25.2 降次 —— 解一元二次方程 一课一练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖一元二次方程解法及应用，梯度合理，强化运算与推理能力，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|公式法、配方法、根的判别式|直接考查解法步骤，如单选题1-2题、解答题16题，夯实运算能力| |能力提升|换元法、新定义运算、方程验证|引入转化思想，如填空题14题、解答题17题，培养推理意识| |综合应用|根与系数关系、几何应用、实际问题|结合几何与生活情境，如单选题10题、解答题20题，发展模型意识|

25.2 降次 —— 解一元二次方程 一课一练2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 2．用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 3．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1 参照以上方法，求得代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．一元二次方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的情况 5．已知方程，用换元法解此方程时，可设，则原方程化为（       ） A． B． C． D． 6．若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 7．定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的值不能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 8．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 9．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是如图（1），分别以和b为直角边作，，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程，按照图（1）构造图（2），在中，，连接CD，若，则m的值为（   ） A．8 B．5 C． D． 二、填空题 11．将一元二次方程配方后化成的形式，则的值为___________． 12．用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ___________． 13．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 14．对实数a，b定义新运算“*”如下：，如，，若的两根为，，则__________． 15．如下图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按此规律继续摆下去，第_____个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的5倍． 三、解答题 16．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．关于x的一元二次方程（）． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根． (2)求证：是该方程的根． 18．小颖在用公式法解方程时，呈现了如下解答过程，老师判了错误． 解：将原方程化为一般形式，得： …第一步； 这里，，…第二步； …第三步； …第四步； 即，…第五步． (1)小颖从第______步开始出错填序号“一、二、三、四、五”中其中一个； (2)请用公式法将正确求解方程的过程写出来． 19．【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： （1）第n个图案中，“”的个数为 ，“△”的个数可表示为 ． 【规律应用】 （2）按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 20．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】 求代数式的最小值； (2)【举一反三】 若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【灵活运用】 已知，则________； (4)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D A C A A A A C 1．【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟记公式法解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 先将题中一元二次方程化为一般式，再由求根公式代入求解即可得到答案． 【详解】解：用公式法解方程时，得， 先化为一元二次方程一般式：， ， ， 则“□”处应填， 故选：A． 2．【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即． 3．【答案】D 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，仿照题意求出，再根据即可得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴的最小值为， 故选：D． 4．【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键． 根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根． 【详解】解：在方程中， ， 方程没有实数根． 故选：A． 5．【答案】C 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】设，则=y2，原方程可化为y2=2-y，整理即可解答. 【详解】设，则=y2， ∴y2=2-y， 即. 故选C. 【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，一般方法是通过观察确定用来换元的式子，如本题中设． 6．【答案】A 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、求一元一次不等式的解集、判断点所在的象限 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解一元二次方程，求一元一次不等式的解集，先根据已知求出a的值和b的取值范围，再分两种情况讨论，即可确定点所在的象限． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， 分以下两种情况讨论： 当时，，， ∴点所在的象限是第一象限； 当时，，， ∴点所在的象限是第二象限； 综上所述，点所在的象限是第一象限或第二象限． 故选：A． 7．【答案】A 【知识点】新定义下的实数运算、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】转化为一元二次方程，根据，求解即可； 【详解】解：∵，∴化为一般式为． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 8．【答案】A 【知识点】构成三角形的条件、因式分解法解一元二次方程 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 9．【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 10．【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程等．根据题意可得的长，继而表示出，再利用面积比列出方程解出即可． 【详解】解：∵， 由题意知：，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， 根据题意， ∴， 经检验，是原方程的解； 故选：C． 11．【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，进而确定常数项的值． 【详解】解：方程移项得，配方时添加一次项系数一半的平方， 即， 两边同时加上16，得，即， 与形式对比，得． 故答案为： 12．【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【详解】本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可． 【解答】解：根据题意得：， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，据此列方程求解即可得到的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． ，符合题意， 故m的值为． 14．【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的解，判断两根的大小，原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：， ， 解得：，， ∵， ∴根据题中的新定义得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程根，实数的大小比较，弄清题中的新定义是解本题的关键． 15．【答案】20 【知识点】图形类规律探索、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知， 解得， 又n为正整数，则，即第20个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的5倍． 故答案为：20． 16．【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或； 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查利用直接开平方法解一元二次方程，核心思路是将方程变形为“平方项等于非负常数”的形式，再根据平方根的定义求解，注意一个正数有两个互为相反数的平方根． （1）先通过移项将方程化为的形式，再开平方求解； （2）先将的系数化为1，得到的形式，再开平方求解； （3）先移项，再将的系数化为1，转化为的形式后开平方求解； （4）先移项将单独放在一边，得到的形式，再开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：移项得，即， 开平方得； （2）解：两边同时除以得， 开平方得； （3）解：移项得， 将系数化为1，即， 开平方得； （4）解：移项得， 开平方得， 当时，；当时，； 故方程的解为或． 17．【答案】(1) 证明：∵， ∴方程总有两个不相等的实数根； (2) ∵， ∴是该方程一个根． 【知识点】一元二次方程的解、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根的判别式，方程的解： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）将代入方程，进行判断即可． 【详解】（1）略． （2）略． 18．【答案】(1)一 (2)见解析 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程——公式法，熟练掌握用公式法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程的步骤判断即可； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）解：第一步移项没有变符号，出现错误， 故答案为：一； （2）解：将原方程化为一般形式为， ，，， ， ， ，． 19．【答案】（1） （2）17 【知识点】图形类规律探索、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第1个图案中有“”个，“△”个； 第2个图案中有“”个，“△”个； 第3个图案中有“”个，“△”个； 第4个图案中有“”个，“△”个； ∴第n个图案中有“”个，“△”个； 故答案为：． （2）解：依题意设第x个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍， ∴， 解得：（舍去）或． 故第17个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 20．【答案】(1)3 (2)；大；1 (3)1 (4)当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可； （2）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可； （3）把原式利用配方法变形为，再利用非负数的性质求解即可； （4）设，则，则，进而求出，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为3； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1， 故答案为：；大；1； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $