第3章 圆的基本性质单元测试2026-2027学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

**基本信息** 初中数学圆的基本性质单元卷，总分120分，通过选择、填空、解答题梯度覆盖点与圆位置关系、圆周角定理等核心知识，结合实际情境与探究性问题，培养抽象能力、推理意识和几何直观，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|点与圆位置关系、圆周角定理、扇形面积|基础概念辨析，如第1题点与圆位置关系| |填空题|6/18|圆的性质命题判断、垂径定理、正多边形|易错点整合，如第11题圆的性质辨析| |解答题|8/72|圆的证明、作图、实际应用（劳动教育基地）、综合探究（爪形）|情境化与探究性，如第19题劳动基地规划培养应用意识，第24题爪形探究发展创新意识|

第3章 圆的基本性质 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 2．如图，已知A、B、C都在圆O上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角与圆心角的关系，由此计算的度数即可． 【详解】解：弧所对的圆周角是，圆心角是， 已知，由圆周角定理可得． 3．若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接运用初中扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：∵ 扇形面积公式为 ，其中圆心角 ，半径 ， ∴ 代入得 ． 4．正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 【详解】解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 5．如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，点、、、分别在圆上， ∴， ∵， ∴ 6．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 7．如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴． 8．如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据圆内接四边形的性质得，然后根据三角形外角的性质得，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， 即， ∴． 9．已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 【答案】C 【分析】如图1，首先根据易得，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，即为的平分线，故嘉嘉说的对；在图2中，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，由垂径定理可得，易知，即为的平分线，故淇淇说的也对． 【详解】解：如图1， ∵是ABC的外接圆，且， ∴， ∴，即为的平分线，故嘉嘉说的对； 在图2中，连接，如下图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴，即为的平分线，故淇淇说的也对． 综上所述，嘉嘉和淇淇说的都对． 10．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．在计算过程中发现线段长度的最小值是，则正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质证明，，根据全等三角形的性质结合等量代换证明，根据，即可证得，取的中点，连接，可得到的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆，当，，三点共线时，最小，根据勾股定理可得的长，从而可表示出的长，根据已知的长度的最小值列方程即可得解． 【详解】设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 如图1，取的中点，连接， ， 的运动轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 如图2，当，，三点共线时，最小， ，的最小值为， 长度的最小值为， ，解得， 正方形的边长是． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 【答案】①②③ 【详解】解：①只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，本命题缺少前提条件，故①不正确； ②平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，本命题缺少限制条件，故②不正确； ③能够完全重合的弧才是等弧，长度相等的弧不一定能完全重合，故③不正确； ④等弧可以完全重合，必在同圆或等圆中，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故④正确； ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故⑤正确． 综上所述，不正确的是①②③． 12．已知扇形的半径长为9，扇形的圆心角的度数为，则该扇形的面积是________． 【答案】 【分析】直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角为，其半径为， ∴． 13．如图，于E，，，则的半径为___________． 【答案】10 【分析】连接，然后根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， 即的半径为10． 14．如图，内接于，点M是弦的中点，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，根据圆的内接四边形的性质，圆心角与圆周角关系，垂径定理推论，求解即可． 【详解】解：如图，在优弧上任取点F，连接， 则四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ∵点M是弦的中点，， ． 15．如图，正八边形的边长为1，与正八边形的边和分别相切于点和点，则劣弧的长为______． 【答案】 【分析】连接，，，延长交或其延长线于一点，可求得，结合六边形的内角和为，可求得，根据同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直，可求得点与点重合，得到，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，延长交或其延长线于一点． ∵与正八边形的边和分别相切于点和点， ∴，． ∴． ∵八边形为正八边形， ∴． ∵六边形的内角和， ∴． ∴． ∵八边形为正八边形， ∴． 又∵，同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直， ∴直线与直线为同一条直线， ∴点与点重合． ∴． ∴． ∴劣弧的长． 16．如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】设点P坐标为，如图，连接，当为直径时，m最大，最大值为4，当点P为即的中点时，，，，此时即最小，利用勾股定理求得此时的弦的长m的最小值即可求解． 【详解】解：设点P坐标为，如图，连接， 根据题意，当为直径时，m最大，最大值为4， 当点P为即的中点时，，，，此时即最小， 由勾股定理得， ∴弦的长m的最小值为， ∴满足题意的m值的取值范围为． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．（8分）如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）可证明，则可证明； （2）先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴；（4分） （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴．（8分） 18．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转变换作图、扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． （1）将的三个顶点绕点A顺时针旋转得到对应点，再顺次连接即可得到； （2）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （4分） （2）解：， 点旋转到点的过程中线段扫过的面积为： ．（8分） 19．（8分）某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了、、三点的位置，．已知点在劣弧上，且 (1)尺规作图：请在上确定点的位置，并连接、； (2)已知，求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意作，即可求解； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）略（4分） （2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 由（1）可得， ∵ ∴， 在，中， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形的面积 （8分） 20．（8分）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，当时，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理， 对于（1），连接，根据直径所对的圆周角是直角得，                      再根据同角的余角相等得，然后根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案；                        对于（2），连接，先说明，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可. 【详解】（1）证明：连接，    ∵为直径 ∴，                       ∴，                      ∵， ∴，                           ∴，                        ∴，                                   ∵，                        ∴；（4分） （2）解：连接，    ∵， ∴，                  ∴， ∵为直径，， ∴，                                       在中，，              ∴，                                       设的半径为x，， ∵， ∴ ， 解得， ∴的半径为.（8分） 21．（8分）如图①，②，③中每个小正方形的边长均为，的顶点，均落在小正方形的顶点上，点在小正方形的边上，以为直径的半圆的圆心为．请用无刻度的直尺按要求画图． (1)如图①，在半圆上确定点，使． (2)如图②，在线段的延长线上确定点，使． (3)如图③，在线段上确定点，使． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)如图，点即为所求； (3)如图，点即为所求 【分析】（1）根据网格的特点，取的中点（与网格的交点），连接，延长交半圆于点，即可； （2）在（1）的条件，连接并延长交的延长线于点，点即为所求； （3）连接，与交于点，再连接，并延长与交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：取的中点（与网格的交点），连接，延长交半圆于点， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ；（2分） （2）解：连接并延长交的延长线于点，点即为所求， ， ， ， ， ， ；（5分） （3）解：连接，与交于点，再连接，并延长与交于点，点即为所求， 为半圆的直径， ，即， ， 垂直平分，， ， ， ，即， ，， ， ， ， 即．（8分） 22．（10分）项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 (1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是_____； (2)密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为___，并使相等的边重合． 【任务：寻找密铺】 (3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）；（多选） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 (4)公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，求的度数． 【答案】(1) (2)360 (3)ABD (4) 【分析】（1）根据正多边形的性质及内角和公式求解即可； （2）根据周角为可得答案； （3）根据各正多边形性质和内角，结合镶嵌知识逐个判断即可； （4）根据五边形的内角和求解即可． 【详解】（1）解：对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是； （2分） （2）解：密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合．（4分） （3）解：A、正三角形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； B．正方形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； C．正五边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； D．正六边形的每个内角为且各边相等，，能够单独密铺平面；（7分） （4）解：五边形的内角和为，，， ．（10分） 23．（10分）已知正方形，E，F为平面内两点． [探究建模] (1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线，求证：； [类比应用] (2)如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线，猜想并证明线段，之间的数量关系； [拓展迁移] (3)如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，与交于点G．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)猜想：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)5 【分析】（1）证明，可得结论； （2）证明，然后问题可求证； （3）连接，取的中点O，连接．证A、E、C、D四点共圆，得，然后证，即可解决问题． 【详解】（1）略（3分） （2）略（6分） （3）解：连接，取的中点O，连接，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴A、E、C、D四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（10分） 24．（12分）综合与探究 【问题情境】 如图①，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦构成的图形称为“爪形”，弦称为“爪形”的爪． (1)【猜想证明】如图②，四边形内接于，连接． ①试判断圆中是否存在“爪形”，并说明理由； ②若，延长至点，使，连结．试猜想之间的数量关系，并说明理由； (2)【深入探究】如图③，若，直接写出“爪形”的爪之间的数量关系． 【答案】(1) 解：①存在． 理由：∵， ， ， ∴平分圆周角， ∴圆中存在“爪形”； ②． 理由：如图， ∵四边形内接于 ∴， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． (2) 解：． 理由：如图，延长至点，使得，连接． ， ， ∵圆中存在“爪形”，且， ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ． 【分析】（1）①根据得到，推出，然后根据“爪形”的定义求解即可； ②如图，证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）如图，延长至点，使得，连接，证明出，得到为等腰直角三角形，进而求解即可． 【详解】（1）解：①略（3分） ②略（6分） （2）略（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 2．如图，已知A、B、C都在圆O上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 4．正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 6．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 7．如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 10．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．在计算过程中发现线段长度的最小值是，则正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 12．已知扇形的半径长为9，扇形的圆心角的度数为，则该扇形的面积是________． 13．如图，于E，，，则的半径为___________． 14．如图，内接于，点M是弦的中点，连接．若，则的度数为________． 15．如图，正八边形的边长为1，与正八边形的边和分别相切于点和点，则劣弧的长为______． 16．如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 18．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）． 19．（8分）某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了、、三点的位置，．已知点在劣弧上，且 (1)尺规作图：请在上确定点的位置，并连接、； (2)已知，求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 20．（8分）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，当时，求半径的长． 21．（8分）如图①，②，③中每个小正方形的边长均为，的顶点，均落在小正方形的顶点上，点在小正方形的边上，以为直径的半圆的圆心为．请用无刻度的直尺按要求画图． (1)如图①，在半圆上确定点，使． (2)如图②，在线段的延长线上确定点，使． (3)如图③，在线段上确定点，使． 22．（10分）项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 (1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是_____； (2)密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为___，并使相等的边重合． 【任务：寻找密铺】 (3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）；（多选） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 (4)公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，求的度数． 23．（10分）已知正方形，E，F为平面内两点． [探究建模] (1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线，求证：； [类比应用] (2)如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线，猜想并证明线段，之间的数量关系； [拓展迁移] (3)如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，与交于点G．若，，请直接写出的长． 24．（12分）综合与探究 【问题情境】 如图①，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦构成的图形称为“爪形”，弦称为“爪形”的爪． (1)【猜想证明】如图②，四边形内接于，连接． ①试判断圆中是否存在“爪形”，并说明理由； ②若，延长至点，使，连结．试猜想之间的数量关系，并说明理由； (2)【深入探究】如图③，若，直接写出“爪形”的爪之间的数量关系． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质 单元测试 总分：120分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C C C D B B C B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11.①②③ 12. 13. 10 14. 15. 16. 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）可证明，则可证明； （2）先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴；（4分） （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴．（8分） 18．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转变换作图、扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． （1）将的三个顶点绕点A顺时针旋转得到对应点，再顺次连接即可得到； （2）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （4分） （2）解：， 点旋转到点的过程中线段扫过的面积为： ．（8分） 19．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意作，即可求解； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）略（4分） （2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 由（1）可得， ∵ ∴， 在，中， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形的面积 （8分） 20．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理， 对于（1），连接，根据直径所对的圆周角是直角得，                      再根据同角的余角相等得，然后根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案；                        对于（2），连接，先说明，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可. 【详解】（1）证明：连接，    ∵为直径 ∴，                       ∴，                      ∵， ∴，                           ∴，                        ∴，                                   ∵，                        ∴；（4分） （2）解：连接，    ∵， ∴，                  ∴， ∵为直径，， ∴，                                       在中，，              ∴，                                       设的半径为x，， ∵， ∴ ， 解得， ∴的半径为.（8分） 21．（8分） 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)如图，点即为所求； (3)如图，点即为所求 【分析】（1）根据网格的特点，取的中点（与网格的交点），连接，延长交半圆于点，即可； （2）在（1）的条件，连接并延长交的延长线于点，点即为所求； （3）连接，与交于点，再连接，并延长与交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：取的中点（与网格的交点），连接，延长交半圆于点， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ；（2分） （2）解：连接并延长交的延长线于点，点即为所求， ， ， ， ， ， ；（5分） （3）解：连接，与交于点，再连接，并延长与交于点，点即为所求， 为半圆的直径， ，即， ， 垂直平分，， ， ， ，即， ，， ， ， ， 即．（8分） 22．（10分） 【答案】(1) (2)360 (3)ABD (4) 【分析】（1）根据正多边形的性质及内角和公式求解即可； （2）根据周角为可得答案； （3）根据各正多边形性质和内角，结合镶嵌知识逐个判断即可； （4）根据五边形的内角和求解即可． 【详解】（1）解：对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是； （2分） （2）解：密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合．（4分） （3）解：A、正三角形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； B．正方形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； C．正五边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； D．正六边形的每个内角为且各边相等，，能够单独密铺平面；（7分） （4）解：五边形的内角和为，，， ．（10分） 23．（10分） 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)猜想：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)5 【分析】（1）证明，可得结论； （2）证明，然后问题可求证； （3）连接，取的中点O，连接．证A、E、C、D四点共圆，得，然后证，即可解决问题． 【详解】（1）略（3分） （2）略（6分） （3）解：连接，取的中点O，连接，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴A、E、C、D四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（10分） 24．（12分） 【答案】(1) 解：①存在． 理由：∵， ， ， ∴平分圆周角， ∴圆中存在“爪形”； ②． 理由：如图， ∵四边形内接于 ∴， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． (2) 解：． 理由：如图，延长至点，使得，连接． ， ， ∵圆中存在“爪形”，且， ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ． 【分析】（1）①根据得到，推出，然后根据“爪形”的定义求解即可； ②如图，证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）如图，延长至点，使得，连接，证明出，得到为等腰直角三角形，进而求解即可． 【详解】（1）解：①略（3分） ②略（6分） （2）略（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第3章 圆的基本性质 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 2．如图，已知A、B、C都在圆O上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 4．正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 6．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 7．如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 10．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．在计算过程中发现线段长度的最小值是，则正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 12．已知扇形的半径长为9，扇形的圆心角的度数为，则该扇形的面积是________． 13．如图，于E，，，则的半径为___________． 14．如图，内接于，点M是弦的中点，连接．若，则的度数为________． 15．如图，正八边形的边长为1，与正八边形的边和分别相切于点和点，则劣弧的长为______． 16．如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 18．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）． 19．（8分）某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了、、三点的位置，．已知点在劣弧上，且 (1)尺规作图：请在上确定点的位置，并连接、； (2)已知，求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 20．（8分）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，当时，求半径的长． 21．（8分）如图①，②，③中每个小正方形的边长均为，的顶点，均落在小正方形的顶点上，点在小正方形的边上，以为直径的半圆的圆心为．请用无刻度的直尺按要求画图． (1)如图①，在半圆上确定点，使． (2)如图②，在线段的延长线上确定点，使． (3)如图③，在线段上确定点，使． 22．（10分）项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 (1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是_____； (2)密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为___，并使相等的边重合． 【任务：寻找密铺】 (3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）；（多选） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 (4)公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，求的度数． 23．（10分）已知正方形，E，F为平面内两点． [探究建模] (1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线，求证：； [类比应用] (2)如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线，猜想并证明线段，之间的数量关系； [拓展迁移] (3)如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，与交于点G．若，，请直接写出的长． 24．（12分）综合与探究 【问题情境】 如图①，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦构成的图形称为“爪形”，弦称为“爪形”的爪． (1)【猜想证明】如图②，四边形内接于，连接． ①试判断圆中是否存在“爪形”，并说明理由； ②若，延长至点，使，连结．试猜想之间的数量关系，并说明理由； (2)【深入探究】如图③，若，直接写出“爪形”的爪之间的数量关系． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $