第二十五章 一元二次方程单元测试2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册一元二次方程单元卷，覆盖定义、解法、应用等核心知识，以古代数学问题、生活情境为载体，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|公式法、根的判别式、增长率问题|第4题结合《四元玉鉴》“买椽多少”问题，渗透文化传承| |填空题|5|新定义运算、勾股定理应用|第14题以“碰肘礼”为情境，体现数学与社会热点联系| |解答题|5|营销问题、配方法应用、图形规律|第19题羊圈围栏面积问题，培养模型意识与应用能力|

第二十五章 一元二次方程 单元测试2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 2．下列方程中，是一元二次方程的有（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的情况 4．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为现请人代买一批椽，这批椽的价格为6210文．如果每株椽的运费为3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价格．问6210文能买多少株椽．设这批椽的数量为株，则的值为（   ） A．45 B．46 C．47 D．48 5．如图，用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 6．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（   ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程的一个根为，则代数式的值为（   ）． A．8 B． C． D．4 8．下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A．0 B．1 C．2 D．3 9．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 10．某商店销售一种文具，若每个盈利5元，每天可售出200个，经市场调查发现，若每个涨价1元，每天销售量就减少10个，现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价（    ） A．5元 B．15元 C．5元或10元 D．5元或15元 二、填空题 11．对任意实数a，b定义新运算：，如：．若，则x的值为________． 12．在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 13．已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是____________． 14．为防控疫情，我们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘礼”代替“握手”的问候方式逐渐流行．某次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘36次，若设有x人参加这次会议，则可列方程为________________． 15．如果一个直角三角形三边的长为连续整数，求它的斜边长．若设这个直角三角形的斜边长为，则可列方程______． 三、解答题 16．某书店购一批故事书进行销售，其进价为每本40元，如果按每本故事书50元进行出售，每月可以售出500本故事书，后来经过市场调查发现，若每本故事书每涨价1元，则故事书的销量每月则减少20本，设每本故事书涨价x元． （Ⅰ）根据题意填表： 每本故事书涨价（元） 1 2 … x 每本故事书所获利润（元） 11 12 … 故事书每月的销量（本） 480 … （Ⅱ）该书店要保证每月销售此种故事书盈利6000元，同时又要使购书者得到实惠，则每本故事书需涨价多少元? （Ⅲ）若使该故事书的月销量不低于300本，则每本故事书的售价应不高于_______元． 17．阅读下面内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为n（n－3）．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程n（n－3）＝20．解得n＝8或n＝－5（舍去），∴这个n边形是八边形．根据以上内容，问： (1)若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数； (2)小明说：“我求得一个n边形共有10条对角线”，你认为小明同学的说法正确吗？为什么？ 18．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)． (2)． (3)． 19．阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下．∵，由，得；∴代数式的最小值是4． (1)①仿照上述方法求代数式的最小值为 ． ②代数式的最大值为 ． (2)延伸与应用：如图示，小红父亲想用长60m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边面积为．当分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 20．下面是一组按照一定的规律排列的图案，每个图案都由若干个“◎”和若干个“●”组成． (1)按照上面的排列规律，第5个图案中有“◎”_____个，有“●”_____个； (2)按照上面的排列规律，在第个图案中，“◎”的个数比“●”的个数少29个，试求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B C B C B B C 1．【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟记公式法解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 先将题中一元二次方程化为一般式，再由求根公式代入求解即可得到答案． 【详解】解：用公式法解方程时，得， 先化为一元二次方程一般式：， ， ， 则“□”处应填， 故选：A． 2．【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【详解】A．方程含有分式，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程，不符合题意； B．中未规定，若，方程不是一元二次方程，不符合题意； C．原方程展开整理，得，满足一元二次方程的全部条件，因此是一元二次方程，符合题意； D．方程含有多个未知数，不是一元方程，因此不是一元二次方程，不符合题意． 3．【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键． 根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根． 【详解】解：在方程中， ， 方程没有实数根． 故选：A． 4．【答案】B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找未知量与已知量之间的等量关系是解题的关键. 设这批椽的数量为株,少拿株后，那么剩下的株的运费为文，这恰好等于一株椽的价格． 则总价格6210文等于椽的数量乘以每株的价格，由此建立方程求解． 【详解】设这批椽的数量为株,一株椽的价格为文． 由题意: 整理得:， 解得：(舍去)． 因此,的值为46． 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设剪去的正方形边长为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设剪去的正方形边长为， 由题意可得：， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，根据第四季度的总营业额要达到9100万元，列方程即可得到结论． 【详解】解：设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，根据题意可列的方程为 ， 故选：B． 7．【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 将代入方程得到关于a，b的等式，然后通过变形整理即可解答． 【详解】解：将代入方程得：， ∴ ∴． 故选C．． 8．【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查代数式的值与方程的解，理解表格信息，掌握方程与解的关系是解题的关键． 通过表格数据，分析当x取不同值时，的值，代入方程观察方程是否成立，即可求解． 【详解】解：根据表格可知， A、当时，，可得，故不是方程的根，选项A不符合题意， B、当时，，可得，故是方程的根，选项B符合题意， C、当时，，可得，故不是方程的根，选项C不符合题意， D、当时，，可得，故不是方程的根，选项D不符合题意． 故选：B． 9．【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：由题意知，甲中， 丙中， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 10．【答案】C 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设涨价元，根据单个利润销售量每天盈利，列出一元二次方程，求解即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设涨价元， 由题意可得：， 解得或， ∴现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价5元或10元， 故选：C． 11．【答案】1 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了解一元二次方程，新定义运算，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 代入得，． ∴ ∴ 解得，． 故答案为：1． 12．【答案】 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 13．【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，用含的代数式把这个两位数表示出来为，根据十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，可列方程，解方程求出的值，再把这个两位数表示出来即可． 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为： ． 14．【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用（握手问题模型），熟练掌握“个元素中任取2个的组合数为”是解题的关键． 利用碰肘的总次数等于参会人数乘以（参会人数减1）除以2，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：依题意得， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理和一元二次方程的应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 由于直角三角形三边为连续整数且斜边最长，设斜边长为，则两直角边分别为和，根据勾股定理列出方程． 【详解】解：设斜边长为，则两条直角边长分别为和． 由勾股定理，得． 故答案为：． 16．【答案】（Ⅰ）460，10+ x，500-20x；（Ⅱ）每本故事书需涨5元；（Ⅲ）60 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（Ⅰ）根据题意填表即可； （Ⅱ）根据表格，由售价﹣进价＝利润列出方程，求出方程的解即可得到结果； （Ⅲ）设每本故事书的售价为m元，由关键描述语“该故事书的月销量不低于300本”列出不等式求解即可． 【详解】解：（Ⅰ）每本故事书涨价2元，故事书的销量为500-20×2=460（本），每本故事书涨价x元，每本故事书所获利润50+ x -40=（10+ x）元，故事书的销量为(500-20x)（本）， 故答案为：460，10+ x，500-20x （Ⅱ）由题意，得 （x+50﹣40）（500﹣20x）＝6000， 解得 x1＝5，x2＝10（不合题意，舍去）． 答：每本故事书需涨5元； （Ⅲ）解：设每本故事书的售价为m元，则500﹣20（m﹣50）≥300， 解得，m≤60． 答：每本故事书的售价应不高于60元． 故答案为：60 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是明确题目中的数量关系，找到等量关系和不等关系列方程或不等式． 17．【答案】(1)6 (2)错误， 理由如下：由题可得n（n－3）＝10， 解得n＝， ∴符合方程的正整数n不存在， ∴n边形不可能有10条对角线， 故小明的说法不正确． 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）利用题中给出的对角线条数公式即可求解； （2）利用题中给出的对角线条数公式列出一元二次方程，求解方程的根，根据方程是否有正整数解来判断即可． 【详解】（1）设这个多边形的边数是n，则n（n－3）＝9， 解得n＝6或n＝－3（舍去）． ∴这个多边形的边数是6； （2）略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，通过方程是否有正整数解来判断是否存在有10条对角线的多边形是解答本题的关键． 18．【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为5 (2)，二次项系数为6，一次项系数为1，常数项为 (3)，二次项系数为2，一次项系数为，常数项为 【知识点】一元二次方程的一般形式、一元二次方程的定义 【分析】（1）通过移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可； （2）通过整式乘法运算及移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可； （3）通过整式乘法运算及移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 则二次项系数为3，一次项系数为，常数项为5； （2）方程整理得：， 则二次项系数为6，一次项系数为1，常数项为； （3）方程整理得：， 则二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 19．【答案】(1)①；②11 (2)当分别为15m，30m时，羊圈的面积最大，最大为． 【知识点】配方法的应用 【分析】（1）①仿照题意进行求解即可；②仿照题意进行求解即可； （2）设，则，利用矩形面积公式得到，然后仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴代数式的最小值为， 故答案为：； ②∵，， ∴ ∴， ∴代数式的最大值为11， 故答案为：11； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴当时，S最大，最大值为450， ∴当分别为15m，30m时，羊圈的面积最大，最大为． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意掌握配方法是解题的关键． 20．【答案】(1)17，28 (2)的值为8 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形类规律探索 【分析】此题考查了图形类规律题，一元二次方程的应用，找到规律是解题的关键． （1）根据已知图形找到规律即可得到答案； （2）根据（1）中的规律得到在第个图案中，“◎”的个数为，“●”的个数为，根据题意列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）第1个图案中有“◎”5个，有“●”个； 第2个图案中有“◎”个，有“●”个； 第3个图案中有“◎”个，有“●”个； 即可得到第5个图案中有“◎”个，有“●”个； 故答案为：17，28 （2）按照（1）中的排列规律，在第个图案中，“◎”的个数为 在第个图案中，“●”的个数为， 根据题意可得， 解得，或（不合题意，舍去） ∴的值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $