2.1 函数的概念及其表示讲义-2027届高三数学一轮复习

2.1 函数的概念及其表示 1.函数的概念 概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x),x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2.同一个函数的概念 (1)前提条件:①定义域相同;②对应关系相同. (2)结论:这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集. 常用的结论 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. 2.注意以下几种特殊函数的定义域: (1)分式型函数,分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)＝x0,则定义域为{x|x≠0}. 考点一　函数的概念与相同函数判断 考点二　具体函数的定义域 考点三　抽象函数的定义域 考点四　已知定义域求参数 考点五　待定系数法求解析式 考点六　换元法求解析式 考点七　方程组法求解析式 考点八　抽象函数求解析式 考点九　分段函数求值 考点十　利用分段函数求参 考点一　函数的概念与相同函数判断 1．（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 2．（25-26高三上·浙江杭州·期中）（多选）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26高三上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·寒假作业）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 5．（25-26高三上·浙江杭州·期中）（多选）下列函数中，与函数是同一个函数的有（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·河南信阳·开学考试）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 考点二　具体函数的定义域 7．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·贵州贵阳·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·北京石景山·二模）函数的定义域是______． 11．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·北京丰台·一模）函数的定义域为___________． 考点三　抽象函数的定义域 13．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 15．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 18．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域. 考点四　已知定义域求参数 19．（24-25高三上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·江苏无锡·月考）若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为______. 22．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）（多选）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若的定义域为，则 B．若的值域为，则 C．若的定义域为，则 D．若在上单调递增，则 考点五　待定系数法求解析式 23．（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. 24．（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 25．（2025高三·全国·专题练习）设是的二次函数，，且，求函数和的解析式． 26．（2025高三·全国·专题练习）设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式． 考点六　换元法求解析式 27．（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高三·全国·二轮复习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 29．（25-26高三上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 30．（2026·江西上饶·一模）已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 31．（25-26高三上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 考点七　方程组法求解析式 32．（2026高三·全国·专题练习）已知函数对任意的都有，则________． 33．（2026·辽宁锦州·二模）是定义在上的函数，满足对都成立，则（    ） A． B． C． D． 34．（2025高三·全国·竞赛）设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 35．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 考点八　抽象函数求解析式 36．（2026·广东梅州·模拟预测）函数满足，且，则___________． 37．（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 38．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高三上·上海金山·期末）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． 40．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，满足，且对任意的正整数，都有，求的解析式． 考点九　分段函数求值 41．（2026·重庆渝中·三模）已知函数 ，则 （    ） A． B．1 C． D． 42．（2026·江西·二模）已知函数，则_____． 43．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，则为（   ） A． B． C．2 D．3 44．（2026·河北保定·二模）已知函数，则______________． 考点十　利用分段函数求参 45．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，若，则实数a的值为________． 46．（2026·贵州毕节·二模）设函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 47．（2026·河北·一模）已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 48．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知函数，若，则实数a的值为__________． 49．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知函数若，，则______. 1．（25-26高三上·广东河源·月考）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·二轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 5．（2026·山东烟台·一模）已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·北京丰台·二模）下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·河南南阳·月考）（多选）下列说法正确的有（ ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．已知函数，则 D．若两个正实数x，y满足，则的最小值为4 10．（25-26高三上·河北保定·月考）（多选）设函数，若，则的取值可能是（    ） A．0 B．3 C．-1 D．2 11．（24-25高三上·江苏常州·期末）（多选）已知函数若，则实数的取值可能为（    ） A．-2 B． C．1 D．27 12．（25-26高三上·广东汕头·月考）（多选）下列各组函数能表示同一个函数的是（     ） A．与 B．与（且） C．与 D．与 13．（25-26高三下·上海金山·月考）求函数的定义域________. 14．（25-26高三上·广东江门·月考）已知函数的定义域为,则函数的定义域为________. 15．（2025高三·全国·竞赛）设函数对一切实数满足，且，则函数_____. 16．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）若函数满足，则___________． 17．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）设函数，若，则______． 18．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，求的解析式. 19．（25-26高三上·广东湛江·月考）(1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． (3)已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 函数的概念及其表示 1.函数的概念 概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x),x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2.同一个函数的概念 (1)前提条件:①定义域相同;②对应关系相同. (2)结论:这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集. 常用的结论 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. 2.注意以下几种特殊函数的定义域: (1)分式型函数,分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)＝x0,则定义域为{x|x≠0}. 考点一　函数的概念与相同函数判断 考点二　具体函数的定义域 考点三　抽象函数的定义域 考点四　已知定义域求参数 考点五　待定系数法求解析式 考点六　换元法求解析式 考点七　方程组法求解析式 考点八　抽象函数求解析式 考点九　分段函数求值 考点十　利用分段函数求参 考点一　函数的概念与相同函数判断 1．（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【详解】根据函数定义可知，当在定义域中时，直线与函数的图象有一个交点， 当不在定义域中时，直线与函数的图象没有交点， 所以直线，与函数的图象的交点个数为0或1. 2．（25-26高三上·浙江杭州·期中）（多选）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 3．（25-26高三上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 4．（25-26高三·全国·寒假作业）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B 5．（25-26高三上·浙江杭州·期中）（多选）下列函数中，与函数是同一个函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先求得函数的定义域，根据同一函数的概念，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意知的定义域为R， 的定义域为，故与函数不是同一个函数，A错误； 的定义域为R，且，与函数是同一个函数，B正确； ，函数定义域为R，则，与对应关系不一样， 故与函数不是同一个函数，C错误； ，函数定义域为R，且， 与函数是同一个函数，D正确. 6．（25-26高三下·河南信阳·开学考试）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相等函数的概念一一判断即可得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，且，故D正确. 考点二　具体函数的定义域 7．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为需要满足，所以，所以； 因为且，所以，所以， 则. 8．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，解得， 所以函数的定义域是. 9．（2026·贵州贵阳·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合， 由，解得且，所以， 所以. 10．（2026·北京石景山·二模）函数的定义域是______． 【答案】 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 11．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则需，解得且， 所以函数的定义域为 12．（2026·北京丰台·一模）函数的定义域为___________． 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 考点三　抽象函数的定义域 13．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 14．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，解得，取交集得． 15．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有意义建立不等式组求解即可. 【详解】由函数的定义域为， 所以函数要有意义则：，解得：， 所以函数的定义域为：. 16．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 17．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案. 【详解】由的定义域为，得的定义域为. 所以或， 综上，的定义域为. 故选：C. 18．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域. 【答案】 【分析】设，根据的范围求出的范围即可. 【详解】函数的定义域为，， ，则令，则，解得. 故的定义域为. 故答案为：. 考点四　已知定义域求参数 19．（24-25高三上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零时利用二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围. 【详解】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：D. 20．（25-26高三上·江苏无锡·月考）若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数的定义域转化为恒成立即可． 【详解】因为函数的定义域为R，所以在R上恒成立， 所以在R上恒成立. 当时，符合题意； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是； 故选：D 21．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 22．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）（多选）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若的定义域为，则 B．若的值域为，则 C．若的定义域为，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【分析】对于A，根据函数的定义域为，可得在上恒成立，分情况讨论计算即可；对于B，根据对数型函数的值域为，可得取遍一切正数，数形结合得不等式组，求解即得；对于C，由函数的定义域为，可转化成不等式的解集为，利用三个“二次”的关系计算即得；对于D，根据复合函数的单调性，结合对数函数的定义域，列出不等式组求解即可. 【详解】对于A，的定义域为等价于在恒成立， 当时，不等式为，符合题意；当时，有，解得. 综上即得当的定义域为时，，故A正确； 对于B，由的值域为,可得可以取遍一切正数， 故需使，解得，故B错误； 对于C，的定义域为，即不等式的解集为， 故，且方程的两根为和3，则，解得，故C正确； 对于D，对于函数在上单调递增，显然， 设，因在定义域上为增函数， 故依题意，需满足，解得，故D错误. 故选：AC. 考点五　待定系数法求解析式 23．（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. 【答案】或 【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案. 【详解】由题意设， 则， 所以， 解得或， 所以的函数解析式为或. 24．（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 25．（2025高三·全国·专题练习）设是的二次函数，，且，求函数和的解析式． 【答案】，． 【分析】设，根据，得到，比较系数，得到方程组，求出答案. 【详解】设，则． 由得：， 即， 即，这是关于的恒等式， 比较系数得，解得， 所以，． 26．（2025高三·全国·专题练习）设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式． 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的解析式.由得 ； ，得；以及.即可得出解析式. 【详解】设 . 由，得 得；① 设的根为， 则， 所以② 又由已知得.③ 由①②③解得， 所以． 考点六　换元法求解析式 27．（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将已知表达式通分后配方，发现它是中间变量的平方，再通过换元得到函数的解析式. 【详解】，所以． 故选：D. 28．（25-26高三·全国·二轮复习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，，代入化简即可求解. 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 29．（25-26高三上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用换元法求解即可，注意定义域的限制. 【详解】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 30．（2026·江西上饶·一模）已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【分析】令，解得，再利用原式求解. 【详解】因为，令，解得， 所以． 故选：C. 31．（25-26高三上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由利用配方法和换元法求函数解析式. 【详解】，且， 所以， 故选：B 考点七　方程组法求解析式 32．（2026高三·全国·专题练习）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 33．（2026·辽宁锦州·二模）是定义在上的函数，满足对都成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，依次代入特殊值，，，联立方程组，即可求出. 【详解】令，则①， 令，则②， 令，则③， 令，则④， 联立③④，解得，，将代入②，解得， 再将代入①，解得. 34．（2025高三·全国·竞赛）设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 【答案】1 【分析】利用方程组思想求出的解析式，再结合基本不等式求最值. 【详解】由得， 解方程组得， 因为的定义域为，所以 等号成立时. 所以的最小值为1. 故答案为： 35．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1），；（2）或；（3），. 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）利用待定系数法求函数的解析式； （3）用代替，构造函数方程，求函数的解析式. 【详解】（1）设，则，，且， 所以，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以， 又， 所以或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得：，. 考点八　抽象函数求解析式 36．（2026·广东梅州·模拟预测）函数满足，且，则___________． 【答案】4051 【分析】利用已知条件进行赋值变换得出相应的表达式，然后代入数据计算即可. 【详解】令可得，① 将赋值为，代入①得：，② 根据题设及①有：，③ 由①②③得：， 即， 令可得，则， 因此． 37．（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 【答案】（任意满足条件的即可） 【分析】利用函数的函数方程、奇偶性、单调性三个条件，找出满足条件的具体函数. 【详解】，则在上满足指数函数性质， 又时，，则在上是增函数，可取， 因为是偶函数，所以可取．（任意满足条件的即可） 38．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 39．（25-26高三上·上海金山·期末）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． 【答案】 【分析】根据题设，进行赋值即可求解. 【详解】是定义在上的函数，， 且对任意，，恒成立， 令，得， 则， 此时， 而， 则，满足题意， 所以. 故答案为：. 40．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，满足，且对任意的正整数，都有，求的解析式． 【答案】，． 【分析】不妨令，，则有，分别令，，…，，然后通过累加法求得函数解析式． 【详解】由，，， 不妨令，，则有， 又，故①． 分别令①式中的，，…，， 得，，…，， 将上述各式相加得， 则，     所以，． 考点九　分段函数求值 41．（2026·重庆渝中·三模）已知函数 ，则 （    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】已知函数， 因为. 所以， 又 所以. 42．（2026·江西·二模）已知函数，则_____． 【答案】 【详解】因为， 所以 43．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，则为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】， . 所以 44．（2026·河北保定·二模）已知函数，则______________． 【答案】2 【分析】根据分段函数解析式代入求解即可. 【详解】. 考点十　利用分段函数求参 45．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，若，则实数a的值为________． 【答案】 【详解】若，则，解得 若，则，解得，不满足 综上 46．（2026·贵州毕节·二模）设函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】对分类讨论，解方程求得，进而求解即可. 【详解】当时，，即，无解； 当时，，解得， 所以. 47．（2026·河北·一模）已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论和的符号，由求出参数 ，再代入更新后的函数，从内到外依次计算和. 【详解】若，则，因为函数在单调递增， 且，所以方程无解； 若，，则， 得到，即， 整理得，解得（舍）或； 若，因为函数在单调递减， 且，所以方程无解； 综上，，， 所以，. 故选：B. 48．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知函数，若，则实数a的值为__________． 【答案】或 【分析】分类讨论代入求值即可. 【详解】若，则，得或； 若，则，得（舍）， 故实数a的值为或. 故答案为：或 49．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知函数若，，则______. 【答案】2 【分析】由题设可得，据此可得答案. 【详解】注意到， 由，得或，又，故. 故答案为：. 1．（25-26高三上·广东河源·月考）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合选项，逐项分析、判断，即可求解. 【详解】对于A，函数与的值域不同，不是同一函数，所以A错误； 对于B，函数与， 两函数的定义域都为，且对应关系相同，所以是同一函数，所以B正确； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以C错误； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以D错误. 故选：B. 2．（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数右侧表达式配方，整理为关于​的完全平方形式，再替换变量得到并注明定义域． 【详解】， 所以． 故选：D． 3．（25-26高三·全国·二轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解析式. 【详解】令，则， 因为，所以． 由，可得， ∴． 故选：B． 4．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求，结合导数可求单调增区间. 【详解】令，则，得，即， 则函数定义域为R且，所以函数在R上单调递增. 函数的单调递增区间为R. 故选：B. 5．（2026·山东烟台·一模）已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 6．（2026·北京丰台·二模）下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用函数的图象性质结合图象变换，分别求各个选项中函数的定义域与值域并比较即可求解. 【详解】对于A，的定义域为，值域为， 定义域与值域相同，故A正确； 对于B，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故B错误； 对于C，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故C错误； 对于D，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故D错误； 7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的真数部分大于零、被开方数不小于零、分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以恒成立，则，解得， 又，解得， 所以的取值范围是， 故选：A 8．（25-26高三上·山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的定义域，再由抽象函数求定义域的法则列不等式，解不等式求的定义域． 【详解】函数的定义域为，即，则， 的定义域为， 需满足，解得且， 的定义域为，故C正确． 故选：C． 9．（25-26高三上·河南南阳·月考）（多选）下列说法正确的有（ ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．已知函数，则 D．若两个正实数x，y满足，则的最小值为4 【答案】BD 【分析】利用充分、必要条件的定义判断A；求复合函数的定义域时注意，定义域对应的范围都是自变量的范围，进而判断B；换元法可求得C中函数的解析式；利用基本不等式可判断D. 【详解】对于A，当时，，所以，所以充分性不成立； 取，满足，但是，所以， 所以必要性不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A错误. 对于B，因为函数的定义域为，所以对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为，故B正确. 对于C，因为，令，则， 所以，即，故C错误. 对于D，若两个正实数，满足， 等式两边同时除以正数得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4，D正确. 故选：BD. 10．（25-26高三上·河北保定·月考）（多选）设函数，若，则的取值可能是（    ） A．0 B．3 C．-1 D．2 【答案】AB 【分析】对分类讨论解方程即可求解. 【详解】若，解得， 若，解得. 故选：AB. 11．（24-25高三上·江苏常州·期末）（多选）已知函数若，则实数的取值可能为（    ） A．-2 B． C．1 D．27 【答案】ABD 【分析】由题意可得或，分类讨论和，代入解方程即可得出答案. 【详解】令，所以， 当时，，解得：，所以， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当，，解得：，所以， 当时，，解得：， 当时，无解， 综上：实数的取值可能为：. 故选：ABD. 12．（25-26高三上·广东汕头·月考）（多选）下列各组函数能表示同一个函数的是（     ） A．与 B．与（且） C．与 D．与 【答案】CD 【详解】化简函数解析式，并求出其定义域，从函数相等的定义入手逐一分析即可. 【分析】对于选项A：，，对应关系不同， 故不能表示同一个函数，故A错误； 对于选项B：（且）的定义域为， （且）的定义域为， 即定义域不同，故不能表示同一个函数，故B错误； 对于选项C：，，定义域均为， 即定义域和对应关系均相同，可以表示同一个函数，故C正确； 对于选项D：，，定义域均为， 即定义域和对应关系均相同，可以表示同一个函数，故D正确. 故选：CD. 13．（25-26高三下·上海金山·月考）求函数的定义域________. 【答案】， 【详解】由题意，，所以，解不等式可得，， 所以函数的定义域为，. 14．（25-26高三上·广东江门·月考）已知函数的定义域为,则函数的定义域为________. 【答案】 【分析】由函数的定义域为，列出，解不等式即可得解. 【详解】函数的定义域为，， ，，的定义域为. 故答案为：. 15．（2025高三·全国·竞赛）设函数对一切实数满足，且，则函数_____. 【答案】 【分析】先用特殊值可求出，，可求出，可得到为偶函数，同理可得到，假定存在某个，使得，不妨令，则，当时，左边，而右边，矛盾，再根据偶函数定义可证明当，则代入也矛盾，当时，则，同样可知矛盾，同理可知当也是矛盾的，综上可得. 【详解】令，则可得，， 又， 令，则，且， 于是为偶函数，同理， 注意到， 假设存在某个，使得，不妨令， 则，当时，左边，而右边，矛盾. 因为为偶函数，故当时同样矛盾， 当时，则，，同理可证， 再根据偶函数可证当也是矛盾的， 综上，对一切实数，有， 当时，有可得，又因， 故对一切实数都有 故答案为： 16．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）若函数满足，则___________． 【答案】 【分析】将中的替换为，解方程求得函数解析式，再计算函数值． 【详解】因为，所以， 用替换可得，， 联立可得， 所以， 故答案为：. 17．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）设函数，若，则______． 【答案】1 【分析】根据分段函数性质代入计算得出方程，解方程可得. 【详解】函数，易知， 若， 当时，即，可得， 解得，不满足，舍去； 当，即时，可得， 解得，满足题意． 故答案为：1． 18．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，求的解析式. 【答案】 【分析】用代替得，利用方程组法即可求得答案. 【详解】由，用代替得， ，消去得， 所以的解析式为. 19．（25-26高三上·广东湛江·月考）(1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式． (3)已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意利用换元法分析运算求解； （2）根据题意利用构建方程组法运算求解； （3）根据题意利用待定系数法运算求解. 【详解】（1）已知，令 ，则， 所以， 即. （2）因为，所以， 即 ，解得. （3）函数是二次函数，设， ∵，∴， 又∵，∴， 整理，得， 由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等， ∴，解得，∴. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $