2.1 等式性质与不等式性质 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式与不等式性质，涵盖不等关系表示、作差比较、重要不等式及七条性质。通过生活实例如限速、酸奶成分导入，从现实问题抽象为数学符号，再递进至方法与性质，搭建学习支架。 其亮点在于用赵爽弦图等几何直观培养数学眼光，通过作差变形、性质证明发展数学思维，以不等式组符号化表达强化数学语言。实例如糖水不等式联系生活，小结突出易错点，助力学生系统掌握，教师可借分层作业提升教学效率。

2.1 等式性质与不等式性质 人教A版必修第一册　·　第二章 一元二次函数、方程和不等式　·　第一节 1 章节导览 一 用不等式（组）表示不等关系 把生活里的“不超过”“至少”翻译成符号 二 两个实数大小的基本事实 · 作差比较 a－b 与 0 的大小，定出 a 与 b 的大小 三 一个重要不等式 a²＋b²≥2ab 赵爽弦图里藏着的相等与不等 四 不等式的基本性质及其应用 七条性质：判断真假、证明、求范围 2 学习目标 了解现实中的不等关系，会用不等式（组）表示；分清“不超过 ≤”“不少于 ≥”与端点取舍。 理解两个实数大小关系的基本事实，掌握作差比较大小的四步：作差、变形、判号、结论。 理解重要不等式 a²＋b²≥2ab 的来历与取等条件，会用它作简单变形。 掌握不等式的七条基本性质，能用来判断命题真假、证明简单不等式、求取值范围。 3 导入 生活里到处是“不等” 买火车票：儿童身高“超过1.1m且不超过1.5m”购儿童票；高速公路“限速40km/h”；酸奶“脂肪含量不少于2.5%”…… 这些“超过”“不超过”“不少于”，在数学里怎么写？相等我们熟，不等又有哪些规矩？这一节，就把不等关系立起来。 4 观察 · 四个情境 先把它们读成数学语言 （1）某路段限速 40 km/h。 （2）某种酸奶：脂肪含量不少于 2.5%，蛋白质含量不少于 2.3%（两者同时满足）。 （3）三角形三边 a、b、c：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 （4）车货总高度 h 从地面算起不超过 4 m。 关键词：限速、不少于、大于、不超过——各对应哪个不等号？ 5 概念 · 关键词与符号 把“程度词”对应到不等号 不超过 / 至多 / 不高于 ≤ 不少于 / 至少 / 不低于 ≥ 小于 / 低于 ＜ 大于 / 超过 / 高于 ＞ 多个条件同时成立 用不等式组联立 6 想一想 问 “限速40km/h”，车速 v 能不能正好等于 40？该写 v＜40 还是 v≤40？ 明确 “限速40”是能开到40的，取到端点，且速度为正，应写 0＜v≤40。“超过”不含端点用＜、＞；“不超过”“不少于”含端点用≤、≥。 7 练一练 · 表示不等关系 用不等式或不等式组表示第 5 页的四个情境。 明确 （1）设车速 v km/h，0＜v≤40； （2）设脂肪 f、蛋白质 p， f≥2.5% 且 p≥2.3%（同时成立，写成不等式组）； （3）设三边 a、b、c， a＋b＞c 且 a－b＜c； （4）设高度 h m， 0＜h≤4。 8 怎样比较两个实数的大小？ 除了在数轴上看位置，还能不能用代数的办法 9 两个实数大小的基本事实 作差法的依据 a＞b ⇔ a－b＞0 a＝b ⇔ a－b＝0 a＜b ⇔ a－b＜0 比较 a、b 的大小，转化为判断它们的差 a－b 与 0 的大小。0 是正负的分界。 10 方法 · 作差比较大小 作差 写出 a－b → 变形 化成因式积 / 配方 → 判号 定差的正负 → 结论 回到 a 与 b “变形”是关键：变到能一眼看出正负为止；结论要写全，不能停在“a－b＞0”。 11 例1 作差比较大小 问 比较 （x＋2）（x＋3） 和 （x＋1）（x＋4） 的大小。 提示：考察两式的差与 0 的大小关系。 12 例1 · 解 解 （x＋2）（x＋3）－（x＋1）（x＋4） ＝（x²＋5x＋6）－（x²＋5x＋4） ＝2＞0， 所以 （x＋2）（x＋3）＞（x＋1）（x＋4）。 差是与 x 无关的正数 2，说明对一切实数 x 都成立。 13 练一练 作差后配方 问 比较 x²＋y²＋1 与 2（x＋y－1） 的大小。 解 x²＋y²＋1－2（x＋y－1）＝（x²－2x＋1）＋（y²－2y＋1）＋1 ＝（x－1）²＋（y－1）²＋1＞0， 所以 x²＋y²＋1＞2（x＋y－1）。 配方后每项非负，再加正常数 1，恒正。 14 注意 作差法的两个坎 不变形就判号：差里还带着符号未定的项就下结论，等于没做。变形到因式积或配方为止。 一元二次的差，配成“若干完全平方＋常数”，只要常数为正，整个差就恒正。 结论要写全：写到“所以 a＞b”，别停在“a－b＞0”那一步。 15 重要不等式 · 引入 赵爽弦图 问 大正方形由 4 个全等直角三角形拼成，直角边 a、b。大正方形面积与 4 个三角形面积和，谁大？相等时是什么情形？ 明确 大正方形面积 ＝ a²＋b²；4 个三角形面积和 ＝ 2ab。正方形面积不小于三角形面积和，得 a²＋b²≥2ab；当中间小正方形缩为一点、即 a＝b 时取等号。 16 重要不等式 对任意 a，b∈R， a²＋b² ≥ 2ab 当且仅当 a＝b 时，等号成立。 17 重要不等式 · 证明 用作差法 证 a²＋b²－2ab ＝ （a－b）² ≥ 0， 当且仅当 a＝b 时 （a－b）²＝0。由两个实数大小关系的基本事实，得 a²＋b²≥2ab，当且仅当 a＝b 时等号成立。 18 不等式有哪些性质？ 等式与不等式都在刻画大小关系——先梳理等式性质，再类比、猜想、证明。 19 等式的基本性质 类比的出发点 性质1（对称）：a＝b ⇔ b＝a。 性质2（传递）：a＝b，b＝c ⇒ a＝c。 性质3（可加）：a＝b ⇒ a±c＝b±c。 性质4（可乘）：a＝b ⇒ ac＝bc。 性质5（可除）：a＝b，c≠0 ⇒ a÷c＝b÷c。 1、2 是相等关系自身的特性；3、4、5 是运算中的不变性。 20 不等式性质 1、2 对称性 · 传递性 性质1（对称）：a＞b ⇔ b＜a。 性质2（传递）：a＞b，b＞c ⇒ a＞c。 问 性质2 怎么证？（提示：用基本事实把“＞”换成“差＞0”） 证 a＞b ⇒ a－b＞0，b＞c ⇒ b－c＞0，两式相加 （a－b）＋（b－c）＝a－c＞0，故 a＞c。 21 不等式性质 3 可加性与“移项” 性质3：a＞b ⇒ a＋c＞b＋c。两边加同一个数，方向不变。 问 由性质3，“a＋b＞c”能不能把 b 移到右边？移过去要不要变什么？ 明确 a＋b＞c 两边加（－b）：a＞c－b。 于是不等式里任何一项都可以 改变符号后移到另一边——这就是“移项变号”，方向不变。 22 不等式性质 4 可乘性——最容易错的一条 a＞b，c＞0 ⇒ ac＞bc（同向）；　　a＞b，c＜0 ⇒ ac＜bc（反向）。 问 两边同乘一个数，什么时候方向变？ 明确 乘正数——方向不变；乘负数——方向改变。 这是本节最高频的错点：见到负数（含未定符号的字母）要停一下。 23 不等式性质 5 同向可加 性质5：a＞b，c＞d ⇒ a＋c＞b＋d。同向的两个不等式可以相加。 问 同向可以相加，那能不能相减？异向的能不能加？ 明确 同向只能相加、不能相减；异向（一个＞一个＜）不能直接相加。 要用异向，先把 c＜d 改写成 －c＞－d，再同向相加。 24 不等式性质 6、7 都要“两边为正” 性质6（同正可乘）：a＞b＞0，c＞d＞0 ⇒ ac＞bd。 性质7（可乘方）：a＞b＞0 ⇒ aⁿ＞bⁿ（n∈N，n≥2）。 问 这两条和前面几条最大的不同是什么？ 明确 都带“＞0”的前提。 丢掉“两边为正”，性质6、7 就不成立（如 －2＜1 但 4＞1）。用前先验证。 25 七条性质 · 一览 记住功能名与前提 1 对称 a＞b ⇔ b＜a 2 传递 a＞b，b＞c ⇒ a＞c 3 可加 a＞b ⇒ a＋c＞b＋c（移项变号） 4 可乘 c＞0 同向；c＜0 反向 5 同向可加 a＞b，c＞d ⇒ a＋c＞b＋d 6 同正可乘 a＞b＞0，c＞d＞0 ⇒ ac＞bd 7 可乘方 a＞b＞0 ⇒ aⁿ＞bⁿ 26 例2 用性质证明 问 已知 a＞b＞0，c＜0，求证： c a ＞ c b 提示：先由 a＞b＞0 比较两者的倒数，再乘负数 c 变号。 27 例2 · 解 ① a＞b＞0，两边同除正数 ab（性质4，乘 1/ab＞0）： 1 a ＜ 1 b ② 再乘 c（c＜0），方向改变： c a ＞ c b 结论 即上式成立，原命题得证。 关键两步：a＞b＞0 时倒数反向，再乘负数 c 又反向一次——两次改变方向。 28 辨一辨 命题真假看前提 问 判断：“若 a＞b，则 ac²＞bc²” 一定成立吗？ 明确 不一定成立，是假命题。 当 c＝0 时 ac²＝bc²＝0，取不到“＞”。 判断真假：真命题要给依据（哪条性质），假命题只要举一个反例——c＝0 是最常用的反例。 29 口答 快速判断（真则说依据，假则举反例） ① a＞b＞0 ⇒ a²＞b²；　② a＞b，c＜0 ⇒ ac＜bc；　 ③ a＞b，c＞d ⇒ ac＞bd。 答案 ① 真（性质7，两边为正）；　 ② 真（性质4，乘负数方向改变）；　　 ③ 假（性质6 需 a＞b＞0 且 c＞d＞0，缺“为正”的前提）。 30 ★ 拔高探究 优生班课上完成，普通班选做 问 已知 2＜a＜3，－2＜b＜－1，求 2a＋b 的取值范围。 提示：把 2a＋b 拆成已知范围的量的“同向相加”，每个条件只用一次。 31 ★ 拔高探究 · 解 2 4 5 6 4＜2a＜6 2＜2a+b＜5 解 由 2＜a＜3 得 4＜2a＜6；又 －2＜b＜－1。两式同向相加（性质5）： 4＋（－2）＜2a＋b＜6＋（－1），即 2＜2a＋b＜5。　每个条件只用一次，不能对 a 的范围反复相减。 32 必错例题 求差的范围 问 已知 －1＜a＜3，1＜b＜2，求 a－b 的取值范围。 先别急着相减——想想 a－b 该怎么拆成同向相加。 33 必错例题 · 解 异向 → 先变同向 解 第一步 变同向：由 1＜b＜2 得 －2＜－b＜－1。 第二步 同向相加：－1＜a＜3 与 －2＜－b＜－1 相加， 第三步 得结论：－1＋（－2）＜a－b＜3＋（－1），即 －3＜a－b＜2。 若直接“a 的下界减 b 的上界、a 的上界减 b 的下界”，正是把 b 用了两次——范围会算错。 34 ★ 糖水不等式 作差 · 生活里的不等式 问 b 克糖水含 a 克糖（b＞a＞0），再加 m 克糖（m＞0），糖水变甜。写成不等式并证明。 a b ＜ a＋m b＋m 证 两式作差、通分后，分子为 m（b－a），分母为 b（b＋m）。由 b＞a＞0、m＞0，分子、分母都为正，所以差＞0，原不等式成立。 35 当堂检测（一） 限时，独立完成 ① 用不等式组表示“a 与 b 的和非负，且 a 不小于 b”。 ② 比较 （x＋3）（x＋7） 与 （x＋4）（x＋6） 的大小。 答案 a＋b≥0 且 a≥b（写成不等式组）。 答案 作差＝（x²＋10x＋21）－（x²＋10x＋24）＝－3＜0，故 （x＋3）（x＋7）＜（x＋4）（x＋6）。 36 当堂检测（二） ③ 下列为真命题的是（　）　A. a＞b ⇒ ac²＞bc²　B. a＞b＞0 ⇒ a²＞b² ④ 已知 －1＜a＜3，1＜b＜2，求 a－b 的取值范围。 答案 B。 A 中 c＝0 时 ac²＝bc²，假；B 由性质7 成立。 答案 由 1＜b＜2 得 －2＜－b＜－1，与 －1＜a＜3 同向相加，得 －3＜a－b＜2。 37 本课小结 表示：把“不超过”“至少”对应到 ≤、≥，多个条件用不等式组；端点别丢。 比较：作差—变形—判号—结论，变形到因式积或配方为止。 一个重要不等式：a²＋b²≥2ab，a＝b 时取等。 七条性质：性质4 乘负数变号（最易错）；性质6、7 要“两边为正”。 求范围：拆成同向相加，每个条件只用一次。 38 易错提醒 考试丢分就在这几处 关键词丢端点：“限速40”是 0＜v≤40，别漏下界、别丢等号。 作差不变形 / 不写结论：变到能判号，结论写到“a＞b”。 乘除负数忘变号——本节最高频错。 用性质6、7 丢“两边＞0”的前提；倒数记反：a＞b＞0 时较大数的倒数反而小。 求范围反复用同一条件、异向相加：每个条件只用一次，只做同向相加。 39 课时作业 建议用时 25 分钟 A 组（全体必做）：表示不等关系、作差比较、用性质填空与判断、简单证明。 B 组 ★（优生班必做，普通班选做）：多步性质综合、糖水不等式、根式比较。 解答题、证明题写出完整过程；作差要变形到能判号，用性质先验前提。 40 下一节 2.2　基本不等式 本节立起的重要不等式 a²＋b²≥2ab，正是基本不等式的起点。 41 $