5.2.2 勾股定理的应用 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，核心知识点包括利用定理解决实际问题及在数轴上表示无理数。课堂导入通过作直角三角形斜边并以原点为圆心画弧，在数轴上确定√2、√3等无理数对应点，衔接实数与几何知识，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于融合古代数学问题与生活实例，如“葭生池中”用方程建模、电工梯子问题抽象直角三角形，体现数学眼光（几何直观）、数学思维（推理运算）与数学语言（模型意识）。采用问题驱动与分步解析，学生能提升应用能力与推理意识，教师可借助结构化案例高效开展教学。

新湘教版八年级上册数学 第5章 直角三角形 5.2.2 勾股定理的应用 学习目标 1. 能利用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题； 2.运用勾股定理画出无理数的具体长度. 任务导入 我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数 和 的点? O 0 1 1 A1 如图，由勾股定理可知，当两条直角边都为1时， 该直角三角形的斜边OA1长为 以原点O为圆心，OA1为半径画圆弧， 与数轴的交点就是表示 的点 当两条直角边分别为 ，1时， 该直角三角形的斜边OA2长为 1 A2 以原点O为圆心，OA2为半径画圆弧， 与数轴的交点就是表示 的点. 你能在数轴上作出表示 的点吗? 利用勾股定理，还可以帮助我们解决一些实际问题. 探索展示 如图是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图，假设梯子长4m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5m.他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，那么，梯子顶端是否往上移动0.5m 呢？ (已知 ) 探索展示 A C B A' C' A' A B C' C 墙面 梯子 地面 抽象 根据已知条件可抽象出示意图 探索展示 A' A B C' C 墙面 梯子 地面 根据已知条件可抽象出示意图 分别在Rt△ABC 和Rt△A'BC'中，运用勾股定理计 算出AB，A'B，则可得出梯子顶端往上移动的距离. 在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m 由勾股定理得 (m) 在Rt△A'BC'中，A'C'= 4m，BC'= 1m 由勾股定理得 (m) ∴ AA'= 3.87 - 3.71 = 0.16(m) 即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m， 而不是向上移动0.5m. 应用提升 例1 (古代数学问题)“今有池方一丈， 葭(jiā)生其中央，出水一尺. 引葭赴岸，适与岸齐. 问水深、葭长各几何？”意思是： 有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向 拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面. 问水深与芦苇长各为多少？ 武英殿聚珍版《九章算术》 应用提升 例1 (古代数学问题)“今有池方一丈， 葭(jiā)生其中央，出水一尺. 引葭赴岸，适与岸齐. 问水深、葭长各几何？”意思是： 有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向 拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面. 问水深与芦苇长各为多少？ 应用提升 例1 (古代数学问题)“今有池方一丈， 葭(jiā)生其中央，出水一尺. 引葭赴岸，适与岸齐. 问水深、葭长各几何？”意思是： 有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向 拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面. 问水深与芦苇长各为多少？ 分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图所示. 设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，长1尺，将芦苇 拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′. A B C B' 5 1 应用提升 例1 (古代数学问题)“今有池方一丈， 葭(jiā)生其中央，出水一尺. 引葭赴岸，适与岸齐. 问水深、葭长各几何？”意思是： 有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向 拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面. 问水深与芦苇长各为多少？ 分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图所示. 设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，长1尺，将芦苇 拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′. A B C B' 5 1 设水池深为x尺， 则AC = x尺， AB = AB′=(x + 1)尺. 解： ∵正方形池塘边长为10尺 ∴ B′C = 5尺. 在Rt△ACB′中， 根据勾股定理，得 x2 + 52 = (x+ 1)2 解得 x=12 故芦苇长为13尺. 答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺. 应用提升 课堂练习 1.一艘渔船以18海里/时的速度由西向东追赶鱼群. 在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向； 40 min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船 的北偏东30°方向，如图所示. 已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问：这艘渔船 继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？ 60o 30o A B C 北 东 应用提升 课堂练习 1.一艘渔船以18海里/时的速度由西向东追赶鱼群. 在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向； 40 min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船 的北偏东30°方向，如图所示. 已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问：这艘渔船 继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？ 60o 30o A B C 北 东 解：过点C作CD⊥AB，垂足为D D 由已知得AB=18× (海里) ∠CAD=30°,∠CBD=60°,∠BCD=30° ∴∠CAB=∠CBD-∠CAD=30° 从而 BC=AB=12(海里) 在Rt△CBD中，∠BCD=30° ∴ 轮船不会触礁. 应用提升 课堂练习 2.AE是位于公路边的电线杆，高12m，为了使电线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高6m的水泥撑杆BD， 用于撑起电线，如图所示. 已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60°. 求电线CDE的总长L(A，B，C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计） 应用提升 课堂练习 2.AE是位于公路边的电线杆，高12m，为了使电线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高6m的水泥撑杆BD， 用于撑起电线，如图所示. 已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60°. 求电线CDE的总长L(A，B，C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计） M 过D点作DM⊥AE，垂足为M. 解： 易知四边形MABD为矩形，MA=BD=6m ∴ ME=EA-MA=12-6=6(m) 在Rt△EMD中，由勾股定理得 在Rt△DBC中,∠CDB=30°,设BC=x,DC=2x,由勾股定理得 x2+62=(2x)2 解得 x = ∴ L= ED+CD=10+ (m). 课堂小结 导图复盘 勾股定理的应用   用勾股定理解决实际问题   利用勾股定理列方程 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ） 当堂检测 下 课 null 49068.0 $