纳与强化训练 讲义 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学讲义通过题型分类框架系统梳理了圆的基本性质（3.1-3.4）知识体系，将弧、弦、圆心角关系，垂径定理及勾股定理应用，点与圆位置关系等核心内容按“基础理解-综合应用-拓展提升”递进组织，用知识脉络图呈现各知识点内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“基础-综合-拓展”三级练习设计，如题型三通过隧道横截面实例，结合勾股定理与垂径定理求半径，培养几何直观与运算能力。同步练涵盖选择、填空、解答题，基础题巩固概念，综合题提升推理意识，教师可据此实施分层教学，学生自主复习时能明确薄弱点。

2026-2027学年浙教版数学九年级上册第3章圆的基本性质3.1-3.4常考题型归纳与强化训练 题型一：利用弧、弦、圆心角的关系求解 例题： （选择题）在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（　 ）。 A．90° B．60° C．30° D．15° 【答案】B 【分析】由题意可得为等边三角形，从而可求得弦所对的圆心角的度数。 【详解】解：在半径为1的中，弦的长为1，如下图： ， 为等边三角形， 弦所对的圆心角的度数为，故选：B。 同步练： （选择题）1.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（　　）。 A．等弧对等弦 B．等弧所对的圆心角相等 C．等弦所对的圆心角相等 D．等弦所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】本题考查了同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角的关系。熟练掌握同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题的关键。 根据同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角的关系对各选项进行判断作答即可。 【详解】解：由题意知，同圆或等圆中，等弧对等弦，A说法正确，故不符合要求； 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，B说法正确，故不符合要求； 在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，C说法正确，故不符合要求； 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，D说法错误，故符合要求； 故选：D。 （选择题）2.如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系。 【详解】解：∵， ，，故A正确； ∴，故C正确； ，，故D正确； ∵和无法确定相等， 无法判断， 故选：B。 （选择题）3.如图，是半圆的直径，，是弧的中点，则的度数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据已知得出，根据是弧的中点，即可求得的度数。 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵是弧的中点， ∴， 故选：D。 （填空题）4.已知半径为3，上有两点A、B，，则弦所对劣弧的度数为_________。 【答案】/60度 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，先证明是等边三角形，得到即可求解。 【详解】解：如图， ∵半径为3，上有两点A、B，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弦所对劣弧的度数为，故答案为：。 （解答题）5.如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、。 （1）求的度数； （2）求证：。 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系。 （1）连接，求出和度数，求出，即可求出度数，即可求出答案； （2）根据得出，求出，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到。 【详解】（1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是； （2）证明：， ， ， 。 题型二：利用弧、弦、圆心角关系综合证明 例题： （选择题）下列说法：①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等。正确的个数有（      ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由垂径定理的推论可判断①，由圆心角，弧，弦之间的关系可判断②③，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断④，由圆的对称轴是直线可判断⑤，由三角形的外心的性质可判断⑥，从而可得答案。 【详解】解：当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧；故①不符合题意； 在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也不一定相等；因为圆当中任意一条弦都与两条弧相对，故②不符合题意； 等弧所对的圆心角相等；正确，故③符合题意； 过不在同一直线上的三点可以画一个圆；故④不符合题意； 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；故⑤不符合题意； 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。故⑥不符合题意；故选A。 同步练： （解答题）1.如图，点A、B、C、D在上，，与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等是解题的关键。 先根据同弧所对的圆周角相等得到，进而证明，由此得到。 【详解】解：相等，理由如下： ∵， ∴， ∴，即， ∴。 （解答题）2.如图，已知点在上，，连接，。求证：。 【答案】 证明： ， ， 即 。 【分析】由得到，由得到即可得到结论。 【详解】略 （解答题）3.如图，，求证：。 【答案】证明见解析 【分析】如图，记圆的圆心为 过作于 过作于 连接 再证明 证明 可得 再证明 从而可得答案。 【详解】证明：如图，记圆的圆心为 过作于 过作于 连接 。 （解答题）4.如图，已知、是的两条直径，是的弦，且，求证：。 【答案】见解析 【分析】连接，根据，可证得，再根据平行线的性质，即可证得，最后根据圆心角与弧的关系即可证得。 【详解】证明：如图：连接， ， ， ， ，， ， ∴。 （解答题）5.如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E。求证： （1）AD∥BC； （2）四边形BCDE为菱形。 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【难度】0.65 【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定可得结论； （2）证明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据得到BC=CD，从而证明菱形。 【详解】解：（1）连接BD， ∵， ∴∠ADB=∠CBD， ∴AD∥BC； （2）连接CD， ∵AD∥BC， ∴∠EDF=∠CBF， ∵， ∴BC=CD， ∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC， ∴△DEF≌△BCF（ASA）， ∴DE=BC， ∴四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD， ∴四边形BCDE是菱形。 （解答题）6.如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E。求证： （1）； （2）。 【答案】（1）证明：∵O为等腰三角形的底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴，即。 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用。 （1）首先得到，推出，然后等量代换得到，由三角形内角和得到，即可得到； （2）由得到，然后结合求解即可。 【详解】（1）略 （2）略 题型三：结合勾股定理，利用垂径定理求值 例题： （选择题）如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（     ）。 A．5 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先连接，根据已知条件求出，从而求出，然后根据勾股定理求出，由垂径定理求出答案即可。 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故选：B。 同步练： （选择题）1.如图，的半径为，弦，是弦上的动点，则不可能为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先过点作于点，连接，由垂径定理求出，再根据勾股定理求得，进而可求出的取值范围。 【详解】解：过点作于点，连接， 依题意得：，， ， ， ， ， 四个选项中只有符合题意，故选：。 （选择题）2.如图，的半径为5，弦的长为8，M是弦上的一个动点，则线段的长的最小值为（     ）。 A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，利用垂径定理、勾股定理计算即可。 【详解】如图，连接， ∵垂线段最短，的半径为5，弦的长为8， ∴当时，最小， 根据垂径定理，得，， ∴， 故选A。 （选择题）3.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分。如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米。则的半径为（     ）。 A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及推论的应用、勾股定理，由是中弦的中点，则，所以，故有，（米），设的半径为米，则（米），然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键。 【详解】解：∵是中弦的中点， ∴， ∴， ∴，（米）， 设的半径为米，则（米）， ∵， ∴， ∴， 故选：。 （选择题）4.如图，已知⊙O的半径为5，弦垂足为，且，则的长为（   ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OB，作OP⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据弦、弧、圆心角、弦心距的关系定理得到OP=OF，得到矩形PEFO为正方形，根据正方形的性质得到OP=PC，根据垂径定理和勾股定理求出OP，根据勾股定理计算即可。 【详解】解：连接OB，作OP⊥AB于E，OF⊥CD于F， 则BP=AB=4，四边形PEFO为矩形， ∵AB=CD，OP⊥AB，OF⊥CD， ∴OP=OF， ∴矩形PEFO为正方形， ∴OP=PC， 在Rt△OPB中，OP==3， ∴OE==3， 故选：B。 （填空题）5.如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为 。 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，掌握数形结合、分类讨论的方法是解题关键。根据题意画出图形，分两种情况讨论，由垂径定理和勾股定理先求出的长，从而得到的长，再结合勾股定理即可求出的长。 【详解】解：分两种情况讨论， 第一种情况：如图，连接， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 第二种情况：如图，连接， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 综上，线段的长为或， 故答案为：或。 题型四：结合弧、弦、圆心角的关系与垂径定理求解 例题： （选择题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　 　）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根据垂径定理求出AE=3，然后证明三角形OAC是等边三角形，从而可以得到∠OAE=30°，再利用三线合一定理求解即可。 【详解】解：如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E， ∵C是弧AB的中点，AB=6， ∴OC⊥AB，AE=BE=3， ∵∠ADC=30°， ∴∠AOC=2∠ADC=60°， 又∵OA=OC， ∴△OAC是等边三角形， ∵OC⊥AB, ∴，, ∴， ∴， ∴圆心O到弦AB的距离为， 故选C。 同步练： （选择题）1.下列语句中，正确的有（     ）。 （1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦； （3）长度相等的两条弧是等弧 ； （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴。 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理，圆的对称轴，熟练掌握以上知识是解题的关键。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，据此判断（1）；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断（2）；能重合的弧叫做等弧，据此判断（3）；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，据此判断（4）。 【详解】解：（1）不符合题意，需要添加前提条件，即在同圆或等圆中； （2）不符合题意，平分的弦不能是直径； （3）不符合题意，等弧是指长度和度数都相等的弧； （4）不符合题意，圆的对称轴是直径所在的直线； 故答案为：A。 （选择题）2.如图，是直径，是上的点，于点，于点，，则的长为（   ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，三角形中位线定理，弧与弦之间的关系，由垂径定理得到点为的中点，则由三角形中位线定理得到，再由垂径定理得到，则。 【详解】解：∵， ∴点为的中点， ∵是直径， ∴点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D。 （填空题）3.如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为 。 【答案】 【分析】由AC＝BD知，得，根据OD⊥AC知，从而得，即可知∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，利用AF＝AOsin∠AOF可得答案。 【详解】解：∵OD⊥AC， ∴，∠AFO＝90°， 又∵AC＝BD， ∴，即， ∴， ∴， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°， ∵AB＝3， ∴AO＝BO=， ∴AF＝AOsin∠AOF=， 则； 故答案为：。 （解答题）4.如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为。 （1）若，求的度数； （2）若，，求圆O的半径长。 【答案】（1）的度数是 （2）圆的半径长为 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键。 （1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答； （2）根据垂径定理可得，然后设圆的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答。 【详解】（1）解：是圆的一条弦，， ， ， 的度数是； （2）解：是圆的一条弦，， ， 设圆的半径长为， 在中，， ， ， ∴圆的半径长为。 题型五：判断点与圆的位置关系 例题： （选择题）如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（     ）。 A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案。 【详解】平面内有一点到圆心的距离为4，， 该点在圆外， 点符合要求，故选：D。 同步练： （选择题）1.如图，以为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是（     ）。 A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，由勾股定理可得，再由点与圆的位置关系即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键。 【详解】解：∵，， ∴， 由题意可得：的半径为， ∵， ∴点在圆外， 故选：B。 （填空题）2.在中，，，垂足为D，，，如果以点C为圆心，2为半径作，那么点B在_____，点D在_____。（均选填“内”“上”或“外”） 【答案】上 内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系。先判断得出，然后根据点与圆的位置关系即可得出结论。 【详解】解：如图，中，，，， ∴是直角三角形，为斜边， ∴， ∵以点C为圆心，2为半径作，， ∴点D在内，点B在上， 故答案为：上，内。 （填空题）3.如图，在中，于点D，O为的中点。 （1）以点C为圆心，6为半径作圆，则点A在______，点B在______。（均填“内”“外”或“上”） （2）当的半径为______时，点O在上。 【答案】上 外 5 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解决问题的关键是掌握点与圆的位置关系的判断方法。 （1）求出长，根据三角形面积求出，根据点和圆的位置关系判断即可； （2）结合直角三角形的性质求出的长度，进而得出的半径；根据点和圆的位置关系得出半径，即可得出答案。 【详解】解：在中， 由勾股定理得： ∵AB=10，AC=6，BC=8， ∴AC×BC=AB×CD，∴CD=4.8， （1）在上，在外； （2）即的半径为时，O点在上； 故答案为：①上；②外；③。 （填空题）4.如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点对称，则AB的最小值为 。 【答案】18 【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得。 【详解】解：连接， ， ， ， ， 若要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值， 过点作轴于点， 则，， ， 又， ， ， 故答案是：18。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙教版数学九年级上册第3章圆的基本性质3.1-3.4常考题型归纳与强化训练 题型一：利用弧、弦、圆心角的关系求解 例题： （选择题）在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（　 ）。 A．90° B．60° C．30° D．15° 同步练： （选择题）1.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（　　）。 A．等弧对等弦 B．等弧所对的圆心角相等 C．等弦所对的圆心角相等 D．等弦所对的圆周角相等 （选择题）2.如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ）。 A． B． C． D． （选择题）3.如图，是半圆的直径，，是弧的中点，则的度数是（    ）。 A． B． C． D． （填空题）4.已知半径为3，上有两点A、B，，则弦所对劣弧的度数为_________。 （解答题）5.如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、。 （1）求的度数； （2）求证：。 题型二：利用弧、弦、圆心角关系综合证明 例题： （选择题）下列说法：①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等。正确的个数有（      ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 同步练： （解答题）1.如图，点A、B、C、D在上，，与相等吗？为什么？ （解答题）2.如图，已知点在上，，连接，。求证：。 （解答题）3.如图，，求证：。 （解答题）4.如图，已知、是的两条直径，是的弦，且，求证：。 （解答题）5.如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E。求证： （1）AD∥BC； （2）四边形BCDE为菱形。 （解答题）6.如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E。求证： （1）； （2）。 题型三：结合勾股定理，利用垂径定理求值 例题： （选择题）如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（     ）。 A．5 B．8 C． D． 同步练： （选择题）1.如图，的半径为，弦，是弦上的动点，则不可能为（    ）。 A． B． C． D． （选择题）2.如图，的半径为5，弦的长为8，M是弦上的一个动点，则线段的长的最小值为（     ）。 A．3 B．4 C．6 D．8 （选择题）3.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分。如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米。则的半径为（     ）。 A．米 B．米 C．米 D．米 （选择题）4.如图，已知⊙O的半径为5，弦垂足为，且，则的长为（   ）。 A． B． C． D． （填空题）5.如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为 。 题型四：结合弧、弦、圆心角的关系与垂径定理求解 例题： （选择题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　 　）。 A． B． C． D． 同步练： （选择题）1.下列语句中，正确的有（     ）。 （1）相等的圆心角所对的弧相等； （2）平分弦的直径垂直于弦； （3）长度相等的两条弧是等弧 ； （4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴。 A．个 B．个 C．个 D．个 （选择题）2.如图，是直径，是上的点，于点，于点，，则的长为（   ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 （填空题）3.如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为 。 （解答题）4.如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为。 （1）若，求的度数； （2）若，，求圆O的半径长。 题型五：判断点与圆的位置关系 例题： （选择题）如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（     ）。 A．点 B．点 C．点 D．点 同步练： （选择题）1.如图，以为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是（     ）。 A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆外 D．不能确定 （填空题）2.在中，，，垂足为D，，，如果以点C为圆心，2为半径作，那么点B在_____，点D在_____。（均选填“内”“上”或“外”） （填空题）3.如图，在中，于点D，O为的中点。 （1）以点C为圆心，6为半径作圆，则点A在______，点B在______。（均填“内”“外”或“上”） （2）当的半径为______时，点O在上。 （填空题）4.如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点对称，则AB的最小值为 。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $